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浙江省杭州市2025-2026学年下学期七年级期末模拟试卷
数 学
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．调查50名学生的年龄，整理数据时，这些学生的年龄落在五个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（ ）
A．20 B．30 C．0.4 D．0.6
2．某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数据是（ ）
A． B． C． D．
3．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变
4．对某校七（1）班和七（2）班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了扇形统计图如图，下列说法正确的是（　）
A．七（1）班中最喜欢足球的人数比七（2）班中最喜欢足球的人数少
B．七（1）班中最喜欢篮球的人数和七（2）班中最喜欢篮球的人数一样多
C．七（2）班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多
D．七（2）班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多
5．阅读以下材料：如果两个正数a、b，则由得到，推导出，最后得到关系式，当且仅当时取到等号．思考下面的问题：如图四边形的对角线，交于点O，若，，则四边形面积的最小值为（ ）
A．128 B．100 C．76 D．52
6．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．②③ D．①②③④
7．某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x辆车，共有y名学生．则根据题意列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知均为正数，若满足，，则M，N的大小关系是
A． B． C． D．
9．已知，，，则代数式的值为（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
10．解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解： ____________．
12．若关于x的方程无解，则________．
13．若，则代数式的值为______．
14．已知某工厂产品次品率的变化趋势为次品率在上半年呈上升趋势，从1月的2%上升到6月的5%；下半年呈下降趋势，从7月的4.5%下降到12月的1.5%；则该工厂全年次品率的最高值出现在________月．
15．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为________．
16．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为______ ．

三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．把下列完全平方式因式分解：
(1)；
(2)．
18．先化简，再找一个你喜欢的数作为的值代入求值．
19．解方程组：
(1)；
(2)
20．某校计划组织七年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的学生人数为______人，并在图1中补全条形统计图；
(2)请写出图2中研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是______；
(3)若该校七年级共有1200名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数．
21．春假期间，我校某班组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元．
(1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？
(2)已知盒装草莓成本35元/盒，袋装草莓成本50元/袋，求在（1）问的销售情况下，这次活动中该班销售完全部草莓后，获得的总利润是多少元？
22．如图，在中，点分别在上，且，．
(1)请说明成立的理由；
(2)若平分，，求的度数．
23．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则．
【尝试应用】
（1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小；
（2）若，，试比较代数式与的大小；
【联系生活】
（3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小．
24．数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
(1)【探索】如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式____________，利用上述公式解决问题：
(2)【应用】①若，，则，______；
②若，，求的值；
(3)【迁移】如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B A B B C B
1．A
频数分布中，所有组的频数之和等于数据总数。已知总人数为，只需用总数减去其他四组的频数，即可求出第四组的频数．
解：题目中总共有名学生，第一、二、三、五组的频数分别为、、、．
四组的频数之和：．
第四组的频数总数其他四组频数之和，即：．
故选：A．
本题考查了频数的概念和频数分布的基本性质，解题关键是理解“所有组的频数之和等于数据总数”这一核心关系．
2．D
解：科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数．
∵ 中，左起第一个非零数字为，其前共有个零，且满足，
∴ ．
3．C
本题考查分式的基本性质，将和替换为扩大后的数值，化简后与原分式对比即可得到结果，熟练掌握分式的化简方法是解题关键。
解：把和都扩大倍后，新分式的分子为，分母为
新分式为
分式的值缩小为原来的
4．C
根据扇形统计图里的数据逐一判断即可．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，但不能直接反映具体数量，除非已知总体数量；在同一总体中，百分比越大，数量越多；百分比相等，数量相等．
解： 七（1）班和七（2）班的学生总人数不确定，
无法比较两个班最喜欢足球或篮球的具体人数，故A，B错误；
在七（2）班的扇形统计图中，最喜欢篮球的占，最喜欢足球的占，
七（2）班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多，
C正确，D错误．
5．B
解：设中为a，边上的高为，中为b，边上的高为，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形面积的最小值为100．
6．A
根据平行线的性质可证，即可判断③，再根据平行线的性质结合已知角度关系即可判断①②，题目条件无法判断④．
解：，
，，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①②正确；
题目条件无法证明平分，故④不正确．
7．B
根据两种乘车方案中总人数不变，分别找出等量关系即可列出方程组．
解：设计划租用辆车，共有名学生，
第一种乘车情况：一辆车乘坐45人，有35名学生没有车坐，
∵车上一共乘坐人，加上没车坐的35人等于总人数，
∴ ，整理得；
第二种乘车情况：一辆车乘坐60人，有一辆车只坐35人，还空出一辆车，
∵空出1辆完全不用的车，还有1辆只坐35人，因此坐满60人的车共有辆，总人数等于坐满的人数加35，
∴,
综上可得方程组．
8．B
采用换元法简化重复的代数式，再通过作差法比较大小，利用x均为正数的条件判断差的符号即可得到结果．
解：设，则，
∵均为正数
∴
∴，即．
9．C
本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论．
解：，，，
，，，
，
故选：C．
10．B
先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键．
解：，
．
方程两边同乘，得
．
故选：B．
11．
根据提公因式法可对原式进行因式分解．
解：．
12．，1
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可．
解：原方程为
方程两边同乘最简公分母去分母得：，
展开并移项合并同类项得：，
分两种情况讨论：
当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即
，解得，此时，符合要求；
当整式方程的解为原分式方程的增根时，
原分式方程分母为和，因此增根为，
将代入得：
，
解得，符合要求；
综上，的值为或．
13．4
先将原整式化为，根据得到，代入化简结果计算即可．
解：
将代入得，原式
14．6
本题考查了趋势图，解题的关键是根据产品次品率的趋势图分析其整体趋势从而得到结论．
通过比较上半年和下半年的次品率峰值，上半年峰值在月为，下半年峰值在月为，故全年最高次品率出现在月．
解：上半年次品率呈上升趋势，从月的升至月的，月为上半年最高值；
下半年次品率呈下降趋势，从月的降至月的，月为下半年最高值．
比较月和月，，因此全年次品率最高值出现在月．
故答案为：．
15．
82
根据平移的性质得出所走路程为即可解题．
解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）．
16．
设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论．
解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：每个小长方形的周长为，
故答案为：32．
本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．(1)
(2)
根据完全平方公式进行分解即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．，（答案不唯一）
先对分式分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到化简结果，再由分式中分母不能为，得到不能取的值后即可选择一个你喜欢的数作为的值代入求值．
解：
，
分式中分母不能为，
，
当时，原式．（答案不唯一）
19．(1)；
(2)．
（1）解：
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得
把①代入②中，得，解得，
把代入①，得
∴原方程组的解为．
20．(1)100，见解析；
(2)
(3)人．
（1）根据最喜欢去B地研学的学生人数和所占百分比求出调查的学生人数，进而求出最喜欢去A地研学的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用乘最喜欢去D地研学的学生人数占比求解即可；
（3）用七年级学生人数乘以最喜欢去C地研学的学生人数占比求解即可．
（1）解：（人），
最喜欢去A地研学的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：，
即研学活动地点D所在扇形的圆心角的度数是；
（3）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数为人．
21．(1)销售了盒装草莓50份，袋装草莓100份
(2)这次活动总利润2750元
本题是二元一次方程组中的实际问题，解题关键是从实际问题中提取等量关系，将销售问题转化为方程问题；
（1）利用数量关系建立方程模型，设出盒装或袋装的销售份数，根据“总份数”和“总收入” 两个等量关系列方程求解；
（2）利用利润计算公式：单份利润 = 售价成本，总利润 = 单份利润 销售数量，先分别求出盒装、袋装草莓的单份利润，再结合第（1）问求出的销售份数，计算总利润．
（1）解：设销售了盒装草莓x份，袋装草莓y份．得
解得
答：销售了盒装草莓50份，袋装草莓100份．
（2）
（元）
答：这次活动总利润2750元．
22．(1)理由见解析
(2)
（1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可推出；
（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求出，即可求出的度数．
（1）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解：，
．
平分，
，
．
23．（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大
本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
（1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可；
（2）先求出，然后根据，，进行判断即可；
（3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可．
解：（1）长方形A的周长为：，
长方形B的周长为：，
，
当时，，此时长方形A的周长大于B的周长；
当时，，此时长方形A的周长等于B的周长；
当时，，此时长方形A的周长小于B的周长．
（2），
∵，，
∴，
∵，即，
∴．
（3）∵甲和乙的花费相同，
∴，
∴，
乙购买水果总重量为，
，
∵，，，且，
∴，
∴，
∴乙购买水果的总重量更大．
24．(1)
(2)①28；②81
(3)384
（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）①根据整体代入计算即可；
②根据计算即可．
（3）由，，，得出正方形的边长为，
根据题意得出，设，，
则，，然后根据完全平方公式求出即可．
（1）解：如图1从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
∴有；
（2）解：①∵，
；
②∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴正方形的边长为，
又∵长方形的面积为160，
∴，
设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
即两个正方形的面积和为384．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
浙江省杭州市2025-2026学年下学期七年级期末数学模拟试卷 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 根据数据描述求频数
2 0.85 用科学记数法表示绝对值小于1的数
3 0.84 利用分式的基本性质判断分式值的变化
4 0.8 由扇形统计图推断结论；求扇形统计图的某项数目
5 0.65 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用；求一个数的算术平方根
6 0.65 根据平行线的性质求角的度数
7 0.65 根据实际问题列二元一次方程组
8 0.65 单项式乘多项式的应用；计算多项式乘多项式
9 0.65 完全平方公式分解因式
10 0.65 解分式方程（化为一元一次）
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 提公因式法分解因式
12 0.56 分式方程无解问题
13 0.65 整式的混合运算
14 0.65 折线统计图
15 0.65 利用平移解决实际问题
16 0.65 根据几何图形列二元一次方程组
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 完全平方公式分解因式
18 0.65 分式化简求值；分式乘除混合运算；公因式；分式有意义的条件
19 0.77 代入消元法；加减消元法
20 0.65 求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联；用样本的频数估计总体的频数；求条形统计图的相关数据
21 0.78 有理数四则混合运算的实际应用；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
22 0.65 根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
23 0.65 分式加减的实际应用；整式加减的应用
24 0.61 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用

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