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浙江省宁波市2025-2026学年下学期八年级期末模拟试卷
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
4．数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．如图，在平行四边形中中，，平分，交边于点，且，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知是一元二次方程的两个根，且，则a等于______．
12．某校为了解在校学生的视力情况，随机抽取了40名同学检查视力，检查结果如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 3 4 9 6 7 7 3
估计该校学生的视力的方差是________．
13．如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为________________．
14．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为______．
15．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则______．
16．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如
请用上述方法探索并解决下列问题：__________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程：
(1)
(2)
19．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个．
(1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
(2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元
20．先阅读，再解答，由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是______；化简______；
(2)计算：．
21．如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长．
22．2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：）
七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85，
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 82 82
中位数 83 a
众数 b 85
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请你估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？
23．在中，，.
(1)如图1，点D，E在直线上，连接，，若，将绕点A旋转至，连接，试猜想的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，若点E为边上一点，以为斜边（左侧）作等腰，连接，求证：；
(3)如图3，若点H为平面内一点且满足，，点P是的中点，求的值．
24．【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形．请给出其证明．
【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究：
(2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C C C A D D A
1．D
根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
2．D
根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果．
解：∵二次根式有意义的条件是，
∴对于二次根式，可得不等式，
解不等式得．
3．D
本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围．
解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，即，
又∵方程有两个实数根，
∴，即，
解得：，
综上，的取值范围是且．
4．C
众数就是一组数据中出现次数最多的数据，根据定义即可确定．
解：数据2，3，5，5，6中5出现2次，出现的次数最多，因而众数是5．
5．C
根据平行四边形的性质可得，利用平行线的性质和角平分线的定义推出，从而得到，结合已知线段长度即可求解.
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
6．C
分别拆分观察单项式的系数、字母a的次数随序号n的变化规律，即可得到结果．
解：∵当时，单项式为
当时，单项式为
当时，单项式为
当时，单项式为
当时，单项式为
．．．
∴可得规律：第n个单项式的系数为，字母a的次数为n
∴第n个单项式为
7．A
设小路的宽为，根据花坛部分总面积为列方程求解即可．
解：设小路的宽为，由题意得：
．
8．D
此题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的利用及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
由点、分别是边、的中点，可知是的中位线，根据中位线定理即可证明②，根据等腰三角形的性质可证①，由 D是中点，可证，再利用平行，可证明③，在中，不一定等于，即可判断④．
解：∵点、分别是边、的中点，
∴，
∴，
则②符合题意，
∵，
∴，
∴，
则①符合题意，
∵D是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则③符合题意，
由于不一定是等腰三角形，则不一定等于，则不一定等于，
则④不符合题意．
9．D
根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
10．A
先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误．
解：∵正方形，
∴,
∴,
∵交于，
∴，
∴,
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴,
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即②正确；
∵，
∴，即，
∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴，即③正确；
当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误．
综上，正确的有①②③．
11．
先求出， ，再整体代入计算即可．
解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，即，
∵，
∴，
．
12．/
先计算样本的平均数，再根据方差公式计算样本方差，用样本方差估计总体方差即可．
解：
，
．
∴用样本方差估计总体方差，可得该校学生视力的方差为．
13．平行且相等/
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系．
解：∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∴且，即与的关系为平行且相等．
故答案为：平行且相等（或）．
14．
根据矩形的性质和角平分线的定义推出，结合等角对等边和线段的和差求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
解：四边形是矩形，
，，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
为的中点，，
是斜边上的中线，
．
15．4
本题考查正方形的性质及勾股定理. 根据正方形的面积求出边长，，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长，最后在中利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求解即可．
解：∵为正方形， ，
∴，
∵为正方形，，
∴，，
∴中，，
∵为正方形，
∴，，
∴中， ，
∴．
16．/
本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简．
解：
17．(1)
(2)4
（1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法计算，再计算二次根式的加减；
（2）先计算二次根式的乘除，再算二次根式的加减．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)，
(2)，
（1）根据直接开平方法求出解；
（2）先确定，再根据求根公式求出解．
（1）解：，
开方，得，
解得，；
（2）解：，
∵，，，
∵，
∴，
解得，．
19．(1)
(2)55元
（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可.
（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得：
解这个方程得：，（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元．
解这个方程得，，．
因为要尽可能的让顾客得到实惠，
所以．
答：该品牌头盔的销售价应定为55元．
20．(1)
；
(2)
（1）根据题目给出的有理化因式定义，利用平方差公式找的有理化因式，再通过分母有理化化简即可；
（2）先将原式每一项进行分母有理化，再利用裂项相消法计算，抵消中间项后得到最终结果；
（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
；
（2）解：对任意正整数，
，
∴
．
21．(1)见解析
(2)
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
22．(1)，，
(2)八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名
（1）根据众数、中位数的定义计算即可得出结果；
（2）根据中位数分析即可得出结果；
（3）用乘以七年级成绩为优秀的学生人数所占的比例，用乘以八年级成绩为优秀的学生所占的比例，再求和即可．
（1）解：∵七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99，其中85出现的次数最多，有次，
∴；
八年级20名学生的成绩在A组的人数为（人），
八年级20名学生的成绩在B组的人数为（人），
八年级20名学生的成绩在C组的人数为人，
故八年级20名学生的成绩在第10位和第11位分别为83，85，即；
，即；
（2）解：八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由如下：
八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级有一半以上的学生成绩在分以上，整体水平略高；
（3）解：（名），
故估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名．
23．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)的值为或．
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，则，，，，在中由勾股定理得到，即即可求解；
（2）如图，把逆时针旋转得，连接，，可得，，，，证明，可得，，三点共线，证明，可得，进一步可得结论；
（3）设，则，当在的上方时，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，进而勾股定理求得，当在的下方时，同理可得，即可求解．
（1）解：，理由如下：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点旋转至，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，即，
在中，，
∴；
（2）证明：如图，把逆时针旋转得，连接，，
∴，，，，
∵为等腰直角三角形，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴三点共线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在中，，，
∴，
∵，
设，则，
∵点是的中点
∴
当在的上方时，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，则
∴，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
在中，，
又，
∴四边形中，
∴
∴三点共线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
当在的下方时，如图所示，
同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
24．(1)见解析
(2)当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，理由见解析
（1）根据平分以及是的外角平分线，可得，即可；
（2）证明，即可解答．
（1）证明：如图，
，，
平分，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，证明如下：
在中，平分，
，
∵，
∴，
，
又四边形是矩形，
矩形为正方形．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
浙江省宁波市2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试卷 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.85 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.95 二次根式有意义的条件
3 0.7 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
4 0.75 求众数
5 0.77 角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解
6 0.65 单项式规律题；二次根式的应用
7 0.7 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
8 0.65 与三角形中位线有关的证明；等腰三角形的性质和判定
9 0.65 等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求角度
10 0.56 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题
11 0.65 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系
12 0.65 求方差
13 0.65 判断能否构成平行四边形；证明四边形是平行四边形
14 0.55 斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质求线段长；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
15 0.65 以弦图为背景的计算题；根据正方形的性质求线段长
16 0.65 复合二次根式的化简
二、知识点分布

三、解答题
17 0.75 二次根式的混合运算
18 0.75 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程
19 0.62 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
20 0.6 二次根式的混合运算；分母有理化
21 0.55 斜边的中线等于斜边的一半；判断三边能否构成直角三角形；证明四边形是矩形
22 0.62 运用中位数做决策；求众数；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
23 0.35 斜边的中线等于斜边的一半；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
24 0.62 证明四边形是矩形；证明四边形是正方形

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