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广东深圳市龙华区2026届高三考前自测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知样本数据则该组数据的上四分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知复数，为虚数单位，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由个全等直角三角形和中心小正方形构成若，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，则的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被以为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.有三堆小球，每堆有个，球上分别标有数字，，，，从每堆中各随机取一个小球，记取出的号码依次为，，，在的条件下，是的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. 最小值为 B. 最小值为
C. D. 最小值为
10.已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是( )
A.
B.
C. ，，使得
D.
11.在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有( )
A. 若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线
B. 若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆
C. 若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线
D. 若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，且，则 ．
13.已知圆台的母线长为，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为 ．
14.在中，，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，．

证明：平面平面；
若是等边三角形，，为的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
16.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的解析式及最小正周期；
当时，求函数的值域；
将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，直线与曲线相切．
求实数的值；
若是函数的极大值点．
求实数的取值范围；
讨论的零点个数．
18.本小题分
已知甲口袋有个红球和个白球，乙口袋有个红球和个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球次，每次摸出一个球．
当，时，
求小明次摸球中，至少摸出个白球的概率；
设小明次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望；
当时，设小明次摸球中，恰有次摸出红球的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，准线为设点列在抛物线上，且均位于第一象限．对于每个，过点作准线的垂线，垂足为，连接交抛物线于另一点，已知．
求点的坐标；
设为锐角，且满足，其中为点的纵坐标，证明，并求关于的通项公式；
记，设证明：对任意正整数，都有．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：三棱柱是直三棱柱，平面，
又平面，，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面．
以过且与平行的直线为轴，，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，，．
，，，
设平面的法向量为
则，令得．
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的余弦值为．

16.解：由题可知，
则，
最小正周期．
当时，，
，
所以值域为；
将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再向上平移个单位长度，得到．
当时，，．
方程有两个不同实数解，即有两个不同解，
等价于在上有两个不同解．
结合正弦函数图像，可知
解得．

17.解：设直线与曲线相切于点，
由切点在直线上得，，
因为，所以切线斜率为，可得，
代入可得：，则可解得；
由，，求导可得：，
当时，，时，；时，，
所以在上单调递减；在上单调递增，
所以是函数的极小值点，不满足题意；
当时，令得或；令得，
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，不满足题意；
当时，，所以在上单调递增；不符合题意；
当时，令得或；令得，
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增
所以是函数的极大值点，满足题意．
综上：实数的取值范围为．
由，
根据可知，在上递增；在上递减，在上递增，
则，
由，令，
则，
当，即时，，则在上无零点，
又时，，则在上无零点，故此时零点个数为；
当，即时，同理只有，即零点个数为；
当，即时，，，使得，
即零点个数为，
综上：时，无零点；时，有个零点；时，有个零点．

18.解：易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为，从乙口袋中摸出一个白球的概率为，
设“小明次摸球中，至少摸出一个白球”为事件，则“小明次摸球都是红球”为事件，
则，
所以
的所有可能取值为，，，，，
由得，
，
，
，
，
所以；
易知此时连续摸次相当于次独立重复性试验，
设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中，
则，，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则时，最大，此时，，解得．
故当时，概率最大．此时

19.解：如图：
由，得，，直线的斜率为，方程为．
代入抛物线得：，解得：．
又在第一象限，所以．
设，由抛物线方程得，且，
由已知得，点，焦点
直线的斜率，方程为
代入抛物线得，
方程的两根为直线与抛物线的两个交点的横坐标，其中一根记为对应，另一根记为，由韦达定理知：，故：，．
又在第一象限，代入得
设另一方面，代入得．
整理得，又为锐角，则．
．
由抛物线定义知：
于是．
利用二倍角公式得：，令，
所以：
因此．
从而．
对任意整数，利用不等式，得
于是
因此，对任意正整数，都有．

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