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河南开封市祥符区第四高级中学等校2026届高三考前自测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数( )
A. B. C. 或 D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.设向量，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，都是锐角，则( )
A. B. C. D.
8.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为 D. 在定义域上单调递减
10.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 若函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则
B. 若将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则的最小值为
C. 若函数在上单调递增，则的取值范围是
D. 若函数在上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是
11.如图，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图，则下列说法正确的是
A. 三棱锥的外接球的表面积是
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 二面角为直二面角时，的长为
D. 二面角为直二面角时，点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为 ．
13.若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是 ．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的倍，则的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司考察了，两个项目进行投资，记，两个项目的利润分别为万元，万元，经过风险评估，得到，的分布列如下：
万元 万元
求，两个项目的利润的期望；
求，两个项目的利润的方差，并比较方差的大小．
16.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，且．
求角的大小：
若边，求的面积的取值范围．
17.本小题分
如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，为棱的中点．
证明：；
点在棱上，平面，求直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
已知，，过点的直线与交于，两点不在轴上．
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求面积的最大值．
19.本小题分
设函数，．
求的图象在点处的切线方程；
证明：；
设，，数列的前项和为，证明：．
参考答案
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14.
15.解：由题意知万元
万元．
，
，
所以．

16.解：由及正弦定理，得，
所以，即，
因为为锐角三角形，所以，且，
所以，，
又，所以．
由正弦定理，得，所以，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，，即，
由，得，
所以，
所以的面积的取值范围为．

17.【解答过程】因为平面平面，且两平面交线为，，平面
所以平面，所以，是二面角的平面角，故．
连接，为棱的中点，则，从而．
又，，平面，所以平面，平面，因此．
解法：设，则，所以．
连交于点，连接交于点，连因为平面，平面，平面平面
所以，因为为中点，
所以为中点，故且直线与所成角等于直线与所成角．
在中，，因为，
所以．
因此直线与所成角的余弦值为．
解法；设，则，所以．
取中点为，连接交于点，则．
连接交于点，连，因为平面，平面，平面平面，所以．
与所成角等于直线与所成角．
正方形中，，，所以，故．
在中，，，
由余弦定理在中，．
因此直线与所成角的余弦值为．
解法由知平面，以为坐标原点，为轴正方向，为个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由知，得，．
则，，，．
由，得．
因为平面，所以存在唯一的，，
使得，
故，解得，
从而．
所以直线与所成角的余弦值为．

18.解：由可得
由点在上，则
联立得，，
所以椭圆的方程为；
设过点的直线的方程为，，，
由，得，，
所以，．
因直线的斜率分别为，
因为
则的倾斜角互为补角，故；
(ⅱ)因，则
，
令，设，
则，
所以在上单调递减，则，
故当，即时，取到最大值．

19.解：由，，
得，
所以，
所以的图象在点处的切线方程为，即．
令，则，．
令，，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以．
由知，即时，，
所以．
令，，则，
代入上式得，
所以
，
所以．

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