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江西省“三新”协同教研共同体2026届高三下学期5月学科阶段训练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若集合，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
5.如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为，则该椭圆的短轴长约为取
A. B. C. D.
6.已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，为棱上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为
A. B. C. D.
8.诗句“花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的图象关于直线对称的有( )
A. B.
C. D.
10.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则
A.
B. 的渐近线方程为
C.
D. 当时，
11.已知函数 ，则
A. 是奇函数
B. 可能是的极值点
C. 可能有个极值点
D. 当在上有极大值时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为 ．
13.如图，点，均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为 ．
14.某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得张卡片，每集齐张卡片可升颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关次，则他升星颗数的期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年我国高铁的运营里程单位：万公里统计如下：
年份
年份序号
运营里程
求关于的经验回归方程；
预测年我国高铁的运营里程．
附：在经验回归方程中，
，．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为．
求的方程；
过点的直线与交于，两点，，在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为，求的方程．
17.本小题分
已知函数，．
证明：．
讨论的单调性．
若，求的取值集合．
18.本小题分
在中，，，，分别为，的中点．将沿线段折起，使点到达点的位置，连接，，得到四棱锥，取的中点，连接．
证明：．
如图，当平面平面时，求二面角的大小．
如图，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度．
19.本小题分
已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列．
若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由．
若为的衍生数列，证明：．
若为的衍生数列，证明：．
参考答案
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14.
15.解：由题意得，
，
则，
．
故关于的经验回归方程为．
当时，．
故预测年我国高铁的运营里程为万公里．

16.解：由题意得，的准线方程为，
则，
得．
故的方程为．
易得的斜率存在，设，，．
由得，
得
由题意得．
因为，
或，
所以．
故的方程为或．

17.解：的定义域为，令，得，
则在上单调递增，令，得，则在上单调递减，
所以故．
由，得．
当时，，在上单调递减．
当时，令，得，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增．
当时，在上单调递减，当时，，不符合题意．
当时，．
由可知，当且仅当时，等号成立．
因为，，所以，
所以，得故的取值集合为．

18.解：解：证明：如图，取的中点，连接，．
，，分别为，的中点，
，．
又，，平面，
平面
又平面，．
，，，
二面角的平面角为．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面， ．
易得，，即二面角为．
如图，取的中点，连接，．
由可知，，则．
以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，．
设．
由重心性质可得，，．
为定值，重心在固定平面内运动．
由，，得，
点在圆心为，半径的圆上．
又，点在空间中的运动轨迹的长度为．
19.解：由题意得，则．
因为，
所以，
所以不是的行生数列．
证明：当时，，则．
由及，得，
又，所以．
设，
则，
则，
即，
则．
证明：．
由，
得．
令，得，．
将两边平方，
得，得．
当时，，得．
又，所以．
．
当时，，
得
当时，，
则．
要证，只需证，
即证，
即证，
这显然恒成立，则．
综上，．
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