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北京市第五十七中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若是奇函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为右支上一点．若的一条渐近线方程为，则
A. B. C. D.
5.已知等差数列与等比数列的首项均为，且，，则数列 ( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
6.已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度单位：，记作和氢氧根离子的物质的量的浓度单位：，记作的乘积等于常数已知值的定义为，健康人体血液值保持在之间，则健康人体血液中的可以为参考数据：，
A. B. C. D.
10.已知分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数，则 ，其中复数的虚部为 ．
12.在的展开式中，若各二项式系数的和等于，则 ，此时的系数是 用数字作答
13.若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
14.已知点是边长为的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．
的取值范围是 ；
当取得最大值时， ．
15.已知函数给出下列四个结论：
若有最小值，则的取值范围是；
当时，若无实根，则的取值范围是；
当时，不等式的解集为；
当时，若存在，满足，则．
其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，．
求的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件：的面积为；条件：；条件：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面．
求证：是的中点；
再从条件，条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件：平面平面；
条件：．
18.本小题分
某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩每个充电桩只支持一种充电方式该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表：

从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率；
假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望；
电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为试比较与的大小结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点．
求椭圆的方程和焦距；
已知分别是椭圆和圆上的动点不在坐标轴上，且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点求线段长度的最小值．
20.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
若，求的单调区间；
若，且，证明：．
21.本小题分
已知数列的项数均为，且的前项和分别为，并规定对于，定义，其中，表示数集中最大的数．
若，求的值；
若，且，求；
证明：存在，满足使得．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.
16.解：由正弦定理及，
得
因为，
所以
由得．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
选，的面积为，
即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，
故此时三角形不存在，不能选，
选条件：．
由知，．
所以
，
所以．
因为，所以．
所以，即．
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，
所以．
所以边上的中线的长为．
选条件：．
由余弦定理得，即．
设边上的中线长为，由余弦定理得
，
所以边上的中线的长为．

17.Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，，、平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
因为是的中点，所以是的中点．
Ⅱ解：选择条件：
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选择条件：
在矩形中，，，所以，
又，，所以，即，
因为，，、平面，
所以平面，
后续过程同条件．
18.解：随机抽取个充电桩中，日均使用次数不超过次的有：个，
设事件“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次”，
则．
设事件“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，其所需维护费用为元”，
依题意可得，，，
随机变量的所有可能取值有、、，
，，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故．
快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为，
日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为，
故公用充电桩的个数为，
日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个，
设公用占比为，则公用充电桩的个数为，
由题意可得，解得，故．

19.解：Ⅰ由题意知，，，
，
椭圆的方程为，焦距为．
Ⅱ由直线与轴平行，可设，，则，，
根据椭圆与圆的对称性，不妨取，
，，
直线的斜率为，线段的中点为，
线段的垂直平分线为，
令，则，
圆在点处的切线方程为，
令，则，
线段长度为，
当且仅当，即时，等号成立，
故线段长度的最小值为．
20.解：时，．
所以，，
则所求切线方程为，
即；
由题意得的定义域为，
，
由得：或，
因为，所以，
列表如下：
递减 递增 递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
因为，
又，，
所以，是方程的两个根，
所以，可得，即，
所以
，
令，则，
令，则．
因为，所以，
所以在上是增函数，
所以，所以在为减函数，
所以，即．
21.解：
由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，．
由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，
即，
可得，
则，
则，得，
则．
(ⅰ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有．
若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
(ⅱ)若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有．
若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．

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