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江苏省南京市部分校2026届高三考前训练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，，那么为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.设函数，若在上恰有个零点，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，已知点在动直线： 上的射影为点，则的最大值为
A. B. C. D.
6.在等差数列中，，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
7.某校运动会需要名同学含甲、乙、丙等排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔名同学，则不同的队列排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知双曲线的左、右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点在第二象限若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知正方体，分别是面，平面的中心，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 与是异面直线
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记若，为偶函数，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中所有项的系数之和为 ．
13.已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 ．
14.在平行四边形中，，分别是线段，的中点．记，，则 用和表示；若，则平行四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，．
求证：；
若为的边上的高，求的取值范围．
16.本小题分
已知数列中，，．
设，证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得分，负者得分；若某选手连续局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束设决出冠军时的比赛总局数为．
请在两个问题中选择一个作答：
若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望；
由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大；
经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：
；
当且时，．
19.本小题分
已知，，为单位圆上的动点，为关于的对称点，线段的中垂线与直线交于点，记的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设，是曲线上的两点，直线与单位圆相切试判断：“”是“，，三点共线”的什么条件在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个，并证明你的结论；
若，过的直线与曲线交于，，且的外心在轴上，求直线的斜率．
20.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，过作于，为线段的中点．

证明：平面；
求三棱锥的体积的最大值；
设为四棱锥的外接球的球心，
证明：该球面与三棱锥的侧面的交线长小于；
在二面角，二面角，二面角之中选择一个求其余弦的绝对值的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：由得，
两边同时约去，并由正弦定理得：，
所以，即．
在中，因为，为内角，所以，或．
若，则舍去．
故，即证毕．
由知，由正弦定理得，，又，
所以．
由三角形内角均为正数，即，解得，
所以，
所以．

16.解：在数列中，由，得，，
而，则，，
于是，而，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，，，
则，
所以．

17.解：若选，比赛结束的条件为：某选手连续局获胜；积分率先达到分，
由赛制规则分析可得，，
：前局连胜甲甲或乙乙，
，
：前局交替，第局与第局连胜甲乙乙或乙甲甲，
，
：前局交替，第局与第局连胜甲乙甲甲或乙甲乙乙，此时胜者积分分，
，
：前局交替甲乙甲乙或乙甲乙甲，两人各得分，第局无论谁胜，
胜者积分必达分，满足条件，，
的分布列如下：
，
若选，设乙在单局比赛中获胜的概率为，
甲甲乙乙，
乙甲甲甲乙乙，
甲乙甲甲乙甲乙乙，
甲乙甲乙乙甲乙甲，
令，由且，可得： ，
由基本不等式，，故
则，
，
设 ，其在区间上单调递增，
当即时，取得最大值，
，
故 ，
当时，比赛的平均总局数达到最大．
设这局比赛中，甲获胜局，
由已知，
设，
，
令，
当时，，即随增大而增大；
当时，，即随增大而减小；
，
故是最大值，即的估计值为．

18.解：由，，得，．
若，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
若时，令，得或．
因为，所以，
当，则，单调递减，
当，则，单调递增，
当，则，单调递减；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
由得，当时，，又在上单调递增，在单调递减，所以，即，即 ；
当时，，令，且，得，两边同时取自然对数，得，即，，，，则，即当且时，．

19.解：因为为的中垂线，所以．
又因为为中点，为中点，
所以为的中位线，所以．
从而，
所以点的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线．
设焦距为，长轴长为，，则，，．
所以曲线的方程为．
必要不充分条件，
“”是“，，三点共线”的必要不充分条件，理由如下：
先证必要性：若，，三点共线，则设直线方程为．
由相切，得，所以．
由对称性，不妨设，则．
联立，得．
设，，则．
所以．
故必要性得证．
再证不充分性：由对称性可知，若直线过点，则也为．
比如：直线方程为，过点，根据对称性知满足
从而由不能推出，，三点共线．
综上：“”是“，，三点共线”的必要不充分条件．
法一：中垂线垂径定理

设直线，，．
联立，得，所以
设中点为，则．
所以的中垂线为令，则．
设的外心为，则则由垂径定理，．
又，所以．
即，即．
又，所以，所以．
所以直线的斜率为．
法二：圆的一般方程同解

设的外接圆方程为．
因为圆心在轴上，所以将代入，得．
所以外接圆方程为．
设直线，，．
联立，得，则．
联立，得，则．
所以，所以，所以．
所以直线的斜率为．
法三：对称性圆幂定理
的外心在轴上，所以的外接圆关于轴对称．
由在圆上，得也在圆上．
由圆幂定理得，．
设直线，，．
联立，得，则．
所以．
所以，所以．
所以直线的斜率为．

20.解：证明：因为平面，平面，
所以，，
由于，则是等腰直角三角形，
因为为斜边的中点，所以，
又已知，且，故平面，
因为平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面．
以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
方法一：
在中，，则，
在中，，
由，得，
点在平面内，其坐标为，
，
设，由于在上，设，
即，
则，
由得：，
化简得：，
所以，
代入得，
由知平面，故三棱锥的体积，
因为，，所以，
又，
所以
，
又，
所以，
，
当时，三棱锥的体积取得最大值．
方法二：体积比法
，
又，
所以，
，
由于面积为，，
又，，
故，
下同方法一，得三棱锥的体积取得最大值．
方法三：轨迹法
由知平面，平面，
故，，
点的轨迹落在平面内以为直径的圆周上，
取为体积的高，则，
由于为定值，当面积最大时体积最大，
当面积最大时，为等腰直角三角形，，
由，得，
此时，三棱锥的体积取得最大值．
连接，则由平面，又平面，故，

由知，，，均在以为直径的球面上，球心为的中点，半径，
所以为四棱锥的外接球的球心；
取中点，
因为，
所以为上述球面被平面所截得的截面圆周的圆心，
该球面被三棱锥的侧面的交线为圆心角所对的一段弧，设该弧的长度为的弧度数为，则，
在中，，分别为，的中点，所以，即，
所以，所以，又，
所以．
建系同，求二面角；
方法一：由方法一，设，其中，，
平面即为平面，
其法向量，
设平面法向量，
由，得
取，，，
则，
，
由于，所以，
所以，
由于，，
即二面角余弦的绝对值的取值范围为；

方法二：几何法
取线段的中点，中点，连结，，
由知，平面，，
所以即二面角的平面角，
在中，为的中点，为中点，所以，
在中，为的中点，为中点，所以，
在中，，
由于，所以，故，
即二面角正弦值的取值范围为；
二面角：
设，则，
平面的法向量．，，
由
令，，，得，
由于点在直线上，平面即为平面，
设平面的法向量面的法向量，，，
由
令，则，代入得，得，
取，
则，
因为，所以
故二面角的正弦值的取值范围是．
二面角：在中，作于，则，
由于平面，所以平面，
由，得，故棱平面，
二面角的大小等于，
设，
则，所以，
即，
所以，
所以，
在中，，，所以，
所以，
又，
所以，
令，则，又，所以，
则，
令，
由于，
所以在上单调递减，所以，
所以，即二面角的正弦值的取值范围是．

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