资源简介

山东青岛市2026届高三5月适应性检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为全集，集合，满足，则( )
A. B. C. D.
2.为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择块地作为试验田，这块地的亩产量单位：分别为，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是( )
A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.某机构对三个地区进行基于人工智能的每周跑步时长的调查，已知这三个地区分别有，，的人每周跑步时长在小时以上，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人每周跑步时长在小时以上的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上的值域为，则可以为( )
A. B. C. D.
7.已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知数列的前项和为．．，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在直三棱柱中，，点，分别为线段，的中点，则( )
A. B.
C. 平面 D. 平面
10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，点为线段的中点，则( )
A.
B. 若，则为的一个方向向量
C. 若，则过定点
D. 若，则到轴距离的最小值为
11.函数的定义域为，为偶函数且恒大于，，，，，则( )
A.
B.
C.
D. 对于任意，点到直线与的距离之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数满足，则的虚部为 ．
13.已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为 ．
14.已知实数，，，，满足，且，则当时，的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角、、的对边分别为、、，．
求；
若，且，求的面积．
16.本小题分
某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为分，得分在分以上为优秀，从中随机抽取名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图．
求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数精确到；
以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值．
17.本小题分
如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得．
证明：平面；
点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且过点．
求的方程；
记的左、右焦点分别为，，点和如下构造：在第二象限任取上一点直线交于另一点，直线交于另一点．
(ⅰ)记直线的斜率为，证明：
(ⅱ)设点关于直线的对称点为，探究：是否存在定圆，使得点始终在上？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义函数的“佳点”如下：对动点，当时，，当时，当时，．
若函数写出的一个“佳点”，并说明理由；
若函数的最小值为，其中．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求的横坐标最大的“佳点”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理知
故，即，
即，
又因为，则，所以，
又因为，所以．
由题知
，
因为，所以，则，故，，
由正弦定理知：，即，得，
所以．

16.解：由题知：，
解得，
设中位数为，则，
解得，
故中位数为；
因为样本中分以上的频率为，
故随机变量
所以，，
当最大时，，
得
得
得，
所以，
得，
又因为，
所以当最大时的值为．
17.解：由，得，则，
又，平面，则平面，平面，故，
由，为中点，得，而平面，
所以平面．
作，由得平面，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，
设平面的法向量为，则
取，得，
记直线与平面所成角为，
则
，
当时，；当时，，
当且仅当时取等号，此时最大，
平面的法向量为，，
所以点到平面的距离．

18.解：依题意，，所以，，，故的方程为．
证明：设直线：与交于点，，
由，得，
所以，，
则
当时，对应左焦点，得；
当时，对应右焦点，，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
设直线：，由得，
因为，且，
所以，所以，
所以直线的方程为，
设，则，消可得，
化简整理得圆的方程为．


19.解：“佳点”为，理由：
画出与圆的图像如下图所示：
若，则．
若，由图可知的图像在圆的内部，所以．
若，则，
所以，是的一个“佳点”．
由题知：，得
若，先证，构造函数，
，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以，
所以证毕．
因为，变形得，
所以，当时等号成立，满足题意
若，，
当时，，
当时，，
当时，，不合题意
综上，．
(ⅱ)由得，
先证明是的“佳点”：
因为，
令，
法：先证，构造函数，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，所以证毕．
令，，
，
所以在上单调递增，又因为，
所以当时，，即时，；
当时，，即时，．
法：，
所以，在上单调递增
又因为，，
所以，当时，，，
所以，得；
当时，；
当时，，，所以，得，
所以是的“佳点”．
再证明是的横坐标最大的“佳点”：
假设是的“佳点”，且；
如果，则，点在曲线上，
则，不合题意；
如果，则，考虑点，因为，所以．
根据“佳点”的定义，应有，
但，矛盾．
综上，的横坐标最大的“佳点”为点．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑