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山东省日照市2026届高三下学期5月模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则 ．
A. B. C. D.
3.设是夹角为的两个单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列，则“为等差数列”是“，为常数”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数且，若，则( )
A. B. C. D.
6.在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是
A. B. C. D.
7.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则等于
A. B. C. D.
8.已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则( )
A. 有且仅有一点使二面角取得最小值
B. 有且仅有两点使二面角取得最小值
C. 有且仅有一点使二面角取得最大值
D. 有且仅有两点使二面角取得最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，则
B. 若事件和相互独立，则
C. 已知变量，具有线性相关关系，且线性回归方程是，若，，则
D. 已知，，，的平均数为，方差为，则，，，，的方差为
10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的斜率为
B.
C. 为坐标原点
D. 当取最小值时，
11.已知数列的前项和为，设，其中，令，则( )
A. 数列的通项公式为 B.
C. D. 数列为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.在棱长为的正方体中，为正方体内含表面的动点，若直线与的夹角为，则点的轨迹形成图形的面积为 ．
14.设，，，，，其中，则的零点个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
证明：，，成等差数列；
若，延长至，使得，求．
16.本小题分
如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面．
求证：；
若，再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值．
条件：；
条件：直线与平面所成角为；
条件：的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
设．
设点在曲线上，点在直线上，求的最小值；
若正实数，满足：对于任意，都有，求的最大值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点为，，直线交于，两点，点在上．且当为等腰三角形时，．
求的方程；
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
当为的右顶点时，若，求与轴的交点的坐标；
当过点时，记的费马点为，，，的面积分别为，，，求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，一质点从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为例如在秒末，点会等可能地出现在，，，四点处．
已知点在第秒末没有回到原点，求此时点位于坐标轴上的概率；
记第秒末点回到原点的概率为．
求，，并利用公式，求；
令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称点是常返的．利用公式：，证明：点是常返的．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：由题意，在中，，
即，
即，
即，
故，
由正弦定理，得，
故成等差数列；
由知，若，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
又，则，所以．
因为且，所以为等边三角形，即．
设，则，故．
在中，，，，
则，
所以，则．
16.解：因为四边形为正方形，所以．
因为平面，平面，所以．
因为，所以共面．
又，平面，所以平面
因为平面，所以．
四边形为正方形，且平面所以易得两两垂直．
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设．
由，得恒成立．
此时多面体并不唯一确定，因此条件无效．
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设，所以
直线与平面所成角为，易得平面的一法向量为．
故，解得舍去负值，
设平面的法向量向量，．
由法向量定义得方程组：，．
解得，取，则．
求平面的法向量．
向量，．
由法向量定义得方程组：，．
令，则，，即．
设平面夹角为，则．
平面与平面夹角的余弦值为
选条件
以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由得：，
由，设，
所以，
，
解得舍去负值
设平面的法向量向量，．
由法向量定义得方程组：，．
解得，取，则．
求平面的法向量．
向量，．
由法向量定义得方程组：，．
令，则，，即．
设平面夹角为，则．
平面与平面夹角的余弦值为

17.解：根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移，
当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近，
设切线方程为，切线斜率为 ，
因为 ，则斜率 ，解得 ，即切点为 ；
此时切线方程为 ，即 ，
此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值，
即，
所以的最小值为；
若对于任意，都有，即可得恒成立，
令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，
显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意；
当时，令，解得，
所以当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即满足即可，
即，
由可得，
设，则，
令可得，
即时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
即
所以的最大值为．

18.解：由对称性，不妨设点在双曲线右支上，则，
若，则，，，
又因为，所以，
所以，矛盾，舍．
若，则，，，
解得，，所以双曲线：．
由知．
当直线斜率为零时，设，则，
，，
，
又因为，解得，不符合题意；
当直线的斜率不为零时，设，
由，可得，，
则
，，，
，
即，
或舍，时，满足．
与轴交点的坐标．
设的方程为，
因为过点，所以．
由：变形得，
即，
所以，
整理得，
所以，即．
当，中有一条直线斜率不存在时，假设斜率不存在，，过点可得：，由对称性可知也满足．
综上，恒有，所以费马点在内部，且，
，
又因为，由余弦定理得：
，
所以，
即，
令，，则，所以．
因为所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．

19.解：记事件：点在第秒末没有回到原点，事件：点位于坐标轴上，
由于在第秒末点回到原点的情况有种，则事件包含的情况共有种，
其中点没有回到原点且在坐标轴上的情况有种，即点，，，这四种情况．则，
故点在第秒末没有回到原点，且此时点位于坐标轴上的概率为．
点在第秒末回到原点，；
点在第秒末回到原点有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种，
左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种，
所以；
若点在第秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等，
设左右各移动次，则上下各移动次，
所以
．
证明：由可知：
则
所以，
令，则，
即函数在上单调递减，
所以，即，则，
则对任意正整数都有，
所以
记为不超过的最大整数，
则对任意的实数，当时，，即，
综上，当时，成立，所以点是常返的．

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