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四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（十三）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的导函数是，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该几何体体积为，则其侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在等差数列中，为其前项和若，，则( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间，画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是( )
A. 直方图中的值为
B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为户
C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过
D. 用频率估计概率，从该小区抽取人，则表示用电量不超过的人数，则
10.已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是
A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称
C. 当时， D.
11.已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则( )
A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的常数项为 ．
13.过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则 ．
14.已知点，，，均在半径为的球的球面上，，，，则四面体的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
若成等差数列，求的面积；
若，求．
16.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，．
求的长；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
函数．
当时，求函数在的单调区间；
若存在，使得成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知为抛物线的焦点，为在第一象限上的动点，当时，设的准线与轴交于点，与交于点，，，与交于点，与交于点．
求的方程
求的轨迹方程
若，求的取值范围．
19.本小题分
某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为．
当时，求最终拿到标号为的奖券的概率和拿到标号为的奖券的概率．
若．
求最终拿到标号不大于的奖券的概率；
求随机变量的期望用表示．
当时，证明：．
参考答案
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因为成等差数列，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：，
又，所以，
由得，
所以的面积．
因为，所以，
又因为且，所以，
所以，
所以，所以，
所以，
又因为，所以，所以，所以，
所以．

16.解：如图：
在等腰梯形中，过点作于，过点作于，
因为，则，所以，
连接，在三角形中，由余弦定理得：，
所以，又，所以，
所以，又，且平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，所以．
在三角形中，由余弦定理得：，
所以，由于平面，
所以以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向，
过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
设平面的一个法向量为，
，
，所以
令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
，所以
令，则，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则．

17.解：当时，，可得，
令，可得，
因为和在为单调递增函数，可得在单调递增，
所以，所以在单调递增，
又因为，
所以当时，，时，；
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
由不等式，可得，
故当时，，
因为存在，使得成立，
即在上有解，
令，则有解，
构造函数，则，
当时，；当时，，
所以在递减，在递增，所以，即，
又因为函数在单调递增，
所以当时，可得，即，
所以实数的取值范围为．

18.解：由题意得，，解得其中舍去，
所以 的方程为；
由题意，知，
设，则，
因为，，三点共线，所以，
即，
设，由，得，，
所以，即，
所以的轨迹方程
因为，所以，
因为，
所以，同理，
设，，
则，
，
所以，解得，
又，设，设直线：，
联立得，，
有 ，于是，
解得，即的取值范围是
19.解：拿到标号为的奖券，，即至少有一次抽到，所以．
拿到编号为的奖券，，即没有抽到，且至少有一次抽到，没有抽到的概率为，
没有抽到且全抽到的概率为，．
所以最终拿到标号为的奖券的概率是，最终拿到标号为的奖券的概率是．
拿到编号不大于，，即每次抽到的编号都小于等于所以，，，，．
，，，，，
所以随机变量的期望
。
当时，为有放回抽取次的最大标号，取值为，，，。
由为正整数，其中时。
故令。
要证，只需证。
当时，故。
当时，，
下证：
即。
时，左，右，等号成立；
时，，不等式成立。
又，
故，结论成立。
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