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模拟冲刺试题 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．如果零上记作，那么零下记作（ ）
A． B． C． D．
2．2025年12月12日7时，我国在海南商业航天发射场使用长征十二号运载火箭，成功将卫星互联网低轨16组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．此次执行任务的运载火箭是我国首款4米级单芯级运载火箭，它高度近62米，起飞质量433吨，起飞推力约5100000牛，其中5100000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，点B、D均在直线a上，点A在直线a的上方，连接、，延长交直线b于点C，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（ ）
A．13 B．13或17 C．17 D．12或16
7．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与点B，C重合），连接，，，且，，M为的中点，连接，．则下列结论错误的是（　　）

A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6
C．的面积最大为25 D．的面积恒为12
二、填空题
11．计算：=___．
12．方程的解是 __________．
13．在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________．
14．若，则________．
15．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
16．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转．
（1）________；
（2）用和的代数式表示：________．
三、解答题
17．解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和．
18．无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）．
(1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出．
(2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出．
(3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使．
19．为推动宁夏文旅高质量发展，某研学小组对辖区内学生最喜爱的本土景区开展抽样调查，调查分为四类：A．西夏王陵、B．镇北堡西部影城、C．沙坡头、D．览山公园，每人只能选择最喜爱的一个景区．调查小组随机抽取若干名学生的调查结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
等级 频数 频率
A
B
C
D
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)________，________；
(2)若给四类景区喜爱程度打分：A西夏王陵5分、B镇北堡西部影城4分、C沙坡头3分、D览山公园2分，求本次抽样调查中所有学生打分的加权平均数；
(3)研学小组抽取名学生，其中喜爱A类的人，喜爱B类的人，喜爱C类的人，若从这人中随抽取人，请用画树状图法或列表法，求抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率．
20．今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面．
(1)若忽视机器人手臂，，，求的度数；
(2)如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离．
（参考数据：，，，，结果精确到）
21．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的面积．
22．宁夏银川的八宝茶是特色饮品，某茶社分装两种规格的八宝茶包：
分装包尊享八宝茶包需要配料克
分装包便携八宝茶包需要配料克
(1)某天茶社刚好用完了克配料，请问当天两种茶包各分装了多少包？（两种茶包都有分装）
(2)茶社计划分装包这两种茶包，且使用的配料总量不超过克．已知一包尊享八宝茶包的利润为元，一包便携八宝茶包的利润为元．请问分装多少包尊享八宝茶包时，总利润最大？最大利润是多少？
23．数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数．
例如：，，所以、都是平方和数．
根据上述定义，完成下列问题：
(1)判断、是否为平方和数，并说明理由；
(2)若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的；
(3)求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数．
24．如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标．
(3)如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标．
26．综合与实践
【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表：
角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理
， ， ， ，
【归纳总结】
（1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．
他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）：
①________；②________；
【知识迁移】
（2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形；
（3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论；
【拓展延伸】
（4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C D C C C B D C
1．D
【分析】本题考查正数和负数的意义，零上和零下是一对相反意义的量，已知零上用正数表示，即可推出零下的表示方法。
【详解】解：∵正负数用于表示相反意义的量，零上记作 ，
∴零下记作 ．
2．A
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查整式的加减运算，需根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；
B、，但右边为，故B错误；
C、，故C正确；
D、，不等于1，故D错误；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标．
【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为．
横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位；
纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位．
点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）：
横坐标：；
纵坐标：．
因此，点 的坐标为．
故选D
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，理解题意是解决本题的关键．根据平行线的性质可得，进而通过三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义及分类讨论是解题的关键．
分两种情况讨论，当等腰三角形的腰长为，当等腰三角形的腰长为，再分别得到三角形的三边，结合三角形三边的关系，从而可得答案．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，3，7，
，故围不成三角形；
当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：3，7，7，
，能围成三角形；
∴它的周长为．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．先利用角平分线性质得，将周长转化为求出；再通过证明得，设，用勾股定理列方程，解得．
【详解】解：∵是的角平分线，， ，
∴(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
∵的周长，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
在和中：
，
∴，
∴，
设，则， 即，
在中，由勾股定理：代入得：，
解得：，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定，
根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则A正确，C正确；
∵，
∴，
∴，则D正确．
不一定相等，则B不正确
故选：B．
9．D
【分析】根据增长率规律列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次，
可列方程为．
10．C
【分析】根据相似三角形的性质即可判断A，证明A、B、P、D四点共圆，得出，再证明，得出，从而即可判断B；
设,用表示出,由此即可判断C；
证明，求出,表示出，由等面积法得出，结合勾股定理得出，证明，求出，再由的面积计算即可得解．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质, 添加适当的辅助线是解题关键．
【详解】解：在四边形中，，，，P为边上一点（不与点B，C重合），
由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，即，故选项A正确；
当时，，即，
∵，
∴，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴周长为，故选项B正确；
设，则，，
即，
∴，
∴当时，的面积最大为，故选项C错误；
∵，，
∴，
∴，
∴,
由题意可得：
，
∵作于E，于F，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，
∵∠MPF＝∠APB，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：，故选项D正确；
故选：C．
11．﹣2
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案为：-2
12．
【分析】此题考查了解一元一次方程．利用移项、系数化为1的步骤进行解答即可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
系数化为，得 ，
故方程的解是．
故答案为：
13．
【分析】以为轴旋转得到圆锥，圆锥底面圆的半径等于的长度，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，代入半径计算即可．
【详解】解：在中，，以所在直线为轴旋转得到圆锥，
圆锥底面圆的半径，
圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
弧长．
14．
【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果．
【详解】解：，
，
∴
．
15．128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出，，由得到，求出，求出在中，根据即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
由题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
16．
/
/
【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证；
（2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得．
【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
．
17．不等式组的解集为；；
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；
∴所有整数解有，
∴所有整数解的和为．
数轴见答案
18．(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到；
（2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到；
（3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：如图所示，点D即为所求：
过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴点D即为所求．
19．(1)，
(2)本次抽样调查中所有学生打分的加权平均数为分
(3)抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率
【分析】（1）根据总数＝即可得；
（2）加权平均数即可得（为数据，为每个数据对应的权）；
（3）根据题意列出表格，根据概率公式：概率．
【详解】（1）解：所抽取样本总人数（人），
，；
（2）
（3）设喜爱A类的学生为A，喜爱B类的学生为，，喜爱C类的学生为C，列表格如下：
第二次第一次 A C
A
C
如上表所示，一共有12种等可能的情况，其中抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”有2种，所以抽取的人均喜爱“B．镇北堡西部影城”的概率．
20．(1)
(2)
【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H，
在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点E到的距离约为
答：点到地面的距离约为．
21．(1)证明：由作图知，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
(2)．
【分析】根据作图由作图知，由四边形是平行四边形，则，所以，则有，然后证明，得，所以，可得四边形是平行四边形，又，从而有四边形是菱形；
作于，则，由四边形是菱形，得，，所以，是等边三角形，则有，，然后通过直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，最后通过的面积为计算即可．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，作于，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
22．(1)当天分装尊享八宝茶包3包，便携八宝茶包5包．
(2)分装62包尊享八宝茶包时，总利润最大，最大利润是636元．
【分析】（1）设尊享八宝茶包x包，便携八宝茶包y包，根据“茶社刚好用完了克配料”，列出方程，即可求解；
（2）设分装m包尊享八宝茶包时，总利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设尊享八宝茶包x包，便携八宝茶包y包，根据题意得：
，
∴，
根据题意得：x，y为正整数，
∴，
答：当天分装尊享八宝茶包3包，便携八宝茶包5包；
（2）解：设分装m包尊享八宝茶包时，总利润为w元，根据题意得：
，
∵使用的配料总量不超过克，
∴，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为62，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
答：分装62包尊享八宝茶包时，总利润最大，最大利润是636元．
23．(1)解：13是平方和数，14不是平方和数，理由如下：
∵，
∴13是平方和数，
∵，
∴14不是平方和数；
(2)解：
(3)证明：设这两个平方和数分别为，
∴
，为平方和数，
即两个平方和数的乘积仍是平方和数；
【分析】（1）根据平方和数的定义解答即可；
（2）根据平方和数的定义解答即可；
（3）设这两个平方和数分别为，可得，即可求证．
【详解】（1）略
（2）解：当时，，此时不满足题意；
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时不满足题意；
所以所有符合条件的k的值为；
（3）略
24．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角可得，即可判定，结合，即可求出结论．
（2）过点作的垂线，垂足为，根据角平分线的性质定理可得，结合直径所对的圆周角为直角和勾股定理即可得，求解得，进而可得半径．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵的平分线交于点E，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为圆的半径，
∴为的切线．
（2）解：过点作的垂线，垂足为，即，
∵为的角平分线，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
解得：，
∴，
∴的半径为．
25．(1)
(2)
(3)最大值为，
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，证明，得，设点M的坐标为，由，有，即可解得点M的坐标；
（3）过点M作轴交于点H，作于点G，求出，，得，设点M的坐标为,可得，，故，根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点M的坐标为,，
在中，令得，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴直线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），，
∴点M坐标为；
（3）过点M作 轴交于点H，作 于点G，如图：
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，得，
∴PMPG，
∴，
∴，
设点，
由得直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
26．（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等；（2）见解析；（3）成立，理由见解析；（4）
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键．
（1）利用筝形的定义解答即可；
（2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可；
（3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论；
（4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；
故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等；
（2）证明：如图1，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的正方形，
，，
，
∴，
，
∴四边形是筝形；
（3）解：四边形是筝形；
理由：如图2，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是筝形；
（4）解：如图3，
由（2）知四边形是筝形，
，，
点A，E在线段的垂直平分线上，
，
，
点O在以为直径的半圆上运动，
取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，，
，
当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为．
∵正方形的边长为6，，
，M为的中点，
，，
的最小值．
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