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模拟冲刺速练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．下列文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．六瓣圆玫瑰线 B．黄金螺旋线
C．三叶玫瑰线 D．三叶圆玫瑰线
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将两个平面镜按如图所示的方式摆放，光线经过平面镜两次反射后得到光线，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．某科技馆推出了量子计算、AI大模型、脑机接口三个前沿科技体验项目．若参观者要从中选择两个项目进行体验，则该参观者选到量子计算体验项目的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．山西博物院某文创商店热销两款经典文创产品：晋侯鸟尊钥匙扣与雁鱼铜灯书签．已知购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元．设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表：
x 0 1 5
y 0 5 9 8 5
则下列关于该二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．当时，y的取值范围为
C．一元二次方程有两个相等的实数根
D．图象的对称轴是直线
8．如图，平面直角坐标系中，，，轴，将沿折叠得到，点的对应点为点，将绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．图甲是药液自动添加模拟装置，装有药液的容器置于压敏电阻上保持水平接触挤压．阻值与所施加压力的关系图线如图乙所示，图丙是压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系图象，则以下说法错误的是（ ）
A．当药液质量增加时，阻值也增大
B．当压敏电阻增大时，最大电功率减小
C．当药液质量增加时，最大电功率也随之增大
D．压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系为反比例函数
10．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，点是正方形内部一点，且满足，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，连结．则下列结论错误的是（ ）
A． B．线段的最小值为
C．线段的最大值为 D．的最小值为
二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围为__________．
12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_________．
13．在化学实验课上，老师给出5种变化描述，分别是：①冰雪融化；②纸张燃烧；③酒精挥发；④玻璃破碎；⑤钢铁生锈．小明从中随机抽取2种变化均为化学变化的概率是________．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线经过边的中点D，若，则_____．
15．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________．
三、解答题
16．计算：．
17．解不等式组并写出所有的正整数解．
18．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与交于点．求证：．
19．综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处．
【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得．
①由上可在中推理求得 ；
②求B，E之间的距离．（参考数据：，，）
20．如图，是的外接圆，是直径，，连接，与相交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D：
通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图：
已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89．
根据上述信息，解答下列问题：
(1)八年级成绩的中位数是___________；
(2)若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数；
(3)小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由．
22．野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋）
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值．
(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元．
23．定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股点．已知点M、N是线段的勾股点，若，，则或，所以的长为或．
(1)【类比探究】如图2，是的中位线，M、N是边的勾股点（），连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的勾股点．
(2)【知识迁移】如图3，C，D是线段的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求证：是的切线．
(3)【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的勾股点．
24．对于抛物线（），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”．
(1)若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围．
(2)如图1，抛物线与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”为等边三角形．
①求的值；
②如图2，若该抛物线经过点，的平分线交于点P，点M为射线上一点．连接直线交射线于点N，求的值．
25．将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E．
(1)猜想与的数量关系，并证明；
(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D B C D C C
1．A
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
解：、六瓣圆玫瑰线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
、黄金螺旋线既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
、三叶玫瑰线是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
、三叶圆玫瑰线是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
2．C
对于A选项，∵同底数幂相除，底数不变指数相减，，∴A不符合题意；
对于B选项，∵同底数幂相乘，底数不变指数相加，，∴B不符合题意；
对于C选项，∵积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变指数相乘，，∴C符合题意；
对于D选项，∵与不是同类项，不能合并，，∴D不符合题意．
3．D
解：由反射的性质得，，
∴，
∵，
∴．
4．C
本题考查了运用列表法或树状图法求概率．将“量子计算”、 “AI大模型”、 “脑机接口”三个前沿科技体验项目分别记为A，B，C，画树状图并结合概率公式求出相关概率即可．
解：将“量子计算”、 “AI大模型”、 “脑机接口”三个前沿科技体验项目分别记为A，B，C，
画树状图如下：

共有6种等可能结果，其中该参观者选到“量子计算”体验项目的结果有4种，
∴该参观者选到量子计算体验项目的概率为．
5．D
设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，根据“购买3个晋侯鸟尊钥匙扣和2个雁鱼铜灯书签共需159元；购买1个晋侯鸟尊钥匙扣和5个雁鱼铜灯书签共需144元”，列方程组求解即可；
解：设1个晋侯鸟尊钥匙扣的价格为x元，1个雁鱼铜灯书签的价格为y元，
根据题意可得：．
6．B
先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
7．C
先利用表格中函数值相等的点得到对称点，求出对称轴，再代入点坐标求出二次函数解析式，最后逐一判断各选项正误．
解：∵时，时，
∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误．
∵时，
∴．
将，代入得，
又∵对称轴公式为直线，
∴．
联立方程得
解得，
∴二次函数解析式为．
∵，
∴图象开口向下，选项A错误．
当时，时取得最大值，端点时，
∴的取值范围是，选项B错误．
∵二次函数顶点坐标为，
∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确．
8．D
根据折叠性质求出的长度及的度数，确定点的初始位置；根据旋转规律得出每6次旋转为一个循环周期，计算除以的余数，确定第次旋转后点的位置，进而求出坐标．
解：，
，
将沿折叠得到，
，
，，
，
初始位置点的坐标为，即 ，
每次逆时针旋转，，
点的位置每6次旋转为一个循环周期，
，
第次旋转结束时点的位置与第4次旋转结束时的位置相同，
点在第四象限，且与轴正半轴夹角为，
点的横坐标为，纵坐标为 ，
点的坐标为．
9．C
由图乙分析与压力的关系，判断A选项；由图丙数据计算与的乘积，确定函数关系，判断D选项；根据串联电路功率极值条件及图丙规律，分析变化时的变化趋势，判断B、C选项
解：由图乙可知，随压力的增大而增大，当药液质量增加时，压力增大，则阻值增大，故A说法正确；
由图丙可知，当时，，；当时，，，
所以，即与成反比例函数关系，故D说法正确；
在串联电路中，当时，消耗的电功率最大，最大值为，图丙反映的正是这一最大功率与的关系，由可知，越大，越小，
当药液质量增加时，增大，若要使获得最大功率，需调节，此时也增大，导致减小，
所以当增大时，减小，故B说法正确，C说法错误．
10．C
由 可得，判断A；点在以为直径的圆上，连接交圆于点，此时最小，判断B；证，得，点在以为直径的圆上，进而可求出的最大值，判断C；由，得 ，当共线时最小，判断D．
解：选项A，如图1，，
点在以点为圆心，为直径的 上，
，故A选项不符合题意；
选项B， 点在以为直径的上运动，半径， 如图2，连接交于点，此时最小，
在 中，，
，故B选项不符合题意；
选项C， 如图1，由旋转性质可得，，
，
，
在和中，
，
，
，，
点在以为直径的上运动（为中点），半径，
如图3，连接并延长交于点，此时最大．
是中点，
，
，，
，
，故C选项符合题意；
D选项， ，
当三点共线时， 最小，最小值为，如图4．
，
此时点为正方形中心，满足，
的最小值为，故D选项不符合题意．
解决与最值有关的问题时，首先要掌握有关问题有哪些常见的类型，每一种类型的本质特征是什么；遇到不熟悉的类型时要注意通过转化的方法，把不熟悉的类型转化为熟悉的类型．
11．
本题考查分式有意义的条件，分式有意义等价于分母不为零，据此列出不等式即可求解得到的取值范围．
解：∵分式有意义时，分母不能为零，
∴，解得：．
故答案为：．
12．且
根据一元二次方程根的判别式，以及二次项系数不等于0，即可求出k的取值范围．
解：根据题意，
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：且；
故答案为：且．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程在Δ≥0时有两个实数根，本题属于基础题型．
13．
先区分化学变化与物理变化，根据概率公式，求解即可．
解：②纸张燃烧、⑤钢铁生锈属于化学变化；①冰雪融化、③酒精挥发、④玻璃破碎属于物理变化；
从5种变化中随机抽取2种的所有可能情况为：①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、②⑤、③④、③⑤、④⑤，共10种；
其中抽取的2种均为化学变化的情况只有②⑤这1种；
故所求概率为．
14．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特征，
过点A作于E，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求得，即可得出点A和点C的坐标，再根据中点坐标公式即可求出点是D的坐标，从而可得结论，
解：如图，过点A作于E，
∵等腰直角三角形的斜边轴于点B，
∴，
∴，
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
15．3或
本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
分三种情形，当或或时，画出图形来解答．
解：当时，
∵将沿折叠到，
．
．
∴点A、、三点共线．
∵，D是的中点，
∴，
，
∴．
∴．
设，则．
∵在中，，
∴．
解得．
．
当时，，
∵，
．
．
当时，
∵，
∴当时，四边形是矩形．
∴．
但，
∴矛盾．
∴不可能为．
综上，或．
故答案为：3或．
16．
本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
解：原式
．
17．，，
本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
解：
解得：，
解得：．
∴不等式组的解集是：．
∴正整数解是：，，．
18．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
结合平行四边形的性质证明，由全等三角形的性质即可证明．
略
19．(1)
(2)①；②B，E之间的距离为
本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质：
（1）利用正切的定义即可求解；
（2）①根据，求出，由题意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定义即可解答；②由①知，四边形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解．
（1）解：由题意可得，
则，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①∵在中，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
②由①知，四边形是矩形，由（1）知，
∴，
∴，
答：B，E之间的距离为．
20．(1)证明见解析
(2)3
本题考查了圆与三角形的综合问题、切线的判定以及解三角形：
（1）先根据边长之间的关系得到相等的角，再根据圆周角定理得到角度之间的关系，最后证得，即可求得结果；
（2）先根据角度之间的关系得到，然后根据正切值设出边长，再根据勾股定理求得结果；
准确找到角之间的关系是解题的关键．
（1）证明：∵是直径，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
解得：（舍去），
∴．
21．(1)
(2)七年级测试成绩的平均数为分；
(3)七，理由见解析
本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）利用中位数的意义解答即可．
（1）解：八年级A等级人数为：（人），
把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83，
故中位数为，
故答案为：；
（2）解：（分），
答：七年级测试成绩的平均数为分；
（3）解：七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生．
故答案为：七．
22．(1)60
(2)至少购进B品牌100袋
本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键．
（1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可；
（2）设购进B为m袋，A为袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．
（1）解：由题意可得：，解得：．
经检验：是原方程的解．
答：x的值为60．
（2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得：
，
解得：．
答：至少购进B品牌100袋．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）由是的中位线，可知，则D、G、H、E分别为各边中点，得到、、分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证；
（2）如图3，连接，，根据勾股点的定义可得，由圆周角定理可知，由勾股定理得：，得和各角之间的关系，从而计算的度数，得出结论；
（3）根据点在反比例函数上，得，分别表示，，，，根据和和是等腰直角三角形利用勾股定理可得结论．
（1）证明：如图2，
∵是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴、、分别是、、的中位线，
∴，，，
∵M、N是边的勾股点（），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴G、H是线段的勾股点；
（2）证明：如图3，连接，，
∵，
∴，
∴，
∵C，D是线段的勾股点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
解得，
则；
∴；
∴，
又∵；
∴，即，
∴是的切线；
（3）证明：∵点在反比例函数上，
∴，
∵，，
∴，，，，
由题知：，，
∴，
，
∴，
∴E、F是线段的勾股点．
24．(1)
(2)①6；②
（1）根据抛物线的“内接三角形”定义知：要使抛物线有内接三角形，必须，即，据此求解即可；
（2）①设，则，根据一元二次方程根与系数关系及抛物线顶点坐标可得：，顶点，过点D作轴，垂足为C，利用等边三角形性质建立方程求解即可；
②把点代入，得：，再由，可得，再由为等边三角形，平分，利用三角函数定义即可求得，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴，可证，，再根据相似三角形的性质可得，再根据三角函数定义求出即可得解．
（1）解：∵抛物线有“内接三角形”，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
（2）解：①设，则是方程的两个根，
所以，，
∴，
由顶点坐标公式可得：，
∵是等边三角形，
∴，
如图，作轴于点C，则，，
在中，，
∴，
两边平方得：，
即，
整理得：，
解得：或9，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，解得，
∴；
②∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，
∴解析式为，
∴，
∴，即，
∵平分，是等边三角形，
∴，，
∴，
如图，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
如图，作于G，则，
∵，
∴．
本题考查了二次函数图象和性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形性质，三角函数等，熟练掌握相关知识，理解新定义，灵活运用方程思想是解题关键．
25．(1)，见解析
(2)见解析
(3)或
（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明；
（2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可．
（1）解：，理由如下：
四边形与四边形都是矩形，如图①，连接，
，
，
即，
将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图2：连接，
根据旋转的性质可得：，
四边形是矩形，
，，，
即，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，当点，在的同一侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
如图4：当点，在的异侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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