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期末复习模拟试题 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（ ）
A．，
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．
4．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表：
成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60
人数（人） 2 5 6 6 8 6 7
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是55分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分
6．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．当时，
C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限
7．在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为( )
A．4 B． C． D．
9．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（ ）
A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高
B．该植物最高为
C．线段的函数表达式为
D．第40天，该植物的高度为
10．正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤
二、填空题
11．点到轴的距离是_________．
12．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________．
13．为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________．
14．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度．
15．在梯形中，，点P是射线的一动点（点P不与点B重合），连接，点E是对角线的中点，点F是的中点，若，，，则x与y的函数关系为 _____________．
16．如图，在中，是的角平分线．（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F．（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．（4）作射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．（6）连接、，分别交、于点N、P．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的是_________（填序号）．
三、解答题
17．先化简，再求值： 其中
18．物体在匀速直线运动中，路程．某物体运动速度恒定，运动3分钟路程为1800米；运动5分钟路程为3000米．
(1)求该物体运动速度；
(2)若路程不低于2400米，设运动时间为x分钟，列出不等式并求x的取值范围．
19．由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内）
20．如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
21．每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2
中位数 8 8.5
众数 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题．
(1)补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________；
(2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？
(3)为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）
22．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．
(1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？
(2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
①求与的函数解析式；
②求学校租车最少的总费用．
23．已知，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
(1)直接写答案：________
(2)计算：；
(3)若，求的值．
24．阅读理解：
【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
(1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）；
(2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
(3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______．
25．【问题提出】
如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系．
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
(2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
【问题拓展】
(3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C D A C C B D
1．C
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义
∴
解得．
2．B
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：对于选项A，
∵，三角形内角和为，
∴，
∴是直角三角形，
∴A不符合题意；
对于选项B，
∵，设，
则，根据三角形三边关系判断不是三角形，更不是直角三角形，
∴B符合题意；
对于选项C，
∵，，
∴，
整理得，
∴，是直角三角形，
∴C不符合题意；
对于选项D，
∵，
∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形，
∴D不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】利用矩形和菱形的判定、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．平行四边形中，，，故该选项正确，不符合题意；
B. 若，则平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
D. 平行四边形中，但不一定成立，故该选项不正确，符合题意；
4．C
【分析】根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可.
【详解】解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，
∴．
5．D
【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答．
【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意；
B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意；
C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意；
D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意．
6．A
【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论．
【详解】解：对于一次函数，可得，．
A选项：∵，
∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意；
B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意；
C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意；
D选项：∵，，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意．
7．C
【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再结合图形可知与两个正九边形的内角组成一个周角，利用周角定义即可求解．
【详解】解：正九边形的内角和为，
正九边形的每个内角为，
由图可知，点是中间围成的多边形的顶点，
且在点处，与两个正九边形的内角拼接成一个周角，
．
8．C
【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到，由，得到，因此，即可求出．
【详解】解：作于交延长线于G，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
9．B
【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D．
【详解】解：A、∵直线平行于x轴，
∴50天后该植物的高度没有发生变化，
∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意；
C、设当时，y与x的函数表达式为，
则，
∴，
∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意；
B、在中，当时，，
∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意；
D、在中，当时，，
∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意；
10．D
【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤．
【详解】解：①∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴四边形的周长，是定值，故①正确；
②如图，连接，
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴
∵四边形是矩形
∴
∴，故②正确；
③∵四边形是矩形
∴
∴在中，
∴四边形不可能是菱形，故③错误；
④如图，延长交于点G
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴，即
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴，故④正确；
⑤当F运动到的中点时，
设，则
∵
∴
∴
∴
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤．
11．
【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】解：∵点的纵坐标为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，
∴，
∴点到轴的距离为．
12．
8
【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系．
方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可．
【详解】解：数据个数，离差平方和，
∴方差．
故答案为：8．
13．
【分析】根据题意可知点分别是的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，代入数据计算即可．
【详解】解：点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
．
14．
【分析】根据题意利用证明即可．
【详解】解：在正方形中，，，
∴在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．或
【分析】根据中位线的性质得出，分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，分别写出x与y的函数关系即可．
【详解】解：∵点E是对角线的中点，点F是的中点，
∴，
当点P在线段上时，，
∴；
当点P在线段的延长线上时，，
∴；
即x与y的函数关系为：或．
16．①②/②①
【分析】①由等腰三角形三线合一的性质即可判断；②由作图可得，，，由在中，，，可得，则，过点作于点，可得四边形是矩形，，即可判断；③利用三角形的外角定理可得和的度数，即可判断；④设，则，可得，即可判断．
【详解】解：①∵在中，，是的角平分线，
∴，故①正确；
②由作图可得，，，
∵在中，，，
∴，
∴，
如图，过点作于点，则，
∵在中，，，是的角平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，故③错误；
④设，则，
由②可知，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，正确的是①②．
17．，
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
18．(1)该物体运动速度为600米/分钟；
(2)，．
【分析】（1）根据得到，进而计算即可；
（2）根据列不等式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴该物体运动速度为（米/分钟）；
（2）解：由题意得：，
解得．
19．折断前甲树的高度为
【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度．
【详解】解：过点作交的延长线于点，，，
由题可知，
在中，，
，
在中，，
，
折断前甲树的高度为．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据是边上的高，得出，则．结合，得出．即可得，即．结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形．
（2）根据四边形是菱形，得出，结合，得出是等边三角形，则，由勾股定理得 ，再根据四边形的面积求解即可 ．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，即．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
∴四边形的面积 ．
21．(1)图见解析，，
(2)25名
(3)B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
【分析】（1）先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可；
（2）用样本估算总体方法求解即可；
（3）比较两班平均分或中位数大小即可得出结论．
【详解】（1）解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
22．(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名
(2)①；②最少是2800元
【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
（2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，进一步确定关于的函数解析式即可；②根据题意，得，求解可得的取值范围，然后结合一次函数的性质，易得随的增大而增大，故当时，学校租车总费用最少，即可获得答案．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，
根据题意得：，解得，
答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名；
（2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，
∴租车的总费用；
②根据题意，得，
，
在中，
，
随的增大而增大，
∴当时，，
∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元．
23．(1)
(2)44
(3)3
【分析】（1）分子分母同乘以即可；
（2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可；
（3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：原式
．
（3）解：∵，
∴
．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断；
（）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标；
（）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得．
【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ，
因此等距点在的垂直平分线上，
四个点中横坐标为的是、 、 ，
∴这三个是等距点，
“完美等距点”还需要满足 ，
由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合；
同理可得：
： ，不符合；
： ，不符合；
∴完美等距点只有；
（2）解：∵在上，
∴，
∵在第三象限，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
，
解得：，
∴ ，即 ，
设 ，是的等距点，
∴，即：，
整理，得 ，
解得：，
∴坐标为；
（3）解：∵点是直线上，
∴ （，第一象限），
∵点是线段的“完美等距点”，
∴满足，，
此时四边形为正方形，
∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．
如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点，
∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上，
当点与点重合时，
∵，点的坐标为，
∴，，
∴
∴,
∴，
∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时，
∴.
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案.
【详解】（1）解：过点作交的延长线于H，
∵，
，，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵菱形，
∴，
，
，
．
（2）解：在上截取，使，连接．
，，
．
，
．
．
∵菱形，，
，，
，，
．
∴，
.
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．
由（2）得：，
∴，
∵菱形，，点E为边的中点，
∴，，
∴，，
同理：，
，，
∴，，
，，，
∴，
结合（2）可得：，
，
，
∴ ，
∴.
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