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期末复习专题-- 不等式与不等式组专题练（重点知识点）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．方程和不等式的解是一样的
B．不是不等式的解
C．是不等式的一个解
D．是不等式的解集
5．不等式组，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．若不等式组无解，则m的值可能为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．3月12日是我国的植树节，某校学生会组织七年级和八年级共65名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植2棵树，八年级学生平均每人植4棵树，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需（ ）
A．50名 B．45名 C．40名 D．35名
9．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车已知搭公交车每移动公里产生的碳排放量为公斤，驾驶汽车每移动公里产生的碳排放量为公斤假设小玲每天上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，则她至少要搭公交车上下班（ ）天．
A． B． C． D．
二、填空题
10．关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ．
11．不等式的解集中最大的整数是_______．
12．点在第四象限，则的取值范围是_____．
13．关于x的不等式组中各不等式的解集在数轴上分别如图所示，则该不等式组的解集为______．
14．不等式组所有整数解的和为________．
15．某工程队计划在10天内共栽1500棵树，开始4天，受天气影响，每天只能完成105棵树．后来天气转好，为了按期或提前完成，天气转好后平均每天至少要栽种__棵树．
三、解答题
16．解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
17．先解不等式：，再判断是否为该不等式的解，并说明理由．
18．在六一游园活动中，一个摸卡片比大小的数学游戏引起了同学们的兴趣，其游戏规则是：有30张相同的卡片，卡片上分别写有1，2，3，4，…，30，将卡片打乱顺序后正面朝下放在桌面上，参与者从中抽取四张不同的卡片给主持人，根据主持人报出的若干个两张卡片上的数字之和推出这四张卡片的大小．若这四张卡片分别记为A，B，C，D，其中若干个两张卡片上的数字之和如下表所示．
卡片编号 A，B B，C C，D D，B
两数和 m
【备注：卡片的大小指的是卡片上的数的大小】
(1)比较卡片A和C的大小，说明理由；
(2)请推断出哪张卡片最大，并说明理由．
19．已知关于，的方程组（是常数），
(1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值；
(2)若，满足，试化简：．
20．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
(1)若，求的取值范围；
(2)已知，求的取值范围．
21．（1）已知关于x，y的方程组，若的值为非负数，的值为正数，求的取值范围．
（2）已知，，且，求的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．
(1)若点在轴上，求m的值；
(2)若点到坐标轴距离相等，求m的值；
(3)判断是否可能在第三象限，如果可能，求出m的取值范围，若不可能，请说明理由．
23．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题：
(1)填空：①______（为圆周率）；
②如果，则实数的取值范围为______；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围．
24．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种：
方案 优惠方案
方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元
方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费
设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数）
(1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元；
(2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？
(3)方案一比方案二最多优惠___________元．
25．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
26．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D C D A B B C
1．B
【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断．
【详解】解：A、因为，所以，本选项不符合题意；
B、因为，所以，本选项符合题意；
C、因为，所以，本选项不符合题意；
D、因为，所以，本选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式有且只有2个负整数解，
∴负整数解有：，
∴，
解得：，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
根据系数化为1时，不等号的方向改变可知，然后可得答案．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查不等式的解，一元一次方程的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；根据不等式的解进行排除选项．
【详解】解：A、解得，解方程得，则方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误；
B、解得，由，则是不等式的一个解，故原说法错误；
C、解得，由，则是不等式的一个解，故原说法正确；
D、解得，由，则是不等式的一个解，不是不等式的解集，故原说法错误；
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可．
【详解】解：不等式组的解集为，
利用大小小大取中间，且包括3和4，取实心点，
故选：D ．
6．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解．
首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求．
【详解】解：对不等式进行求解，
可得，即．
对不等式进行求解，
可得，即．
因为不等式组无解，
所以，解得．
选项A中，，满足．
选项B中，，不满足．
选项C中，，不满足．
选项D中，，不满足．
故选：A ．
7．B
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出m的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
由①得，；
由②得，，
在数轴上表示为：
故选：B．
8．B
【分析】本题考查用一元一次不等式解决实际问题，解题关键是根据题意列出不等式．设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由“保证植树总数不少于220棵”列出不等式求解即可．
【详解】解：设需要x名八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，
由题意得，
，
解得，，
∴八年级学生参加活动的人数至少需45名．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班x天，利用减少产生的碳排放量每天减少产生的碳排放量改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设改搭公交车上下班x天，根据题意得：
，
解得：，
又∵x正整数，
∴x的最小值为308，
∴至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量．
故选：C．
10．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，
根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵关于x的一元一次不等式的解集是．
∴，
∴满足条件的m值可以是.
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解不等式，再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可，熟练掌握一元一次不等式解法是解题的关键．
【详解】解：
，
∴解集中最大的整数是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标为负数，列出不等式求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．根据“同小取小”可得答案．
【详解】解：由数轴知该不等式组的解集为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键；
分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分得不等式组的解集，从而可确定所有整数解，继而求得所有整数解的和．
【详解】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
所以不等式组的解集为，
则整数解为，其和为；
故答案为：．
15．180
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用．根据题意结合按期或提前完成任务得出不等关系，进而求出答案．
【详解】解：设天气好转后平均每天栽种x棵，根据题意可得：
，
解得：．
答：为了按期或提前完成任务，至少每天要栽种180棵．
故答案为：180．
16．；见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
解集表示在数轴上如下：
17．，不是，理由见解析；
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，先按照解一元一次不等式的步骤求解，再结合判定结果即可．
【详解】解：
，
；
∵，
∴不是该不等式的解．
18．(1)卡片A小于卡片C，理由见解析
(2)B卡片最大，理由见解析
【分析】本题考查整式的加减，不等式的性质，掌握“求差法”比较大小是解题的关键．
（1）由题意可得，，将得到即可求解；
（2）同（1）思路，比较出，，即可解答．
【详解】（1）解：卡片A小于卡片C，理由如下：
由题意可得，，
，得，
∴
（2）解：B卡片最大，理由如下：
由题意可得，，
∵，，
∴，得，即，
，得，即，
由（1）由，
∴，
∴B卡片最大．
19．(1)
(2)3
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键．
（1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解；
（2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解．
【详解】（1）解：联立，
解得：，
代入得，
，
解得：；
（2）解：，
得，，
解得：，
将代入①得，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴
．
20．(1)；
(2)的取值范围是或
【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
（1）根据的定义，可得，求解即可；
（2）根据题意，分情况讨论，即时和时，分别求解即可；
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：；
（2）解：分情况讨论：
①当，即时，
，
解得：；
②当，即时，
，
解得：，
综上，的取值范围是或．
21．（1），（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键．
（1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可；
（2）根据，可得，可求，即可求解．
【详解】解：（1）解方程组得：，
的值为非负数，的值为正数，
，
解得：；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
．
22．(1)
(2)或
(3)不可能
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，点的坐标等知识点，
（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答；
（2）到x轴的距离是该点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点的横坐标的绝对值，根据点P到两坐标轴距离相等，即可列式作答；
（3）根据若点在第三象限，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：∵点到坐标轴距离相等，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：不可能，理由如下：
若点P在第三象限，则，
解得，
∴m无解，
∴点P不可能在第三象限．
23．(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）①利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围；
（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围．
【详解】（1）解：①由题意，；
②，
，
，
故答案为：①3；②；
（2）解：由题意，解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有3个，得，
，
故答案为：．
24．(1)；
(2)见解析
(3)20
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解；
（2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解；
（3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解．
【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元，
∴x为次数，总费用为元；
方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元，
∴总费用为元；
故答案为：；；
（2）解：①当时，
方案①费用：；
方案②费用：，
令，
∴．
当时，，方案②更优惠；
当时，，两种方案费用相同；
当时，，方案①更优惠；
②当时，方案①费用：；方案②费用：；
令，
∴．
当时，，方案①更优惠；
当时，，两种方案费用相同；
当时，，方案②更优惠；
（3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值：
当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）；
当时，优惠额（随x增大而增大），
时，优惠额元；
当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元．
综上，方案一比方案二最多优惠20元．
故答案为：20．
25．(1)①M，N；②
(2)①，②或
【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；
①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①依题意，，，，
，
甲车从A地出发，始终以的速度行驶，
甲车2小时共行驶了，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，
乙车共行驶了，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至的中点时，所用时间为：，
此时乙车行驶所用时间：，
故答案为：；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为，
此时乙车所用时间为，
乙车的速度为；
②P在非施工道路上不与M，N重合，
若P在上，设甲的行驶时间为t，则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
若P在上，设甲的行驶时间为t，，
则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
综上所述或．
26．(1)；
(2)，；
(3)3月份用水立方米，4月份用水立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费：（元），
故答案为：；
（2）解：当时，
水费为（元）
当时，
水费为（元）
故答案为：，；
（3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得，
，即．
当，即时，
水费为．
令，
解得（舍去）．
若，即，
水费为．
令，
解得．
∴3月份用水立方米，4月份用水立方米．
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