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期末复习专题-- 二元一次方程组专题练（重点知识点）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．下列等式中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．属于二元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
5．解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（ ）
A．，消去x B．由②得代入①，消去y
C．，消去x D．由②得代入①，消去y
6．已知的解满足，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（ ）
A． B． C． D．
8．如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．泉州作为海上丝绸之路起点，历史上商贸繁荣，古代商人常用独特方法记录货物瓦器．每个大筐装8件丝绸，每个小筐装5件丝绸，大小筐共计24个，所装瓷器与丝绸总数为件．入筐有个，小筐有个．根据题意列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．若方程组的解满足方程，则k的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
11．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ）
A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定
二、填空题
12．是关于x，y的方程的一组解，则a的值为______．
13．由二元一次方程可以得到用表示的式子为______．
14．已知方程组，那么与的关系是_____
15．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________．
16．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得分，负一场得分，小明所在的球队在场比赛中得分，若设小明所在的球队胜场，负场，则可列出方程组为______．
17．已知，（），则_________．
三、解答题
18．解方程组：
(1)．
(2)．
19．解方程组．
20．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，．
(1)当时，求的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
21．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
(1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
22．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可．
例：求二元一次方程的正整数解．
解：，．
、为正整数，
或．
【解决问题】
(1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______；
(2)求方程的正整数解；
(3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
23．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是．
(1)二元一次方程的伴随数是___________；
(2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值．
24．已知方程组，求的值．
小军在解决这个问题时，他采用了如下方法：
，消去z，得
他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，
可以在上式中“分离”出，
即
可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法．
(1)直接写出小军得到的的值．
(2)请利用小军的方法解决下面的问题：
甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？
25．骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（注：进价、售价均保持不变，利润售价进价）
时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额
周一 8 10 840
周二 8 12 920
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)若商店准备用不多于3650元的资金购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
(3)在的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现获利1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由．
26．清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元．
(1)求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？
(2)若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？
(3)若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A C C C C A C
题号 11
答案 A
1．A
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，
解得：，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解．
题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可．
【详解】解：A．，
∴是方程的解，故此选项符合题意；
B．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
C．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：A ．
5．C
【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，需通过代入或加减消元判断各选项的正确性．
【详解】选项A：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故A错误．
选项B：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故B错误．
选项C：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故C正确．
选项D：由②得，故D错误．
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，通过消元法解方程组，求出x和y的值，再计算的值即可．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入②得，
解得：，
∴，即，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程①减去方程②，消去未知数y，需使y的系数相减后结果为0，从而确定m和n的关系．
【详解】解：得，
∵可直接消去未知数y，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，先把代入得到关于、的方程组，解方程得到a、b的值，代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
①②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设入筐有个，小筐有个，根据“大小筐共计24个”，因此方程为，大筐每筐装8件丝绸，小筐每筐装5件丝绸，总件数为156，因此方程为，可得答案.
【详解】解：设入筐有个，小筐有个，则
由“大小筐共计24个”，因此方程为，
大筐每筐装8件丝绸，小筐每筐装5件丝绸，总件数为156，因此方程为，
选项A的方程组完全符合上述条件，
故选A
10．C
【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可．
【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：
，
∴，
，
将代入得：
，
解得：．
11．A
【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，根据题意，列出方程组，解得，，代入，计算即可．
【详解】解：设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，
根据题意，列出方程组，
得，
得，
∴代入①式，
∴，
解得，
∴，
∴，
所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元．
故选A．
12．
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得的值即可．
【详解】解：是关于，的方程的一组解，
，
解得：，
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查代入消元法中的用一个未知数表示另一个未知数，移项后再变号即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用加减消元法和整体的思想进行计算，即可解答．
【详解】解：，
②得：③，
①③得：，
即，
故答案为：．
15．1
【分析】根据加减消元法，用含的式子表示出和，将其代入即可求得的值．
【详解】解：，
，得，
解得：，
把代入②得：，
将和代入得：，
解得：．
16．
【分析】本题考查了列二元一次方程组，设小明所在的球队胜场，负场，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小明所在的球队胜场，负场，
由题意得，，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可．
【详解】解∶联立，，
得，
解得，
∴，
故答案为∶．
18．(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
∴原方程组的解为．
19．
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解．
通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值．
【详解】解：
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
（1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可；
（2）由题意得，得到，求出．
【详解】（1）解：将代入得，
，，
，
，
，
；
（2）解：关于x，y的二元一次方程，，，
，
，
均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
将代入得，
，
，
方程的正整数解是，
当时，方程有正整数解．
21．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可；
【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
22．(1)11
(2)
(3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案；
（2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可；
（3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵为非负整数，
∴是3的倍数，且为非负数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵x为正整数，
∴为正整数，
∴是2的倍数，且y为正整数，
∴当时，，
∴原方程的正整数解为；
（3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，
由题意得，，
∴，
∵b为正整数，
∴为正整数，
∴a是4的倍数，且a为正整数，
当时，，
当时，，
∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子．
23．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法．
（1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可；
（2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值．
【详解】（1）解：二元一次方程变形为，
∴二元一次方程的伴随数是，
故答案为：；
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是，
∴原方程为，
∵，是方程的两组解，
∴，
解得．
24．(1)；
(2)丙需要花费元．
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键．
（）利用，可求出的值；
（）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可．
【详解】（1）解：，
，得：；
（2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，
根据题意，得，
，得，
原方程组可化为，
把代入，得，
∴．
答：丙需要花费元．
25．(1)甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元
(2)65个
(3)能，购进60个甲种头盔，40个乙种头盔
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元，利用销售额=销售单价销售数量，结合近两天的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不多于3650元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（3）利用总利润每个甲种头盔的销售利润购进甲种头盔的数量每个乙种头盔的销售利润购进乙种头盔的数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：
答：甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元；
（2）解：设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为
答：最多能购进甲种头盔65个；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
个
答：当购进60个甲种头盔，40个乙种头盔时，商店销售完这100个头盔获利1300元．
26．(1)5元，7元
(2)本
(3)小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式．
（1）设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，根据“每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元”可列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进大笔记本m本，根据题意，则，解关于的一元一次不等式即可；
（3）设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，根据题意得：，由，b均为正整数，得，因此只能取5，，，分别求出这三种情况下购买奖品的总数，比较大小后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，符合题意，
答：小笔记本的单价为5元，大笔记本的单价为7元．
（2）解：设购进大笔记本m本，则购进小笔记本本，
则，
解得：，
的最大值为，
答：最多可购进大笔记本本．
（3）解：设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，
根据题意得：，
，
，b均为正整数，
，
只能取5，，．
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则．
，
应购买小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本．
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