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期末复习强化-- 二元一次方程组强化练（易错知识点）
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．5个
2．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
6．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（ ）
A． B． C． D．
8．如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
10．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
12．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．是关于x，y的方程的一组解，则a的值为______．
14．如果方程组的解为，那么“”所得的数______．
15．将方程改写成用含的式子表示的形式是_________．
16．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________．
17．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件3个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在28天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件天，乙种零件天，则根据题意列二元一次方程组是______．
18．已知，则的值为________．
三、解答题
19．解二元一次方程组：
(1)
(2)
20．解方程组．
21．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值．
22．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
(1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
23．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________．
(2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程；
(3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
24．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可．
例：求二元一次方程的正整数解．
解：，．
、为正整数，
或．
【解决问题】
(1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______；
(2)求方程的正整数解；
(3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
25．若关于x，y的方程组．
(1)求方程组的解（用含m的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求m的整数解．
26．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是．
(1)二元一次方程的伴随数是___________；
(2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值．
27．清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元．
(1)求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？
(2)若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？
(3)若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
28．“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案：
①全部进行粗加工并包装；
②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售；
③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成．
请根据以上信息，回答下列各小问：
(1)若选择方案①，求该公司所得的利润．
(2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由．
29．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况．
大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元）
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
(1)求大小两款无人机的单次运输价格；
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元．
①求和的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D A A C C C B
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成．
【详解】解：，是二元一次方程组，
方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程，
中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件，
，方程中，项次数为2，不是一次方程，
符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，
解得：，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可．
【详解】解：，
得：③，
得：④，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误；
要消去y，可以将，故选项C，D错误．
故选：A
6．A
【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：将，与，代入方程得：
，
由方程②得，
将③代入方程①得，
解得；
将代入③得；
因此，，，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程①减去方程②，消去未知数y，需使y的系数相减后结果为0，从而确定m和n的关系．
【详解】解：得，
∵可直接消去未知数y，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，先把代入得到关于、的方程组，解方程得到a、b的值，代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
①②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可．
【详解】解∶解方程组，得方程组的解为，
当时，，，，故选项A不符合题意；
若，代入得：，
解得，故选项B不符合题意；
，与无关，始终为1，故选项C符合题意，
当时，，，则，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．B
【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键．
根据题意，2个人共用1个盘子，则少2个盘子，得方程；3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，得方程，联立这两个方程即可求解．
【详解】解：依题意，得
故选B．
11．C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解．
【详解】解：
由得：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
故选：C
12．B
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．
根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系．
【详解】解：由题意得：，
得，，
∴，
将③代入①得，，
∴
，
∵为定值，
∴，
∴．
故选：B．
13．
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得的值即可．
【详解】解：是关于，的方程的一组解，
，
解得：，
故答案为：1．
14．12
【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识和方程解的概念；先将代入方程组，求得和 的值，再代入、求解．
【详解】解：，
，
解得，
即，
，
，
故答案为：12．
15．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的变形，准确分析计算是解题的关键．
把x看做已知数求出y即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式．
通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案．
【详解】解：令，，
则关于m、n 的方程组可转化为，
已知原方程组的解是，
∴可得，解得．
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用-配套问题，根据等量关系为：生产甲种零件的天数生产乙种零件的天数；生产甲种零件的天数生产甲种零件的效率生产乙种零件的天数生产乙种零件的效率，列方程组即可．
【详解】解：根据题意，两种零件总共需要28天，甲乙两种零件的配比为，
可列方程组为：，
故答案为：．
18．1
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
【详解】解：
得
∴
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为．
20．
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解．
通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值．
【详解】解：
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
21．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得，
把，代入得：，
解得．
22．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可；
【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为，
∴该方程为，
∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
解得，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
整理得，
即．
24．(1)11
(2)
(3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案；
（2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可；
（3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵为非负整数，
∴是3的倍数，且为非负数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵x为正整数，
∴为正整数，
∴是2的倍数，且y为正整数，
∴当时，，
∴原方程的正整数解为；
（3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，
由题意得，，
∴，
∵b为正整数，
∴为正整数，
∴a是4的倍数，且a为正整数，
当时，，
当时，，
∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子．
25．(1)
(2)2，
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）利用加减法解方程组即可；
（2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解．
【详解】（1），
②-①得：
解得：，
把代入①得：，
解方程组为；
（2），，
，
解得：，
的整数解是：2，
26．(1)
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法．
（1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可；
（2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值．
【详解】（1）解：二元一次方程变形为，
∴二元一次方程的伴随数是，
故答案为：；
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是，
∴原方程为，
∵，是方程的两组解，
∴，
解得．
27．(1)5元，7元
(2)本
(3)小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式．
（1）设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，根据“每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元”可列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进大笔记本m本，根据题意，则，解关于的一元一次不等式即可；
（3）设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，根据题意得：，由，b均为正整数，得，因此只能取5，，，分别求出这三种情况下购买奖品的总数，比较大小后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，符合题意，
答：小笔记本的单价为5元，大笔记本的单价为7元．
（2）解：设购进大笔记本m本，则购进小笔记本本，
则，
解得：，
的最大值为，
答：最多可购进大笔记本本．
（3）解：设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，
根据题意得：，
，
，b均为正整数，
，
只能取5，，．
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则．
，
应购买小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本．
28．(1)57500元
(2)第③种，见解析
【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，方案选择，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可．
【详解】（1）解：（元）．
若选择方案①，求该公司所得的利润为元．
（2）当选择方案②时，由题意得，进行天精加工并包装，余下的直接销售．
则精加工并包装的数量为，直接销售的数量为．
此时的利润为：（元）．
当选择方案③时，设进行精加工并包装天，进行粗加工并包装天．
则
解得
此时的利润为：（元）．
由（1）知，当选择方案①时，利润为元．
，
选择第③种方案能使公司最大利润化．
29．(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元；
(2)小无人机实行九折优惠；
(3)①；②这两天总营收的最小值为18840元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解．
（1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价；
（2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣；
（3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值．
【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元．
根据题意，得：
得：，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元．
（2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）．
大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）．
因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）．
小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元．
；
答：小无人机的优惠折扣为九折．
（3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元．
在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为．
∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元，
∴，则，
化简得：，即 ，
∴．
② 由①知，这两天总营收为．
打折前小无人机单次运输价格为120元，
∵总营收是120的整数倍，即为整数，，，
∴ 为整数，
又∵ 157 是质数，
∴a是40的倍数，a的最小值为40．
则总营收的最小值为元．
答：这两天总营收的最小值为18840元．
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