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(共79张PPT)
专题十一 动力学、能量、动量三大观点
的综合应用
题型一 动力学与动量观点的综合应用
题型二 能量与动量观点的综合应用
题型三 动力学、能量、动量三大观点的综合应用
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
力学三大基本观点
动力学的观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变
速运动问题
能量的观点 用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运
动问题
动量的观点 用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题
题型一 动力学与动量观点的综合应用
例1 [2025·河南卷] 如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔 铺
设有宽度为 的防滑带.在最左端防滑带的左边缘静止有质量为
的物块，另一质量为的物块以 的速度向
右运动并与物块发生正碰，且碰撞时间极短.已知碰撞后瞬间物块 的速
度大小为，、与防滑带间的动摩擦因数均为 ，重力加
速度大小取 .求：
(1) 该碰撞过程中损失的机械能；
[答案]
[解析] 、发生正碰，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
联立解得，
例1 [2025·河南卷] 如图所示，在一段水平光滑直道上每间隔 铺
设有宽度为 的防滑带.在最左端防滑带的左边缘静止有质量为
的物块，另一质量为的物块以 的速度向
右运动并与物块发生正碰，且碰撞时间极短.已知碰撞后瞬间物块 的速
度大小为，、与防滑带间的动摩擦因数均为 ，重力加
速度大小取 .求：
(2) 从开始运动到静止经历的时间.
[答案]
[解析] 对物块由牛顿第二定律有
物块在第一个防滑带上运动时，由运动学公式有 ，
解得
则物块在第一个防滑带上运动的时间为
物块在光滑的直道上做匀速直线运动，则
解得
物块 在第二个防滑带上运动时，由运动学公
式有，
解得
则物块在第二个防滑带上运动的时间为
物块在光滑的直道上做匀速直线运动，则
解得
由以上条件可知，物块 最终停在第三个防滑带上，由运动学公式有
可得物块 在第三个防滑带上运动的时间为
故物块 从开始运动到静止经历的时间为
题型二 能量与动量观点的综合应用
例2 [2025 新课标卷］如图所示，物块 固定在水平面上，其上表面有半径
为的圆弧轨道.右端与薄板连在一起，圆弧轨道与 上表面平滑连
接.一轻弹簧的右端固定在上，另一端自由.质量为的小球自圆弧顶端
点上方的点自由下落，落到 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，
当速度减小至刚接触时的 时，弹簧的弹性势能为
，此时断开和的连接，从静止开始向右滑动.
为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及 的上、
下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内.
(1) 求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；
[答案]
[解析] 小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为
例2 [2025 新课标卷］如图所示，物块 固定在水平面上，其上表面有半径为
的圆弧轨道.右端与薄板连在一起，圆弧轨道与 上表面平滑连接.一轻弹簧
的右端固定在上，另一端自由.质量为的小球自圆弧顶端 点上方的点自由
下落，落到 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时
的时，弹簧的弹性势能为，此时断开和的连接，从静止开始向右滑动.
为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及 的上、下表面均光滑，弹簧
长度的变化始终在弹性限度内.
(2) 求小球与弹簧刚接触时速度的大小及、 两点间的距离；
[答案]
[解析] 设小球与弹簧刚接触时速度的大小为 ，由机械能守恒定律可知
同时有
联立解得，
例2 [2025 新课标卷］如图所示，物块 固定在水平面上，其上表面有半径为
的圆弧轨道.右端与薄板连在一起，圆弧轨道与 上表面平滑连接.一轻弹簧
的右端固定在上，另一端自由.质量为的小球自圆弧顶端 点上方的点自由
下落，落到 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时
的时，弹簧的弹性势能为，此时断开和的连接，从静止开始向右滑动.
为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及 的上、下表面均光滑，弹簧
长度的变化始终在弹性限度内.
(3) 欲使和断开后，弹簧的最大弹性势能等于，
的质量应为多大？
[答案]
[解析] 弹簧达到最大弹性势能时，小球与共速，设的质量为 ，根据
动量守恒定律和机械能守恒定律有
联立解得
例2 [2025 新课标卷］如图所示，物块 固定在水平面上，其上表面有半径为
的圆弧轨道.右端与薄板连在一起，圆弧轨道与 上表面平滑连接.一轻弹簧
的右端固定在上，另一端自由.质量为的小球自圆弧顶端 点上方的点自由
下落，落到 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时
的时，弹簧的弹性势能为，此时断开和的连接，从静止开始向右滑动.
为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及 的上、下表面均光滑，弹簧
长度的变化始终在弹性限度内.
(4) 欲使和断开后，的最终动能最大， 的质量应为多大？
[答案]
[解析] 对和小球整体根据机械能守恒定律可知要使 的最终动能最大，
需满足小球的速度刚好为零时，弹簧刚好恢复原长；设的质量为，
的最大速度为 ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
题型三 动力学、能量、动量三大观点的综合应用
例3 (18分)[2025·重庆卷] 如图所示，长度为
的水平传送带以顺时针方向匀速运动.质量为
的小物块在传送带左端由静止释放. 还未与传送带达到相同速度时就从
右端平滑地进入光滑水平面 ，且与向右运动的小物块发生碰撞(碰撞
时间极短).碰后、均向右运动，从 点进入粗糙水平地面.设与传送带间
的动摩擦因数和、 与地面间的动摩擦因数均为 ，重力加速度为 .
(1) 求 在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小；
[答案]
[解析] 在传送带上由滑动摩擦力提供加速度，即 (1分)
可得
由于还没与传送带达到相同速度时就离开传送带，所以 在传送带上做
匀加速直线运动，由 (1分)
解得 (1分)
例3 (18分)[2025·重庆卷] 如图所示，长度为
的水平传送带以顺时针方向匀速运动.质量为
的小物块在传送带左端由静止释放. 还未与传送带达到相同速度时就从右
端平滑地进入光滑水平面 ，且与向右运动的小物块发生碰撞(碰撞时间极
短).碰后、均向右运动，从 点进入粗糙水平地面.设与传送带间的动摩擦因
数和、 与地面间的动摩擦因数均为 ，重力加速度为 .
(2) 若碰前瞬间，的速度大小为的一半，碰撞为弹性碰撞，且碰后 、
在粗糙地面上停下后相距为，求 的质量；
[答案]
[解析] 设的质量为，则由题意得碰前，
两物块发生弹性碰撞时动量和能量守恒，有 ，
(2分)
联立解得， (1分)
因为地面粗糙，由动能定理有 (1分)
得，即， (1分)
根据题意有 ，且由(1)有 (1分)
联立各式解得 (1分)
例3 (18分)[2025·重庆卷] 如图所示，长度为 的水平传送带以顺时针方向
匀速运动.质量为的小物块在传送带左端由静止释放. 还未与传送带
达到相同速度时就从右端平滑地进入光滑水平面 ，且与向右运动的
小物块发生碰撞(碰撞时间极短).碰后、均向右运动，从 点进入粗糙
水平地面.设与传送带间的动摩擦因数和、 与地面间的动摩擦因数均
为 ，重力加速度为 .
(3) 若的质量是的倍，碰后瞬间和
的动量相同，求 的取值范围及碰后瞬间 的速度大小范围.
[答案]
[解析] 、 碰撞过程动量守恒，有
(1分)
又因为碰后瞬间和的动量相同，则， (1分)
根据碰撞的约束条件，要使两物块不发生二次碰撞则有，即
(1分)
碰后动能不增，即有
(1分)
可得 (1分)
所以的取值范围为 (1分)
分别将和代入
解得， (1分)
所以对应的的速度范围为代入
可得 (1分)
动力学与动量观点的综合应用
1.在一起交通事故中，一辆货车追尾前面的轿车致使两车嵌在一起滑行了
才停下.事后交警通过调取轿车的行车记录仪发现被追尾前轿车的速
度为.若两车在地面滑行时与地面间的动摩擦因数均为 ，
碰撞后两车的发动机均停止工作，轿车的质量为 ，货车的质量为
，重力加速度取 .
(1) 求两车碰撞后开始滑行时的速度大小；
[答案]
[解析] 两车碰撞后一起做匀减速直线运动，滑行位移为
由牛顿第二定律有
由匀变速直线运动规律有，
解得
1.在一起交通事故中，一辆货车追尾前面的轿车致使两车嵌在一起滑行了
才停下.事后交警通过调取轿车的行车记录仪发现被追尾前轿车的速
度为.若两车在地面滑行时与地面间的动摩擦因数均为 ，
碰撞后两车的发动机均停止工作，轿车的质量为 ，货车的质量为
，重力加速度取 .
(2) 若两车碰撞时间极短，求碰撞前货车的速度 大小；(结果保留3位有
效数字)
[答案]
[解析] 两车碰撞的过程中动量守恒，碰撞前货车的速度为 ，轿车的速
度为，则
解得
1.在一起交通事故中，一辆货车追尾前面的轿车致使两车嵌在一起滑行了
才停下.事后交警通过调取轿车的行车记录仪发现被追尾前轿车的速
度为.若两车在地面滑行时与地面间的动摩擦因数均为 ，
碰撞后两车的发动机均停止工作，轿车的质量为 ，货车的质量为
，重力加速度取 .
(3) 若两车碰撞时间持续(时间极短)，轿车驾驶员的质量为 ，求
撞击过程中，轿车驾驶员受到的汽车水平方向的平均作用力的大小和方向.
[答案] ，方向与前进方向相同
[解析] 碰撞过程中，对轿车驾驶员在水平方向上进行分析，设前进方向
为正方向，根据动量定理，则有
解得 ，方向与前进方向相同
能量与动量观点的综合应用
2.[2024·浙江6月选考] 一弹射游戏装置竖直
截面如图所示，固定的光滑水平直轨道、
半径为的光滑螺旋圆形轨道、光滑水平直轨道 平滑连接.长为、质量为的
平板紧靠长为的固定凹槽侧壁 放置，平板上表面与齐平.将一质量为
的小滑块从端弹射，经过轨道 后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达 即
被锁定.已知,,, ,平板与滑块间的动摩擦因数
、与凹槽水平底面间的动摩擦因数为 .滑块视为质点，不计空气阻力，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 .
(1) 滑块恰好能通过圆形轨道最高点时，求滑块离开弹簧时速度 的大小；
[答案]
[解析] 滑块离开弹簧后运动到圆形轨道最高点 的过程中，由动能定理得
滑块恰好能通过圆形轨道最高点 ，有
联立解得
(2) 若,滑块恰好过 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
[答案]
2.[2024·浙江6月选考] 一弹射游戏装置竖直
截面如图所示，固定的光滑水平直轨道、
半径为的光滑螺旋圆形轨道、光滑水平直轨道 平滑连接.长为、质量为的
平板紧靠长为的固定凹槽侧壁 放置，平板上表面与齐平.将一质量为
的小滑块从端弹射，经过轨道 后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达 即
被锁定.已知,,, ,平板与滑块间的动摩擦因数
、与凹槽水平底面间的动摩擦因数为 .滑块视为质点，不计空气阻力，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 .
[解析] 滑块滑上平板后，平板加速至与滑块共速过程中，根据动量守恒
定律有
系统损失的机械能
联立解得
(3) 若,滑块能到达点，求其离开弹簧时的最大速度 .
[答案]
2.[2024·浙江6月选考] 一弹射游戏装置竖直
截面如图所示，固定的光滑水平直轨道、
半径为的光滑螺旋圆形轨道、光滑水平直轨道 平滑连接.长为、质量为的
平板紧靠长为的固定凹槽侧壁 放置，平板上表面与齐平.将一质量为
的小滑块从端弹射，经过轨道 后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达 即
被锁定.已知,,, ,平板与滑块间的动摩擦因数
、与凹槽水平底面间的动摩擦因数为 .滑块视为质点，不计空气阻力，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取 .
[解析] 滑块滑上平板，运动到平板最右端恰好不滑下，之后与平板一起
匀减速运动到 点时，滑块离开弹簧时的速度最大
滑块的加速度大小满足
解得
平板的加速度大小 满足
解得
作出 图像，如图所示
由 图像可知
联立解得
动力学、能量、动量三大观点的综合应用
3.如图所示，两个固定的、大小不同的竖直半圆形
光滑轨道在最高点 平滑连接，小圆半径为，
大圆半径为，小圆最低点 恰在大圆圆心处，
点有一弹射装置(图中未画出)，可沿水平向右的方向
弹射质量为 的滑块.放置在光滑水平面上的中空长直塑料板与大圆
的最低点 平滑过渡.塑料板质量为，长度为 ，厚度为
，滑块与塑料板上表面之间的动摩擦因数为 ，滑块可视为
质点，重力加速度取 .
(1) 若滑块能做完整的圆周运动，求滑块在最高点的最小速度 ；
[答案]
[解析] 若滑块能做完整的圆周运动，滑块在最高点只有重力提供向心力，
则有
解得
(2) 若以速度向右弹射滑块，求滑块到达大圆轨道 点时所受支持力
的大小；
[答案]
3.如图所示，两个固定的、大小不同的竖直半圆形
光滑轨道在最高点 平滑连接，小圆半径为，
大圆半径为，小圆最低点 恰在大圆圆心处，
点有一弹射装置(图中未画出)，可沿水平向右的方向
弹射质量为 的滑块.放置在光滑水平面上的中空长直塑料板与大圆
的最低点 平滑过渡.塑料板质量为，长度为 ，厚度为
，滑块与塑料板上表面之间的动摩擦因数为 ，滑块可视为
质点，重力加速度取 .
[解析] 滑块运动到 点时，根据动能定理有
在 点根据牛顿第二定律有
解得
(3) 若以速度向右弹射滑块，求滑块第一次落地点到 点的水平距离.
[答案]
3.如图所示，两个固定的、大小不同的竖直半圆形
光滑轨道在最高点 平滑连接，小圆半径为，
大圆半径为，小圆最低点 恰在大圆圆心处，
点有一弹射装置(图中未画出)，可沿水平向右的方向
弹射质量为 的滑块.放置在光滑水平面上的中空长直塑料板与大圆
的最低点 平滑过渡.塑料板质量为，长度为 ，厚度为
，滑块与塑料板上表面之间的动摩擦因数为 ，滑块可视为
质点，重力加速度取 .
[解析] 滑块与塑料板组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，根据动
量守恒定律有
根据能量守恒定律有
对滑块，根据能量守恒定律有
滑块离开塑料板后做平抛运动，有，
滑块第一次落地点到 点的水平距离为
解得
4.[2024·湖北卷] 如图所示，水平传送带以 的速度
顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为.传送
带右端的正上方有一悬点 ，用长为、不可伸长的
轻绳悬挂一质量为 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触.在点右侧的点
固定一钉子，点与 点等高.将质量为 的小物块无初速度轻放在传送带左端，小
物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为、方
向水平向左. 小球碰后绕 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕 点向上运
动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取 .
(1) 求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小.
[答案]
[解析] 小物块刚放在传送带上时，由牛顿第二定律有
解得
假设小物块运动到传送带右端前已与传送带共速，则此过程有
解得小物块运动的位移为
由于 ，所以假设成立，即小物块运动到传送带右端前已与
传送带共速，因此小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小等于传送
带的速度大小，为
4.[2024·湖北卷] 如图所示，水平传送带以 的速度
顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为.传送
带右端的正上方有一悬点 ，用长为、不可伸长的
轻绳悬挂一质量为 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触.在点右侧的点
固定一钉子，点与 点等高.将质量为 的小物块无初速度轻放在传送带左端，小
物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为、方
向水平向左. 小球碰后绕 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕 点向上运
动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取 .
(2) 求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能.
[答案]
[解析] 小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组
成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有
其中，
解得
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损
失的总动能为
解得
4.[2024·湖北卷] 如图所示，水平传送带以 的速度
顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为.传送
带右端的正上方有一悬点 ，用长为、不可伸长的
轻绳悬挂一质量为 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触.在点右侧的点
固定一钉子，点与 点等高.将质量为 的小物块无初速度轻放在传送带左端，小
物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为、方
向水平向左. 小球碰后绕 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕 点向上运
动.已知小物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度大小取 .
(3) 若小球运动到点正上方，绳子不松弛，求点到 点的最小距离.
[答案]
[解析] 若小球运动到点正上方，绳子不松弛，设点到点的距离为 ，
小球在点正上方的速度为，在 点正上方，由牛顿第二定律有
小球从点正下方到 点正上方过程中，由机械能守恒定律有
联立解得
即点到点的最小距离为
作业手册
1.[2025·重庆渝中区三模] 某兴趣小组在研究物体在水面
上的运动时，做了如图所示的实验. 为一个充满水
的水池，水池左侧有一个固定的四分之一粗糙圆弧轨道.
一质量为 的小物块从圆弧轨道的最上端静止释放，运动至轨道底端时，对
轨道压力大小为 ，随后滑上停靠在水池左侧木板的上表面.已知木板质量为
，长度为 ，小物块与木板上表面间的动摩擦因数为，圆弧轨
道的半径为，重力加速度 取 ，小物块可视为质点，木板一直水平漂
浮在水面，忽略小物块冲上木板后木板在竖直方向上的运动，过程中小物块始终未滑离
木板.
(1) 求小物块运动至轨道最底端时速度的大小；
[答案]
[解析] 根据牛顿第三定律可知，小物块运动至轨道底端时，轨道对其支
持力大小为，设小物块运动至轨道最底端时速度的大小为
根据牛顿第二定律有
解得
(2) 若忽略水的阻力，则小物块与木板达到共速时(木板尚未到达水池右
端)，求小物块与木板左端的距离；
[答案]
[解析] 若忽略水的阻力，则小物块与木板组成的系统满足动量守恒定律，
设小物块与木板达到共速时的速度大小为 ，小物块与木板左端的距离
为 .以向右为正方向
根据动量守恒定律与机械能守恒定律有
，
解得
(3) 若水对木板的阻力与木板的速度成正比，即 ，其中
.最终木板右端运动到水池右端时，木板与小物块的速度恰好
同时减为零，求水池的长度 .
[答案]
[解析] 设木板与小物块的速度恰好同时减为零所需时间为 ，以向右为正
方向，对小物块由动量定理得
解得
对木板，应用微元法和动量定理得
其中 ，
，
联立解得
2.[2025·浙江1月选考] 一游戏装置的竖直截面如图所示.倾斜直轨道 、
半径为的竖直螺旋轨道、水平轨道和、倾角为 的倾斜直轨道
平滑连接成一个抛体装置.该装置除 段轨道粗糙外，其余各段均光
滑，点与水平高台等高.游戏开始，一质量为的滑块1从轨道 上
的高度处静止滑下，与静止在点、质量也为 的滑块2发生完全非弹性
碰撞后组合成滑块3,滑上滑轨.若滑
块3落在 段，反弹后水平分速度
保持不变，竖直分速度减半;
若滑块落在点右侧，立即停止运动.已知，， 段
长度，间距，间距， 间距
，段 .滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力，
，，取 .
(1) 若，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小 ;
[答案]
[解析] 对滑块1，从静止滑下至 点过程，由机械能守恒定律得
与滑块2碰撞过程，由动量守恒定律得
解得
(2) 若滑块3恰好能通过圆轨道，求高度 ;
[答案]
[解析] 滑块3恰好能通过圆轨道，在 点，由牛顿第二定律得
从至 过程，由机械能守恒定律得
由(1)得
联立解得
(3) 若滑块3最终落入点的洞中，则游戏成功.讨论游戏成功的高度 .
[答案] 或
[解析] 滑块3在 过程，由功能关系得
若直接落入洞中，有
联立解得
若经一次反弹落入洞中，有
联立解得
3.[2025·四川卷] 如图所示，倾角为 的斜面固定
于水平地面，斜面上固定有半径为 的半圆挡板和
长为的直挡板.为直挡板下端点， 为半圆挡板直径且沿水平方向， 为
半圆挡板最高点，两挡板相切于点，与平行且等长.小球乙被锁定在
点.小球甲从 点以一定初速度出发，沿挡板运动到 点与小球乙发生弹性
碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其
他碰撞.小球甲质量为，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速
度大小为 .
(1) 求小球甲从点沿直线运动到 点过程中的加速度大小；
[答案]
[解析] 小球甲从点沿直线运动到 点过程中,根据牛顿第二定律有
解得甲在段运动的加速度大小
(2) 若小球甲恰能到达点，且碰撞后小球乙能运动到 点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件；
[答案] 或
3.[2025·四川卷] 如图所示，倾角为 的斜面固定于水平地
面，斜面上固定有半径为 的半圆挡板和长为的直挡板.
为直挡板下端点， 为半圆挡板直径且沿水平方向， 为
半圆挡板最高点，两挡板相切于点，与平行且等长.小球乙被锁定在点.小球甲
从 点以一定初速度出发，沿挡板运动到 点与小球乙发生弹性碰撞，碰撞前瞬间解除
对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞.小球甲质量为，两小球均
可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为 .
[解析] 甲恰能到点，设到达点时的速度为，可知
解得 ①
根据题意甲、乙发生弹性碰撞，碰撞前后根据动量守恒定律和能量守恒定
律有
解得碰后乙的速度为 ②
碰后乙能运动至点，第一种情况，碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达 点，此时需满
足
即 ③
联立①②③可得
第二种情况，碰后乙做类平抛运动到达 点，此
时可知，
解得 ④
联立①②④可得
3.[2025·四川卷] 如图所示，倾角为 的斜面固定于水平地
面，斜面上固定有半径为 的半圆挡板和长为的直挡板.
为直挡板下端点， 为半圆挡板直径且沿水平方向， 为
半圆挡板最高点，两挡板相切于点，与平行且等长.小球乙被锁定在点.小球甲
从 点以一定初速度出发，沿挡板运动到 点与小球乙发生弹性碰撞，碰撞前瞬间解除
对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞.小球甲质量为，两小球均
可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为 .
(3) 在满足(2)中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段 ，求小球甲初动能应满足的条件.
[答案] 初动能大于 小于
[解析] 在(2)问的质量比条件下，若碰后乙能越过线段 ，根据前面分析
可知当满足第一种情况时，碰后乙做圆周运动显然不满足能越过线段 ，
故碰后乙做类平抛运动越过线段 ，故碰后乙的速度必然满足
同时根据类平抛运动规律可知，
同时需保证小球不能撞击到圆弧 上，有
，
联立解得 ⑤
联立②⑤将代入可得 ⑥
对甲球从到过程根据动能定理 ⑦
联立⑥⑦可得
4.[2025·湖北卷] 如图所示，一足够长的平直
木板放置在水平地面上，木板上有是大
于1的正整数个质量均为 的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、，木板的
质量为.相邻滑块间的距离均为 ，木板与地面之间的动摩擦因数为 ，滑块与木板间
的动摩擦因数为 .初始时木板和所有滑块均处于静止状态.现给第1个滑块一个水平向右
的初速度，大小为 为足够大常数，为重力加速度大小 .滑块间的每次碰撞时
间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动.最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1) 求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间，第1个滑块的速度大小.
[答案]
[解析] 对长木板和滑块分别受力分析，可知长木板不动，第1个滑块做匀
减速运动，由牛顿第二定律，有
第1个滑块的初速度大小为 ，设第1个滑块与第2个滑块碰撞前
瞬间速度为
由运动学公式，有
解得
(2) 记木板滑动前第个滑块开始滑动时的速度为，第 个滑块开始滑动时的速度为
.用已知量和表示 .
[答案]
4.[2025·湖北卷] 如图所示，一足够长的平直
木板放置在水平地面上，木板上有是大
于1的正整数个质量均为 的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、，木板的
质量为.相邻滑块间的距离均为 ，木板与地面之间的动摩擦因数为 ，滑块与木板间
的动摩擦因数为 .初始时木板和所有滑块均处于静止状态.现给第1个滑块一个水平向右
的初速度，大小为 为足够大常数，为重力加速度大小 .滑块间的每次碰撞时
间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动.最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
[解析] 第1个滑块与第2个滑块碰撞，设碰撞后共同速度为 ,根据动量守
恒定律有
解得
设第2个滑块与第3个滑块碰撞前速度为 ,有
解得
第2个滑块与第3个滑块碰撞，设碰撞后共同速度为 ，根据动量守恒定律
有
解得
即
以此类推，可得
(3) 若木板开始滑动后，滑块间恰好不再相碰，求 的值.
提示： .
[答案] 或
4.[2025·湖北卷] 如图所示，一足够长的平直
木板放置在水平地面上，木板上有是大
于1的正整数个质量均为 的相同小滑块，从左向右依次编号为1、2、…、，木板的
质量为.相邻滑块间的距离均为 ，木板与地面之间的动摩擦因数为 ，滑块与木板间
的动摩擦因数为 .初始时木板和所有滑块均处于静止状态.现给第1个滑块一个水平向右
的初速度，大小为 为足够大常数，为重力加速度大小 .滑块间的每次碰撞时
间极短，碰后滑块均会粘在一起继续运动.最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
[解析] 设 个滑块一起在木板上滑动时，木板开始滑动.则
解得
故第 个滑块在木板上滑动时，木板开始滑动，其余滑块和木板相对
静止，设第个滑块刚开始在木板上滑动时的速度大小为 、加
速度大小为,木板的加速度大小为
由(2)问分析得
由牛顿第二定律得
设第个滑块开始滑动后，经时间 与木板达到共同速度，恰好不与
下一个滑块相碰，由运动学知识得
联立上式解得
或
题型一 例1.(1) (2)
题型二 例2.(1) (2) (3) (4)
题型三 例3.(1) (2) (3)
基础巩固练
1.(1) (2) (3)
2.(1) (2) (3)或
综合提升练
3.(1) (2)或 (3)初动能大于 小于

拓展挑战练
4.(1) (2) (3)或
专题十一　动力学、能量、动量三大观点的综合应用
例1　(1)24.5 J　(2)5 s
[解析] (1)P、Q发生正碰,由动量守恒定律有m2v0=m2vQ+m1v
由能量守恒定律有
m2=m2+m1v2+ΔE
联立解得vQ=3.5 m/s,ΔE=24.5 J
(2)对物块P由牛顿第二定律有μm1g=m1a
物块P在第一个防滑带上运动时,由运动学公式有v2-=2al2,vP1=v-at1
解得vP1=5 m/s
则物块P在第一个防滑带上运动的时间为t1=0.4 s
物块P在光滑的直道上做匀速直线运动,则l1=vP1t2
解得t2=0.6 s
物块P在第二个防滑带上运动时,由运动学公式有-=2al2,vP2=vP1-at3
解得vP2=1 m/s
则物块P在第二个防滑带上运动的时间为t3=0.8 s
物块P在光滑的直道上做匀速直线运动,则l1=vP2t4
解得t4=3 s
由以上条件可知,物块P最终停在第三个防滑带上,由运动学公式有0=vP2-at5
可得物块P在第三个防滑带上运动的时间为t5=0.2 s
故物块P从开始运动到静止经历的时间为t=t1+t2+t3+t4+t5=5 s
例2　(1)mgR　(2)　R　(3)4m　(4)m
[解析] (1)小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道,重力对其做的功为WG=mgR
(2)设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0,由机械能守恒定律可知m=2mgR+m
同时有mg=m
联立解得v0=,h=R
(3)弹簧达到最大弹性势能时,小球与Q共速,设Q的质量为M,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有m·v0=v共
m=2.2mgR+
联立解得M=4m
(4)对Q和小球整体根据机械能守恒定律可知要使Q的最终动能最大,需满足小球的速度刚好为零时,弹簧刚好恢复原长;设Q的质量为M',Q的最大速度为vm,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
m·v0=M'vm
m=M'
解得M'=m
例3　(1)μg　　(2) (3)≤n≤1　≤vB≤
[解析] (1)A在传送带上由滑动摩擦力提供加速度,即μmg=ma (1分)
可得a=μg
由于A还没与传送带达到相同速度时就离开传送带,所以A在传送带上做匀加速直线运动,由=2ad (1分)
解得v1= (1分)
(2)设B的质量为m',则由题意得碰前vA0=v1,vB0=
两物块发生弹性碰撞时动量和能量守恒,有mv1+m'=mv1'+m'v2',m+m'=mv1'2+m'v2'2 (2分)
联立解得v1'=,v2'= (1分)
因为地面粗糙,由动能定理有
-μmgs=0-mv2 (1分)
得s=,即sA=,sB= (1分)
根据题意有sB-sA=d,且由(1)有
v1= (1分)
联立各式解得m'= (1分)
(3)A、B碰撞过程动量守恒,有
mv1=mvA+nmvB (1分)
又因为碰后瞬间A和B的动量相同,则vB=,vA= (1分)
根据碰撞的约束条件,要使两物块不发生二次碰撞则有vA≤vB,即n≤1 (1分)
碰后动能不增,即有
m≥m+(nm) (1分)
可得n≥ (1分)
所以n的取值范围为≤n≤1 (1分)
分别将n=1和n=代入vB=
解得vB1=,vB2= (1分)
所以对应的B 的速度范围为≤vB≤代入v1=
可得≤vB≤ (1分)专题十一　动力学、能量、动量三大观点的综合应用
1.(1)3 m/s　(2)0.675 m　(3)3.2 m
[解析] (1)根据牛顿第三定律可知,小物块运动至轨道底端时,轨道对其支持力大小为FN=2.8 N,设小物块运动至轨道最底端时速度的大小为v0
根据牛顿第二定律有FN-mg=m
解得v0=3 m/s
(2)若忽略水的阻力,则小物块与木板组成的系统满足动量守恒定律,设小物块与木板达到共速时的速度大小为v共,小物块与木板左端的距离为x.以向右为正方向
根据动量守恒定律与机械能守恒定律有mv0=v共,m=+μmgx
解得x=0.675 m
(3)设木板与小物块的速度恰好同时减为零所需时间为t,以向右为正方向,对小物块由动量定理得-μmgt=0-mv0
解得t=0.6 s
对木板,应用微元法和动量定理得
μmgΔt-kvΔt=mΔv
其中μmgΔt=μmgt,kvΔt=kx=k(LAD-L),mΔv=0
联立解得LAD=3.2 m
2.(1)2 m/s　(2)2 m　(3)2 m或2.5 m
[解析] (1)对滑块1,从静止滑下至C点过程,由机械能守恒定律得mgh=m
与滑块2碰撞过程,由动量守恒定律得mv0=2mvC
解得vC=2 m/s
(2)滑块3恰好能通过圆轨道,在D点,由牛顿第二定律得2mg=2m
从C至D过程,由机械能守恒定律得2mg(2R)+(2m)=(2m)
由(1)得vC=
联立解得h=2 m
(3)滑块3在C→F过程,由功能关系得(2m)=(2m)+2mgLsin θ+μ(2m)gLcos θ
若直接落入洞中,有t=
LFG+LGH+LHI=vFcos θ·t
联立解得h=2.5 m
若经一次反弹落入洞中,有t'=+=
LFG+LGH+LHI=vFcos θ·t'
联立解得h=2 m
3.(1)gsin θ　(2)≥1或= (3)初动能大于m1gRsin θ小于12m1gRsin θ
[解析] (1)小球甲从a点沿直线运动到b点过程中,根据牛顿第二定律有m1gsin θ=m1a1
解得甲在ab段运动的加速度大小a1=gsin θ
(2)甲恰能到c点,设到达c点时的速度为v1,可知m1gsin θ=m1
解得v1=　①
根据题意甲、乙发生弹性碰撞,碰撞前后根据动量守恒定律和能量守恒定律有m1v1=m1v1'+m2v2
m1=m1v1'2+m2
解得碰后乙的速度为v2=　②
碰后乙能运动至e点,第一种情况,碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达e点,此时需满足m2gsin θ≤m2
即v2≥　③
联立①②③可得≥1
第二种情况,碰后乙做类平抛运动到达e点,此时可知7R+R=gsin θ·t2,R=v2t
解得v2=　④
联立①②④可得=
(3)在(2)问的质量比条件下,若碰后乙能越过线段de,根据前面分析可知当满足第一种情况时,碰后乙做圆周运动显然不满足能越过线段de,故碰后乙做类平抛运动越过线段de,故碰后乙的速度必然满足v2<
同时根据类平抛运动规律可知7R+R=gsin θ·,v2t2>R
同时需保证小球不能撞击到圆弧cd上,有
R=gsin θ·,v2t3联立解得联立②⑤将=代入可得对甲球从a到c过程根据动能定理-m1g·8Rsin θ=m1-Ek0　⑦
联立⑥⑦可得m1gRsin θ4.(1)　(2)vj+1= (3)或n(2n+1)(4n+1)+
[解析] (1)对长木板和滑块分别受力分析,可知长木板不动,第1个滑块做匀减速运动,由牛顿第二定律,有2μmg=ma
第1个滑块的初速度大小为v1=,设第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间速度为v10
由运动学公式,有-=2aL
解得v10=
(2)第1个滑块与第2个滑块碰撞,设碰撞后共同速度为v2,根据动量守恒定律有mv10=2mv2
解得v2=v10=
设第2个滑块与第3个滑块碰撞前速度为v20,有
-=2aL
解得v20=
第2个滑块与第3个滑块碰撞,设碰撞后共同速度为v3,根据动量守恒定律有2mv20=3mv3
解得v3=v20=
以此类推,可得vj+1=
(3)设k个滑块一起在木板上滑动时,木板开始滑动.则2μkmg>μ(nm+3nm)g
解得k>2n
故第2n+1个滑块在木板上滑动时,木板开始滑动,其余滑块和木板相对静止,设第2n+1个滑块刚开始在木板上滑动时的速度大小为v2n+1、加速度大小为a1,木板的加速度大小为a2
由(2)问分析得v2n+1=
由牛顿第二定律得
2μ(2n+1)mg=(2n+1)ma1
2μ(2n+1)mg-4μnmg=[4n-(2n+1)]ma2
设第2n+1个滑块开始滑动后,经时间t与木板达到共同速度,恰好不与下一个滑块相碰,由运动学知识得
v2n+1-a1t=a2t
v2n+1t-a1t2-a2t2=L
联立上式解得β=
或β=n(2n+1)(4n+1)+专题十一　动力学、能量、动量三大观点的综合应用
　　　　　 　　　　　 　　　　　
力学三大基本观点
动力学的 观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识解题,可处理匀变速运动问题
能量的 观点 用动能定理和能量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题
动量的 观点 用动量守恒观点解题,可处理非匀变速运动问题
　动力学与动量观点的综合应用
例1　[2025·河南卷] 如图所示,在一段水平光滑直道上每间隔l1=3 m铺设有宽度为l2=2.4 m的防滑带.在最左端防滑带的左边缘静止有质量为m1=2 kg的物块P,另一质量为m2=4 kg的物块Q以v0=7 m/s的速度向右运动并与物块P发生正碰,且碰撞时间极短.已知碰撞后瞬间物块P的速度大小为v=7 m/s,P、Q与防滑带间的动摩擦因数均为μ=0.5,重力加速度大小g取10 m/s2.求:
(1)该碰撞过程中损失的机械能;
(2)P从开始运动到静止经历的时间.
　能量与动量观点的综合应用
例2　[2025·新课标卷] 如图所示,物块P固定在水平面上,其上表面有半径为R的圆弧轨道.P右端与薄板Q连在一起,圆弧轨道与Q上表面平滑连接.一轻弹簧的右端固定在Q上,另一端自由.质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落,落到A点后沿圆弧轨道下滑,小球与弹簧接触后,当速度减小至刚接触时的时,弹簧的弹性势能为2mgR,此时断开P和Q的连接,从静止开始向右滑动.g为重力加速度大小,忽略空气阻力,圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑,弹簧长度的变化始终在弹性限度内.
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道,重力对其做的功;
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离;
(3)欲使P和Q断开后,弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR,Q的质量应为多大
(4)欲使P和Q断开后,Q的最终动能最大,Q的质量应为多大
　动力学、能量、动量三大观点的综合应用
例3　(18分)[2025·重庆卷] 如图所示,长度为d的水平传送带以顺时针方向匀速运动.质量为m的小物块A在传送带左端M由静止释放.A还未与传送带达到相同速度时就从右端N平滑地进入光滑水平面NO,且与向右运动的小物块B发生碰撞(碰撞时间极短).碰后A、B均向右运动,从O点进入粗糙水平地面.设A与传送带间的动摩擦因数和A、B与地面间的动摩擦因数均为μ,重力加速度为g.
(1)求A在传送带上的加速度大小及离开传送带时的速度大小;
(2)若碰前瞬间,B的速度大小为A的一半,碰撞为弹性碰撞,且碰后A、B在粗糙地面上停下后相距为d,求B的质量;
(3)若B的质量是A的n倍,碰后瞬间A和B的动量相同,求n的取值范围及碰后瞬间B的速度大小范围.
规范答题区 自评项目 (共18分) 自评+ 得分
书写工整无涂抹(是否加分项) 　 (√或×)
有必要的文字说明(2分)
有解题关键公式(12分)
结果为数字的带有单位(2分)
求矢量的有方向说明(2分)专题十一　动力学、能量、动量三大观点的综合应用 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2025·重庆渝中区三模] 某兴趣小组在研究物体在水面上的运动时,做了如图所示的实验.ABCD为一个充满水的水池,水池左侧有一个固定的四分之一粗糙圆弧轨道.一质量为m=0.1 kg的小物块从圆弧轨道的最上端静止释放,运动至轨道底端时,对轨道压力大小为2.8 N,随后滑上停靠在水池左侧木板的上表面.已知木板质量为M=0.3 kg,长度为L=2 m,小物块与木板上表面间的动摩擦因数为μ=0.5,圆弧轨道的半径为R=0.5 m,重力加速度g取10 m/s2,小物块可视为质点,木板一直水平漂浮在水面,忽略小物块冲上木板后木板在竖直方向上的运动,过程中小物块始终未滑离木板.
(1)求小物块运动至轨道最底端时速度的大小;
(2)若忽略水的阻力,则小物块与木板达到共速时(木板尚未到达水池右端),求小物块与木板左端的距离;
(3)若水对木板的阻力Ff与木板的速度v成正比,即Ff=kv,其中k=0.25 kg/s.最终木板右端运动到水池右端时,木板与小物块的速度恰好同时减为零,求水池的长度LAD.
2.[2025·浙江1月选考] 一游戏装置的竖直截面如图所示.倾斜直轨道AB、半径为R的竖直螺旋轨道、水平轨道BC和C'E、倾角为37°的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置.该装置除EF段轨道粗糙外,其余各段均光滑,F点与水平高台GHI等高.游戏开始,一质量为m 的滑块1从轨道AB上的高度h处静止滑下,与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3,滑上滑轨.若滑块3落在GH段,反弹后水平分速度保持不变,竖直分速度减半;若滑块落在H点右侧,立即停止运动.已知R=0.2 m,m=0.1 kg,EF段长度L= m,FG间距LFG=0.4 m,GH间距LGH=0.22 m,HI间距LHI=0.1 m,EF段μ=0.25.滑块1、2、3均可视为质点,不计空气阻力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2.
(1)若h=0.8 m,求碰撞后瞬间滑块3的速度大小vC;
(2)若滑块3恰好能通过圆轨道CDC',求高度h;
(3)若滑块3最终落入I点的洞中,则游戏成功.讨论游戏成功的高度h.
3.[2025·四川卷] 如图所示,倾角为θ的斜面固定于水平地面,斜面上固定有半径为R的半圆挡板和长为7R的直挡板.a为直挡板下端点,bd为半圆挡板直径且沿水平方向,c为半圆挡板最高点,两挡板相切于b点,de与ab平行且等长.小球乙被锁定在c点.小球甲从a点以一定初速度出发,沿挡板运动到c点与小球乙发生弹性碰撞,碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定,小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞.小球甲质量为m1,两小球均可视为质点,不计一切摩擦,重力加速度大小为g.
(1)求小球甲从a点沿直线运动到b点过程中的加速度大小;
(2)若小球甲恰能到达c点,且碰撞后小球乙能运动到e点,求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件;
(3)在满足(2)中质量比值的条件下,若碰撞后小球乙能穿过线段de,求小球甲初动能应满足的条件.
4.[2025·湖北卷] 如图所示,一足够长的平直木板放置在水平地面上,木板上有3n(n是大于1的正整数)个质量均为m的相同小滑块,从左向右依次编号为1、2、…、3n,木板的质量为nm.相邻滑块间的距离均为L,木板与地面之间的动摩擦因数为μ,滑块与木板间的动摩擦因数为2μ.初始时木板和所有滑块均处于静止状态.现给第1个滑块一个水平向右的初速度,大小为(β为足够大常数,g为重力加速度大小).滑块间的每次碰撞时间极短,碰后滑块均会粘在一起继续运动.最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)求第1个滑块与第2个滑块碰撞前瞬间,第1个滑块的速度大小.
(2)记木板滑动前第j个滑块开始滑动时的速度为vj,第j+1个滑块开始滑动时的速度为vj+1.用已知量和vj表示vj+1.
(3)若木板开始滑动后,滑块间恰好不再相碰,求β的值.
提示:12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1).

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