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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，，求的度数.
2．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．
3．列方程组解应用题：
2020年5月1日，新修订的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施共34座，总处理能力达到约24550吨/日，其中每一座焚烧设施处理能力约为1500吨/日，每一座生化设施处理能力约为350吨/日．则北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施各有多少座？
4．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
5．「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积比，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量比．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系．
（2）将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个矩形，且其中四大类食物的区块皆为矩形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16公分，宽为10公分，则a、b是否可能同时为正整数？
6．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
7． 在某商店购买 30 根跳绳和 60 个建子共用 720 元， 购买 10 根跳绳和 50 个建子共用 360 元．
（1） 跳绳、犍子的单价各是多少元？
（2）该店在某节假日期间开展促销活动， 所有商品按同样的折扣进行打折销售． 节日期间购买 100 根跳绳和 100 个建子只需 1800 元， 则该店的商品按原价的几折销售？
8．点点在某商场购买甲、乙两种商品若干次(每次甲、乙两种商品都购买)，其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲、乙两种商品同时打折，三次购买甲、乙两种商品的数量和费用情况如下表所示：
　 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用
第二次 5 5 900
第二次 6 7 1180
第三次 9 8 1064
（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元．
（2）若点点第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
9．扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天销售的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
10． 某地对一段长达米的河堤进行加固，要求天完成，在加固米后，必须提高工作效率的才能按期完成，工程成本核算中，若加工效率高于米天，就需要提高人力成本，那么完成这项工程过程中，是否需要提高人力成本？请说明理由．
11．计算：
（1）
（2）
12．已知A=4a3b-4a2b2-3b3，B=-3a2b2+2b3．
（1）求2A-B；
（2）当a=1，b=-2时，求2A-B的值．
13．已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围。
14．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，请把用“<”连接起来： 　 　．
（2）若，求的值．
（3）计算：．
15．先化简，再求值： ，其中
16．小明邀请你参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：.
[小明解答的部分]解：设，则有，故原方程可化为，去分母并移项，得.
[接龙]
17．如图，已知，，求的度数.
18．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）．
（1）通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ；
（2）小芳在计算时利用了（1）中的公式：
；
（请你将以上过程补充完整）
（3）利用以上的结论和方法，计算：．
19．如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，，点E，F为CD，AB上两点，.FM平分，.求的度数.
22．计算：
（1）6x2 3xy
（2）(4a﹣b2)(﹣2b)
（3）2a·（a+1）- a（3a- 2）+2a2 (a2-1).
23．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化.科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表.如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则v，t满足公式：v= at+b(a， b为已知数).
温度/℃ 声音传播的速度/(m/s)
- 10 324
0 330
20 342
（1）则a=　 　， b=　 　；
（2）求当t=25℃时， v的值.
24．已知 是方程 的解， 求 的值．
25．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
26．一块方巾铺在正方形的茶几上，四边刚好都垂下15cm。如果设方巾的边长为a，怎样求茶几的面积 请用关于a的多项式表示茶几的面积。如果a=100cm，茶几的面积是多少平方厘米
27．先化简，再求值：，其中．
28．吉阳配件厂男工人数与女工人数的比是6：7，若调走30名女工，则女工与男工人数的比为5：6，这个车间原有女工多少人？
29．如图，一张长方形白纸的长为 12，宽为6，求阴影部分的面积（阴影部分左右间距均匀）.
30．已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，求 的值.
31．若x=1-m-n，y=1+mn，请用含x的代数式表示y.
32．如图，点E是的边AC的反向延长线上一点，于点D，于点G，．
请问：AD平分吗？请说明理由．
33．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；
（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．
34．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解。而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案。
35．已知的平方根是它本身，的立方根是，求的值．
36．小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时，左边．右边左边．
37．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部.
38．已知点在数轴上所对应的数分别为，，若两点关于原点对称．
（1）当时，求的值；
（2）若不存在满足条件的，求的值．
39． 如图， 已知 ．
（1）求证： ．
（2） 求 的度数．
40．（1）求整式与的和.
（2）求整式的2倍与2y2的差.
41．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，∠COE=15°，求∠BOD的度数．
42．“春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天．
（1）求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？
（2）已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？
43．一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
44．某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
45．如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED， ∠B=45°， ∠D=30°．求 ∠GEF的大小．
46． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
47．如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
（1）如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为　 　；
（2）如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
（3）如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
48．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，若，，则________度，________度；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值．
49．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决例：试比较与的大小．
解：设，，
那么，
▲
▲ 填、．
填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行
问题：计算．
50．若关于x的方程无解，求 m 的值．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，，求的度数.
【答案】解：∵于点O，
∴∠BOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠BOC=∠EOC+∠BOE=35°+90°=125°.
∵ 直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC=125°.（对顶角相等）
∴.
【解析】【分析】根据相交线，得出对顶角相等，∠AOD=∠BOC，再根据已知条件求出∠BOC的度数即可.
2．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）
（2）解：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则（件），
答： 更新设备后每天生产125件产品．
【解析】【解答】解：（1）（件）.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意列代数式，再整理即可；
（2）根据题意找出等量关系，再列分式方程，解方程即可．
（1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了，
所以更新设备后每天生产件产品，
故答案为：；
（2）解：由题意知：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
所以更新设备后每天生产件．
3．列方程组解应用题：
2020年5月1日，新修订的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施共34座，总处理能力达到约24550吨/日，其中每一座焚烧设施处理能力约为1500吨/日，每一座生化设施处理能力约为350吨/日．则北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施各有多少座？
【答案】解：设北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有x座，生化设施有y座，
依题意，得： ，
解得： ．
答：北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有11座，生化设施有23座．
【解析】【分析】设北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施有x座，生化设施有y座，根据北京市现有生活垃圾处理设施中的焚烧设施和生化设施共34座且总处理能力达到约24550吨/日，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
4．如图，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）由同位角相等两直线平行可得CD∥EF，由两直线平行内错角相等可得∠2=∠DCE，根据等量代换并结合已知可得∠1+∠DCE=180°，再根据同旁内角互补两直线平行可求解；
（2）由已知得关于∠1、∠2的二元一次方程组，解方程组求出∠2的度数，由垂线的定义和平行线的性质得∠CEB=∠DAB=90°，然后由余角的意义可求解.
5．「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积比，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量比．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系．
（2）将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个矩形，且其中四大类食物的区块皆为矩形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16公分，宽为10公分，则a、b是否可能同时为正整数？
【答案】（1）解：因为蔬菜和水果合计占一半，所有蔬菜+水果＝肉类+蛋白质，
因为蔬菜＝肉类，
所以，水果＝蛋白质；
答：每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量相同；
（2）解：存在，a＝4，b＝5，
由（1）可知，图3中水果和蔬菜两个矩形的宽的和为8公分，蛋白质和肉类的长为8公分，
水果的面积为10a，肉类的面积为8（10﹣b），蔬菜的面积为10（8﹣a），蛋白质的面积为8b，
10a＝8b，8（10﹣b）＝10（8﹣a），
5a＝4b，
因为a＜8，b＜10，
a、b同时为正整数为a＝4，b＝5．
【解析】【分析】（1）格局图1中的关系列出等式，再格局等式的性质可推出水果＝蛋白质，从而得出答案；
（2）根据矩形的面积计算方法及（1）的结论可得：图3中水果和蔬菜两个矩形的宽的和为8公分，蛋白质和肉类的长为8公分，水果的面积为10a，肉类的面积为8（10﹣b），蔬菜的面积为10（8﹣a），蛋白质的面积为8b，由“蔬菜＝肉类，水果＝蛋白质”建立方程可得5a=4b，再结合a、b的取值范围，求出其正整数解即可.
6．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）解：解：，
，
，
，
，，
，
，
．
．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的判定与性质得到，再等量代换得到，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）根据平行线的性质得到，进而即可得到，，再根据平行线的性质得到，从而得到．
7． 在某商店购买 30 根跳绳和 60 个建子共用 720 元， 购买 10 根跳绳和 50 个建子共用 360 元．
（1） 跳绳、犍子的单价各是多少元？
（2）该店在某节假日期间开展促销活动， 所有商品按同样的折扣进行打折销售． 节日期间购买 100 根跳绳和 100 个建子只需 1800 元， 则该店的商品按原价的几折销售？
【答案】（1）解：设跳绳的单价为 元， 揵子的单价为 元．
由题意得 解得 所以跳绳的单价为 16 元， 段子的单价为 4 元．
（2）解：设该店的商品按原价的 折销售．
由题意得 ， 解得 ．
所以该店的商品按原价的九折销售．
【解析】【分析】（1）设跳绳的单价为 元， 揵子的单价为 元，根据题意列出方程组并求解即可；
（2）设打 折销售，根据等量关系“原价x折扣=实价”，列出关于z的一元一次方程，求解即可.
8．点点在某商场购买甲、乙两种商品若干次(每次甲、乙两种商品都购买)，其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲、乙两种商品同时打折，三次购买甲、乙两种商品的数量和费用情况如下表所示：
　 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用
第二次 5 5 900
第二次 6 7 1180
第三次 9 8 1064
（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元．
（2）若点点第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）解：设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，依
题意得
解得
答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元．
（2）解：设商场是打折出售这两种商品的，
依题意得，
解得，
答：商场是打7折出售这两种商品的．
【解析】【分析】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，根据表格中购买各商品的数量与购买总费用列出方程组并解方程组即可；
（2）设商场是打折出售这两种商品的，根据第三次购买各商品的数量与购买总费用将（1）中求出的商品价格代入即可得到关于m的方程，解方程即可求出折扣.
9．扬州市某土特产商店购进960盒绿叶牌牛皮糖，由于进入旅游旺季，实际每天销售的盒数比原计划每天多20%，结果提前2天卖完．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【答案】解：设原计划每天销售x盒，由题意得：
解得： x=80，经检验x=80是原分式方程的解．
答：原计划每天销售80盒
【解析】【分析】问题是设原计划每天销售多少盒？设原计划每天销售x盒，则960盒绿叶牌牛皮糖原计划销售的时间是天，实际每天销售的数量是（1+20%)x盒，则960盒绿叶牌牛皮糖实际销售的时间是天，根据实际销售的时间比原计划销售的时间少2天列出方程，求解并检验即可。．
10． 某地对一段长达米的河堤进行加固，要求天完成，在加固米后，必须提高工作效率的才能按期完成，工程成本核算中，若加工效率高于米天，就需要提高人力成本，那么完成这项工程过程中，是否需要提高人力成本？请说明理由．
【答案】解：不需要提高人力成本，理由如下：
设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固河堤米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
即采用新的加固模式后每天加固河堤米，
，
不需要提高人力成本．
【解析】【分析】列分式方程解答工作量问题（工程问题），判断是否需要提高人力成本，则需要求解工作效/率，判断是否大于120米/天；然后根据加固800米所用时间+加固1600米所用时间（提高效率后）=26列方程求解。
11．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）x·（-x）2-x3=x·x2-x3=x3-x3=0.
（2）解：（m-n）2·=（m-n）2·（m-n）15=（m-n）17.
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方的法则，把（-x）2化成x2，再用同底数幂相乘的乘法法则把x.x2化为x3，最后再计算x3-x3，结果为0.
（2）先根据积的乘方的法则，把（m-n）看做一个整体，算出=（m-n）15，然后根据同底数幂相乘的乘法法则，把（m-n）2.（m-n）15写成（m-n）17即可.
12．已知A=4a3b-4a2b2-3b3，B=-3a2b2+2b3．
（1）求2A-B；
（2）当a=1，b=-2时，求2A-B的值．
【答案】（1）解：原式=2（4a3b-4a2b2-3b3）-（-3a2b2+2b3）
=8a3b-8a2b2-6b3+3a2b2-2b3
=8a3b-5a2b2-8b3
（2）解：把a=1，b=-2代入得：
2A-B=8a3b-5a2b2-8b3
=8×13×（-2）-5×12×（-2）2-8×（-2）3
=8×1×（-2）-5×1×4-8×（-8）
=-16-20+64
=-36+64
=28
【解析】【分析】(1)先把A=4a3b-4a2b2-3b3，B=-3a2b2+2b3代入2A-B，然后去括号，台并同类项即可；
(2)把a=1，b=-2代入(1)中化简的结果，进行有理数的混合运算即可.
13．已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围。
【答案】解：方程边都乘得，
方程的解为非负数，
∴-m-2≥0且-m-2≠2，
∴m≤-2且m≠-4.
【解析】【分析】先根据题意去分母，进而去括号，再移项和合并同类项即可表示x，从而根据题意结合分式有意义的条件即可列出不等式，再解不等式即可求解。
14．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
（1）已知，请把用“<”连接起来： 　 　．
（2）若，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）∵，
且，
∴，
即 .
故答案为： .
【分析】（1）根据幂的乘方把a、b、c变形后，即可求解.
（2）利用幂的运算法则变形即可求解.
（3）利用幂的运算法则变形即可求解.
15．先化简，再求值： ，其中
【答案】解：
=
=
当 时，
原式= =56.
【解析】【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则，先算乘方运算，再算乘法运算，接着合并同类项化简，最后将a，b的值代入化简式，再进行计算.
16．小明邀请你参与数学接龙游戏：
[问题]解分式方程：.
[小明解答的部分]解：设，则有，故原方程可化为，去分母并移项，得.
[接龙]
【答案】解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，
，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入最简公分母得：，
分式方程的解为．
【解析】【分析】利用直接开平方法求出关于t的方程的解，即为的值，进而解分式方程求出x的值，检验即可．
17．如图，已知，，求的度数.
【答案】解：∵
∴.
∴，
∵
∴.
【解析】【分析】根据已知条件可得∠1=就爱哦2，推出AB∥CD，由平行线的性质可得∠3+∠4=180°，然后结合∠3的度数就可求出∠4的度数.
18．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）．
（1）通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ；
（2）小芳在计算时利用了（1）中的公式：
；
（请你将以上过程补充完整）
（3）利用以上的结论和方法，计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【解析】【解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：；
（2）
解：
，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到等式；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）先将代数式变形为，再利用平方差公式求解即可.
（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
．
19．如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC．
【答案】证明：∵AB⊥AC
∴∠ACB=90°（垂直定义）
∵∠1=30°
∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°
又∵∠B=60°
∴∠BAD+∠B=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：ACB，90，垂直定义，BAC，1，120，180，同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得出结论.
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式＝
【解析】【分析】先根据整式的混合运算化简，再代入即可求解。
21．如图，，点E，F为CD，AB上两点，.FM平分，.求的度数.
【答案】证明：，
，
，
平分，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠BFE=60°，根据平角的定义求得∠AFE=120°，进而利用角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；即可求得∠EFM=30°，解题意即可求解.
22．计算：
（1）6x2 3xy
（2）(4a﹣b2)(﹣2b)
（3）2a·（a+1）- a（3a- 2）+2a2 (a2-1).
【答案】（1）解：6x2 3xy=18x3y；
（2）解：（4a﹣b2）(﹣2b）=﹣8ab+2b3
（3）解：2a·（a+1）- a（3a-2）+2a2 (a2-1) =2a2+2a - 3a2+2a +2a4 -2a2=2a4 -3a2+4a
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式的性质计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算方法计算即可；
（3）根据整式的运算性质进行计算即可得到答案。
23．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化.科学家已测得一定温度下声音传播的速度如表.如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则v，t满足公式：v= at+b(a， b为已知数).
温度/℃ 声音传播的速度/(m/s)
- 10 324
0 330
20 342
（1）则a=　 　， b=　 　；
（2）求当t=25℃时， v的值.
【答案】（1）；330
（2）解：由（1）知：，
将代入上式，可得，
∴当时，v的值为．
【解析】【解答】（1）解：将代入中，即，
将代入中，即，
联立，
解得：；
故答案为：；330；
【分析】（1）将t=0，v=330和t=20，v=342代入公式，解二元一次方程组即可；
（2）由（1）可得公式，把t=25代入求出v的值即可．
24．已知 是方程 的解， 求 的值．
【答案】解：将代入，
可得：2k-1=3，
解得：k=2.
【解析】【分析】将代入，可得：2k-1=3，再求出k的值即可.
25．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【解析】【分析】设原计划每天种植梨树x棵，根据“某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务”即可列出分式方程，进而解方程即可求解。
26．一块方巾铺在正方形的茶几上，四边刚好都垂下15cm。如果设方巾的边长为a，怎样求茶几的面积 请用关于a的多项式表示茶几的面积。如果a=100cm，茶几的面积是多少平方厘米
【答案】解：由题意得，茶几的边长，所以茶几的面积。
当时，茶几的面积。
【解析】【分析】根据题意用a表示出茶几的边长，即可得(a-2×15)cm. 再根据正方形面积公式计算出茶几的面积，在计算时需借助完全平方公式化简. 然后把a=100cm代入茶几面积表达式进行计算，即可解答.
27．先化简，再求值：，其中．
【答案】解；
当时，原式．
【解析】【分析】根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”并结合合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将多项式化简，然后将的值代入化简后的代数式计算即可求解．
28．吉阳配件厂男工人数与女工人数的比是6：7，若调走30名女工，则女工与男工人数的比为5：6，这个车间原有女工多少人？
【答案】解：设车间原有女工7a人，则男工人数6a，
根据题意得
解得a=15，
经检验，符合题意，
∴这个车间原有女工7×15=105人
【解析】【分析】设车间原有女工7a人，则男工人数6a，根据题意列出方程即可求解.
29．如图，一张长方形白纸的长为 12，宽为6，求阴影部分的面积（阴影部分左右间距均匀）.
【答案】解：根据平移得，阴影部分的面积为长为6，宽为2的长方形，
∴ 阴影部分的面积=6×2=12.
【解析】【分析】根据平移可得，阴影部分的面积为长为6，宽为2的长方形，根据长方形的面积公式即可求得.
30．已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，求 的值.
【答案】解：解方程组
得：
∵关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=10的解，
∴代入得：8m-3m=10，
解得：m=2
【解析】【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．
31．若x=1-m-n，y=1+mn，请用含x的代数式表示y.
【答案】解：∵x=1-m-n，
∴m-n=1-x，
∴mn=．
∵y=1+mn，
∴.
【解析】【分析】由x=1-m-n进行变形，用x的式子表示mn，然后用含x的式子代替y=1+mn中的mn即可．
32．如图，点E是的边AC的反向延长线上一点，于点D，于点G，．
请问：AD平分吗？请说明理由．
【答案】解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠EGC=∠ADC=90°，
∴EG∥AD，
∴∠2=∠3，∠1=∠E．
∵∠E=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC．
【解析】【分析】平行线的判定与性质的综合运用。
33．如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．
（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；
（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．
【答案】（1）解：L＝2（m+2n）+2（2m+n）
＝2m+4n+4m+2n
＝6m+6n（cm）；
（2）解：每块小矩形的面积为30cm2，即mn＝30cm2，
四个正方形的面积为180cm2，即m2+n2＝90cm2，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2，
＝90+2×30
＝90+60
＝150（cm2）．
【解析】【分析】（1）根据切痕有两横两纵列出算式，合并同类项即可求出答案.
（2）根据小矩形的面积和正方形面积列出算式，再根据完全平方公式即可求出答案.
34．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解。而小亮把方程②抄错了，从而得到错解，请你求出正确答案。
【答案】解：由题意得，解得
∴，解得
【解析】【分析】根据“ 小明把方程①抄错了”，可知将小明解的解代入②，得到一个关于a，b的方程，根据“小亮把方程②抄错了”，将小亮解的解代入 ①，得到另一个关于a，b的方程，将两个方程联立，求得a，b，再代入求出方程组的解.
35．已知的平方根是它本身，的立方根是，求的值．
【答案】解：因为的平方根是它本身，所以，解得．
因为的立方根是，所以，解得，
所以．
【解析】【分析】根据立方根，平方根的概念可得x、y的值，再由积的乘方的逆运算，即可求出答案．
36．小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时，左边．右边左边．
【答案】解：
经检验：是原方程的增根，舍去
∴原方程无解．
【解析】【分析】通过观察，发现去分母时，-2漏乘了最简公分母， 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
37．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部.
【答案】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，
根据题意得： ，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x=30.
答：每月实际生产智能手机30万部.
【解析】【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
38．已知点在数轴上所对应的数分别为，，若两点关于原点对称．
（1）当时，求的值；
（2）若不存在满足条件的，求的值．
【答案】解：两点关于原点对称，则两点表示的数互为相反数
则，
（1）把代入得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
则；
（2）去分母得：，即，
由不存在满足条件的值，得到，
把代入得：，
解得：．
则.
【解析】【分析】（1）根据题意得到，表示的数互为相反数，得到分式方程，把代入计算即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出，再将代入整式方程计算即可求出的值．
39． 如图， 已知 ．
（1）求证： ．
（2） 求 的度数．
【答案】（1）证明： ，
（2）解：．
【解析】【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可。
40．（1）求整式与的和.
（2）求整式的2倍与2y2的差.
【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
【解析】【分析】根据整式的加减乘除运算法则计算即可.
41．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，∠COE=15°，求∠BOD的度数．
【答案】解：∵OF⊥OC 已知），
∴∠COF＝90°（垂直的定义），
∵OE 平分∠AOF（已知），
∴∠AOE＝∠EOF（角平分线的定义），
∵∠COE＝15°（已知），
∴∠AOE＝∠EOF＝∠COF－∠COE＝75°，
∴∠AOC＝∠AOE－∠COE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°（对顶角相等）
【解析】【分析】利用垂直的定义，可证得∠COF＝90°，利用角平分线的定义可证得∠AOE＝∠EOF，根据∠AOE＝∠EOF＝∠COF－∠COE，代入计算求出∠AOE的度数，然后根据∠AOC＝∠AOE－∠COE，代入计算求出∠AOC的度数，利用对顶角相等，可得到∠BOD的度数.
42．“春节”是我国最传统、最热闹的节日．计划由甲、乙两个工厂一起生产一批2024龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”．已知甲工厂每天生产的数量是乙工厂每天生产数量的倍，两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天．
（1）求甲乙两工厂每天各生产多少个吉祥物？
（2）已知甲乙两工厂生产该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，计划由两个工厂合作生产15000个这种吉祥物，由于时间的限制，甲乙两工厂同时开始生产，同时结束，那么一共需要支付多少资金？
【答案】（1）解：设甲工厂每天生产x个吉祥物，则乙工厂每天生产个吉祥物，
依题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：甲工厂每天生产400个吉祥物，乙工厂每天生产600个吉祥物；
（2）解：甲、乙同时生产，一天可生产个，
则需要生产（天），
则费用为（元），
答：一共需要支付42000资金．
【解析】【分析】（1） 设甲工厂每天生产x个吉祥物，则乙工厂每天生产个吉祥物， 根据 两工厂各生产2400个该吉祥物时，甲工厂比乙工厂少用2天 ，可得方程 ： ，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）首先根据（1）的答案可得出 甲、乙同时生产，一天可生产个， 从而得出所需的总天数为 （天）， 进一步即可求得总费用 （元）。
43．一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
【答案】解：设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，
，
解得 ，
答：快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.
【解析】【分析】设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，根据题意列方程组求解即可.
44．某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需要x元，B种纪念品每件需要y元，
根据题意，得，
解得.
答：购进A种纪念品每件需要150元，B种纪念品每件需要100元；
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，正好用完4000元，则：
150a+100b=4000，化简得3a+2b=80，
∴，
∵a，b都是不小于12的正整数，
∴当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；
当a=16时，b=16；当a=18时，b=13.
答：该商店共有四种进货方案；
（3）解： 方案一：12×20+22×30=900（元），
方案二：14×20+19×30=850（元），
方案三：16×20+16×30=800（元），
方案四：18×20+13×30=750（元），
∵900＞850＞800＞750，
∴方案一利润最大.
答：购进A种纪念品12件、B种纪念品22件时，获利最大，最大利润为900元．
【解析】【分析】（1） 设购进A种纪念品每件需要x元，B种纪念品每件需要y元，根据“若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元”，得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2） 设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，正好用完4000元，则可得出关于a、b的二元一次方程，再由a、b均为不小于12的正整数，可找出四种进货方案；
（3）在（2）的基础上算出四种方案的利润，再进行比较即可.
45．如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED， ∠B=45°， ∠D=30°．求 ∠GEF的大小．
【答案】解：因为AB∥CD，AB∥EF，所以EF∥CD，所以内错角 FED= D=30°．又因为AB∥EF，所以内错角FEB=B=45°，从而， BED=FED+FEB=75°．因为EG平分BED，所以BEG= BED=37.5°．从而 GEF=BEF-BEG=45°-37.5°=7.5°．所以 GEF为7.5°．
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠FED=∠D=30°，∠FEB=∠B=45°，从而得∠BED=75°；再由角平分线性质得∠BEG=37.5°，由∠GEF=∠BEF- ∠BEG即可求得答案.
46． 小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同， 妈妈每次加油都说 “师傅， 给我加 200 元油” (油箱未加满)， 而爸爸则说： “师傅， 帮我把油箱加满！” 小明很好奇： 现实生活中油价常有变动， 爸爸妈妈不同的加油方式， 哪种方式会更省钱呢？ 现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油时油价为 元/升，第二次加油时油价为 元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格 (用含 的代数式表示)．
（2） 爸爸和妈妈的两种加油方式中， 谁的加油方式更省钱？ 用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
妈妈两次加油的总量是 (升)，妈妈两次加油的平均价格是 (元/升)，即妈妈两次加油的总量是 升， 妈妈两次加油的平均价格是 元/升．
（2）解：设油箱的容积是 升，
则爸爸两次加油的平均价格是 (元/升)， ．
当 时， 爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当 时，妈妈的加油方式更省钱．
【解析】【分析】（1）根据等量关系“加油总量=第一次加油量+第二次加油量”以及“平均价格=两次总价格÷加油总量”列出代数式并计算即可；
（2）先表达出爸爸的加油方式下的平均价格，然后用妈妈的加油方式下的平均价格减去爸爸的加油方式下的平均价格，根据结果的形式，分析出不同的x、y的大小情况下哪种方式更省钱.
47．如图1，已知直线，点A在直线上，点B在直线上．
（1）如图1，点C在直线、之间，连接、，若，，则的度数为　 　；
（2）如图2，点C在直线的上方，平分，平分，延长与交于点D，若，，求的度数：
（3）如图3，点C在直线的上方，，，平分交于点F，将绕着点A以每秒的速度逆时针方向旋转得，旋转时间为t秒；同时将射线绕着点B以每秒的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线首次重合时，和射线同时停止转动，在旋转过程中，作的角平分线，作的角平分线，请直接写出当时t的值．
【答案】（1）64
（2）解：∵平分，，∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）18或90
【解析】【解答】（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，结合角平分线的定义、角的旋转，分情况讨论角度关系，解题关键是作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角的关系。
(1)过点C作，由得，根据两直线平行，内错角相等，得，，将两角相加即可得到的度数；
(2)由AE平分求出，由BF平分求出，过点D作，由得，根据平行线的性质得，，将两角相加即可得到的度数；
(3)先确定旋转的停止条件，再分在与之间、在下方两种情况，结合角平分线的定义表示出和相关的角，再根据的平行线性质列出关于t的方程，求解即可得到t的值。
（1）解：过C作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：64；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
过D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分两种情况进行讨论：
①当位于与之间时，如图①，
由得：，
∵，经过时间t，
有，
则
而，
∴，
又∵，平分，
∴，
而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：；
②当位于下方时，如图②，
∵，
∴，
经过时间，
同理：，
则，
而，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
解得，
综上：或90．
48．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，若，，则________度，________度；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：
设，则则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
，
∴，
即：
∴.
（3）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
由（2）得，
又，
∴，
∴，
∴，
由题意得，则，则
设与的交点为I，则
如图①：时，
即：
解得：；
如图②：时，
同理
即：
解得：；
如图③：时，
，则
同理
即：
解得：；
综上所述：或或.
【解析】【解答】（1）解：延长交于G，设交于点H，如图所示：
设，则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
即：，
∴，
故答案为：；.
【分析】（1）延长交于G，设交于点H，设，则，再利用平行线的性质及角平分线的定义及角的运算分析求解即可；
（2） 设，则则， 先利用角的运算和等量代换求解即可；
（3）分类讨论：①时，②时，③时，先分别画出图形并利用角的运算分析求解即可.
49．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决例：试比较与的大小．
解：设，，
那么，
▲
▲ 填、．
填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行
问题：计算．
【答案】解：；
<；
设，，，
，，
，
．
【解析】【解答】解：设，，
那么，
，
；
设，，
∴，
∴，
∴．
【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，平方差公式求解，设t=m+18.2024，p=(m+22.2024)(m+14.2024)，q=（m+18.2024)(m+17.2024)，则p=(t+4)(t-4)，q=t(t-1)，据此求出P-q的值，即可得到答案．
50．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【解析】【分析】分式方程无解，一是产生增根，需要舍去，有解变无解；二是解出的根是含有字母的代数式，字母的取值使代数式无意义，只有这两种情况下分式方程无解，据此可求m值。
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