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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．八年级一班有12位同学的身高如下（单位：cm）：160，160，170，158，170，168，158，170，158，160，160，168，求这12位同学的平均身高。
2．如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值．
3．太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件．临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件．设该品牌衣服每件降价x元．
（1）求每天的销售量y（件）关于x（元）的函数关系式．
（2）在销售单价不低于150元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元．
4． 如图， 在平行四边形 中， 点 分别是边 的中点， 连结 ．
（1）求证： ．
（2）若四边形 的周长为 ， 求平行四边形 的周长．
5． 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）的长为　 　；
（2）求证：；
（3）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点在第一象限时的坐标 ▲ ．
6．如图1，在同一平面内有三条等距的平行线l1，l2，l3，点A在直线l1上，点B， D在直线l2上。
（1）在直线l3上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形ABCD为平行四边形；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2） 在(1) 的条件下， 若AB=AD， 如图2所示， 连接AC交直线l2于点O， 在直线l3上截取CE=OD， 连接DE， 求证： 四边形 OCED 是矩形。
7．如图1，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB，交AB的延长线于点 E，连结OE.
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若CE=2 ，∠ADC=120°，求四边形ABCD的面积.
8．某公司计划招聘一名大学毕业生做科研助理，组织了一场面试，甲、乙两个大学生的成绩如下表（单位：分）：
应聘大学生 仪表形象 语言表达 专业知识 实验水平
甲 96 88 80 84
乙 86 92 86 88
（1）乙的四项得分的众数为　 　分，中位数为　 　分．
（2）若将仪表形象、语言表达、专业知识、实验水平四项得分按的比例确定最终录用人选，通过计算说明若只看最终成绩，该公司会录用哪个大学生．
（3）请你判断（2）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例，并给出理由．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点坐标为，点坐标为．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请说明直线向下平移了几个单位长度．
10．如图，在□ABCD中，点E，F在它的内部，且AE=CF，BE=DF，试指出AC与EF的关系，并说明理由。
11．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
12．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积．
13．如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线 与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标．
14．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.
（1）当m为何实数时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若x1，x2是方程的两个根，且xx2＋x1x＝－，试求实数m的值．
15．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求：
（1）对角线的长度；
（2）求边上高长．
16．正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接．
（1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：；
（2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长．
17．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（） 10 15 50
波长（m） 30 20 6
（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
18．如图，将绕点A逆时针旋转得到．使点B的对应点E落在边上，求的度数．
19．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于，求的取值范围．
21．定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P(x1，y1)与某函数图象上的一点 Q(x2，y2)，若. 则称点 Q 为点 P 在该函数图象上的“直差点”.
（1）已知点 P(2，0)，求点 P 在函数y=2x+2图象上“直差点”的坐标；
（2）若点 P(m，0)在函数 的图象上恰好存在唯一的“直差点”，求m 的值.
22．解方程：2x－6＝3x(x－3)．
小明是这样解答的：
将方程左边分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步
方程两边同时除以(x－3)，得2＝3x.……第二步
解得x＝ .……第三步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
23．图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数.若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.
（1）将水从20℃加热到100℃需要　 　min；
（2）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（3）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长
24．如图，在ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1） △ABE≌△CDF； ．
（2）四边形AECF是平行四边形．
25．在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线．
（1）每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？
26．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ，若 ， 求 的长.
27．如图，在ABCD中，∠C=70°，点E为AD上一点，连接BE，AB=BE，求∠EBC的度数．
28．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量
1 008 kg的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
29．在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
30．如图1，将矩形ABCD()绕点A逆时针方向旋转得到矩形AFFG，连接BE.
（1） 若，求的度数；
（2） 如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P. 求证：P是BG的中点.
31．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝15，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．
32．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集．
33．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形 请说明理由.
(2)填空：
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
34．已知a，b均为正数，且a+b=2，求的最小值．
35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数
的图象交于点C（1，m），过点B作y轴的垂线交反比例函数
的图象于点D，连接AD，求k的值及△ABD的面积．
36．我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴，y轴交于点A(－2，0)，B，与反比例函数y＝的图象交于点C(1，3)，D.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点P(n，0)作平行于y轴的直线l与一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象分别交于点E(n，y1)，F(n，y2)，当y1≥y2时，直接写出n的取值范围．
38．设的三边长分别为，，，满足的平方根为，的算术平方根为3，的立方为27．
（1）求a，b，c的值；
（2）若，求的值．
39．如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
40．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
41．一个多边形的内角和等于它的外角和的6倍，求该多边形的边数．
42．解一元二次方程时，以下是两位同学的解法：
甲同学：，，或，∴或． 乙同学：，，，，，∴此方程无实数根．
（1）他们的解法正确吗？请直接写出判断结果．甲同学的解法　 　 乙同学的解法　 　（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
43．【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
44．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
45．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE.
（1）求证：DE⊥BE；
（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长.
46．用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，证明勾股定理．
（2）如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形ABCDEFGH，若该八边形的周长为24，OH＝3，求该八边形的面积．
（3）如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转180°得到新的直角三角形拼接成正方形PQMN，将图③中正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　．
47．已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
48．若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有；
①；②；③．
（2）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围．
49．在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC， 点D 是边BC上一点， 点E在 CB的延长线上，且BE=BD.将射线AE 绕点A 逆时针旋转45°得到射线AM，作 垂足为F，连接AD， BF.
（1） 如图1， 当BD=BA时， 求∠BEF的度数；
（2）如图2，用等式表示线段AD与BF的数量关系，并证明.
50．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）下列各式中，是根分式的是_______；
A． B． C． D．
（2）写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）；
（3）已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数x的值．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．八年级一班有12位同学的身高如下（单位：cm）：160，160，170，158，170，168，158，170，158，160，160，168，求这12位同学的平均身高。
【答案】解：整理数据，得
答：这12位同学的平均身高约为163cm。
【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式可求解。即平均身高=≈163cm.
2．如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值．
【答案】解：将代入中，得，
解得，
故一元二次方程为，
即，
则另外一个解为．
【解析】【分析】将x=1代入方程可得b值，再根据因式分解法解方程即可求出答案.
3．太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件．临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件．设该品牌衣服每件降价x元．
（1）求每天的销售量y（件）关于x（元）的函数关系式．
（2）在销售单价不低于150元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元．
【答案】（1）解：由题意知，当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件，
∴；
（2）解：假设衣服每件降价x元，则销售量为件，
∴，
解得：或15
∵售单价不低于150元，
∴每件衣服应降价15元，即销售单价为185元时，该品牌衣服的销售单价定185元时，商场每天利13600元；
【解析】【分析】（1）根据当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件，求函数解析式即可；
（2）根据题意找出等量关系求出， 再解方程求解即可。
4． 如图， 在平行四边形 中， 点 分别是边 的中点， 连结 ．
（1）求证： ．
（2）若四边形 的周长为 ， 求平行四边形 的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE=CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形，
∴AF=CE.
（2）解：·四边形AECF的周长为10，AF=3，
∴AE+CF=10-2x3=4.
∵点E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AD+BC=2(AE-CF)=8.
∵AB=2，
∴平行四边形ABCD的周长=8+2x2=12
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合中点的定义可得AE=CF，AD∥BC，根据平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质求AE+CF=4，根据中点的性质可得AD+BC的长，结合AB=2，求解即可。
5． 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为．
（1）的长为　 　；
（2）求证：；
（3）若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点在第一象限时的坐标 ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：∵BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，AC2＝20，
∵BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，
∴AC⊥BC；
（3）解：如图所示：
D点的坐标（0，4），（4，2），（ 4， 4），
∴点在第一象限时的坐标为（4，2）
故答案为：（4，2）．
【解析】【解答】解：（1）如图：AC=.
故答案为：；
【分析】（1）利用网格纸的特点，用勾股定理可求解；
（2）利用网格纸的特点，用勾股定理算出BC2、AB2、AC2，用勾股定理的逆定理可判断求解；
（3）根据平行四边形的性质和网格图的特征可求解.
6．如图1，在同一平面内有三条等距的平行线l1，l2，l3，点A在直线l1上，点B， D在直线l2上。
（1）在直线l3上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形ABCD为平行四边形；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2） 在(1) 的条件下， 若AB=AD， 如图2所示， 连接AC交直线l2于点O， 在直线l3上截取CE=OD， 连接DE， 求证： 四边形 OCED 是矩形。
【答案】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求；
作AF⊥BD，CG⊥BD， 则AF=CG，
由作图可知： AB=CD，
∴△AFB≌△CGD(HL)，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）证明： ∵CE=OD， CE∥OD，
∴四边形OCED为平行四边形.
由 (1)可知四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形.
∴BD⊥AC，
∴∠DOC=90°.
∴四边形OCED为矩形.
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与作图、矩形的判定，以及菱形的性质。
（1）要作平行四边形 ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，利用尺规以 为圆心、 长为半径在 上截取点 ，使得 ，且 （因 ），即可得到所求平行四边形。
（2）要证明四边形 是矩形，先根据 且 ，判定其为平行四边形；再由 及（1）中平行四边形 ，得出 是菱形，菱形的对角线互相垂直，故 ，即 ；最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可完成证明。
7．如图1，在四边形 ABCD中，AB∥CD，AB=AD，对角线 AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB，交AB的延长线于点 E，连结OE.
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若CE=2 ，∠ADC=120°，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC.
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD.
又∵AB=AD，∴AB=CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD，∴ ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=120°，AB=BC，
∴∠CBE=60°.
∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=30°，∴BC=2BE.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2=BE2+CE2，
即(2BE)2=BE2+(2)2，则BE=2，
∴BC=2BE=4，∴AB=BC=4，
∴四边形ABCD的面积=AB·CE=4×2=8
【解析】【分析】(1)通过角的等量关系证明邻边相等，结合平行四边形的条件判定四边形为菱形；
(2)根据菱形的性质求出相关线段长度，进而计算菱形面积.
8．某公司计划招聘一名大学毕业生做科研助理，组织了一场面试，甲、乙两个大学生的成绩如下表（单位：分）：
应聘大学生 仪表形象 语言表达 专业知识 实验水平
甲 96 88 80 84
乙 86 92 86 88
（1）乙的四项得分的众数为　 　分，中位数为　 　分．
（2）若将仪表形象、语言表达、专业知识、实验水平四项得分按的比例确定最终录用人选，通过计算说明若只看最终成绩，该公司会录用哪个大学生．
（3）请你判断（2）中分配比例是否合理．若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例，并给出理由．
【答案】（1）86；87
（2）解：（分），
（分），
∵，
∴该公司会录用甲；
（3）解：不合理，理由：
科研助理更加注重专业知识、实验水平，仪表形象、语言表达占比应减小．
我认为合理的比例为：，这样专业知识、实验水平的比例更重．
【解析】【解答】解：(1)乙的 四项得分中，出现次数最多的是86分，所以众数是86。
把四项得分按从小到大顺序排列，中间的两个数是86和88，86和87的平均数是87，所以中位数是87.
故答案为：86，87.
【分析】（1）根据众数，中位数的定义进行求解即可。
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可。
（3）根据各项的实际需求给出适合的权重，从而在成绩上体现出来。
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点坐标为，点坐标为．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请说明直线向下平移了几个单位长度．
【答案】（1）解：把代入，
解得：，
，
把代入得，，
，
把和代入得：，
解得，
；
（2）解：将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，
直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
，
整理得，
，
解得或，
即的值为或．
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用。
（1）根据待定系数法先求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标为（4，1），再次利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）根据直线AB向下平移得到新的直线解析式为y=-x+5-m，由平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点可得，进而化简为二元一次方程组，求解即可。
10．如图，在□ABCD中，点E，F在它的内部，且AE=CF，BE=DF，试指出AC与EF的关系，并说明理由。
【答案】解：AC与EF互相平分，理由为：
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD， AB=CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AB=CD， AE=CF， BE= DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠BAE =∠FCD且∠BAC =∠ACD，
∴∠EAC=∠FCA，
∴CF∥AE且AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴ AC与EF互相平分.
【解析】【分析】由题意可证△ABE≌△DCF，可得∠BAE=∠DCF， 即可得∠CAE=∠ACF， 可证AE∥CF即可证AECF是平行四边形，可得AC与EF的关系.
11．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
【答案】解：设AB的长为x米，根据题意得
，
解得 ，
当 时， ，不符合题意，故舍去；
当 时， ，符合题意，
∴ ，
∴AB边为12米，BC边为18米．
【解析】【分析】设AB的长为x米，根据题意表示出AB、BC的长，再利用长方形ABCD的面积为216平方米，列出一元二次方程求解即可。
12．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积．
【答案】解：设小正方体的棱长为xcm，
则8x2=125，x2=
解得x= 即x=2.5
所以长方体的长为4×2.5=10(cm)，宽为2.5cm，高为2x2.5=5(cm)
故这个长方体的表面积为2x(10×2.5+2.5×5+5×10)=175(cm2)
【解析】【分析】根据大、小正方体的关系可列出方程，解出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式，计算即可。
13．如图所示，矩形AOBC的边AO，OB在两坐标轴上，双曲线 与矩形AOBC的边交于点D，E，点C（8，5），求D，E两点的坐标．
【答案】解：∵矩形ABCD，点C（8，5）
∴AC∥x轴，BC∥y轴，
∵点D，E在反比例 的图象上，
∴当y=5时，
5x=8
解之：
∴点；
当x=8时，8y=8，
解之：y=1
∴点E（8，1）.
【解析】【分析】利用矩形的性质可证得AC∥x轴，BC∥y轴，由点D，E在反比例 的图象上，可求出当y=5时的x的值，可得到点D的坐标，再求出当x=8时y的值，可得到点E的坐标.
14．已知关于x的方程(m－1)x2－x－2＝0.
（1）当m为何实数时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若x1，x2是方程的两个根，且xx2＋x1x＝－，试求实数m的值．
【答案】（1）解：由题意得：△＝（－1）2－4×（m－1）×（－2）＝8m－7＞0，∴m＞.又∵m－1≠0，∴m≠1．故m＞且m≠1时，方程有两个不相等的实数根.（2）解：由题意得：x1＋x2＝，x1x2＝－.∵＝x1x2（x1＋x2）＝，∴－·＝，∴（m－1）2＝16，∴m1＝5，m2＝－3．∵m≥且m≠1，∴m＝5.
（1）解：由题意得：△＝（－1）2－4×（m－1）×（－2）＝8m－7＞0，∴m＞.
又∵m－1≠0，
∴m≠1．
故m＞且m≠1时，方程有两个不相等的实数根.
（2）解：由题意得：x1＋x2＝，x1x2＝－.
∵＝x1x2（x1＋x2）＝，
∴－·＝，
∴（m－1）2＝16，
∴m1＝5，m2＝－3．
∵m≥且m≠1，
∴m＝5.
【解析】【分析】（1）判别式：通过 且二次项系数非零，确定 范围.
（2）韦达定理：利用根与系数的关系，将条件式 转化为 ，代入韦达定理表达式列方程；求解验证：解出 后，结合（1）的范围验证，舍去不符合的值.
15．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求：
（1）对角线的长度；
（2）求边上高长．
【答案】（1）解：∵四边形是边长为的菱形，对角线长为，
，，，，
，
，
.
（2）解：∵四边形是菱形，是边上的高，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质及勾股定理求出EA的长，再求出即可；
（2）利用菱形的面积公式可得，再将数据代入求出DF的长即可.
16．正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接．
（1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：；
（2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）证明：由题意得，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于点，取的中点，连接，
∵正方形，，E是中点，
∴，，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，利用证明，即可证明；
（2）作交的延长线于点，取的中点，连接，先求得，由，求得，证明，求得，，，利用勾股定理可得，．
（1）证明：由题意得，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作交的延长线于点，取的中点，连接，如图，
∵正方形，，E是中点，
∴，，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
17．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（） 10 15 50
波长（m） 30 20 6
（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
【答案】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）将代入即可求解。
18．如图，将绕点A逆时针旋转得到．使点B的对应点E落在边上，求的度数．
【答案】解：由旋转的性质可知，，
∴
∴．
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
19．甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？
【答案】解：根据题意，甲先在圆桌中心放一枚硬币，然后乙在圆桌的某个位置放一枚硬币，甲就在圆桌的对称位置放一枚硬币，这样，只要乙能放下一枚硬币，甲就能在对称位置放下一枚硬币，甲获胜。
【解析】【分析】根据对称思想结合题意分析，进而得到甲先在圆桌中心放一枚硬币，然后乙在圆桌的某个位置放一枚硬币，甲就在圆桌的对称位置放一枚硬币，进而即可求解。
20．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于，求的取值范围．
【答案】（1）证明：由题意得：，
故该方程总有两个实数根；
（2）解：，
解得：，，
方程有一个实数根小于，
．
．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先求出方程的解，，再结合“ 方程有一个实数根小于 ”列出不等式，再求出m的取值范围即可.
21．定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P(x1，y1)与某函数图象上的一点 Q(x2，y2)，若. 则称点 Q 为点 P 在该函数图象上的“直差点”.
（1）已知点 P(2，0)，求点 P 在函数y=2x+2图象上“直差点”的坐标；
（2）若点 P(m，0)在函数 的图象上恰好存在唯一的“直差点”，求m 的值.
【答案】（1）解：设点 P(2，0)在函数y=2x+2图象上“直差点”的坐标为(a，2a+2)，
根据“直差点”定义可得，0-(2a+2)=a-2，解得a=0，
∴点P(2，0)在函数y=2x+2图象上“直差点”的坐标为(0，2)；
（2）解：设点 P(m，0)在函数 的图象上的“直差点”为(x，)，
，整理得
∵点 P(m，0)在函数 的图象上恰好存在唯一的“直差点”，
∴，即，解得m=0(舍)或m=4，
∴m的值为4.
【解析】【分析】（1）设点P“直差点”的坐标为(a，2a+2)，根据 “直差点” 的定义，建立关于a 的方程求解即可得出结论；
（2）设点P“直差点”的坐标为 为(x，)，根据 “直差点” 的定义，建立关于x 的方程，利用存在唯一的“直差点”即可得到关于m的方程，求解方程即可得出结论.
22．解方程：2x－6＝3x(x－3)．
小明是这样解答的：
将方程左边分解因式，得2(x－3)＝3x(x－3)．……第一步
方程两边同时除以(x－3)，得2＝3x.……第二步
解得x＝ .……第三步
（1）小明的解法从第　 　步开始出现错误；
（2）写出正确的解答过程．
【答案】（1）二
（2）2x﹣6=3x（x﹣3）
2（x﹣3）=3x（x﹣3）
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0
（x﹣3）（2﹣3x）=0
x﹣3=0，2﹣3x=0
x1=3，x2= ．
【解析】【分析】首先判定小明的解法从第二步开始出现错误，再利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．
23．图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数.若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.
（1）将水从20℃加热到100℃需要　 　min；
（2）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（3）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长
【答案】（1）
（2）解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数，
设，
由（1）知，过点，
，
水温关于通电时间的函数表达式为；
（3）解：由题意得，，
当时，，解得，
又，
加热一次，水温不低于的时间为．
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
【分析】（1）根据温度差除以单位时间水温上升的温度解答即可；
（2）利用待定系数法求出反比例函数即可；
（3）求出加热过程中水温在40℃以上的时间，然后把y=40代入反比例函数解析式求出下降到40℃的时间，求差解答即可．
24．如图，在ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1） △ABE≌△CDF； ．
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB= CD，AB∥ CD，∴∠ABD=∠CDB．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF( SAS)．
（2）证明：由(1)可知△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD，即∠AEF=∠CFE，
∴AE∥ CF．∵AE=CF，
四边形AECF是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出：AB= CD，AB∥ CD，再结合平行线性质，利用“边角边”证明三角形全等；
（2）由（1）中的全等三角形的性质得出：AE=CF，∠AEB=∠CFD，推出四边形AECF中由一组对边平行且相等，即证明出四边形AECF是平行四边形．
25．在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线．
（1）每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）
（2）解：根据题意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵为了尽量控制成本，
∴，
答：该工厂引进了11条口罩生产线．
【解析】【解答】（1）解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天，
∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天，
∴每条生产线的最大产能是件/天，
故答案为：；
【分析】（1）根据“ 每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天 ”直接列出代数式即可；
（2）根据“ 该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天，
∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天，
∴每条生产线的最大产能是件/天，
故答案为：；
（2）解：根据题意，可列出方程：，
整理得，
解得，
∵为了尽量控制成本，
∴，
答：该工厂引进了11条口罩生产线．
26．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ，若 ， 求 的长.
【答案】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理，
得：，
∴
【解析】【分析】先根据菱形的性质得到，，，进而根据勾股定理求出OB，从而即可求解。
27．如图，在ABCD中，∠C=70°，点E为AD上一点，连接BE，AB=BE，求∠EBC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，AD∥BC
∵AB=BE，
∴∠BEA=∠A=70°
∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠BEA=70°
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得∠A=∠C=70°，AD∥BC，利用等边对等角可求出∠BEA的度数；再利用平行线的性质可求出∠EBC的度数.
28．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标，第三阶段实现水稻亩产量
1 008 kg的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg，请通过计算说明他们的目标能否实现.
【答案】（1）解：设亩产量的平均增长率为x，
由题意，得700(1+x)2=1 008，
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：亩产量的平均增长率为20%.
（2）解：1 008×(1+20%)=1 209.6(kg).
∵1 209.6>1 200，
∴他们的目标能实现.
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出700(1+x)2=1008， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 1008×(1+20%)=1209.6(kg)，再比较大小求解即可。
29．在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会
【答案】解：设共有x名同学参加了聚会，由题意得
x(x-1)=90
解得x1=-9，x2=10
经检验x=-9不符合实际意义，舍去
∴x=10
答： 共有10人参加了聚会.
【解析】【分析】 设共有x名同学参加了聚会 ，可得每名同学准备了（x-1）件礼物，可得共准备了 x(x-1) 件礼物，根据礼物总数列出方程并解之即可.
30．如图1，将矩形ABCD()绕点A逆时针方向旋转得到矩形AFFG，连接BE.
（1） 若，求的度数；
（2） 如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P. 求证：P是BG的中点.
【答案】（1）解：∵矩形ABCD旋转得到矩形AEFG，
∴，，
∴，
∵在矩形ABCD中，，
∴
（2）证明：如图，过点B作，垂足为点H，同（1）得，.
.
，
.
，
.
.
矩形 ABCD (AB > AD) 绕点 A 逆时针方向旋转得到矩形 AEFG，
，
，
，
，
P 是 BG 的中点.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到，，根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，然后根据角的和差解答；
（2）过点作，垂足为点，得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，进而证明结论．
31．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝15，OG＝6，∠ABD＝45°，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴OD＝OG＝6，
∴BD＝2OD＝12，
如图，过D作DM⊥AB于M，
则△BDM是等腰直角三角形，
∴DM＝BM＝BD＝12，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝9，
∴AB＝AM+BM＝9+12＝21，
即AB的长为21．
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到：根据两组对边互相平行的四边形为平行四边形得到：四边形OEFG为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，即可得证；
（2）过D作DM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到：结合（1）根据矩形的性质可证明是等腰直角三角形，进而可得到OD、BD和DM的长度，最后根据勾股定理求出AM的长度，进而根据线段间的数量关系即可得到AB的长度.
32．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集．
【答案】（1）解：把A（2，3）代入y＝得m＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝得n＝6，则B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：不等式＜kx+b的解集为x＜0或2＜x＜6．
【解析】【解答】解：（2）由图象可得：不等式＜kx+b的解集为x＜0或2＜x＜6.
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数，即可求出反比例函数的解析式；将点B的纵坐标代入反比例函数，即可求出点B的坐标；进而根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象直接找出反比例函数图象在一次函数图象下方部分相应的自变量的取值范围即可.
33．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形 请说明理由.
(2)填空：
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
【答案】解：(1) 四边形AFCD是平行四边形，理由如下：
∵ 点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在ΔAFE与△DBE中
∴ΔAFE≌ΔDBE(AAS)
∴AF=BD，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD
∴AF=CD
又∵AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)①矩形；②AB=AC，∠BAC=90．
【解析】【解答】解：（2）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
又∵四边形AFCD是平行四边形，
∴四边形AFCD是矩形；
②当△ABC满足AB=AC，∠BAC=90°条件时，四边形AFCD是正方形．
理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线
∴AD=CD=BD，AD⊥BC
∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC
∴四边形AFCD是矩形，
又∵AD=CD，
∴四边形AFCD是正方形．
故答案为：①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．
【分析】（1）利用“AAS”可证△AEF≌△DEB，可得AF=BD=CD，由平行四边形的判定可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）①由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是矩形；
②由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是正方形．
34．已知a，b均为正数，且a+b=2，求的最小值．
【答案】解：将b=2-a代人中，得，构造如图的图形，可得最小值为A'B=．

【解析】【分析】将b=2-a 代入中，得构造图形如图 .
35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数
的图象交于点C（1，m），过点B作y轴的垂线交反比例函数
的图象于点D，连接AD，求k的值及△ABD的面积．
【答案】解：在一次函数y=2x+2中，当x=0时，y＝2，
∴B（0，2），
当x=1时，y=4，
∴C（1，4），
将C（1，4）代入 得，k=4；
∵BD⊥y轴，
∴D点的纵坐标为2，
将y=2代入 得，x=2，
∴D（2，2），
∵B（0，2），D（2，2），
∴BD=2，OB＝2，
∴S△ABD= ×BD×OB= ×2×2＝2，
答：k的值为4，△ABD的面积为2．
【解析】【分析】利用待定系数法得出点D的坐标，根据点B、D的坐标得出BD=2，OB＝2，再利用三角形面积公式得出△ABD的面积．
36．我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，
解得．
．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把
【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用(邮购费用问题），首先判断出两次购买数量的范围（一次少于100把，一次多于100把），再设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，解得，则另一次为160把.
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象分别与x轴，y轴交于点A(－2，0)，B，与反比例函数y＝的图象交于点C(1，3)，D.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点P(n，0)作平行于y轴的直线l与一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象分别交于点E(n，y1)，F(n，y2)，当y1≥y2时，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）∵反比例函数y＝的图象过点C(1，3)，
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝.
∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，0)，C(1，3)，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x＋2；
（2）－3≤n＜0或n≥1.
【解析】【解答】解：（2）联立，
解得：或，
点D的坐标为（-3，-1），
过点P(n，0)作平行于y轴的直线l与一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象分别交于点E(n，y1)，F(n，y2)，且y1≥y2，
－3≤n＜0或n≥1.
【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的表达式和一次函数的表达式即可；
（2）联立（1）中反比例函数的表达式和一次函数的表达式，求出点D的坐标，再结合图像找出直线在曲线的上方部分即可得到答案.
38．设的三边长分别为，，，满足的平方根为，的算术平方根为3，的立方为27．
（1）求a，b，c的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：的平方根是，
，
解得：，
的算术平方根为3，
，
，
解得：，
的立方为27，
，
，
解得：，
，，的值分别5，6，7；
（2）解：由（1）得，，，
，
．
【解析】【分析】（1）如果一个数x的平方等于y，则x就是y的平方根，据此得出，即可求出的值；如果一个正数x的平方等于y，则x就是y的算术平方根，据此得出，即可求出的值；如果一个数x的立方等于y，则x就是y的立平方根，据此得出，即可求出的值；
（2）先把，，的值分别代入，求出的值，然后再把，，，的值代入待求式子计算即可．
（1）解：的平方根是，
，
解得：，
的算术平方根为3，
，
，
解得：，
的立方为27，
，
，
解得：，
，，的值分别5，6，7；
（2）解：由（1）得，，，
，
．
39．如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。
【答案】解：∵ ∠1=∠2，
∴ AD∥BC，
∴ △CAD和△ABC的高相等，
∵ AD=2BC，
∴S△CAD=2S△ABC=2×3=6.
【解析】【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC， 得出△CAD和△ABC的高相等，根据题意得出S△CAD=2S△ABC，即可得出答案.
40．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【解析】【分析】(1)利用根的判别式的意义得到 然后解关于b的方程即可；
(2)先利用根与系数的关系得 =5，再利用因式分解法变形 得到 然后利用整体代入的方法计算.
41．一个多边形的内角和等于它的外角和的6倍，求该多边形的边数．
【答案】解：设多边形的边数是n，根据题意，得(n-2) ·180=6×360°，解得n=14。
答：该多边形的边就是14
【解析】【分析】设多边形的边数是n，根据“内角和等于它的外角和的6倍”列出方程(n-2) ·180=6×360°，再求解即可.
42．解一元二次方程时，以下是两位同学的解法：
甲同学：，，或，∴或． 乙同学：，，，，，∴此方程无实数根．
（1）他们的解法正确吗？请直接写出判断结果．甲同学的解法　 　 乙同学的解法　 　（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：，
先将方程化为一般式：，
此方程中，，，，
计算判别式
∵，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式
得：
∴方程的解为，．
【解析】【解答】（1）因为方程的右边不为0，
∴ 甲同学的解法 不正确；
∵原方程可转化为，所以，，，
∴ 乙同学的解法 不正确；
故第1空答案为：不正确；第2空答案为：不正确；
【分析】（1）甲同学运用因式分解法解方程时，没有把右边变形为0，故而不正确；乙同学运用公式法解方程时，没有把常数项移到方程的左边，故而不正确；
（2）首先把方程转化为一般式，再运用公式法求方程的解即可。
43．【发现结论】
（1）如图1，中，，．点O既是斜边上的中点，又是的直角顶点，绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接，．以下结论正确的有______（多选）
①；②；③
【类比迁移】
（2）如图2，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点，正方形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．
①（1）中结论依然成立的是______（填序号）
②在证明以上结论成立的过程中，你还发现了哪些结论？（至少写出三条，正方形的性质除外）
【类比迁移】
（3）如图3，矩形的对角线交于点O，点O又是矩形的一个顶点，矩形绕点O转动的过程中，交于点M，交于点N，连接．是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①（1）中结论依然成立的是①②③；②；
（3）成立，理由如下：
如图，延长交于，连接，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
（2）①∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：①②③；
②∵，
∴，
∴，
则还可以发现：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形斜边上的中线可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
②由全等三角形的性质可得；
（3），延长交于，连接，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，由全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
44．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）把代入得：，
一次函数解析式为，
令，得，
∴，
在中，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
；
（2）①设，
∴P在线段AB上，
∴，
设直线AC的解析式为，代入，得：
，
∴，
∴，
又∵轴，则，
∴，
，
又∵，
∴得．
②如图所示，当N点在轴下方时，
∵，
∴，
∴，
∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当时，，，
设，
过P点作直线轴，作，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴．
当N点在x轴上方时，如图所示：
点与关于对称，
则，即，
综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式可得一次函数解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据勾股定理可得AB=5，则，根据两点间距离可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设，则，设直线AC的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，根据两点间距离可得PQ，再根据，结合三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）②分情况讨论：当N点在轴下方时，根据边之间的关系可得，当时，，，设，过P点作直线轴，作，，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，作，则，则，将点M坐标代入直线AB解析式即可求出答案；当N点在x轴上方时，根据对称性质即可求出答案.
45．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE.
（1）求证：DE⊥BE；
（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
∵OB=OE，
∴OE=OD，
∴∠OED=∠ODE.
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB.
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠OEB+∠OED=90°，
∴DE⊥BE.
（2）解：由（1）知OE=OD，
∵OF+FD=OE，
∴OF+FD=OD，
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD=90°.
在Rt△CED中，∠CED=90°，CE=3，DE=4，
∴CD=CE+DE，
∴CD=5，
又∵CD·EF= CE·DE，
∴EF= .
在Rt△CEF中，∠CFE=90°，CE=3，EF=
根据勾股定理，得CF=
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的定义和等量代换得到OE=OD，然后根据等边对等角得到∠OED=∠ODE，∠OBE=∠OEB，即可得到∠OEB+∠OED=90°，证明结论即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到△OFD为直角三角形，然后求出CD长，利用三角形的面积等积变形求出EF长，再根据勾股定理解答即可.
46．用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c．
（1）结合图①，证明勾股定理．
（2）如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形ABCDEFGH，若该八边形的周长为24，OH＝3，求该八边形的面积．
（3）如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转180°得到新的直角三角形拼接成正方形PQMN，将图③中正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　．
【答案】（1）证明：∵每个直角三角形的直角边长分别为a、b（a＜b），
∴每个直角三角形的面积为ab．
由题意得：中间小正方形的边长为b﹣a，大正方形的边长为c，
∴中间小正方形的面积为（b﹣a）2，大正方形的面积为c2．
∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积，
∴（b﹣a）2+4×ab＝c2，
∴b2﹣2ab+a2+2ab＝c2．
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵八边形ABCDEFGH的周长为24，
∴AB+AH＝6．
设AH＝x，则AB＝6﹣x．
由题意得：OB＝OH＝3，
在Rt△ABO中，
∵OB2+OA2＝AB2，
∴（x+3）2+32＝（6﹣x）2．
解得：x＝1．
∴AH＝1，
∴AO＝AH+OH＝4，
∴S△AOB＝OA OB＝4×3＝6．
∵将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形ABCDEFGH，
∴该八边形的面积为4×6＝24；
（3）6
【解析】【解答】解：（3）根据题意可得：正方形EFGH的边长为b-a，
∴S1=S正方形EFGH=（b-a）2，
∴S2=S1+4×ab=（b-a）2+2ab，
∴S3=S1+8×ab=（b-a）2+4ab，
∵S1+S2+S3＝18，
∴（b-a）2+（b-a）2+2ab+（b-a）2+4ab=18，
∴3（b-a）2+6ab=18，
解得：（b-a）2+2ab=6，
∴S2=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据“ 大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积”可得 （b﹣a）2+4×ab＝c2， 再化简可得 a2+b2＝c2；
（2）设AH＝x，则AB＝6﹣x，利用勾股定理可得（x+3）2+32＝（6﹣x）2，求出x的值，再求出AO的长，利用三角形的面积公式求出S△AOB，再求出八边形的面积为4×6＝24即可；
（3）先求出S1=S正方形EFGH=（b-a）2，S2=S1+4×ab=（b-a）2+2ab，S3=S1+8×ab=（b-a）2+4ab，再结合S1+S2+S3＝18，可得（b-a）2+2ab=6，从而得解.
47．已知 + + +…+ ＝ ，求n的值.
【答案】解：∵
＝
＝
＝ ﹣
∴ + + +…+ ＝ ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ＝1﹣
∴1﹣ ＝ ，
∴n＝2499
【解析】【分析】通过变形可得 - ，则原式可变形为1-＝，据此求解.
48．若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有；
①；②；③．
（2）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：令x=0，y=b
∴B的坐标为（0，b）
∴OB=
令y=0，则kx+b=0，解得：
∴A的坐标为（，0）
∴OA=
令y=3，则
，即，
解得：或
当时，b=6
∴
当时，b=
∴
当时，b=
∴
（3）解：
∵为“明一方程”
∴
∴
∵为的两个根
∴
∴
∴=
∵，又，
∴，且有，
解不等式组得：
∴
∴
∴=
∴
【解析】【解答】解：（1）①当时，
是方程的解
为“明一方程”
②当时，
不是方程的解
不是“明一方程”
③当时
是方程的解
为“明一方程”
故答案为：①③.
【分析】
本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定义是解决本题的关键；
（1）将分别代入各个方程的左边计算得出数值，看是否等于方程的右边，若等于，则1是方程的解，方程是“明一方程”，反之，方程不是“明一方程”
（2）先求出直线分别与x轴，y轴的交点坐标，求出OA，OB的值，再根据y=3时，方程是“明一方程”，列出关于k，b的关系式，再根据三角形的面积公式，再列出关于k，b的关系式，解出k，b即可；
（3）先根据韦达定理求出，再根据求出=，再根据，又，求出，从而 可以求出=，得出其范围.
49．在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC， 点D 是边BC上一点， 点E在 CB的延长线上，且BE=BD.将射线AE 绕点A 逆时针旋转45°得到射线AM，作 垂足为F，连接AD， BF.
（1） 如图1， 当BD=BA时， 求∠BEF的度数；
（2）如图2，用等式表示线段AD与BF的数量关系，并证明.
【答案】（1）解： ∵ ∠BAC=90°， AB=AC，
∴ ∠ABD=45°.
∵ BD=BA， BE=BD，
∴ BE=BA.
∴ ∠BAE=∠BEA=22.5°.
∵ 射线AE绕点A 逆时针旋转45°得到射线AM，
∴ ∠EAM=45°.
∵ EF⊥AF，
∴ ∠AFE=90°.
∴ ∠EAM=∠AEF=45°.
∴ ∠BEF=22.5°.
（2）解：线段 AD与BF的数量关系：
证明： 如图， 作GF⊥BF， GF=BF， 连接BG， EG.
∴ ∠BFG=90°， ∠FBG=∠FGB=45°.
∵ ∠AFE=∠BFG=90°，
∴ ∠AFB=∠EFG.
∵ ∠EAM=∠AEF=45°，
∴ EF=AF.
∴ △AFB≌△EFG.
∴ AB=EG， ∠BAF=∠GEF.
∵ ∠BAF+∠BAE=45°， ∠AEB+∠BAE=45°，
∴ ∠BAF=∠AEB.
∴ ∠AEB=∠FEG.
∵ ∠AEB+∠BEF=45°，
∴ ∠FEG+∠BEF=45°.
∴ ∠BEG=∠ABD.
∵ BE=BD，
∴ △BEG≌△DBA.
∴ BG=AD.
【解析】【分析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，再结合等线段的数量关系可得∠BAE=∠BEA=22.5°，再根据旋转的性质得到 ∠EAM=45°，再计算角度，解答即可；
(2) 作GF⊥BF， GF=BF， 连接BG， EG，根据勾股定理可得，然后结合已知条件证明△AFB≌△EFG，根据全等三角形的性质可得AB=EG， ∠BAF=∠GEF，再通过角度的计算得到∠BAF=∠AEB，从而可推导出∠BEG=∠ABD，即可证明△BEG≌△DBA，再根据全等三角形的性质可得结论，解答即可.
50．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）下列各式中，是根分式的是_______；
A． B． C． D．
（2）写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）；
（3）已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数x的值．
【答案】（1）B
（2）且
（3）解：①不存在的值使得，理由如下：
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是增根，原方程无解；
所以，不存在的值使得；
②
，
∵是一个整数，
∴是一个整数，
或，
解得：或或或1，
当时，无意义；当或1时。不是无理数；当时，是无理数，符合题意．
【解析】【解答】（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式，故A错误；
B．的分母是整式，是根分式，故B正确；
C．的分母不是整式，不是根分式，故C错误；
D．不符合根分式的形式，不是根分式，故D错误．
故答案为：B；
（2）解：由题意得：且，
解得：且，
故x的取值范围是：且，
故答案为：且；
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解分式方程，解一元二次方程，整除性质，熟练掌握意义和解方程是解题的关键．
（1）根据根分式的定义进行判断，是根分式即可；
（2） 根据分母不能为0，被开方数是非负数，求解即可；
（3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验；
②先计算，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解．
①把与 代入M2-N2=1中，得，解分式方程即可；
②先表示，再根据是一个整数，且为整数，建立方程求的值即可．
（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式，
B．的分母是整式，是根分式，
C．的分母不是整式，不是根分式，
D．不符合根分式的形式，不是根分式，
故选：B；
（2）由题意得：且，
解得：且，
故x的取值范围是：且，
故答案为：且，
（3）当与时，
①不存在的值使得，理由如下：
，
，
，
，
解得：，
经检验，是增根，原方程无解；
即不存在的值使得；
②
，
∵是一个整数，
∴是一个整数，
或，
解得：或或或1，
当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意．
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