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浙教版2025—2026学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·杭州期末）一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（　　）边形
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（2025八下·滨江期末）已知，则实数a满足（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·温州期末）若点A（2，a），B（4，b）都在反比例函数y=的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．04．（2025八下·越城期末） 如图，在中，对角线，相交于点O，，.记长为，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
6．（2025八下·余姚期末） 将四块直角三角形按图示方式围成，其中，，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若要求出的面积，则只需知道（　　）
A．AB的长 B．BC的长 C．AE的长 D．ED的长
7．（2024八下·杭州期末）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
8．（2024八下·宁波期末）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·滨江期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2025八下·椒江期末） 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·杭州期末）已知一组数据：2，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的众数是　 　．
12．（2026八下·浙江期末）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下： 如 那么8 12=　 　。
13．（2025八下·杭州期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AD上一点，现将CDE沿CE翻折，得到△CEF.作FM⊥AB，FN⊥BC，当四边形MBNF是正方形时，则BN的值为　 　.
14．（2023七下·番禺期末）如图，一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂痕(如图甲)，若把裂痕右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积是　 　.
15．（2025八下·吴兴期末）如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是　 　．
16．（2025八下·慈溪期末）如图，□OABC的边OA在x轴正半轴上，反比例函数y=（k>0， x>0）的图象过□OABC的顶点C和AB的中点D。若□OABC的面积为6，则k的值为　 　。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·舟山期末） 计算：
（1）
（2）．
18．（2025八下·杭州期末）在平面直角坐标系中，，是反比例函数的图象上两个点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由．
19．（2025八下·滨江期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米．
（1）用含x的代数式表示的长．
（2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
20．（2025八下·杭州期末）某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
21．（2025八下·雨花期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
22．（2025八下·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
23．（2025八下·吴兴期末）定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
（1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由．
（2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长．
（3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长．
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浙教版2025—2026学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·杭州期末）一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（　　）边形
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为5+2=7，
那么它是七边形．
故答案为：B．
点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
2．（2025八下·滨江期末）已知，则实数a满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
∵即，
∴.
故答案为：A.
【分析】先将二次根式化简，再合并同类二次根式，最后应用估算无理数的大小的方法可得到a的取值范围.
3．（2025八下·温州期末）若点A（2，a），B（4，b）都在反比例函数y=的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．0【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A(2，a)、B(4，b)都在函数的图象上，
∴，，
∵0<3<6，
∴0故答案为：C.
【分析】先把各点代入反比例函数的解析式，求出a、b的值，再比较大小即可.
4．（2025八下·越城期末） 如图，在中，对角线，相交于点O，，.记长为，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E，过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD//BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC
∴AE=DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH=BE， DH=AE，
设CH=BE=a，DH=AE=b，
∵AB=3，
∴a2+b2=32=9，
∵BC=4，
∴EC=BC-BE=4-a，BH=BC+CH=4+a
∵AC2=AE2+EC2，BD2=DH2+BH2，
∴AC2+BD2=b2+(4-a)2+b2+(4+a)2=2(a2+b2)+32=18+32=50
∴x2+y2=50.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC交BC于点E，过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB=DC，AD//BC，得到AE=DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，得到CH=BE，DH=AE，设CH=BE=a，DH=AE =b，由勾股定理即可解决问题.
5．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
【答案】A
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
6．（2025八下·余姚期末） 将四块直角三角形按图示方式围成，其中，，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若要求出的面积，则只需知道（　　）
A．AB的长 B．BC的长 C．AE的长 D．ED的长
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，
∴∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，
∵∠ABF=45°，
∴AF=BF，
∵△ABF≌△CDH
∴AF=BF=CH=DH，
设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，
∴BG=DE=x+y，AE=CG=x-y，AF2+BF2=2y2=AB2，
∴的面积=2△ABF的面积+2△BCG的面积+正方形EFGH的面积
，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质得到EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，求得∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，得到AF=BF，根据全等三角形的性质得到AF=BF=CH=DH，设EF=FC=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，根据三角形的面积公式和勾股定理得到的面积= AB2，即可得到答案.
7．（2024八下·杭州期末）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2，
∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，
∴，
∴﹣2＜n＜﹣1，
故答案为：B．
【分析】
根据反比例函数的图象及性质结合A、B、C三点的横坐标，判断出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，进而列出不等式组即可解答.
8．（2024八下·宁波期末）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，
，
由旋转的性质可得，，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据旋转的性质知，．结合题中已知条件得出，，根据三角形外角的性质即可得出，列出关于∠C的方程求解即可.
9．（2025八下·滨江期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，各小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P都在格点上，且点P在的外部，，，的面积都相等，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
由网格可得，，
∴四边形是平行四边形
∴△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半，
同理可得， △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，
△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半，
∴满足条件的点P的个数为3个．
故答案为：C．
【分析】利用方格纸的特点及“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCP1是平行四边形，再根据平行四边形对边平行、平行线间的距离相等及三角形面积公式可得△P1BC、△P1AB与△P1AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP1面积的一半；同理得到 △P2BC、△P2AB与△P2AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP2面积的一半，△P3BC、△P3AB与△P3AC的面积都相等，且等于平行四边形ABCP3面积的一半， 综上可得答案.
10．（2025八下·椒江期末） 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是正方形， ∠APD =90°，
∴BA = BC = AD =CD， ∠BFA=∠APD =90°， ∠PHD=∠HDE=∠PED=90°，
∴四边形PEDH是矩形，
∵∠PED =∠BCD = 90°，
∴PE∥BC，
∴BP=BC，
∵BP=BA，
∴AF=PF，
∵∠ABF+∠BAF=90°， ∠DAP+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠DAP，
在△ABF和△DAP中，
∴△ABF≌△DAP(AAS)，
∴AF=DP，
∴AP=2AF=2DP，
设 则
，
∴DE=PH=2m，
∴CE=CD-DE=5m-2m =3m，
，
故答案为：C .
【分析】作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E， 则四边形PEDH是矩形，即可得到AF= PF， 推导出∠ABF=∠DAP， 进而得到△ABF≌△DAP， 得AF =DP， 则AP=2AF=2DP， 设 则AP=2 求得 =5m， 根据三角形的面积求出DE=PH = 2m， 则CE = 3m ，即可得到 求得 即可求出比值解答即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·杭州期末）已知一组数据：2，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的众数是　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：数据2，5，，7，9的平均数为6，
，
这组数据的众数为7；
故答案为：7．
【分析】利用平均数的定义求出的值，然后利用众数的定义解答．
12．（2026八下·浙江期末）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下： 如 那么8 12=　 　。
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据所给的式子求出 的值即可.
13．（2025八下·杭州期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AD上一点，现将CDE沿CE翻折，得到△CEF.作FM⊥AB，FN⊥BC，当四边形MBNF是正方形时，则BN的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设BN=x，
∵四边形MBNF是正方形，
∴BM=BN=MF=FN=x，
∵AB=6，BC=8，
∴AM=AB-BM=6-x，CN=BC-BN=8-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°
由翻折可知CF=CD=AB=6，
在直角三角形FNC中，根据勾股定理可得FN2+CN2=CF2，
∴x2+(8-x)2=62 解得： x=4+2 或 x=4-2 （舍去）
∴BN的值为，
故答案为：.
【分析】通过设未知数，利用正方形和矩形的性质得到BM=BN=MF=FN=x，∠D=90°，最后再根据勾股定理建立方程求解即可.
14．（2023七下·番禺期末）如图，一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂痕(如图甲)，若把裂痕右边的一块向右平移(如图乙)，则产生的裂缝的面积是　 　.
【答案】b
【解析】【解答】解：由题意可得：产生的缝隙的面积为(a+1)b-ab=ab+b-ab=bcm2.
故答案为：b.
【分析】由题意可得：产生的缝隙的面积为(a+1)b-ab，化简即可.
15．（2025八下·吴兴期末）如图，已知矩形和正方形共用对角线，与交于点，与交于点，若正方形的面积比矩形的面积大，的周长与的周长之和是，则的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵四边形DEBF是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，分别设，，，则由矩形和正方形的性质可证，则，即的周长与的周长之和可转化为矩形的一组邻边与正方形的一组邻边的和，即；再由正方形和长方形面积公式结合已知可得；再由勾股定理可得，则利用完全平方公式结合等量代换可得关于c的方程并求解即可．
16．（2025八下·慈溪期末）如图，□OABC的边OA在x轴正半轴上，反比例函数y=（k>0， x>0）的图象过□OABC的顶点C和AB的中点D。若□OABC的面积为6，则k的值为　 　。
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，连接CD，OD，
∵□OABC的面积为6，
∴S△COD＝S梯形CEFD＝3，
∵D为AB的中点，
∴
设点C（m，2n），则D（2m，n），
∴EF＝m，
∴
∴mn＝2，
∴k＝2mn＝4．
故答案为：4.
【分析】作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，连接CD，OD，设点C（m，2n），则D（2m，n），利用S梯形CEFD＝3解出mn值，继而得到k值．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·舟山期末） 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】(1)先将二次根式化简成最简二次根式，再合并即可；
(2)先将二次根式化简成最简二次根式，再合并即可.
18．（2025八下·杭州期末）在平面直角坐标系中，，是反比例函数的图象上两个点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）判断A，B两点是否关于原点成中心对称，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，是反比例函数的图象上两个，
∴，
解得：．
∴．
∴反比例函数为．
（2）解：A，B两点不关于原点成中心对称，理由如下：
由（1）知，
∴、．
∴A，B两点不关于原点成中心对称．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k，可列出关于字母a的方程，求解得出a的值，从而即可求出反比例函数解析式；
（2）根据（1）所求的a的值，即可求得A、B两点的坐标，进而再关于原点对称的点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”即可判断得出答案.
（1）解：∵，是反比例函数的图象上两个，
∴，解得：．
∴．
∴反比例函数为．
（2）解：A，B两点不关于原点成中心对称，理由如下：
由（1）知，
∴、．
∴A，B两点不关于原点成中心对称．
19．（2025八下·滨江期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米．
（1）用含x的代数式表示的长．
（2）矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
【解析】【分析】（1）结合图形可得BC+3AB=60米，据此即可用含x的式子表示出BC；
（2）根据矩形面积计算公式结合矩形ABCD的面积为225平方米，列出方程，求解并根据BC≤40判断出符合题意的x的值即可.
（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米，
∴米；
（2）解：能；根据题意得：
，
解得：，，
当时，，
∵墙长为40米，
∴不符合题意舍去；
∴x的值为15．
20．（2025八下·杭州期末）某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
【答案】（1）解：100-(3600-3000)÷50=100-12=88（辆）
∴当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆.
（2）解：设每辆车月租金为 元，
化简得：
，
所以 ，.
【解析】【分析】(1)根据题意列出算式，计算即可得到结果；
(2)设每辆车的月租金为(3000+x)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.
21．（2025八下·雨花期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
【解析】【分析】（1）一元二次方程总有两个不相等的实数根，对应，只要证明根的判别式恒大于0即可，而该式化简为4>0，故得证；
（2）解这个一元二次方程得，，根据“友好点”定义得；
（3）将直线变形为，可知它过定点，故方程的两根为，由韦达定理可知，两式相除得4b+3c=0。
22．（2025八下·青羊期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点．
（1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______；
（2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）先求点 C 坐标：已知 A (-2，0)，AC=6，C 在 x 轴正半轴，所以从 A 往右数 6 个单位，横坐标就是 - 2+6=4，纵坐标是 0，所以 C (4，0)。再求直线 BC 解析式：已知 B (0，4) 和 C (4，0)，用待定系数法，把两点代入 y=kx+b，算出 k=-1，b=4，所以解析式是 y=-x+4。
（2）先算出△ABO 的面积，然后利用 “同底等高的三角形面积相等” 来做。
第一步，先求直线 AB 的解析式，把 A、B 坐标代进去，得到 y=2x+4。
第二步，△ABG 和△ABO 面积相等，说明点 G 到直线 AB 的距离，等于点 O 到直线 AB 的距离。
分两种情况：① G 在线段 BC 上：过 O 作和 AB 平行的直线（斜率相同），和 BC 的交点就是 G。联立两条直线方程，算出交点坐标（ ，)。
② G 在 CB 延长线上：因为距离相等，所以 G 和 G' 关于 B 对称，算出 G' 的坐标 (-，)。
（3）先求直线 AG 的解析式，把 A (-2，0) 和 G (，) 代进去，得到 y= x +。
然后分三种情况讨论平行四边形：
① BC 为边，CN 为边：过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 的坐标，再根据平行四边形对边相等，BM=CN，算出 N 的坐标 (7，0)。
② BC 为对角线，CN 为边：同样过 B 作 x 轴平行线交 AG 于 M，算出 M 坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，算出 N 的坐标 (1，0)。
③ BC 为边，CN 为对角线：过 M 作 x 轴垂线，证明三角形全等，得到 M 的坐标，再算出 N 的坐标 (-11，0)。
最后汇总所有情况，得到 N 的三个坐标。
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将B、C点代入中，得
解得，
∴．
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，将代入，
∴，解得，
∴，
∵与面积相等，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点，
则可知直线的解析式为，
当时，
解得，即，
将代入，得，
∴
②当点在延长线上时，如图，设此时为，
结合①知，当时，，
过作轴于点，过作轴于点，
则由知，
，
∴，
则；
综上所述，点坐标为或．
（3）由和，同理得直线解析式为，
①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点，
要使四边形为平行四边形，则只需满足，
由知，
将代入到直线∶中，得，
解得，
∴，则，
则由得；
②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点，
由四边形为平行四边形，同样需满足，
则同理，由，得；
③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点，
若四边形为平行四边形，则可证，
∴
∴，，
∴；
综上所述，点坐标为，或．
23．（2025八下·吴兴期末）定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
（1）如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由．
（2）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长．
（3）如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长．
【答案】（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（）先由四边形的内角和可得，再利用直角三角形两锐角互余可得，再由角的和差关系可得，再由等角对等边可得CD＝CB，则由定义可判定四边形ABCD为“等对直四边形”；
（）由“等对直四边形”的概念可知CD＝CB，由于DB不确定平分哪个角，故应分类讨论，即当DB平分时，如图可过点C作AD的垂线段CF，由等边对等角结合角平分线的概念可得，即CB平行AD，再由邻角互补可得CF平行AB，即可得四边形ABCF是矩形，则AF＝BC、CF＝AB，此时可设BC＝x，则DF可用含x的代数式表示，再应用勾股定理即可；同理当DB平分时，可过点C作AB的垂线段CE，即四边形ADCE是矩形，再设BC＝y，则BE可用含y的代数式表示，再应用勾股定理即可；
（）由于CB＝CD且DB、CD的长度已知，则可用勾股定理逆定理证得，此时可过点C作AB、AD的垂线段CE、CF，则四边形AECF是矩形，再利用旋转全等模型可证明，则CF＝CE，即四边形AECF是正方形，再由线段的和差关系可得DF＝2，即AF＝CF＝4，再利用勾股定理求出AC的长即可．
（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，
∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
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