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【50道解答题·专项集训】北师大版数学七年级下册期末总复习
1．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，说明AB∥CD
2．如图，为了估算河岸相对的两点A，B的宽度，可以在河岸边取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得米，求河宽.
3．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩分 频数人 频率
10 0.1
15
0.35
40
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求，，的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
4．如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，过点B作，交的延长线于点F，若，，求的长.
5．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（1）小亮同学摸出红球的概率是________．
（2）如果在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的极率为，则________．
（3）在（2）的条件下，小亮和小英同学一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（请利用概率的知识进行说明）
6．为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
7．如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．
8．如图，直线EF分别与AB，CD交于点A，C，若AB//CD，CB平分∠ACD，∠EAB=80°，求∠B的度数．
9．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）﹒把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为 ；请将条形统计图补充完整；
（2）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
10．，，是的三个内角，已知，求，，的度数．
11．若（且，m、n是整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若，则x的值为 ；
（2）解方程：；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
12．一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由．
（2）如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”）
13．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）；
图1表示：　 　；
图2表示：　 　；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，求的值；
②请直接写出下列问题答案：
若，则 ▲ ；
若，则 ▲ ．
（3）如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）
14． 小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)做游戏，转动两个转盘各一次.
（1）转动A盘，指针指向的数字大于3 的概率是　 　，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是　 　；
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平 并说明理由.
15．甲、乙两人各有两张卡片，每张卡片上均标有一个数字，已知甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机抽一张，再比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮抽出的卡片不再使用，从各自剩下的卡片中比较数字的大小，比赛规定每一轮数字大的人得1分，数字小的人得0分.
（1）求“第一轮比赛后甲得1分”的概率.
（2）求“两轮比赛结束后乙得2分”的概率.
16．直线a，b，c，d的位置如图所示，已知∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，求∠4的度数．
17．附加题：已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试探究∠A与∠F相等吗？试说明理由．
18．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形如图所示．
（1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：____请选择正确的选项：
A． B．
C． D．
（2）应用与计算：请利用你从选出的等式，完成下列各题：
根据以上等式简便计算：．
已知，，计算的值．
19．红枣丰收了，为了运输方便，小华的爸爸打算把一个长为(a+2b) cm、宽为(a+b)cm的长方形纸板制成一个有底无盖的盒子，在长方形的四个角各截去一个边长为 bcm的小正方形，然后沿虚线折起即可，如图所示．
（1）现将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示至少需要多大面积的彩纸；
（2）当a=8，b=6时，求所需彩纸的面积．
20．如图，在四边形中，平分交线段于点，，．求的度数．
21．如图，已知AB∥CD，试猜想∠A、∠C、∠E的关系，并说明理由．
22．如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．如图所示，∠AOB是平角，∠BOC=36°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠AOE的度数.
24．如图，EF//AD，∠1=∠2，猜想∠BAC与∠DGA的关系，并说明理由．
25．如图，在中，，的垂直平分线交于点C，且．
求：的度数．
26．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数．
27．已知x=
+1，y=
-1，求x2+2xy+y2的值．
28．甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短．
（1）求乙三角形第三条边的长；
（2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由；
29．在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
30．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
31．如图，直钱AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于O．∠EOA=50°．求∠BOC、∠BOE、∠BOF的度数．
32．如图，、、分别在的三条边上，且，．
（1）完成下列证明：
证明：．
，
　 　；
，
　 　　 　；
　 　．
（2）若，平分，求度数．
33．某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片(除画像外，其余完全相同)，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为　 　.
（2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率.
34．把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
答：AB∥DE．
理由：
∵AF＝DC（已知），
∴AF+FC＝DC+ ▲ （等式的基本性质），
即：AC＝DF，
∵BC∥EF（已知），
∴∠BCA＝∠ ▲ （　　），
又∵BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（　　），
∴∠A＝∠ ▲ （　　），
∴AB∥ ▲ （　　）．
35．已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求x2+2xy+y2的值．
36．如图，在四边形中，，点E，F分别是上的点，且 ，若，求的度数．
37．如图，已知点C，D在直线BQ上，BQ∥GE，AF∥DE，∠1=50°.
（1）求∠AFG的度数.
（2）若AQ平分∠FAC，且∠Q=15°，求∠ACB的度数.
38．如图，直线，点在直线上，且，求的度数.
39．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC=80°，∠B=60°，求∠AEC的度数.
40．数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
⑴以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
⑵分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
⑶画射线OC．射线OC即为所求（如图所示）．
请你证明：射线OC是∠AOB的平分线．
41．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
42．下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，作射线；
以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
以为圆心，为半径作弧，交于；
以为圆心，为半径作弧，交弧于；
过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是　 　填序号．
（2）请证明．
43．如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合．
（1）如图1，为　 　°；
（2）如图2，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为t秒（），请用t表示如下角．
①________________；
②________________；
③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点P逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速a．
44．若求x的值
45．如图，已知2∠BOC=∠AOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠DOB的度数．
46．如图，，点E，F分别在直线AB，CD上，点P是AB，CD之间的一个动点.
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，的平分线交于点Q，且，则　 　.
47．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
48．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
49．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
50．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
（1）求证：；
（2）如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
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【50道解答题·专项集训】北师大版数学七年级下册期末总复习
1．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，说明AB∥CD
【答案】解：∵∠B=42°，∠A+10°=∠1
又∠A+∠B+∠1=180°，
∴∠A=64°，
∴∠ACD=∠A
∴AB∥CD
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出 ∠A+∠B+∠1=180°， 然后将 ∠B=42°，∠A+10°=∠1 代入计算出∠A的度数，从而根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD.
2．如图，为了估算河岸相对的两点A，B的宽度，可以在河岸边取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得米，求河宽.
【答案】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC，
又，∠ACB=∠ECD，
∴，
，
又∵米，
∴米.
答：河宽AB为60米.
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ABC=∠EDC=90°，利用ASA证明△ABC≌△EDC，利用全等三角形的性质可证得AB=DE，即可求出AB的长.
3．某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩分 频数人 频率
10 0.1
15
0.35
40
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求，，的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1）解：调查人数为：（人，
，
，
，
答：，，；
（2）解：由各组频数补全频数分布直方图如下：
（3）解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是．
【解析】【分析】（1）根据成绩在的学生人数÷频率即可得到总人数；用15÷总人数得b，用总人数×0.35得a，用40÷总人数得c.
（2）得到a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用树状图表示出所有的结果数和1男1女的结果数，再利用概率公式计算即可.
4．如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，过点B作，交的延长线于点F，若，，求的长.
【答案】解：∵
∴，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠F=∠AED，由线段中点定义可得AD=BD，用角角边可证△ADE≌△BDF，于是AE=BF，再由线段的构成CE=AC-AE可求解.
5．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外，形状和大小完全一样，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
（1）小亮同学摸出红球的概率是________．
（2）如果在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小亮同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的极率为，则________．
（3）在（2）的条件下，小亮和小英同学一起做游戏，小亮从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小亮获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（请利用概率的知识进行说明）
【答案】（1）
（2）4
（3）解：这个游戏对双方公平，
理由如下：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
【解析】【解答】（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4.
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；（2）利用概率公式列出方程，再求出n的值即可；
（3）先利用概率公式分别求出小亮和小英获胜的概率，再判断即可.
（1）解：因为共有6个乒乓球，其中有1红球，
所以小亮同学摸出红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
，
解得：，
故答案为：4；
（3）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴小亮获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平．
6．为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
【答案】（1）随机
（2）解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中同时抽到两科都准备得较好的实验题目的有2种，
则P（同时抽到两科都准备得较好）＝．
【解析】【解答】解：由题意可知，
小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件．
故答案为：随机；
【分析】（1）根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；
（2）先画出相应的树状图，确定所有的等可能结果和符合要求的结果，再用概率的公式计算即可．
7．如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．
【答案】解：∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠2=∠4，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠4，
∴CD∥FH，
∵FH⊥AB，
∴CD⊥AB．
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠4，然后求出∠3=∠4，再根据同位角相等，两直线平行判断出CD∥FH，然后求解即可．
8．如图，直线EF分别与AB，CD交于点A，C，若AB//CD，CB平分∠ACD，∠EAB=80°，求∠B的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠EAB=80°，
∴∠ECD=80°，
∵CB平分∠ACD，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=40°．
【解析】【分析】根据平行线的性质可求解∠ECD=80°，根据角平分线的定义可求解∠BCD的度数，在利用平行线的性质可求得∠B的度数。
9．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）﹒把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，绘制了如图所示的两幅不完整统计图，根据图中信息解答问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为 ；请将条形统计图补充完整；
（2）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【答案】解：（1）40；108°；
（2）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，列表如下，
　 A B C D
A 　 (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) 　 (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) 　 (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) 　
∵共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是：．
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生共有16÷40%＝40（人），
扇形统计图中，C档对应的圆心角度数为
A档人数为（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40；108°；
【分析】（1）由B档人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°×C档人数所占比例即可得到C档对应的圆心角，最后用总人数减去B、C、D人数和即可求出A档人数，从而可补全图形；
（2）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过列表法表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
10．，，是的三个内角，已知，求，，的度数．
【答案】解：设，则，，
由得．
则，，
【解析】【分析】设，则，，根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
11．若（且，m、n是整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若，则x的值为 ；
（2）解方程：；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）
（2）解：，
，
，
，
，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1），
∴，
故答案为：；
【分析】
本题考查同底数幂的乘法、除法，负整数指数幂，解一元一次方程．
（1）64可看成，可看为，可求出x的值；
（2）与的指数相差3，可看为，再提取公因式，转化为一元一次方程求解；
（3）x与有关，y与有关，想用含x的式子表示y，需找到与的关系，其关系为互为相反数，适当变形可得x与的关系．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
12．一个不透明的袋中装有1个红球、1个黄球和1个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）从袋中随机摸出两个球，求两个球的颜色恰好为一红一黑的概率．请利用树状图或列表法说明理由．
（2）如果从袋中随机摸出小球3次，每次摸出1个球，并且不放回，那么第3次为红球的概率为_________．由此经验，请你判断比赛时抽签决定选手出场顺序是_________的．（填“公平”或“不公平”）
【答案】（1）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况，
∴从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的概率是；
（2），公平
【解析】【解答】（2）解：依题意画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种，
∴第3次为红球的概率为，为黄球的概率为，为黑球的概率为，
∴比赛时抽签决定选手出场顺序是公平的，
故答案为：，公平．
【分析】（1）此题是抽取不放回类型，首先根据题意画出树状图，由树状图可得共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可知共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种，再利用概率公式即可求得答案．
（1）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的有2种情况，
∴从袋中随机摸出两个球颜色恰好为一红一黑的概率是；
（2）解：依题意画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中第3次为红球的情况有2种，为黄球的情况有2种，为黑球的情况有2种，
∴第3次为红球的概率为，为黄球的概率为，为黑球的概率为，
∴比赛时抽签决定选手出场顺序是公平的，
故答案为：，公平．
13．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式：（用含的代数式表示出来）；
图1表示：　 　；
图2表示：　 　；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，求的值；
②请直接写出下列问题答案：
若，则 ▲ ；
若，则 ▲ ．
（3）如图3，长方形中，，长方形的面积是210，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点作的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值）
【答案】（1） ；
（2）解：①由（1）得，
∴，
∵，
∴；
②由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：±1，22；
（3）解：∵AD=2CD=2x，
∴CD=x，
∵，AE=40，CG=28，
∴，
∵四边形NGDH和MEDQ是正方形，PT=PQ，FO=FE，
∴四边形MORT也是正方形，
∴，
∵长方形的面积是210，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【解析】【解答】解：（1）图1中，由图可知或，
∴，
图2中，由图可知，，，
∵，
∴；
故答案为：，.
【分析】（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积，据此可列出式子；
由图2可知，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积，据此可列出式子；
（2）①由（1）得，从而可得，再进行整体代入，进而求出的值 ；
②由（1）得，再进行整体代入，可求出式子的值；利用完全平方公式将展开，再整体代入，即可求解；
（3）先求，观察图形、由已知条件可知四边形MORT也是正方形，从而可得：，再根据长方形的面积是210，可列出方程：，令，从而求出，进而求出的值，利用完全平方公式求出的值，最后计算的值即可.
14． 小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)做游戏，转动两个转盘各一次.
（1）转动A盘，指针指向的数字大于3 的概率是　 　，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是　 　；
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平 并说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：如图所示：
由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶
数的情况12种，
∴小亮胜的概率为：；
小明胜的概率为：；
两人获胜概率不相等
∴该游戏不公平.
【解析】【解答】解：(1)PA盘数字大于3；
PB盘数字小于5.
故答案为：；.
【分析】(1)根据概率的概念进行求值即可；
(2)先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可.
15．甲、乙两人各有两张卡片，每张卡片上均标有一个数字，已知甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机抽一张，再比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮抽出的卡片不再使用，从各自剩下的卡片中比较数字的大小，比赛规定每一轮数字大的人得1分，数字小的人得0分.
（1）求“第一轮比赛后甲得1分”的概率.
（2）求“两轮比赛结束后乙得2分”的概率.
【答案】（1）解：树状图如下：
总共有4种情况，其中甲得1分的有1种，
P（第一轮比赛后甲得1分）
（2）解：两轮比赛情况如下：
第一轮 第二轮
(1，2) (2，3)
(1，4) (3，2)
(3，2) (1，4)
(3，4) (1，2)
其中乙得2分的有2种
P（两轮比赛结束后乙得2分）
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
（2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
16．直线a，b，c，d的位置如图所示，已知∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，求∠4的度数．
【答案】解：如图所示，∵∠1=58°，∠2=58°，∴∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠5=∠3=70°，∴∠4=180°﹣∠5=110°．
【解析】【分析】由已知得出∠1=∠2=58°，证出a∥b，得出∠5=∠3=70°，再由平角的定义即可得出∠4的度数．
17．附加题：已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试探究∠A与∠F相等吗？试说明理由．
【答案】解：∠A=∠F．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1=∠DGH，
∴∠2=∠DGH，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABG，
又∵∠C=∠D，
∴∠ABG=∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F
【解析】【分析】要证∠A=∠F，即证AC∥DF，根据已知条件结合平行线的性质和判定定理即可解答．
18．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形如图所示．
（1）实验与操作：上述操作能验证的等式是：____请选择正确的选项：
A． B．
C． D．
（2）应用与计算：请利用你从选出的等式，完成下列各题：
根据以上等式简便计算：．
已知，，计算的值．
【答案】（1）D
（2）解：①；
②，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）通过观察两个图形，分别表示出两者的面积，即可选出答案；
（2）①由（1）中结论可知，利用平方差公式进行化简运算即可；
②先对原式 进行变形，即可把条件带入， 得到，再继续对该等式两边分别乘以4进行变形后，即可得到所求式子的结果。
19．红枣丰收了，为了运输方便，小华的爸爸打算把一个长为(a+2b) cm、宽为(a+b)cm的长方形纸板制成一个有底无盖的盒子，在长方形的四个角各截去一个边长为 bcm的小正方形，然后沿虚线折起即可，如图所示．
（1）现将盒子的外表面贴上彩纸，用代数式表示至少需要多大面积的彩纸；
（2）当a=8，b=6时，求所需彩纸的面积．
【答案】（1）解：（a+2b-b）（a+b-b）+b(a+2b-b)+b(a+b-b)=a2+b2+3ab（cm2），
∴ 至少需要（a2+b2+3ab）cm2面积的彩纸 ；
（2）解：当a=8，b=6 时，
原式=64+36+144=244cm2.
【解析】【分析】（1）根据图形求出彩纸的面积即可；
（2）把a、b值代入（1）结论计算即可.
20．如图，在四边形中，平分交线段于点，，．求的度数．
【答案】解：如图：
∵平分交线段于点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵．
∴
【解析】【分析】由角平分线的定义可得∠2=∠3，利用等量代换可得∠1=∠3，根据内错角相等两直线平行可得 ，利用平行线的性质可得 ， 据此计算即可.
21．如图，已知AB∥CD，试猜想∠A、∠C、∠E的关系，并说明理由．
【答案】解：∠A=∠C+∠EE，
延长BA交CE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF中，∠AFE+∠E+∠EAF=180°，
∵∠EAB+∠EAF=180°，
∴∠AFE+∠E=∠EAB，
∴∠C+∠E=∠EAB．
【解析】【分析】反向延长AB交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
22．如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：证明：，
，
在和中，
；
（2）解：，
，
又，
．
【解析】【分析】（1）根据题意 ，由 可得出 结合已知条件进一步证明 ， 即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=AE=6，利用线段的和差关系可得AB=AD+BD，代入数据即可求得AB的值.
23．如图所示，∠AOB是平角，∠BOC=36°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠AOE的度数.
【答案】解：因为∠AOB是平角，∠BOC=36°，
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-36°=144°.
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOD=∠AOC=×144°=72°.
又因为∠DOE=90°，
所以∠AOE=∠DOE-∠AOD=90°-72°=18°.
【解析】【分析】首先根据平角的定义求得∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOD的度数，然后再根据互余角的关系得出∠AOE的度数即可。
24．如图，EF//AD，∠1=∠2，猜想∠BAC与∠DGA的关系，并说明理由．
【答案】解：∠BAC+∠DGA=180°，理由：∵EF//AD，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB//DG，∴∠BAC+∠DGA=180°．
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠2=∠3，等量代换得到∠1=∠3，由平行线的判定得到AB∥DG，根据平行线的性质即可得到结论．
25．如图，在中，，的垂直平分线交于点C，且．
求：的度数．
【答案】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
．
【解析】【分析】连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE，再求出180°-4∠E+∠E=105°，进而求得答案。
26．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数．
【答案】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义得到∠BAE的度数，进而根据垂直的定义计算出∠BAD的度数，最后根据角的运算得到∠EAD的度数.
27．已知x=
+1，y=
-1，求x2+2xy+y2的值．
【答案】解： x2+2xy+y2
=(x+y)2
=( +1 + -1 )2
=(2 )2
=20.
【解析】【分析】利用完全平方公式将原式化为(x+y)2，然后代值计算，即可求出结果.
28．甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短．
（1）求乙三角形第三条边的长；
（2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由；
【答案】（1）解：第二条边长为，第三条边比第二条边短．
第三条边长：．
答：乙三角形第三条边的长是．
（2）解：乙三角形的周长为：．
甲、乙三角形的周长的差为：．
因为，所以甲三角形的周长较大．
答：甲三角形的周长大．
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算求出乙三角形的第三边长即可；
（2）先利用整式的加减法求出乙三角形的周长，再利用作差法比较甲、乙三角形的周长大小即可.
29．在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．
【答案】解：∵摸到黑色棋子的频率稳定在25%，
∴摸到黑色棋子的概率为25%，
∴ 盒子中黑色棋子的个数为：60×25%=15（个），
答：估计盒子中黑色棋子有15个.
【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得 摸到黑色棋子的概率是25％，进而利用盒子中棋子的总个数乘以摸到黑色棋子的概率即可得出答案.
30．如图，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°．求∠BDC的度数．
【答案】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+∠1+∠DBC+∠2+∠BCD=180°，
∴∠DBC+∠BCD=180°-∠A-∠1-∠2
=180°-62°-20°-35°
=63°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）
=180°-63°
=117°.
【解析】【分析】在△ABC中， 利用三角形内角和定理先求出∠DBC和∠BCD之和， 然后在△BDC中利用三角形的内角和定理即可求出∠BDC的大小.
31．如图，直钱AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于O．∠EOA=50°．求∠BOC、∠BOE、∠BOF的度数．
【答案】解：∵OE⊥CD于O
∴∠EOD=∠EOC=90°
∵∠AOD=∠EOD-∠AOE，∠EOA=50°
∴∠AOD=90 －50 =40
∴∠BOC=∠AOD=40
∵∠BOE=∠EOC＋∠BOC
∴∠BOE=90°＋40°=130°
∵OD平分∠AOF
∴∠DOF=∠AOD=40°
∴∠BOF=∠COD-∠BOC-∠DOF=180°-40°-40°=100°
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠EOD=∠EOC=90°，根据角的和差得出∠AOD=90 －50 =40 ，根据对顶角相等得出∠BOC=∠AOD=40 ，根据角平分线的定义得出∠DOF=∠AOD=40°，根据角的和差即可算出∠BOF，∠BOE的度数。
32．如图，、、分别在的三条边上，且，．
（1）完成下列证明：
证明：．
，
　 　；
，
　 　　 　；
　 　．
（2）若，平分，求度数．
【答案】（1）；；；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠A=∠2（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A（等量代换），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：∠2；∠1；∠A；DF；
【分析】（1）由两直线平行，同位角相等，得∠A=∠2，结合已知，由等量代换得∠1=∠A，最后根据同位角相等，两直线平行，得AC∥DF；
（2）由二直线平行，同旁内角互补，得∠BDE=140°，再由角平分线的定义得∠BDF=∠BDE=70°，最后再根据二直线平行，同位角相等得出∠C=∠BDF=70°.
33．某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成A，B，C，D四张卡片(除画像外，其余完全相同)，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为　 　.
（2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
第1张第 2张 A B C D
A \ (B， A) (C， A) (D， A)
B (A， B) \ (C， B) (D， B)
C (A， C) (B， C) \ (D， C)
D (A， D) (B， D) (C， D) \
共有 12 种等可能的结果，其中两次抽取到的卡片都是中国数学家的结果有：(A，B)，(B，A)，共2种， ∴两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为
【解析】【解答】解：（1）抽到数学家韦达的概率为，
故答案为：；
【分析】本题考查古典概型的概率公式应用和用列表法求不放回试验的概率。
(1)根据古典概型的概率公式，总共有4张卡片，韦达对应的卡片只有1张，直接代入公式即可求解；
(2)对于不放回的两次抽取试验，用列表法列出所有等可能的结果，再从表格中找出两次都抽到中国数学家（祖冲之、刘徽）的结果数，最后将两个结果数代入概率公式计算即可。
34．把下面的说理过程补充完整：
已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC，线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
答：AB∥DE．
理由：
∵AF＝DC（已知），
∴AF+FC＝DC+ ▲ （等式的基本性质），
即：AC＝DF，
∵BC∥EF（已知），
∴∠BCA＝∠ ▲ （　　），
又∵BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（　　），
∴∠A＝∠ ▲ （　　），
∴AB∥ ▲ （　　）．
【答案】AB∥DE，
理由如下：
∵AF＝DC（已知），
∴AF+FC＝DC+FC（等式的基本性质），
即AC＝DF，
∵BC∥EF（已知），
∴∠BCA＝∠EFD（两直线平行，内错角相等），
又∵BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】由“SAS”可证得△ABC≌△DEF，可得出∠A＝∠D，由平行线的判定可得出AB∥DE。
35．已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求x2+2xy+y2的值．
【答案】解：x+y= +1 + ﹣1=2，
∴ x2+2xy+y2 =(x+y)2=(2)2=20，
【解析】【分析】根据条件先求出x+y的值，再利用完全平方式将原式变形代值计算即可.
36．如图，在四边形中，，点E，F分别是上的点，且 ，若，求的度数．
【答案】解：延长到G使，连接，如图，
∵
∴
在和，
，
∴
∴
∵
∴
在和中，
，
∴
∴
∵
∴．
【解析】【分析】延长到G使，连接，根据角之间的关系可得再根据全等三角形判定定理可得则根据边之间的关系可得再根据全等三角形判定定理可得则由角之间的关系即可求出答案.
37．如图，已知点C，D在直线BQ上，BQ∥GE，AF∥DE，∠1=50°.
（1）求∠AFG的度数.
（2）若AQ平分∠FAC，且∠Q=15°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）∵BQ∥GE，∴∠E=∠1=50°，∵AF∥DE，∴∠AFG=∠E=50°.
（2）如图，过点A作AM∥BQ
∵BQ∥GE，∴AM∥BQ∥GE，∴∠FAM= ∠AFG=50°，∠MAQ=∠Q=15°，
∴∠FAQ=65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=65°，∴∠MAC =80°.
∵AM∥BQ，∴∠ACB=∠MAC=80°
【解析】【分析】（1）由BQ∥GE根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠1=50°。由已知AF∥DE，根据两直线平行，同位角相等可得∠AFG=∠E=50°.（2）过点A作AM∥BQ加上已知BQ∥GE根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线平行。可得结论AM∥BQ∥GE，根据两直线平行，内错角相等可得∠FAM= ∠AFG=50°，∠MAQ=∠Q=15°，所以∠FAQ=∠FAM+∠MAQ=65°.由AQ平分∠FAC，根据角平分线的定义可知∠QAC=∠FAQ=65°。所以∠MAC =∠QAC+∠MAQ=80°.因为AM∥BQ，根据两直线平行内错角相等，可得∠ACB=∠MAC=80°.
38．如图，直线，点在直线上，且，求的度数.
【答案】解：如图，
∵ ，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=180°-∠ABC-∠3
=180°-90°-35°
=55°.
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据平角的定义列式求∠2的度数即可.
39．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC=80°，∠B=60°，求∠AEC的度数.
【答案】解：∵∠BAC=80°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣80°﹣60°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE= ∠DAC= ×50°=25°，
∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25°+90°=115°.
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后根据角平分线的定义求出∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
40．数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
⑴以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
⑵分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
⑶画射线OC．射线OC即为所求（如图所示）．
请你证明：射线OC是∠AOB的平分线．
【答案】证明：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC为∠AOB的平分线．
【解析】【分析】利用“SSS”证明△OMC≌△ONC，可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC为∠AOB的平分线。
41．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数。
【答案】 解：∵ 在△ABC中，∠A=70°，∠B=50° ，∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（70°+50°）=60°，∵ CD平分∠ACB ，∴.
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由 ∠ACB=180°-（∠A+∠B） 算出∠ACB的度数，进而根据角平分线的定义得出 .
42．下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程已知：，求作：一个角，使它等于．
作法：如图，作射线；
以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；
以为圆心，为半径作弧，交于；
以为圆心，为半径作弧，交弧于；
过点作射线，则就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是　 　填序号．
（2）请证明．
【答案】（1）④
（2）证明：由作法得已知：，，
在和中，
，
≌，
．
【解析】【分析】（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求出答案；
（2）根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
43．如图，两个形状、大小完全相同的含有角的直角三角板如图1放置，、与直线重合．
（1）如图1，为　 　°；
（2）如图2，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，旋转速度为秒，平分，平分．设旋转时间为t秒（），请用t表示如下角．
①________________；
②________________；
③在旋转过程中，试探究的度数是否变化．如变化，请说明理由，如不变化，请求出度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，三角板旋转的同时，三角板的边从处绕着点P逆时针旋转，三角板转速为秒．当与重合时，两个三角板停止转动．若在旋转过程中，，求三角板转速a．
【答案】（1）120
（2）①；
②；
③不变化，，理由如下：
∴不变
（3）依题意得：，当PC与PM重合时
① 当时，运动结束前，，在直线下方．
∴
化简得
∴；
② 当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值，故舍弃．
答：三角板转速为秒．
【解析】【解答】（1）由图可知：，
故答案为：．
（2）
①由图可知，
故答案为：；
②由图可知
故答案为：；
【分析】
（1）由图可知；
（2）由图可知，，根据，可得，代入计算可得为定值；
（3）依题意得：，，当PC与PM重合时，当a≤5时，由，求得的值；当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值．
（1）由图可知：，
故答案为：．
（2）①由图可知，
故答案为：；
②由图可知
故答案为：；
③不变化，，理由如下：
∴不变
（3）依题意得：，
当PC与PM重合时
① 当时，运动结束前，，在直线下方．
∴
化简得
∴；
② 当时，不断增大，先减小后增大，不可能为定值，故舍弃．
答：三角板转速为秒．
44．若求x的值
【答案】解：当底数x=1时，指数为任意数结果都为1；
当底数x=-1时，指数为-2，结果等于1；
当指数|x|-3=0时，底数x≠0，即x=±3时，结果为1；
综上x的值为±1；±3.
【解析】【分析】根据底数为±1和指数为0进行讨论即可.
45．如图，已知2∠BOC=∠AOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠DOB的度数．
【答案】解：设∠BOC=x，则∠AOC=2x，∴∠AOC的余角为90°-2x，∵∠AOC的余角比∠BOC小30°，∴90°-2x=x-30°，解得：x=40°，∴∠BOC=40°，∠AOC=80°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=80°+40°=120°，又∵∠AOC=4∠AOD，∴∠AOD=∠AOC=20°，①当射线OD在∠AOB内时，∵∠AOB=120°，∠AOD=20°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-20°=100°；②当射线OD在∠AOB外部时，∵∠AOB=120°，∠AOD=20°，∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=120°+20°=140°；综上所述：∠DOB的度数为100°或140°．
【解析】【分析】设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据∠AOC的余角比∠BOC小30°，列出方程求解，可得∠BOC=40°，∠AOC=80°，从而得∠AOB=120°，根据∠AOC=4∠AOD求得∠AOD=20°，再分情况讨论：①当射线OD在∠AOB内时，②当射线OD在∠AOB外部时，分别求出∠DOB的度数.
46．如图，，点E，F分别在直线AB，CD上，点P是AB，CD之间的一个动点.
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，的平分线交于点Q，且，则　 　.
【答案】（1）解：.
理由如下：过点P作直线，如图①.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴；
（2）解：.
理由如下：过点P作直线，如图②.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴；
（3）35°或145°
【解析】【解答】解：（3）①当点P在线EF的左侧时，如图③所示：
∵∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EPF=70°，
∴∠PEB+∠PFD=360°-70°=290°，
∴∠EQF=∠EBQ+∠DFQ=（∠PED+∠PFD）=145°；
②当点P在线EF右侧时，如图④所示：
∵∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，∠EPF=70°，
∴∠AEP+∠PFC=360°-70°=290°，
∴∠PEB+∠PFD=360°-290°=70°，
∴∠EQF=∠EBQ+∠DFQ=（∠PED+∠PFD）=35°；
综上，∠EQF的度数为145°或35°，
故答案为：35°或145°.
【分析】（1）过点P作直线，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点P作直线，利用平行线的性质可得，再结合可得，再求出即可；
（3）分类讨论：①当点P在线EF的左侧时，②当点P在线EF右侧时，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
47．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
【答案】解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM.(任写其中两对即可)
选择△AEM≌△ACN，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD.
∴∠EAM＝∠CAN.
在△AEM和△ACN中，
∴△AEM≌△ACN(ASA)．
选择△ABN≌△ADM，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
选择△BMF≌△DNF，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
∴AN＝AM.∴BM＝DN.又∵∠B＝∠D，∠BFM＝∠DFN，∴△BMF≌△DNF(AAS)．
(任选一对进行说明即可)
【解析】【分析】 △AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM；△AEM≌△ACN 的理由如下：根据全等三角形的性质得 AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD ，由全等三角形的判定ASA即可得△AEM≌△ACN.
48．在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图.
【答案】解：第一种情况以水平阴影两个正方形为对称轴，
第二种情况以水平阴影的两个正方形的铅直对称轴，
第三种情况以网格左上到右下对角线为对称轴，
在第一种对称轴上添加如图也可在2，3，4三个位置添加第5图，
，
在第三种情况添加第5个图形，也可在对称轴2，3，4位置添加.
【解析】【分析】轴对称图形特点是轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴， 为此，根据每项的条件先确定对称轴，然后作出对称图形即可.
49．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
【答案】【解答】根据三角形的三边关系得：9－2＜BC＜9＋2，即7＜BC＜11，∵BC为偶数，∴AC＝8或10，∴△ABC的周长为：9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21．
【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．
50．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
（1）求证：；
（2）如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：，，
，
.
（2）解：①平分，平分，
设，
过点H作，如图，
，
∵，
，
，
过点G作，
，
，，
，
.
，
，
解得： ，
；
②.
【解析】【解答】解：（2）② ∠EGF-∠EHF+3∠ENF=180°，理由如下：
过点G作GI∥AB，
设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，
由①得∠EGF=∠EGl+∠FGl=180°-2x+y，
∴∠ENF=180°-∠EGF-∠GEM=x-y，
∴∠HNF=180°-∠ENF=180°-（x-y），
∴∠EHF=180°-∠HNF-∠HFN=x-2y，
∴∠EGF-∠EHF+3∠ENF=180°．
【分析】（1）根据，可得出， 根据“内错角相等两直线平行”即可得出
（2）①过点H作HK// AB，过点G作GI// AB，设∠AEM=∠GEM =x，∠CFN=∠HFN=y，根据可得出由此即可表示出∠EHF和∠EGF，即可求解.
②过点H作HK//AB，过点G作GI//AB，过点N作NJ//AB，设∠AEM=∠GEM =x，∠CFN=∠HFN=y，由①可得出∠EGF=∠EGI+∠FGI=180° - 2x +y，分别表示出∠ENF，∠EGF，∠EHF即可求解.
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