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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·嵊州期末） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·镇海区期末）在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·黔西期末）如图，点D是的中点，点E是的中点，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．1 D．2
5．（2024七下·兰州期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
6．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（2024七下·绍兴期末）如图．直线，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线，上，如果．那么度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·成都期末）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
12．（2024七下·拱墅期末）一副标准的三角尺按如图位置摆放．若，点D在边上，则　 　度．
13．（2024七下·浙江期末） 计算： 　 　
14．（2024七下·梧州期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是　 　．
15．（2024七下·梓潼期末）如图，长方形纸片中，，，，将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点．若，那么　 　°．
16．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·钱塘期末） 计算：
（1）．
（2）．
18．（2025七下·杭州期末）如图，已知，．
（1）判断，是否平行，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
19．（2025七下·温州期末）如图，一块长方形农场米，米，为了扩大农场面积，计划将增加2米，增加3米．
（1）扩大后农场的面积增加了多少平方米？
（2）现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉．经了解，花卉的种植成本为每平方米60元．若米，这个种植计划能实现吗？请说明理由．
20．（2025七下·宝安期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成16个小扇形，并分别涂上颜色。
（1）转动转盘。指针停留在红色区域是　 　事件，指针停留在绿色区域是　 　事件：（从“随机”“必然”“不可能”中选填）
（2）转动转盘。指针停留在蓝色区域的概率为　 　.
（3）若要通过涂改若干个小扇形的颜色，使指针停留在蓝色区域的概率是停留在红色区域的概率的两倍，请提供一种涂改方案，并说明理由.
21．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
22．（2024七下·武侯期末）如图，直线，点E，F分别在直线上，射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为______度，射线旋转的度数为______度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
23．（2024七下·阳山期末）计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
（1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为：
________；
（2）运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
（3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
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北师大版2025—2026学年七年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·宝安期末）下列深圳建筑剪影中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】、是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
、不是轴对称图形，故B错误，符合题意；
、是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
、是轴对称图形，故D正确，不符合题意；
故选：．
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可；即：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称．
2．（2025七下·嵊州期末） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：，A错误；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误.
故答案为：B .
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂乘法法则逐项判断即可．
3．（2025七下·镇海区期末）在人体血液中，红细胞的直径约为，数据0.00077用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示为，指数n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
4．（2024七下·黔西期末）如图，点D是的中点，点E是的中点，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点D是的中点，
∴为的中线，
∴，
同理：阴影部分的面积；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可．
5．（2024七下·兰州期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：当为腰长时，
∵等腰的周长为20，
∴的底边长为：，
∴“优美比”为；
当为底边长时，的腰长为：，
∴“优美比”为；
故答案为：D．
【分析】一边长为8，可分为两种情况：①为腰长②8为底边长，分别求出“优美比”即可得出答案．
6．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
7．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
8．（2024七下·绍兴期末）如图．直线，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线，上，如果．那么度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过E作EF∥直线a，
则EF∥直线b，
∴∠3=∠1，∠4=∠2=20°，
∴∠1=45°∠2=25°；
故答案为：C．
【分析】过E作EF∥直线a，即可得到EF∥直线b，进而求出内错角相等，再根据角的和差解题即可．
9．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：D．
【分析】直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得求∠CBD的度数，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可求∠DBP的度数，即可判断③；利用平行线的性质可得，结合可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
10．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·成都期末）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长满足，
，解得，
三角形是等腰三角形，
分两种情况：①是腰、是底；②是底、是腰；
当是腰、是底时，等腰三角形的边长为，由三角形三边关系可知，此种情况不存在；
当是底、是腰时，等腰三角形的边长为，则这个等腰三角形的周长为12；
故答案为：12．
【分析】
先利用完全平方公式把原等式转化成两个非负数的和，即，则，再根据等腰三角形的概念结合三角形三边关系定理即可．
12．（2024七下·拱墅期末）一副标准的三角尺按如图位置摆放．若，点D在边上，则　 　度．
【答案】105
【解析】【解答】解：由题意得，
∵ AB∥DE，
.
故答案为：105．
【分析】根据平行线的性质得到，再根据平角定义计算即可．
13．（2024七下·浙江期末） 计算： 　 　
【答案】6
【解析】【解答】解 ：
=1-1+8-2
=6.
故答案为：6.
【分析】首先根据（-1）的偶次方，0整数幂，负整数指数幂的性质，以及绝对值的性质进行化简，然后再进行有理数加减运算即可得出答案。
14．（2024七下·梧州期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶
∵
∴，
∴，
∴，
当点D与点A重合时，取的最大值为4，
∴的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用等面积法求出，可得CD的最小值，再求出当点D与点A重合时，取的最大值为4，最后求解即可.
15．（2024七下·梓潼期末）如图，长方形纸片中，，，，将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点．若，那么　 　°．
【答案】44
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
∵将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠EFD的度数，根据折叠的性质得，然后根据角的和差即可求解．
16．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·钱塘期末） 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=1+
=1+3
=4
（2）解：原式=（2025-5）×（2025+5）-20252
=20252-52-20252
=
【解析】【分析】（1）根据公式，（a≠0）即可计算；
（2）观察数字特点，利用平方差公式，即可简便计算.
18．（2025七下·杭州期末）如图，已知，．
（1）判断，是否平行，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的度数为．
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得出∠CAB+∠C=180°，结合已知，由同角的补角相等得出∠C=∠EFD，从而根据同位角相等，两直线平行得出AC∥EF；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠BAD=∠D=60°，由二直线平行，同旁内角互补得出∠CAB=130°，最后根据角的构成，由∠CAD=∠CAB-∠BAD列式计算即可.
（1）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的度数为．
19．（2025七下·温州期末）如图，一块长方形农场米，米，为了扩大农场面积，计划将增加2米，增加3米．
（1）扩大后农场的面积增加了多少平方米？
（2）现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉．经了解，花卉的种植成本为每平方米60元．若米，这个种植计划能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：大长方形的长为（2a+3），宽为（a+2），
∴
．
故 扩大后农场的面积增加了（7a+6）平方米.
（2）解：这个种植计划能实现，利用如下：
解：当时，
因为，
所以这个种植计划能实现．
【解析】【分析】（1）先分别表示出扩大后长方形的长和宽，算出扩大后的面积与原来的面积，两者作差即可得到增加的面积.
（2）先把代入（1）中增加面积的表达式，并乘以每平方米种植成本即可得到总花费，与元比较，判断计划能否实现，关键是代入求值和数的大小比较．
（1）解：由题意得
．
（2）解：当时，
因为，
所以这个种植计划能实现．
20．（2025七下·宝安期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成16个小扇形，并分别涂上颜色。
（1）转动转盘。指针停留在红色区域是　 　事件，指针停留在绿色区域是　 　事件：（从“随机”“必然”“不可能”中选填）
（2）转动转盘。指针停留在蓝色区域的概率为　 　.
（3）若要通过涂改若干个小扇形的颜色，使指针停留在蓝色区域的概率是停留在红色区域的概率的两倍，请提供一种涂改方案，并说明理由.
【答案】（1）随机；不可能
（2）
（3）解：可将一块黄色扇形区域涂改成红色（答案不唯一），理由如下：
转盘被等分成16个小扇形．涂改后，蓝色扇形共8个，
；
红色扇形共4个，
．
．
【解析】【解答】解：（1）转动转盘．指针停留在红色区域是随机事件，指针停留在绿色区域是不可能事件；
故答案为：随机，不可能．
（2）由题意得蓝色由8种等可能性，一共有16种等可能性，
故指针停留在蓝色区域的概率为．
故答案为：
【分析】（1）根据事件发生的可能性结合随机事件和不可能事件的定义即可求解；
（2）根据等可能事件的概率即可求解；
（3）根据题意可将一块黄色扇形区域涂改成红色，则转盘被等分成16个小扇形．涂改后，蓝色扇形共8个，根据简单事件的概率即可求解。
21．（2025七下·成都期末） 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
22．（2024七下·武侯期末）如图，直线，点E，F分别在直线上，射线从出发绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点F以每秒的速度顺时针旋转，射线先旋转6秒后射线才开始旋转，在旋转过程中射线与射线不在同一条直线上，且射线旋转的度数为时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线的旋转时间为t秒．
（1）填空：射线旋转的度数为______度，射线旋转的度数为______度；（用含t的代数式表示）；
（2）若，求此时t的值．
【答案】（1），
（2）解：①如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意可得，射线旋转的度数为度，射线旋转的度数为度；
故答案为：，.
【分析】
（1）根据旋转的时间和速度列代数式即可；
（2）分两种情况：①当时，延长交于点M，画出图形，由平行线的性质表示出角度，根据“两直线平行，同位角相等”可得关于t的方程，解方程即可求解；②当时，设交于点N，画出图形，由平行线的性质表示出角度，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：根据题意可得，射线旋转的度数为度，射线旋转的度数为度；
故答案为：，
（2）如图1，当时，延长交于点M，
∵，
∴
∵
∴，
∴
解得
如图2，当时，设交于点N，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得，
综上可知，若，此时t的值为1或4．
23．（2024七下·阳山期末）计算下列各式，然后回答问题：
_______；_______；
_______；_______．
（1）从上面的计算中总结规律，用公式可表示为：
________；
（2）运用上面的规律，直接写出下式的结果：
①_______；
②_______；
（3）若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______．
【答案】（1），，，，
（2）①；②
（3）19，11，9，，，
【解析】【解答】解：（1）；；
；；
∴；
故答案为：，，，，；
（2）①；
②；
故答案为：①；②；
（3）∵
∴，
∵均为整数，
∴当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，．
故答案为：19，11，9，，，.
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求出答案.
（2）根据多项式乘多项式法则计算即可求出答案.
（3）根据多项式乘多项式法则计算即可求出答案.
（1）；；
；；
∴；
（2）①；
②；
（3）∵
∴，
∵均为整数，
∴当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
当，或，时，；
综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，．
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