资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【50道解答题·专项集训】北师大版数学八年级下册期末总复习
1．如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若求∠ACB和∠AEC的度数.
3．已知一个多边形的边数为．
（1）若，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的内角和都比它外角和的2倍还少，求的值．
4． 如图，在中，是它的一条对角线，过两点分别作，为垂足．
求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
5．小明去离家千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛开始还有分钟，于是他立即步行匀速回家取票．在家取票用时分钟，取到票后，他马上骑自行车匀速赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少分钟，骑自行车的速度是步行速度的倍．
（1）小明步行的速度单位：米分钟是多少？
（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
6．先化简再求值：，其中满足．
7．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
8．如图，在△ABC中，，，，且CE平分，求的度数.
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
10．已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
11．某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用4800元购进A种科普书的数量是用1900元购进B种科普书数量的2倍．
（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A、B两种科普书共60本，其中A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为85元，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1380元，则至少购进A种科普书多少本？
12．如图，在在中，是边上的高，．
（1）求的度数：
（2）若是的角平分线，交于点F，求的度数．
13．如图，过的顶点作，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
（1）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
14．以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
15．已知直线y=kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）。
（1）求直线y=kx+b的函数表达式。
（2）若直线y=x-2与直线y=kx+b相交于点C，求点C的坐标。
（3）写出不等式kx+b>x-2的解集。
16．如图， ABCD的对角线相交于点O，点 E在边 BC 的延长线上，且OE=OB，连结 DE.
（1）求证：DE⊥BE.
（2）设 CD 与OE 相交于点 F，若 ，求线段 CF 的长.
17．为了迎接“十·一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格/种类 甲 乙
进价（元/双） m
售价（元/双） 160 120
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
18．上午8时，一条船从海岛A 出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处. 从A， B 望灯塔C， 测得∠NAC=42°， ∠NBC=84°. 求海岛B 与灯塔C 的距离.
19．如图，在中，，AD为的角平分线，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线AB恰好经过点D，求m，n之间的数量关系．
21．某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比、销售数量相同，销售总额增加25%.今年A、B两种型号车的进价和售价如表：
A型车 B型车
进价（元/辆） 800 950
售价（元/辆） 今年售价 1200
（1）求今年A型车每辆售价多少元
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.
（1）求证：；
（2）求证：.
23．如图，在中，D是BC上一点，，点E，F分别在AD，AC上，连接BE，EF，FD，，．若，试求的度数．
24．学习完因式分解后，徐老师在四张卡片上分别写上以下四个多项式：x2+x-1，x2+3x+1，x2-x，x2+x+1.并指定两位同学做游戏，让他们每人抽一张卡片，用卡片上的两个多项式进行加法运算，若运算的结果能因式分解，则把结果因式分解.如果请你和你的同桌也参与游戏，试写出一种结果.
25．某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人．
（1）求型客车和型客车的载客量分别是多少人？
（2）学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆．
最多可以租用多少辆型客车？
若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
26．分解因式：
（1）
（2）
27．如图，中，，，．
（1）设点在上，若求的长；
（2）设点在上．若为等腰三角形，求的长．
28． 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28和2 028这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
29．如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
30．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
31．已知关于x、y的方程组的解满足，求a的取值范围．
32．四月份是樱桃上市的旺季．某水果超市销售樱桃，第一周每千克樱桃的销售单价比第二周销售单价高元，该水果超市这两周共销售樱桃千克，且第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周樱桃销售总额为元．
（1）第二周樱桃销售单价是每千克多少元？
（2）随着樱桃的大量上市，四月份第三周，樱桃定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周樱桃的销量比第二周增加了，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周樱桃总销量的，且大于非会员的销量，求为整数的最小值．
33．某救生员沿一条河顺流游泳 Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为 nm/s，该救生员来回一趟需要 ts。
（1） 用含L，x，n的代数式表示t；
（2） 用含 t，x， n的代数式表示L。
解；根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速
34．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．
（1）若，，则________；
（2）若．求的度数．
35．如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
36．如图所示，已知于点D，于点E，交于点G，交的延长线于点F，且．问：平分吗？并说明理由．
37． 已知关于 的分式方程 ．
（1） 若方程的增根为 ， 求 的值．
（2）若方程有增根， 求 的值．
38．A，B，C三种产品的每件进价和售价如下表．某商场用1万元购进这三种产品共25件进行销售．其中C产品至少购进5件，A，B两种产品分别购进x件，y件．
产品 A B C
进价（元/件） 500 400 300
售价（元/件） 700 700 400
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）这次进货全部售完获得了最大利润，请你求出来．
39．先化简，再求值，其中．
40．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.
41．某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
42．已知 求 的值.
43．平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
44．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
45．某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h）
A 30 30
B 45 50 3
设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答：
（1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；
（3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围　 　.
46．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
47．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．
（1）如图1，若点，，点为，的点，连接，．
①；
②求点的纵坐标；
（2）已知点，．
①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则；
②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________．
48．如图1，直线，点A在直线上，点B、C、D在直线上，，于点E，与的角平分线相交于点F．
（1）求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数；
（3）在（2）的条件下，将绕着点C以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间t的值．
49．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
50．如图1，已知线段轴，点B在第一象限，且AO平分，AB交y轴于点D，连接OB、OC.
（1）可以判断的形状为　 　三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分且，证明：；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，，点M为OA上一点，且，点B的坐标为，求点M的坐标.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【50道解答题·专项集训】北师大版数学八年级下册期末总复习
1．如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若求∠ACB和∠AEC的度数.
【答案】解：∵AD是高，∠CAD=20°，
∴∠ACB=90°-20°=70°。
∵CE平分
∴
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ACB，再根据角平分线定义可得∠BCE，再根据三角形外角性质即可求出答案.
3．已知一个多边形的边数为．
（1）若，求这个多边形的内角和．
（2）若这个多边形的内角和都比它外角和的2倍还少，求的值．
【答案】（1）解：根据多边形内角和公式。可得：（n-2）×180°=（8-2）×180°=1080°；
（2）解：根据题意，得：（n-2）×180°+180°=360×2，
解得：n=5.
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和计算公式，可直接把n=8代入进去求值即可；
（2）根据多边形的内角和定理及外角和等于360°，可列方程（n-2）×180°+180°=360×2，解方程即可得出n的值。
4． 如图，在中，是它的一条对角线，过两点分别作，为垂足．
求证：
（1）．
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，从而可用AAS证明，即可得出结论；
（2）由，得到，由，推出，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明结论．
5．小明去离家千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛开始还有分钟，于是他立即步行匀速回家取票．在家取票用时分钟，取到票后，他马上骑自行车匀速赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少分钟，骑自行车的速度是步行速度的倍．
（1）小明步行的速度单位：米分钟是多少？
（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
【答案】（1）解：设小明步行的速度是米分．
，
解得，
经检验是原方程的解．
答：小明步行的速度是米分；
（2）解：回家所用时间，
从家赶往体育馆所用时间 ，
取票分钟，
所以全部所用时间分分，
所以能赶到．
【解析】【分析】（1）设小明步行的速度是米分，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）根据题意计算回家所用时间，从家赶往体育馆所用时间 ，取票的时间结合题意即可求解。
6．先化简再求值：，其中满足．
【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后代入计算即可.
7．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
【答案】解：设例子中的厚型纸每页的质量为x克，
由题意得，
方程两边同时乘，得
整理，得，
解得，，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型纸每页的质量为4克．
【解析】【分析】设例子中的厚型纸每页的质量为x克，根据题意列出方程，再求解即可。
8．如图，在△ABC中，，，，且CE平分，求的度数.
【答案】解：∵，，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE=∠ACB=40°，
∴∠BEC =∠BDC+∠DCE=70°+40°=110°．
【解析】【分析】本题考查三角形的外角性质、平分线的性质。熟练运用是关键。根据∠A=35°，∠ABD=35°得∠BDC=70°，根据CE平分∠ACB得∠DCE=40°，得∠BEC =110°．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明∵AO=CO，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF，
∵AD∥BC，∴∠EDO= ∠FBO．
又∵OE=OF，∠EOD= ∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)，
∴OD=OB．
∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AF=FC，
∴AB+BF+AF=AB+BF+FC=15，
即AB+BC=15，
∴ABCD的周长= 2(AB+BC)= 2×15=30．
【解析】【分析】（1）由可证，可得，由可证，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．
10．已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
【答案】（1）解：已知方程组：
，得：
两边同时除以3，得：
∵x+y=1
∴，解得：
所以m的值为.
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是.
（3）3m-6
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值.
（1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m.
（2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围.
（3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式.
（1）解：，
，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴．
11．某书店在图书批发中心选购A，B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多20元，若用4800元购进A种科普书的数量是用1900元购进B种科普书数量的2倍．
（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A、B两种科普书共60本，其中A种科普书每本售价为126元，B种科普书每本售价为85元，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1380元，则至少购进A种科普书多少本？
【答案】（1）解：设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，由题意得：
解得：．
经检验得是原分式方程的解，
答：A种科普书每本的进价为96元，B种科普书每本的进价为76元．
（2）解：设购进A种科普书a本，由题意得：
解得：
∵a为正整数
∴a的最小整数值为41．
答：至少购进A种科普书41本．
【解析】【分析】（1）根据题意可得设B种科普书的进价为x元/本，则A种的进价为元/本，再根据购买数量之间的关系列出分式方程即可.
（2）根据利润=（售价-成本）×销量，使利润大于1380，列出一元一次不等式求解即可.
12．如图，在在中，是边上的高，．
（1）求的度数：
（2）若是的角平分线，交于点F，求的度数．
【答案】（1）解：在中，∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
【解析】【分析】(1) 利用三角形内角和求出∠BAC，在Rt△ABE中利用直角三角形两锐角互余求∠ABE；
(2) 由角平分线得∠DAC，在Rt△AEF中利用直角三角形两锐角互余求∠AFE，再利用对顶角相等或邻补角关系求∠EFD.
（1）解：在中，∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
13．如图，过的顶点作，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
（1）请你判断所画的四边形是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形．
理由：，，四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
【解析】【分析】本题考查本题考查平行四边形的性质和判定，熟知平行四边形的性质和判定是解题关键.
（1）根据题意画法和平行四边形的判定定理可知四边形ABEC是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知∠BCE=∠ABC=50°，即可得出答案.
14．以下是小明解方程的解答过程：
解：两边同乘以得
所以．
经检验是原方程的解．
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：小明的回答错误
经检验是原方程的解．
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以1-y，把分式方程化为整式方程，解整式方程求出y的值，再进行检验，即可得出答案.
15．已知直线y=kx+b（k≠0）经过点A（3，0），B（1，2）。
（1）求直线y=kx+b的函数表达式。
（2）若直线y=x-2与直线y=kx+b相交于点C，求点C的坐标。
（3）写出不等式kx+b>x-2的解集。
【答案】（1）解：根据题意得，解得
∴直线解析式为y=-x+3；
（2）解：解方程组得
∴C点坐标为(，)；
（3）解：解不等式-x+3>x-2得x<
即不等式kx+b>x-2的解集为x<，
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式把点A（3，0），B（1，2）代入函数解析式 y=kx+b ，计算即可解答；
（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系：交点的横纵坐标的值即为对应方程组x，y的值，解方程组即可得交点得坐标；
（3）解不等式-x+3>x-2得到x<，即可解答.
16．如图， ABCD的对角线相交于点O，点 E在边 BC 的延长线上，且OE=OB，连结 DE.
（1）求证：DE⊥BE.
（2）设 CD 与OE 相交于点 F，若 ，求线段 CF 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵ OE=OB ，
∴OB=OD=OE，
∴∠OBD=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBD+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠OEB+∠OED=90°，
∴ DE⊥BE；
（2）解：∵OD=OE， =OE2，
∴=OD2，
∴∠OFD=90°，即OE⊥CD，
∵CE=3，DE=4，DE⊥BE，
∴CD=5，
∴△CED的面积=EF·CD=CD·CE，
解得EF=，
∴CF==.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB=OD，即得OB=OD=OE，利用等边对等角可得∠OBD=∠OEB，∠OED=∠ODE，再利用三角形内角和定理可求出∠OEB+∠OED=90°，继而得解；
（2）由勾股定理的逆定理可得OE⊥CD，再利用勾股定理求出CD的长，根据△CED的面积可求出EF的长，再利用勾股定理求出CF即可.
17．为了迎接“十·一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格/种类 甲 乙
进价（元/双） m
售价（元/双） 160 120
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于10800元，且不超过11100元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，
m的值为100；
（2）解：由（1）可知，甲运动鞋的利润为（元/双），乙运动鞋的利润为（元/双），
设购进甲x双，则购进乙（200-x）双，
由题意得：，
解得：，
为整数，
共有16种进货方案；
（3）解：设利润为w元，
由题意得：，
①当时，w恒为8000；
②当时，，w随x增大而增大，
当时，，
即进货方式为：甲155双，乙45双；
③当时，，w随x增大而减小，
当时，，
即进货方式为：甲140双，乙60双．
【解析】【分析】（1）根据题干：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同，列分式方程，并解方程即可；
（2）结合（1）知：甲运动鞋的利润为（元/双），乙运动鞋的利润为（元/双），设购进甲x双，则购进乙（200-x）双，根据题干： 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价进价）不少于10800元，且不超过11100元， 列不等式组，解不等式组求出其整数解即可；
（3）设利润为w元，根据每双鞋子的利润×销售数量=总利润及w=销售x双甲种运动鞋的利润+销售（200-x）双乙种运动鞋的利润建立出w关于x的函数解析式，进而结合题意和一次函数的性质，即可求解.
18．上午8时，一条船从海岛A 出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处. 从A， B 望灯塔C， 测得∠NAC=42°， ∠NBC=84°. 求海岛B 与灯塔C 的距离.
【答案】解：解：根据题意可得：AB=15×（10-8）=30（ n mile ）
∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°-42°=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=3030 n mile.
即：从海岛 B 到灯塔 C 的距离为 30 n mile.
【解析】【分析】首先根据速度×时间=路程，可得出AB的长度，然后根据三角形外角的性质可得出∠C=42°，进而得出∠C=∠NAC，再根据等角对等边即可得出BC=AB=3030 n mile.
19．如图，在中，，AD为的角平分线，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB、AC分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，AD为的角平分线，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而证得，即可求证；
（2）先求出∠CAD=40°，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ADF=∠AFD=70°，接下来根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，从而有∠ADC=90°，即可求∠CDF的度数.
20．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线AB恰好经过点D，求m，n之间的数量关系．
【答案】（1）设AB所在直线的解析式为，
把，及，代入，得，
解得，
∴AB所在直线的解析式为．
（2）∵将点向左平移m个单位长度得到点D，
∴点D的坐标为．
∵直线AB恰好经过点D，∴把，代入，
得，整理得．
【解析】【分析】（1）根据和在线段AB上，用待定系数法建立二元一次方程组求解即可；
（2）利用平移的性质把点D的坐标用m、n表示出来，点D的坐标为，根据“ 直线AB恰好经过点D ”，将点D的坐标代入直线AB解析式中，即可得到m，n之间的数量关系．
21．某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比、销售数量相同，销售总额增加25%.今年A、B两种型号车的进价和售价如表：
A型车 B型车
进价（元/辆） 800 950
售价（元/辆） 今年售价 1200
（1）求今年A型车每辆售价多少元
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多
【答案】（1）解：设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为元，
根据题意得：，
解得：.
经检验，是原分式方程的解.
答：今年A型车每辆售价为1000元.
（2）解：设购进A型车m辆，则购进B型车辆，
根据题意得：，
解得：.
销售利润为，
∵-50<0.
∴当时，销售利润最多.
答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多.
【解析】【分析】（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为元，根据今年6月份与去年同期相比、销售数量相同 ，即可得出方程：，解方程即可得出x=1000，即可得出答案；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金 ，即可得出不等式
，解得：.再根据销售利润为，根据一次函数的性质，即可得出当m=30时，销售利润最多。
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：由(1)知，
，，
又和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
，
在和中，
，
，
，
又，
为等边三角形 ，
，
【解析】【分析】（1）利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用“ASA”证出，可得，再证出为等边三角形 ， 可得，从而证出.
23．如图，在中，D是BC上一点，，点E，F分别在AD，AC上，连接BE，EF，FD，，．若，试求的度数．
【答案】解：在和中，，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】先求出 （SAS）， 再求出 ， 最后计算求解即可。
24．学习完因式分解后，徐老师在四张卡片上分别写上以下四个多项式：x2+x-1，x2+3x+1，x2-x，x2+x+1.并指定两位同学做游戏，让他们每人抽一张卡片，用卡片上的两个多项式进行加法运算，若运算的结果能因式分解，则把结果因式分解.如果请你和你的同桌也参与游戏，试写出一种结果.
【答案】解：(答案不唯一)抽到的卡片上的多项式为x2+x-1和x2+3x+1，
则(x2+x-1)+(x2+3x+1)
=x2+4x
=x(x+4).
【解析】【分析】根据因式分解的方法即可得到结论.
25．某校七年级名学生和位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆，客运公司有、两种型号的客车可供租用已知满员时，辆型客车和辆型客车每次可运送人；辆型客车和辆型客车每次可运送人．
（1）求型客车和型客车的载客量分别是多少人？
（2）学校计划租用辆客车，一次运送全部师生到历史博物馆．
最多可以租用多少辆型客车？
若，两种型号客车的租金分别是元和元，则共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
【答案】（1）解：设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人，根据题意得：，解得：，
∴型客车的载客量为人，型客车的载客量为人.
（2）解：设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车，根据题意得：，解得：，
为非负整数，
的最大值为，
∴最多可以租用辆型客车.
根据得，，，，
共有种租车方案：
方案：租用辆型客车，租金为元.
方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元.
方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元.
，
租用辆型客车，辆型客车的租金最低，
∴共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低．
【解析】【分析】（1）设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人，根据题目情境可列出二元一次方程组，解方程组即可得型客车的载客量为人，型客车的载客量为人.
（2）设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车，根据题目情境列出一元一次不等式，解不等式即可得，再根据为非负整数，得m的最大值为，即可得最多可以租用辆型客车.
根据得，，，，共有种租车方案，分别为租用辆型客车，租用辆型客车，辆型客车，租用辆型客车，辆型客车，再分别求出种方案的租金，然后比较即可得共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低．
（1）解：设型客车的载客量为人，型客车的载客量为人，
根据题意得：，
解得：，
答：型客车的载客量为人，型客车的载客量为人；
（2）解：设可以租用辆型客车，则可以租用辆型客车，
由题意得：，
解得：，
为非负整数，
的最大值为，
答：最多可以租用辆型客车；
由可知，，，，
共有种租车方案：
方案：租用辆型客车，租金为元；
方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元；
方案：租用辆型客车，辆型客车，租金为元；
，
租用辆型客车，辆型客车的租金最低，
答：共有种租车方案，租用辆型客车，辆型客车的租金最低．
26．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【解析】【分析】（1） 此题的二项式中，每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，故直接使用平方差公式分解因式即可；
（2）此题的三项式中，首项与尾项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相同，中间项能写成首尾项底数乘积的2倍，故直接利用完全平方公式分解即可.
27．如图，中，，，．
（1）设点在上，若求的长；
（2）设点在上．若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）解：，，，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
；
（2）解：当时，为等腰三角形，
；
当，时，为等腰三角形，
过作于，
，
，
；
当时，为等腰三角形，
连接，
设，则，
，
解得：，
，
综上所述，若为等腰三角形，的长为，，．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到AB=20cm，根据等角对等边得AP=PC；设AP=BP=x，根据勾股定理建立方程即可求解；
（2）根据有两条边相等的三角形是等腰三角形可得当CM=BC=15时，△MBC为等腰三角形；当BM=BC=15时，△MBC为等腰三角形，过B作BH⊥AC于H，根据等面积法求得BH=12，根据勾股定理求得CH=9，AM=7；当BM=CM时，△MBC为等腰三角形，连接BM，根据勾股定理即可得到结论.
28． 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28和2 028这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
【答案】（1）解：假设28和2 028都是“神秘数”，设28是x和x－2两数的平方差，
则x2－(x－2)2＝28，解得x＝8，
所以x－2＝6，即28＝82－62.
设2 028是y和y－2两数的平方差，
则y2－(y－2)2＝2 028，解得y＝508，
所以y－2＝506，即2 028＝5082－5062.
所以28，2028都是神秘数．
（2）解：(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2＋2k)(2k＋2－2k)＝4(2k＋1)，因为k取非负整数，
所以由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．
【解析】【分析】(1)根据题意计算验证即可；
(2)设这两个连续偶数构成的神秘数为x，得出x=化简即可得出结果.
29．如图，在中，平分，交于点，，，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
平分，
，
又∵，
∴ ．
【解析】【分析】利用三角形内角和求出∠DBC=35°，由角平分线的性质求出 ∠ABD=35°，由平行线的性质可得∠BED=110°。
30．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
31．已知关于x、y的方程组的解满足，求a的取值范围．
【答案】解：解方程组得
∵
∴
即
解不等式组得：a>2．
【解析】【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．
32．四月份是樱桃上市的旺季．某水果超市销售樱桃，第一周每千克樱桃的销售单价比第二周销售单价高元，该水果超市这两周共销售樱桃千克，且第一周樱桃的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周樱桃销售总额为元．
（1）第二周樱桃销售单价是每千克多少元？
（2）随着樱桃的大量上市，四月份第三周，樱桃定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周樱桃的销量比第二周增加了，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周樱桃总销量的，且大于非会员的销量，求为整数的最小值．
【答案】（1）解：设第一周樱桃销售单价是每于克元，第二周樱桃销售单价是每千克元，
根据题意，得，
解得，
答：第二周草莓销售单价是每于克元；
（2）解：∵该水果超市这两周共销售樱桃千克，四月份第三周的销售单价是元/千克，
∴四月份第三周的销售量为千克，
∵通过会员优惠活动购买的销量占第三周樱桃总销量的且大于非会员的销量，
∴，
解得，
∴为整数的最小值．
【解析】【分析】（1）设第一周樱桃销售单价是每于克元，第二周樱桃销售单价是每千克元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）求出四月份第三周的销售量，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
33．某救生员沿一条河顺流游泳 Lm，然后逆流游回出发点，设该救生员在静水中的游泳速度为xm/s，水流速度为 nm/s，该救生员来回一趟需要 ts。
（1） 用含L，x，n的代数式表示t；
（2） 用含 t，x， n的代数式表示L。
解；根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速
【答案】（1）解：
（2）解：由 （1） 得
【解析】【分析】（1） 根据顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速表示时间t，然后通分解答即可；
（2）把（1）中等式变形解答即可.
34．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．
（1）若，，则________；
（2）若．求的度数．
【答案】（1）5
（2）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质及全等三角形的性质可得；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用旋转的性质及全等三角形的性质可得，，最后利用三角形的内角和求出∠BAF的度数即可.
（1）解：在中，，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：
（2）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴．
35．如图，为线段上的一点，都是等边三角形，连接．若，求的长．
【答案】解：都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定.先利用等边三角形的性质可得：，再利用角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，再由线段之间的关系可得：，进而可求出BD的长度，求出CE的长度．
36．如图所示，已知于点D，于点E，交于点G，交的延长线于点F，且．问：平分吗？并说明理由．
【答案】解：平分．
理由：∵，，
∴
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴平分．
【解析】【分析】先根据垂直得到，进而根据平行线的判定与性质即可得到，，进而结合题意运用角平分线的判定即可求解。
37． 已知关于 的分式方程 ．
（1） 若方程的增根为 ， 求 的值．
（2）若方程有增根， 求 的值．
【答案】（1）解：方程丽边同时乘以 ，
去分时并整理得 ， 是分式方程的增根，
， 解得
（2）解： 原分式方程有增根，
，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时，．
【解析】【分析】（1）先将分式方程转化为整式方程，然后再根据分式方程增根的定义，得出x-1=0，最后将x=1代入整式方程，即可得出m的值；
（2）根据分式方程有增根，得出x-1=0或x+2=0，然后将分式方程转化为整式方程，将x=1或x=-2代入整式方程，即可得出m的值.
38．A，B，C三种产品的每件进价和售价如下表．某商场用1万元购进这三种产品共25件进行销售．其中C产品至少购进5件，A，B两种产品分别购进x件，y件．
产品 A B C
进价（元/件） 500 400 300
售价（元/件） 700 700 400
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）这次进货全部售完获得了最大利润，请你求出来．
【答案】（1）解：∵某商场用1万元购进这三种产品共25件进行销售，A，B两种产品分别购进x件，y件，∴购进C产品件，
由题意得，
整理得，
∴，
∵C产品至少购进5件，
∴，
∵，
∴，解得，
∵x为整数，
∴，
综上，
（2）解：设利润为元，由题意得
，
∵，
∴随的增大而减少，
又∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：这次进货全部售完获得了最大利润为6000元
【解析】【分析】（1）根据题意可知，一共购进25件产品，因此购进C产品的数量为件，结合总采购成本为10000元，可以用含x的代数式表示出y，由此可表示出C产品的数量；根据购进各类产品的数量不少于5件，可得到关于x的不等式组，由此可求出x的取值范围.
（2）设获得的总利润为元，根据三种产品的单件利润可列出w关于x的函数解析式，整理可得，最后根据一次函数的增减性即可求出最大利润，得到对应的进货方案.
（1）解：∵某商场用1万元购进这三种产品共25件进行销售，A，B两种产品分别购进x件，y件，
∴购进C产品件，
由题意得，
整理得，
∴，
∵C产品至少购进5件，
∴，
∵，
∴，解得，
∵x为整数，
∴，
综上，；
（2）解：设利润为元，
由题意得
，
∵，
∴随的增大而减少，
又∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：这次进货全部售完获得了最大利润为6000元．
39．先化简，再求值，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将代入计算即可。
40．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
该不等式组的解集在数轴上表示为
.
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
41．某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】（1）解：设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）解：
设该学校购买m个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，解得：．
答：该学校最多可购买50个测温枪．
【解析】【分析】
（1）设洗手液单价为未知数，根据测温枪与洗手液单价关系表示测温枪单价，再依据数量关系列分式方程即可；
（2）设该学校购买m个测温枪，则购买瓶洗手液，根据“购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，”可列出不等式求解．
42．已知 求 的值.
【答案】解：∵a-2b=
∴
=-（ab）2（a-2b）2
=-1.
【解析】【分析】先将代数式变形为-（ab）2（a-2b）2，再将a-2b= 代入计算即可.
43．平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
44．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式得，则．
解不等式得，则，
故原不等式组的解集为，
在数轴上表示其解集如下．
【解析】【分析】利用不等式的基本性质分别求得各个不等式的解，进而得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集.
45．某网络公司给出A，B两种上网的月收费方式（如下表）
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h）
A 30 30
B 45 50 3
设上网时间为t（单位：h），，根据表格回答：
（1）请写出B种方式上网费用y（单位：元）关于上网时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）若，选取B种方式的上网费用低于A种方式时，求上网时间t的取值范围；
（3）若，当上网时间为m时，A方式和B方式的上网费用相同，若m的值存在两个，直接写出a的取值范围　 　.
【答案】（1）解：①当时，
②当时，
（2）当时，A方式上网费用
①当时，，选取A种方式上网费用低，（舍）；
②当时，令得，
当时，选取B种方式上网费用低
③当时，令得恒成立，
当时，选取B种方式上网费用低.
综上所述时，选取B种方式上网费用低．
（3）
【解析】【解答】（3）对于A种上网方式，当0＜t≤30时，y=30；当30＜t≤720时，y=30+a（t-30）=at+30（1-a）；
∴A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式为y=．
如图，当30＜t≤720时，A种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象PM经过坐标（720，2055），图象PN经过坐标（50，45）．
当图象PM经过坐标（720，2055）时，得720a+30（1-a）=2055，解得a≈2.93；
当图象PN经过坐标（50，45）时，得50a+30（1-a）=45，解得a=0.75；
∴若m的值存在两个，a的取值范围为0.75＜a＜2.9．
故答案为：0.75＜a＜2.9．
【分析】（1）根据“当0＜t≤50时，上网费用=月使用费；当50＜t≤720时，上网费用=月使用费+超时费×（t-包时上网时间）”作答并写为分段函数即可；
（2）根据（1）的方法写出A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在同一坐标系中作出A、B两种方式上网费用y关于上网时间t的函数图象，根据图象作答即可；
（3）求出超时费为a元/h时A种方式上网费用y关于上网时间t的函数解析式，在上面的坐标系数中分析两图象交点情况，从而求出a的取值范围。
46．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
【答案】解：能，计算过程如下：
，
因此，不管取何值（除外），这个式子的值都是．
【解析】【分析】先将分式里的分母和分子所含多项式进行因式分解，根据分式的化简法则即可求解.（特别注意x的值不能取使分式分母为0的值）
47．在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点．
（1）如图1，若点，，点为，的点，连接，．
①；
②求点的纵坐标；
（2）已知点，．
①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则；
②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________．
【答案】（1）①30；
②解：过点作轴于，过点作轴于，
．
点为线段的点，
，，．
．
在和中，
．
．
是等边三角形，点，，点，，
．
，
．
．
点纵坐标为．
（2）①；②或
【解析】【解答】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点，
∵为等边三角形，，，则
，
∵点为，的点，
∴与轴的夹角为，即
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，
∵点为，的点，
∴，
则是等边三角形，
过点作轴于点，则，
∴
∵关于对称，
∴，则，
∴轴，
∵点的横坐标为
∴，
∵，则，
∵，， 则，
∴
解得：
故答案为：．
②当时，点，
当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，
∵，，，则()
∴，
∴
∵
∴
当时，点在点的左侧，
同理可得，，则，
∴，
解得：，
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，根据等边三角形性质可得，则，，根据题意可得与轴的夹角为，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过点作轴于，过点作轴于，则，由题意可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AO=BO，再根据等边三角形判定定理可得，则，，即可求出答案.
（2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，由题意可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，过点作轴于点，则，，根据对称点性质可得，由直线平行判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②当时，点，，分情况讨论：当时，点在点的右侧，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，根据三角形判定定理可得，根据三角形内角和定理可得()，再根据含30°角上午直角三角形性质可得，则；当时，点在点的左侧，同理可得，，则，即，解方程即可求出答案.
（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点，
∵为等边三角形，，，则
，
∵点为，的点，
∴与轴的夹角为，即
∴，
∴，
故答案为：30；
②解：过点作轴于，过点作轴于，
．
点为线段的点，
，，．
．
在和中，
．
．
是等边三角形，点，，点，，
．
，
．
．
点纵坐标为．
（2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，
∵点为，的点，
∴，
则是等边三角形，
过点作轴于点，则，
∴
∵关于对称，
∴，则，
∴轴，
∵点的横坐标为
∴，
∵，则，
∵，， 则，
∴
解得：
故答案为：．
②当时，点，
当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，
∵，，，则()
∴，
∴
∵
∴
当时，点在点的左侧，
同理可得，，则，
∴，
解得：，
综上所述，或．
故答案为：或．
48．如图1，直线，点A在直线上，点B、C、D在直线上，，于点E，与的角平分线相交于点F．
（1）求的度数；
（2）如图2，若，，求的度数；
（3）在（2）的条件下，将绕着点C以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间t的值．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，∴，，
∴，
∴
设旋转时间为t秒，旋转角度为．
∵边，，，有共同顶点C，
∴这四条边不能互相平行，
①当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
②当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
④当时，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
⑤当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
综上所述，或10或12或18或30．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，可得，，利用角的和差关系以及三角形内角和定理，求解即可；
（2）根据， 以及平行线的性质可得，再根据 可得，求解即可；
（3）根据题意，分，，，，五种情况，根据平行线的性质求出旋转角，从而求得时间t．
（1）解：∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，，
∴，
∴
设旋转时间为t秒，旋转角度为．
∵边，，，有共同顶点C，
∴这四条边不能互相平行，
①时，如图：
∴，
∴，
解得：；
②当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
④当时，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
⑤当时，如图：
∴，
∴，
解得：；
综上所述，或10或12或18或30．
49．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
【答案】（1），；；
（2）解：（2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：
如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交的延长线为点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积分别为，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，
∴的最大值为：，
∴的最大值为．
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵，平分，
∴，，
故答案为：，；
设，，，
∵的周长为32，
∴，
∴，
∵的周长为23，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰的性质补充推理过程即可；
同理结合等腰的性质及已知三角形的周长推理分析，为便于理解，可通过设元更为直观表示其内在关系解得目标AD的长；
（2）方法一：通过辅助线构造完成全等证明，后利用全等的性质及等腰三角形的判定进一步得证；
方法二：同理通过辅助线构造完全二次全等证明，后利用全等的性质即可得证等腰.
（3）根据角平分线及高线构造补全等腰，即延长交的延长线为点，后根据条件将目标面积进行转换，即，结合等腰的性质进一步将目标面积转化向条件靠拢，即，利用垂线段最短分析即可计算出此时最值.
50．如图1，已知线段轴，点B在第一象限，且AO平分，AB交y轴于点D，连接OB、OC.
（1）可以判断的形状为　 　三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分且，证明：；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，，点M为OA上一点，且，点B的坐标为，求点M的坐标.
【答案】（1）等腰
（2）证明：延长OB到F，使得，
∴，，
∴
∵，∴.
∵OE平分，∴.
∵，∴，
∴
∴
（3）解：连接BC，作轴于G，作轴于H，
∵，
∴
∵，
∴CM平分，AM平分，BM平分.
∴设，
，，
则，，∴，
∵，，
∴，
∴.
∵，，，
∴
∴，，
∴
【解析】【解答】解：(1)由题意知AC//OD，所以又因为 AO平分，所以所以即DA=DO，三角形AOD为等腰三角形；
【分析】(1)由平行内错角相等和角平分线的性质即可得DA=DO，即三角形AOD为等腰三角形；
（2）延长OB到F，使得，通过等量代换可得，推出 ，对应边AO=OF，即可得证；
（3）要求点M的坐标，首先连接BC，作轴于G，作轴于H，再结合已知设，，，根据x，y，z直间的关系推出OM=MB，进而证明，得到，，即可得点M的坐标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑