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【50道解答题·专项集训】人教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后的对应点为P1（x0+4，y0﹣3），将三角形作同样的平移得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1的图形，并写出A1，B1，C1的坐标．
2．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
3．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，云南某县引进多种口感好的橙子品种，助推乡村振兴．某超市看好甲、乙两种橙子的市场价值，经调查甲种橙子进价每千克a元，售价每千克16元；乙种橙子进价每千克b元，售价每千克24元．
（1）该超市购进甲种橙子15千克和乙种橙子20千克需要430元；购进甲种橙子10千克和乙种橙子8千克需要212元，求a、b的值；
（2）超市决定每天购进甲、乙两种橙子共100千克（两种橙子的数量都是整数），且投入资金不少于1160元又不超过1168元，该超市有哪几种购买方案？哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
4．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ▲ ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．
5．某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育．若购进甲种2株，乙种3株，则共需成本l700元；若购进甲种3株，乙种l株，则共需成本l500元．
(1)求甲、乙两种君子兰每株成本分别为多少元
(2)该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购入甲、乙两种君子兰，若购入乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株
6．为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
7．如图，已知直线、被直线所截，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的大小．
8．如图所示，已知，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点P，则与互余，试说明理由．
9．如图， ， 是截线， ， ，求： 的度数．
10．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.
11．一种长方体的书，长与宽相等，四本同样的书叠在一起成一个正方体，体积为216立方厘米，求这本书的高度．
12．解不等式并把不等式的解集在数轴上表示出来．
5（x－2）＋8 6（x－1）＋7
13．如图，，将 沿 方向平移，得到，连结，求阴影部分的周长．
14．课堂上，王老师给同学们呈现了这样一个问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数.
小明、小颖、小丽三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
小明同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN∥CD.分析思路：⑴欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；⑵由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；⑶由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；⑷由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；⑸从而可求∠EFG的度数.
请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路.
15．如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，平分，于点，求的度数．
16．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
17．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分？
18．已知方程 的解为负数，求正整数 的值.
19．2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
　 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
20．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，求点的坐标.
21．落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售 6 千克 A等级农产品和4 千克 B等级农产品共收入112元，销售4千克 A 等级农产品和2 千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克 A 等级农产品和每千克 B 等级农产品的销售单价分别为多少元；
（2）若该食品企业以每千克8元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于 16000 元，则至少需加工A等级农产品多少千克
22．如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．
23．已知点，根据下列条件分别求出点M的坐标．
（1）点M在y轴上；
（2）点N的坐标为．直线轴．
24．某超市决定购进甲、乙两种商品进行销售.若购进5件甲种商品，4件乙种商品，则需要725元；若购进2件甲种商品，1件乙种商品，则需要200元.
（1）求购进甲、乙两种商品每件各需多少元
（2）若该超市决定拿出3000元全部用来购进这两种商品，考虑到市场需求，要求购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的3倍，且不超过乙种商品数量的4倍（注：所购甲、乙两种商品均为整数件)，请问该超市共有几种进货方案
（3）若销售每件甲种商品可获利20元，每件乙种商品可获利50元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大 最大利润是多少元
25．一个风筝的骨架如图所示。
（1）∠1与∠5是一对什么角 如果∠1=∠6=45°，那么∠5等于多少度 根据什么 ∠5与∠1相等吗
（2）∠2与∠3是一对什么角 如果∠2=∠4=45°，那么∠3等于多少度 根据什么 ∠2+∠3等于多少度
26．已知是方程组的解，那么的值为多少？
27．某地区2022 年进出口总额为520 亿元，2023 年进出口总额比2022年有所增加，其中进口额增加了 25%，出口额增加了 30%（注：进出口总额=进口额+出口额）.
（1）设2022年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表.
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y 520
2023 1.25x 1.3y 　
（2）已知2023年进出口总额比 2022 年增加了140亿元，则2023年进口额和出口额分别是多少亿元？
28．解不等式组： 并在数轴上表示出它的解集.
29．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干根，已知购买10根A跳绳和5根B跳绳共需90元；购买4根A跳绳和10根B跳绳共需100元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）若该班级计划购买A，B两种跳绳共50根，且预算的费用不超过340元，求至少购买A跳绳多少根？
30．解不等式组 并写出它的正整数解．
31．解不等式组： （在数轴上表示解集）
32．如图，已知
，
，试说明：
．
解：∵，
∴ // （　　），
∴ ，
又∵
∴ // （　　），
∴ ，
∴，
即
．
33． 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A所表示的数为，设点B所表示的数为m.
（1）实数m的值是　 　；
（2）求|m+1|+|m-1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c-3d的平方根.
34．已知，，，求 的最大值和最小值．
35．若关于 的方程 的解是正数，求 的取值范围.
36．已知|x|= ，y是3的平方根，且|y-x|=x-y，求x+y的值．
37．茶道被视为一种修身养性的生活艺术.茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”.某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装.若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元.
（1）求甲、乙两种套装的单价；
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元.请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装.
38．如图，，．求证．
39．解不等式组，并写出它的所有整数解．
40．如图，，点是直线之间的一点，连接．
探究猜想：
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③猜想图中的关系，并证明你的结论．
41．已知正数x的两个不同的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根是-3，求x+y的值．
42． 如图，直线a，b被直线c所截.
（1）如果a∥b，你能得到哪些角之间的等量关系
（2）写出能够证明a∥b的条件(能写几个就写几个).
43． 前山河部分水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设两岸，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转a度，点N处射出的光线每秒旋转b度，且．
（1）求的值；
（2）设点M处探照灯先旋转20秒后，记两盏灯一起旋转的时间为t秒，当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，说明理由；
（3）已知垂直河岸，设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直，求的度数；
44．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
45．某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？
46． 如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件．另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　 　．结论是　 　（填写序号）；
（2）证明上述命题．
47．2024年4月23日是第29个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下：
（1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价．
（2）现按照优惠方案购买《西游记》．
①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案．
②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？
48．已知关于x与y的方程组分别求出当a为何值时，方程组：
（1）有唯一一组解.
（2）无解.
（3）有无穷多组解.
49． 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
50．请阅读求绝对值不等式和的解集过程．对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的绝对值是小于的，所以的解集为；对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于而大于的绝对值是大于的，所以的解集为或．
（1）解绝对值不等式的解集．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
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【50道解答题·专项集训】人教版数学七年级下册期末总复习
1．如图，三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后的对应点为P1（x0+4，y0﹣3），将三角形作同样的平移得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1的图形，并写出A1，B1，C1的坐标．
【答案】解：∵点P（x0，y0）经平移后的对应点为P1（x0+4，y0﹣3），
∴平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位，
△A1B1C1如图所示；
A1（2，0），B1（﹣2，﹣1），C1（﹣5，4）．
【解析】【分析】根据点P与P1的坐标确定出平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位，再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标．
2．已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．
【答案】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，
∴（a﹣3）+（2a+15）＝0，
解得：a＝﹣4，
∵的立方根是﹣3，
∴＝﹣27，
∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．
【解析】【分析】根据平方根的性质：正数的平方根有两个，并且它们互为相反数可以得出（a﹣3）+（2a+15）＝0，解出a，再根据立方根的定义求出b，再代入求值
3．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，云南某县引进多种口感好的橙子品种，助推乡村振兴．某超市看好甲、乙两种橙子的市场价值，经调查甲种橙子进价每千克a元，售价每千克16元；乙种橙子进价每千克b元，售价每千克24元．
（1）该超市购进甲种橙子15千克和乙种橙子20千克需要430元；购进甲种橙子10千克和乙种橙子8千克需要212元，求a、b的值；
（2）超市决定每天购进甲、乙两种橙子共100千克（两种橙子的数量都是整数），且投入资金不少于1160元又不超过1168元，该超市有哪几种购买方案？哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意可得：，解得：，
∴a、b的值为10、14；
（2）解：设改超市购进甲种橙子x千克，则，解得：58≤x≤60，
∵x是正整数，∴x可取58，59，60，
∴共有三种购进方案：
①购进58千克甲种橙子，42千克乙种橙子，利润为：58×（16－10）＋42×（24－14）＝768（元）；
②购进59千克甲种橙子，41千克乙种橙子，利润为：59×（16－10）＋41×（24－14）＝764（元）；
③购进60千克甲种橙子，40千克乙种橙子，利润为：60×（16－10）＋40×（24－14）＝760（元）；
∴该超市购进58千克甲种橙子，42千克乙种橙子获得的利润最大，最大利润为768元．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案；
（2） 设该超市购进甲种橙子x千克 ，根据题意列出不等式组，解不等式，x取正整数，可得x=58，59，60，分别计算利润即可求出答案。
4．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ▲ ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ▲ ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ▲ ．
【答案】x≤1； ；解：（Ⅲ） ；x≤1
【解析】【解答】解：解不等式①，得x≤1．
解不等式②，得x＜5．
原不等式组的解集为x≤1，
故答案为：x≤1，x＜5，x≤1．
【分析】利用不等式组的解法求解并在数轴上表示出来即可。
5．某花卉种植基地欲购进甲、乙两种君子兰进行培育．若购进甲种2株，乙种3株，则共需成本l700元；若购进甲种3株，乙种l株，则共需成本l500元．
(1)求甲、乙两种君子兰每株成本分别为多少元
(2)该种植基地决定在成本不超过30000元的前提下购入甲、乙两种君子兰，若购入乙种君子兰的株数比甲种君子兰的3倍还多10株，求最多购进甲种君子兰多少株
【答案】解：（1）设甲种君子兰每株成本为x元，乙种君子兰每株成本为y元，
由题意得：
解得：，
故甲种君子兰每株成本为400元，乙种君子兰每株成本为300元．
（2）设购进甲种君子兰a株，则购进乙种君子兰（3a＋10）株，
由题意得：
400a＋300（3a＋10）≤30000，
解得：a≤
∵a为整数，
∴a最大为20．
答：最多购进甲种君子兰20株．
【解析】【分析】(1)设甲种君子兰每株成本为x元，乙种君子兰每株成本为y元，根据体重的等量关系"①购进甲种2株，乙种3株，则共需要成本1700元；②购进甲种3株，乙种1株，则共需要成本1500元"列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
(2)设购进甲种君子兰a株，结合(1)中求得的结果，根据题中的不等关系"成本不超过30000元"列关于a的不等式，解不等式即可求解．
6．为了庆祝建党100周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛；学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元，请问学校有多少种购买方案．
【答案】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40 m）个，
根据题意得：，
解得：28≤m≤30，
∵m为整数，
∴m可取28或29或30，
∴40 m＝12或11或10，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品28个，购买B种奖品12个；
方案二、购买A种奖品29个，购买B种奖品11个；
方案三、购买A种奖品30个，购买B种奖品10个．
【解析】【分析】（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，根据“购买3个A奖品和2个B奖品共需110元；购买5个A奖品和4个B奖品共需200元”列出方程组，再解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（40 m）个，根据“B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过860元”列出不等式组，再求出正整数解即可．
7．如图，已知直线、被直线所截，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的大小．
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴.
（2）解：∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由，，得到，结合内错角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，根据平行线的内错角相等，求得，再由平分，得到，结合，进行计算，即可得到答案.
8．如图所示，已知，直线分别交于点，的平分线与的平分线相交于点P，则与互余，试说明理由．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 互余．
【解析】【分析】由角平分线的概念可得∠FEP=∠BEF，∠EFP=∠DFE，则∠EFP+∠FEP=(∠DFE+∠BEF)，由平行线的性质可得∠BEF+∠DFE=180°，则∠EFP+∠FEP=90°，据此解答.
9．如图， ， 是截线， ， ，求： 的度数．
【答案】解：由题意知： ．
∴∠1=∠2，∠3+∠5=∠5+∠4= ．
∵ ， ．
∴ ．
【解析】【分析】根据题意知： ，找出角的关系，计算求解即可．
10．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】解：
解不等式①得： x≤1，
解不等式②得： x>-2，.
∴不等式组的解集为-2这个不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集.
11．一种长方体的书，长与宽相等，四本同样的书叠在一起成一个正方体，体积为216立方厘米，求这本书的高度．
【答案】解：设书的高为xcm，
由题意得：（4x）3=216，
解得：x=1.5．
答：这本书的高度为1.5cm．
【解析】【分析】首先设书的高为xcm，由题意即可得方程：（4x）3=216，继而求得答案．
12．解不等式并把不等式的解集在数轴上表示出来．
5（x－2）＋8 6（x－1）＋7
【答案】解：5（x 2）＋8＜6（x 1）＋7，
5x 10＋8＜6x 6＋7，
整理得： x＜3，
解得：x＞ 3，
画图如下：
【解析】【分析】先去括号，再利用解不等式的方法求解，最后在数轴上表示出即可。
13．如图，，将 沿 方向平移，得到，连结，求阴影部分的周长．
【答案】解：根据平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，BE＝AD＝a cm，
∴EC＝BC BE＝（5 a）cm，
∴阴影部分的周长为：4＋2＋a＋5 a＝11（cm），
答：阴影部分的周长为11cm.
【解析】【分析】先根据平移的性质得到DE＝AB＝4cm，BE＝AD＝a cm，再利用三角形的周长公式计算即可.
14．课堂上，王老师给同学们呈现了这样一个问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数.
小明、小颖、小丽三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
小明同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN∥CD.分析思路：⑴欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；⑵由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；⑶由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；⑷由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；⑸从而可求∠EFG的度数.
请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路.
【答案】解：
小颖同学的分析思路：
辅助线：过点P作PN∥EF
分析思路：
⑴欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠NPG的度数；
⑵由已知EF⊥AB，可得∠3=90°，由辅助线作图可知∠3=∠2=90°
⑶由AB∥CD，∠DPN=∠2=90°；
⑷由∠1=30°可得，∠NPG=∠1+∠DPN=120°
⑸由PN∥EF可得∠EFG=∠NPG，从而求得∠EFG的度数
【解析】【分析】小颖同学的分析思路：过点P作PN∥EF，由平行线的性质得∠3=∠2=90°，∠DPN=∠2=90°，则∠NPG=∠1+∠DPN=120°，由平行线的性质可得∠EFG=∠NPG，据此解答.
15．如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，平分，于点，求的度数．
【答案】（1），理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵.平分，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴

【解析】【分析】（1）由，得到，进而得到，证得，即可得出结果；
（2）由平分，得出，再由，得出，即可求出的度数．
16．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）②
（2）解：根据题意得
解得
答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【解析】【解答】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价，
∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
17．在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分？
【答案】解：设小明答对x道题，根据题意可得
5x-2（20-2-x）≥60
解得：x
因为x是整数，所以x所取最小值为14，
答：小明至少答对14道题，总分才不会低于60分.
【解析】【分析】 设小明答对x道题，根据：小明的得分不低于60分，列出不等式并求解即可.
18．已知方程 的解为负数，求正整数 的值.
【答案】解：去分母，得：x－（2x－a）＝4，
去括号，得：x－2x＋a＝4，
移项，得：x－2x＝4－a，
合并同类项，得：－x＝4－a，
系数化为1，得：x＝a－4，
因为方程解为负数，所以 ，
解得
所以正整数 的值为1或2或3.
【解析】【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x=a-4，然后根据x为负数可得a的范围，进而得到a的正整数值.
19．2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
　 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
【解析】【解答】解：（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
【分析】（1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，得到以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据表格中的数据，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
20．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，求点的坐标.
【答案】解：设长方形纸片的长为，宽为，
依题意，得，
解得，
∴，，且点在策二象限，
∴点的坐标为.
【解析】【分析】依据图形列二元一次方程组，运用加减消元法求出x和y的值，即可求出B到x轴和y轴的距离，根据第二象限点的坐标特性即可求出B点坐标.
21．落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售 6 千克 A等级农产品和4 千克 B等级农产品共收入112元，销售4千克 A 等级农产品和2 千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
（1）求每千克 A 等级农产品和每千克 B 等级农产品的销售单价分别为多少元；
（2）若该食品企业以每千克8元购进 6000 千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于 16000 元，则至少需加工A等级农产品多少千克
【答案】（1）解：分别设每千克 A 等级农产品和每千克 B 等级农产品的销售单价为x和y元，则题意列方程组得：
解得：
答：每千克 A 等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元
（2）解：设至少需加工A等级农产品z千克，由题意列不等式得：
解得：
答：至少需加工A等级农产品2000千克
【解析】【分析】
（1）分别设每千克 A 等级农产品和每千克 B 等级农产品的销售单价为x和y元，由相等关系“ 销售 6 千克 A等级农产品和4 千克 B等级农产品共收入112元，销售4千克 A 等级农产品和2 千克B等级农产品共收入68元 ”列关于x、y的二元一次方程组并求解即可；
（2）设至少需加工A等级农产品z千克，则加工B等级农产品千克，由不等关系“ 总利润不低于 16000 元 ”列关于z的不等式并求解即可.
22．如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．
【答案】AB与CD平行．
理由：∵EF⊥BD，
∴∠FED＝90°，
∴∠D＝90°－∠1＝40°，
∴∠2＝∠D，
∴AB∥CD.
【解析】【分析】先求出 ∠FED＝90°， 再求出∠D=40°，最后求解即可。
23．已知点，根据下列条件分别求出点M的坐标．
（1）点M在y轴上；
（2）点N的坐标为．直线轴．
【答案】（1）解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
则，
∴；
（2）解：∵直线轴，
∴点M，N的横坐标相等，
∵，．
∴，
解得：，
则，
∴．
【解析】【分析】(1)根据y轴上的点的横坐标为0，可得出3a-6=0，可以求得a的值，进一步可求得点M的坐标；
(2)根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，可得3a-6=2，可以求得a的值，进一步可求得M的坐标。
24．某超市决定购进甲、乙两种商品进行销售.若购进5件甲种商品，4件乙种商品，则需要725元；若购进2件甲种商品，1件乙种商品，则需要200元.
（1）求购进甲、乙两种商品每件各需多少元
（2）若该超市决定拿出3000元全部用来购进这两种商品，考虑到市场需求，要求购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的3倍，且不超过乙种商品数量的4倍（注：所购甲、乙两种商品均为整数件)，请问该超市共有几种进货方案
（3）若销售每件甲种商品可获利20元，每件乙种商品可获利50元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：设购进甲种商品每件需x元， 购进乙种商品每件需y元，由题意，得
，
解得，
答：购进甲种商品每件需25元， 购进乙种商品每件需150元；
（2）解：设超市购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，
由题意得3≤a≤4，
解得40≤a≤48，
∵a与都是正整数，
∴a可以为42、48，
，当a=42时，=13；
当a=48时，=12，
∴超市共有两种进货方案，
方案一：购进42件甲商品，13件乙商品；
方案二：购进48件甲商品，12件乙商品；
（3）解：选择方案一可获取的利润为：20×42+13×50=1490元；
选择方案二可获取的利润为：20×48+12×50=1560元；
∵1560＞1490 ，
∴购进48件甲商品，12件乙商品获利最大，最大利润为1560元.
【解析】【分析】（1）购进甲种商品每件需x元， 购进乙种商品每件需y元，由“ 购进5件甲种商品，4件乙种商品，则需要725元；若购进2件甲种商品，1件乙种商品，则需要200元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购进a件甲种商品，则购进件乙种商品，根据“购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的3倍，且不超过乙种商品数量的4倍”，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a，均为正整数，即可得出该超市共有2种进货方案；
（3）利用总利润=每件甲种商品的销售利润×购进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论.
25．一个风筝的骨架如图所示。
（1）∠1与∠5是一对什么角 如果∠1=∠6=45°，那么∠5等于多少度 根据什么 ∠5与∠1相等吗
（2）∠2与∠3是一对什么角 如果∠2=∠4=45°，那么∠3等于多少度 根据什么 ∠2+∠3等于多少度
【答案】（1）解：由图可知，与是一对内错角；
∵∠1=∠6=45°
∴（对顶角相等）；
∴与相等.
（2）解：由图可知，与是一对同旁内角；
∵∠4=45°，
∴根据平角的定义，，；
则∠2+∠3=45°+135°=180°.
【解析】【分析】（1）由图可知，∠1与∠5所在直线被FE所截，两角分别在FE两侧，符合内错角的定义；由对顶角相等可知，继而可判断∠5与∠1相等.
（2）由图可知，∠2与∠3所在直线被GH所截，两角分别位于GH同侧，符合同旁内角的定义；由平角的定义可得∠3，继而可判断∠2+∠3=180°.
26．已知是方程组的解，那么的值为多少？
【答案】解：将代入原方程组得，
，
即：，
由得：，∴；
将代入②得：，
解得：，
∴
∴．
【解析】【分析】先求x、y的值代入方程组，建立关于a、b的二元一次方程组，用加减消元法求出方程组的解，再代入代数式计算即可。
27．某地区2022 年进出口总额为520 亿元，2023 年进出口总额比2022年有所增加，其中进口额增加了 25%，出口额增加了 30%（注：进出口总额=进口额+出口额）.
（1）设2022年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表.
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y 520
2023 1.25x 1.3y 　
（2）已知2023年进出口总额比 2022 年增加了140亿元，则2023年进口额和出口额分别是多少亿元？
【答案】（1）解：2021年进出口总额为：1.25x+1.3y.
（2）解：由题意可得：；
解得：；
故1.25x=1.25×320=400，
1.3y=1.3×200=260，
即进口额是400亿元，出口额是260亿元.
【解析】【分析】（1）根据进口额+出口额=进出口总额即可求解；
（2）根据题意列出二元一次方程组，求解得出x和y的值；代入计算即可.
28．解不等式组： 并在数轴上表示出它的解集.
【答案】解：解不等式（1），得：x＜4，
解不等式（2），得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后将其解集在数轴上表示出来.
29．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干根，已知购买10根A跳绳和5根B跳绳共需90元；购买4根A跳绳和10根B跳绳共需100元．
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）若该班级计划购买A，B两种跳绳共50根，且预算的费用不超过340元，求至少购买A跳绳多少根？
【答案】（1）解：设A跳绳的单价为x元/根，B跳绳的单价为y元/根，
根据题意，得
解得，
答：A跳绳的单价为5元/根，B跳绳的单价为8元/根．
（2）解：设购买A跳绳a根，则购买B跳绳根，根据题意，得，
解得，
∴a的最小值为20．
答：至少购买A跳绳20根．
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的运用与模型概念。
（1）根据题意，设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元， 购买10根A跳绳和5根B跳绳共需90元 ，所以； 购买4根A跳绳和10根B跳绳共需100元 ，所以根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意，先设购买A型跳绳a根，则购买B种跳绳根，又因为“总费用不超过340元”，所以可列不等式，解得，所以至少购买20根跳绳。
（1）解：设A跳绳的单价为x元/根，B跳绳的单价为y元/根，
根据题意，得
解得，
答：A跳绳的单价为5元/根，B跳绳的单价为8元/根．
（2）解：设购买A跳绳a根，则购买B跳绳根，
根据题意，得，
解得，
∴a的最小值为20．
答：至少购买A跳绳20根．
30．解不等式组 并写出它的正整数解．
【答案】解： 解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
不等式组的解集为 ，
不等式组的正整数解为 .
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再求出所有符合条件的整数解即可.
31．解不等式组： （在数轴上表示解集）
【答案】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
在数轴上表示解集如下：
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，找到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可.
32．如图，已知
，
，试说明：
．
解：∵，
∴ // （　　），
∴ ，
又∵
∴ // （　　），
∴ ，
∴，
即
．
【答案】解：∵，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠AEC，
又∵
∴AN//EM（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠MEA，
∴，
即 ．
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
33． 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A所表示的数为，设点B所表示的数为m.
（1）实数m的值是　 　；
（2）求|m+1|+|m-1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c-3d的平方根.
【答案】（1）
（2）解：因为 ，
所以
所以
（3）解：∵ | 与 互为相反数，
∴
∵，
∴
解得
∴，
∴， 即 的平方根是土4.
【解析】【解答】解：（1）∵ 从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，
∴ 点B所表示的数为.
故答案为：；
【分析】（1）根据数轴上点的特征写出即可；
（2）先判断出m+1与m-1的正负，再根据绝对值的意义进行化简计算即可；
（3）根据相反数的和为0、绝对值与算术平方根的非负性求出c，d，再计算求出平方根即可.
34．已知，，，求 的最大值和最小值．
【答案】解： ，
∴原式=
又∵
∴
∴
∴
当c=-1时，最大值取2
当c=-0时，最小值取-1
【解析】【分析】由a，b，c的取值范围可知a+b+c＜0，b-c＜0，a-c-1＜0，再化简绝对值，合并同类项，根据c的取值范围和不等式的性质，可得到-3c-1的取值范围，从而可求出此代数式的最大值和最小值.
35．若关于 的方程 的解是正数，求 的取值范围.
【答案】解： ，解得 ，
由关于 的方程 的解是正数， >0
m<- .
【解析】【分析】先求出关于未知数x的方程的解，再根据方程的解为正数，可知x＞0，由此建立关于m的不等式，和求出不等式的解集.
36．已知|x|= ，y是3的平方根，且|y-x|=x-y，求x+y的值．
【答案】解：由题意，得x=± ，y=± ．
因为|y-x|=x-y，
所以x>y，
所以x= ，y= ，
或x= ，y=- ．
所以x+y= + 或 - ．
【解析】【分析】根据绝对值的性质求出x，根据平方根的定义求出y，由于|y-x|=x-y，得出x>y，据此确定x、y的值，最后代值计算即可.
37．茶道被视为一种修身养性的生活艺术.茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”.某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装.若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元.
（1）求甲、乙两种套装的单价；
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元.请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装.
【答案】（1）解：设甲种套装的单价为x元，乙种套装的单价为y元.
根据题意得
解得
答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元
（2）解：设购买m套甲种套装，则购买(10-m)套乙种套装.
由题意得80m+40(10-m)≤500，解得
∵m为正整数，∴m的最大值为2.
答：最多可购买2套甲种套装
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：1× 甲种套装的单价+3×乙种套装的单价=200；2× 甲种套装的单价+2×乙种套装的单价=200；据此设未知数，列方程组求解即可.
（2）设购买m套甲种套装，可表示出购买乙种套装的数量，再根据总金额不超过500元，列出关于m的不等式，然后求出不等式的最大整数解即可.
38．如图，，．求证．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】由AB∥CD可得，由可得，利用平行线的性质可得，根据同角的补角相等即得结论.
39．解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式①得>，
解不等式②得，
将不等式①②解集表示在数轴上表示如下：
故不等式组的解集为﹤≤，
所以不等式组的所有整数解是：，，，，，．
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
40．如图，，点是直线之间的一点，连接．
探究猜想：
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③猜想图中的关系，并证明你的结论．
【答案】解：作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
①若，则；
故答案为：；
②若，则；
故答案为：；
③的关系是：，
作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
【解析】【分析】①作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，则∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
②同①可得∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
③同①进行解答.
41．已知正数x的两个不同的平方根是2a+3和1-3a，y的立方根是-3，求x+y的值．
【答案】解：∵正数x的两个平方根分别是2a+3和1-3a，
∴2a+3+1-3a＝0，
a＝4，
∴x＝（2×4+3）2＝121，
∵y的立方根是-3，
∴y＝（-3）3＝-27，
∴x+y＝121-27＝94．
【解析】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数结合题意可得2a+3+1-3a=0，求出a的值，然后求出x的值，根据立方根的概念可得y的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
42． 如图，直线a，b被直线c所截.
（1）如果a∥b，你能得到哪些角之间的等量关系
（2）写出能够证明a∥b的条件(能写几个就写几个).
【答案】（1）解：∵a//b，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8
∵a//b，
∴∠3=∠5，∠4=∠6
∵a//b，
∴∠3+∠6=180°，∠4+∠5=180°
（2）解：若∠1=∠5，则a//b；
若∠2=∠6，则a//b；
若∠3=∠7，则a//b；
若∠4=∠8，则a//b；
若∠3=∠5时，则a//b；
若∠4=∠6时，则a //b；
若∠3+∠6=180°，则a//b；
若∠4+∠5=180°，则a//b.
【解析】【分析】(1)当两直线平行时，根据平行线的性质可得出角之间的等量关系；
(2)依据平行线的判定定理来找出能证明两直线平行的条件.
43． 前山河部分水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设两岸，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转a度，点N处射出的光线每秒旋转b度，且．
（1）求的值；
（2）设点M处探照灯先旋转20秒后，记两盏灯一起旋转的时间为t秒，当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，说明理由；
（3）已知垂直河岸，设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直，求的度数；
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：.
（2）解：M处探照灯先旋转20秒后，M旋转了；
当点M处探照灯射出光线首次旋转至位置，，解得；而当t经过70s，CN旋转了；
中间存在t值使得两盏探照灯射出的光线互相平行，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得；
此后的移动速度比要快，均不可能平行．
当QN到达转到DN，又返回时，若两组光线平行，如图：
同样有∠CNQ=∠BMP.
，
解得；
因此答案为或秒；
（3）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直．
∵点N处的射线旋转速度为4°每秒，故从NC旋转到ND需要的时间为：180÷4=45（s）.
∵点M处的射线旋转速度为2°每秒，故从NA旋转到NBD需要的时间为：180÷2=90（s）.
①当时，如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：，此时，两光线交于点，不符合题意；
当时：
两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直时，
同法可得：，解得；
此时
当，两个的探照灯又会回到平行时候的状态，
故是唯一解．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，得到关于a和b的二元一次方程，求解即可；
（2）根据平行线的性质可证得，设ts时两盏探照灯射出的光线互相平行，分ON到达DN之前和ON到达DN之后两种情况分别表示出∠CNQ和∠BMP，列方程求解即可；
（3）求出两岸的两盏探照灯从岸的一头旋转到另一头的时间，然后分两种情况讨论即可。①N出发出的光线从NC运动到ND的过程，即；②N出发出的光线运动到ND又返回到NC的过程，即；过F作EF//CD，根据平行线的性质建立关于时间t的方程，求解即可.注意排除不合题意的交点F.
44．[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ，
又因为
所以
（2）[方法运用]：
如图2，已知，求的度数．
（3）[深化拓展]：
已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，若，则 °
②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示）
【答案】解：（1）；.
（2）如图2，
过点作，
，
，
，
，
，
，
的度数为.
（3）①65.
②.
【解析】【解答】解：（1）解：过点作，如图所示：
，，
又，
，
故答案为：；.
（3）①过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：65.
②过点作，如图所示：
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】（1）过点作平行，即可得相等，相等，再根据
和为，即可得和为.
（2）过点作平行，根据平行线的性质得相等，进一步得平行，再根据平行线的性质可得相等，再根据周角定义可得等于，再根据等量代换可得等于，即可得答案.
（3）①过点作平行，平行线公理可得，再根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答.
②过点作平行，根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，根据平行线公理可得平行，即可得等于，即可解答．
45．某校组织七年级350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人．
（1）A、B型车每辆可分别载学生多少人？
（2）若租一辆A型车需要1000元，一辆B型车需1200元，请你设计租车方案，使得恰好送完学生，并且租车费用最少？
【答案】（1）解：设每辆A型车可载学生x人，每辆A型车可载学生y人．
根据题意，得，
解得，
∴每辆A型车可载学生30人，每辆A型车可载学生40人．
（2）解：设设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
租车总费用为1000a+1200×＝100a+10500，
可知当a越大时，费用越高，
∴当a＝1时，＝8，W取最小值，
∴租用A型车1辆，租用B型车8辆使得恰好送完学生，并且租车费用最少．
【解析】【分析】（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆A型车可载学生y人，由“ 1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人 ”列出方程组，求解即可；
（2）设租用A型车a辆，则租用B型车辆．根据租用a辆A型车的费用+租用辆B型车的费用=租车总费用，当a越大，费用越高，当a=1时，总费用最低.
46． 如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件．另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　 　．结论是　 　（填写序号）；
（2）证明上述命题．
【答案】（1）①②；③
（2）解：若选择的条件是①②，结论是③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
过点作，则，
∴，，
∵，
∴；
若选择的条件是①③，结论是②，
证明：∵，，
∴，
∴，
过点作，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴；
若选择的条件是②③，结论是①，
证明：过点作，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【解答】解：（1）开放性命题，答案不唯一；
在①EG⊥AB，②，③． 上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，选择的条件是①②，结论是③；
故答案为：①②；③；
【分析】（1）从①②③三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论，共有三种不同的选法，分别是条件是①②，结论是③；条件是①③，结论是②；条件是②③，结论是①；然后再判断出每一个命题的真假，即可得出答案；
（2）若选择的条件是①②，结论是③：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EG∥DF，由二直线平行，内错角相等，得∠GEF=∠DFE，结合，由等量加等量和相等推出∠BFE=∠HEF，由内错角相等，两直线平行，得EH∥BC；过点G作GM∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由平行线的性质得∠EGM=，∠HGM=∠C，进而根据角的构成、等量代换即可得出结论；若选择的条件是①③，结论是②：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EG∥DF，由二直线平行，内错角相等，得∠GEF=∠DFE，过点G作GM∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠HGM=∠C，结合已知及角的构成可推出∠EGM=，由内错角相等，两直线平行，得EH∥GM，进而由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由二直线平行，内错角相等，得∠HEF=∠BFE，然后根据等式的性质及角的构成可推出；若选择的条件是②③，结论是①：过点G作GM∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠HGM=∠C，结合已知及角的构成可推出∠EGM=，由内错角相等，两直线平行，得EH∥GM，进而由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由二直线平行，内错角相等，得∠HEF=∠BFE，然后根据等式的性质及角的构成可推出∠GEF=∠DFE，由内错角相等，两直线平行，得EG∥DF，最后根据平行线的性质及垂直的定义可得EG⊥AB.
47．2024年4月23日是第29个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下：
（1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价．
（2）现按照优惠方案购买《西游记》．
①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案．
②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？
【答案】（1）解：设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元．
由题意，得解得
答：每本《朝花夕拾》的原价是15元，每本《西游记》的原价是20元．
（2）解：①选择优惠方案二
②设需要购书m本，当时，
方案一的费用：．
方案二的费用：．
当时，；当时，；当时，，
∴当时，方案一更优惠；当时，两种方案一样优惠；当时，方案二更优惠．
【解析】【解答】解：（2）①设购买《西游记》 a本，
∴方案一：花费20a元，
方案二：花费0.9×20a=18a元，
∵18a＜20a，
∴选择优惠方案二；
【分析】（1）设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元．根据小明和小亮的买书消费，列出方程组并解之即可；
（2）①设购买《西游记》 a本，分别求出方案一和方案二的花费，再比较即可；
②设需要购书m本，分别计算出购买数量超过10本，两种方案的费用，再结合方程和不等式即可求解.
48．已知关于x与y的方程组分别求出当a为何值时，方程组：
（1）有唯一一组解.
（2）无解.
（3）有无穷多组解.
【答案】（1）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2.
当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时方程有唯一解，原方程组也有唯一解.
（2）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2.
当(a-2)(a+1)=0且a-2≠0时，方程无解.因此当a=-1时，原方程组无解.
（3）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2.
当(a-2)(a+1)=a-2=0，即a=2时，原方程组有无穷多组解.
【解析】【分析】利用加减消元求出2(a-2)(a+1)y=a-2，根据方程组有唯一解得到(a-2)(a+1)≠0，求出a的取值范围即可；
（2）根据无解的条件得到(a-2)(a+1)=0且a-2≠0，求出a的值即可；
（3）根据无穷解的条件(a-2)(a+1)=a-2=0得到a的值解答.
49． 学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列.如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【答案】解：设原队列有m人，
增加54人后组成a×a的正方形队列，减少74人后组成b×b的正方形队列.
根据题意得：
1- ②：
，解得，∴m1=1035；
，解得，∴m2=270；
，解得，∴m3=90；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人。
【解析】【分析】设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
50．请阅读求绝对值不等式和的解集过程．对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的绝对值是小于的，所以的解集为；对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于而大于的绝对值是大于的，所以的解集为或．
（1）解绝对值不等式的解集．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值．
【答案】（1）或．
∴或
或
∴解集为或
（2）解：，
，
解，
①+②得：，
，
则，
解得：，
又是负整数，
∴的值为或或或
【解析】【分析】（1）参照材料可得不等式或 ，再分别解不等式即可；
（2）观察方程组各未知数的系数，可利用①+②得，即，再由题意可得关于m的绝对值不等式，即，再参照材料可得关于m的不等式组并求解可得，再根据题意求出满足条件的m的负整数解即可．
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