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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证： ．
2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
3．如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
4．如图，在中，，垂足为，，分别为边，的中点，连接，．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，求的周长．
5．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程.（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
6．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
7．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个内角的度数.
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数，
8．一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点坐标．
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
9．如图， 每个小正方形的边长都为 1.
（1） 求 的周长；
（2） 求 的度数.
10．如图，DF，EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系 建议按下列步骤探索：
（1）围成的四边形是否必定是平行四边形
（2）在什么条件下，围成的四边形是菱形
（3）在什么条件下，围成的四边形是矩形
（4）你还能发现其他什么结论吗
11．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E=　 　．
12．如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
13． 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5.求 AC、BD 的长.
14．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB=90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证；△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．
15． 2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动，现从这两个年级中各随机抽取 10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分)
七年级抽取的 10名学生的成绩： 50， 68， 72， 79， 79， 80， 84， 90， 98， 100；
八年级抽取的 10名学生的成绩： 60， 60， 65， 74， 84， 84， 85， 96， 96， 96.
信息二：数据整理与分析
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a 79 c
八年级 80 84 b 188. 6
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀 请从两个不同的统计角度说明理由.
16．第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好．某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价 （满分100分），统计如下表：
小青荷 责任心 亲和力 热情度
A 91 96 95
B 97 91 94
C 92 98 92
（1）你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？
（2）“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你将这三个维度从高到低排序，并按的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”．（结果保留一位小数）
17．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：AD=CN；
（2）请添加一个条件，使四边形ADCN是矩形．并证明．
18．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
19．在算式“”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，求“○”表示的数．
（2）如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．
20． 现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，．
（1）图①截出的正方形木板的边长为　 　，的边长为　 　；
（2）求图①中阴影部分的周长；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
21．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 甲 乙 丙
成绩的平均数（分） m 9.1 8.9
成绩的中位数（分） 9.2 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请写出表中m，n的值：m=　 　，n=　 　.
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手　 　发挥的稳定性更好.（填“甲”或“丙”）
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手 请说明理由.
22．已知在△ABC中，AD⊥BC于点D．若AB=AC=2cm，AD=cm，求BC的长．
23．已知一次函数y = a x
+ b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．求此一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象.
24．已知一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式及点A，B的坐标；
（2）若一次函数的图象与直线交于点C，求点C的坐标．
25．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．
求证：
（1）≌．
（2）四边形是平行四边形．
26．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
27．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，
（1）请写出图中的等腰三角形，并证明其中一个三角形是等腰三角形
（2）若E恰好是AD的中点，AB长为4，∠ABC=60°，求△BCF的面积．
28．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
29．下表是某班41名学生右眼视力的检查结果：
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5
（1）求该班学生右眼视力的平均值；
（2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________．
30． 已知函数y=-2x+b。 当. 时，y=-1，求常数项b。
31．先化简，再求值： ，其中
32．如图，在中，．求AD，AB的长．
33．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O， ， ，求 的正弦值．
34．2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
35．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
36．甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，牵动着全国人民的心，时值严冬寒潮，当地气温极低，急需防寒保暖物资．某市紧急组织救灾物资援助灾区，安排大、小货车共16辆，分别从A、B两个仓库运送180吨物资到积石山灾区．已知每辆大货车可装15吨物资，每辆小货车可装9吨物资，在每辆货车都装满的情况下，这16辆货车恰好可以装完这批物资．这两种货车的运费如下表．
车型出发地 A仓库（元/辆） B仓库（元/辆）
大货车 1500 1800
小货车 1000 1200
（1）大、小货车各有多少辆？
（2）若要安排货车中的10辆从A仓库出发，其余的6辆从B仓库出发．设从A仓库出发的大货车有m辆，这16辆货车的总运费为W，求W的最小值．
37．已知一次函数y=（m﹣2）x﹣3m2+12，问：
（1）m为何值时，函数图象过原点？
（2）m为何值时，函数图象平行于直线y=2x？
（3）m为何值时，函数图象过点（0，﹣15），且y随x的增大而减小？
38．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作
AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．
39．已知：如图，在 中，点，分别为、的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
40．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲班 89 100 96 118 97 500
乙班 100 95 110 91 104 500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：
（1）计算两班的优秀率．
（2）求两班比赛成绩的中位数．
（3）估计两班比赛数据的方差哪一个小？
（4）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的由．
41．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=3，BC=2，求AB的长.
42．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如图所示的统计图表：
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 　 　 0
乙 　 　 　 1
（1）请补全图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出 说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则 为什么
43．如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？
44．如图，在中，，，，平分，交边于点D，点E是边的中点，点P为边上的一个动点．
（1） ， （提示：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）；
（2）若是等腰三角形，则的度数为 ；
（3）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（4）若点M在线段上，连接，直接写出的最小值．
45．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1)时，易证得结论. 请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时， 和 又有怎样的数量关系 请写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。图2的探究结论为 ▲ ；图3的探究结论为 ▲ 。
46．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
47．垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系： ▲ ，并说明理由．
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长．
（3）如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线BC都经过y轴上的点C，分别交x轴于A，B两点，已知A（－4，0），直线BC的解析式为y＝－2x＋3．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在线段BC上存在一点M，点M到直线AC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
49． 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
50．已知直线与轴交于点，与轴交于点，为直线上的一个动点，过点分别作轴于点，轴于点，如图所示．
（1）若点为线段的中点，求的长；
（2）若四边形为正方形时，求点的坐标；
（3）点在上运动过程中，的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长： ， ， ， ；
（2）求证： ．
【答案】（1）
（2）解：连接，如图所示：
∵
∴
∴是直角三角形，
∴．
【解析】解：（1），
，
故答案为：；
【分析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理．
（1）以AB、AD、BC、CD为斜边构成直角三角形，利用勾股定理求出AB、AD、BC、CD的长度。
（2）连接，根据勾股定理求出BD，利用勾股定理逆定理证明∠BCD=90°．
（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
2．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：选择乙方案更划算，理由如下：
当时，有，，
∵，
∴选择乙方案更划算．
【解析】【分析】（1）根据甲，乙两种收费方案列式求解即可；
（2）令，分别求出，的函数值，最后再比较结果即可求解.
（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
3．如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定。
(1)通过平行四边形邻角互补、对角相等的性质，由已知∠ ABC 可依次求得其余各内角；
（2）结合角平分线产生等角，利用平行线得到内错角相等，从而推导出△ ABE 为等腰三角形，求得 AE 长度，进而得到 AD，最后利用平行四边形对边相等求出周长。解题关键在于准确识别图形中的等角关系并合理转化线段长度。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
4．如图，在中，，垂足为，，分别为边，的中点，连接，．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）解：，，
，
，分别为边，的中点，
，
，
在中，为边的中点，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
由勾股定理得：，
，分别为边，的中点，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
为边的中点，
，
，
的周长．
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠BAc的度数，由三角形中位线定理可得EF∥AB，然后根据平行线的性质求出∠CEF=∠BAC的度数，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AC=EC，由等边对等角可得∠EDC=∠C，然后根据三角形内角和定理求出∠EDC的度数，于是∠DEF可求解；
（2）在直角三角形ADB和ACD中，用勾股定理分别求出AB、AC的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得DE的值，然后由线段的构成求出DF的值，于是三角形DEF的周长可求解.
5．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程.（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【答案】证明：∵ .
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】利用梯形的面积=三个直角三角形的面积之和，由此可证得结论.
6．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
7．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个内角的度数.
（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数，
【答案】（1）解：∵三角形内角和为180°，
∴180°÷（1+2+3）×1=30°，30°×2=60°，30°×3=90°，
∴三角形三个内角的度数分别为30°、60°、90°.
（2）解：1800°÷180°+2=12，
答：这个多边形的边数为12.
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及三角形三个内角的度数比为1：2：3，分别求出三角形三个内角的度数即可；
（2）利用多边形的内角和公式列出算式求解即可.
8．一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点坐标．
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
【答案】解：（1）对于y=﹣2x+4，
令y=0，得
﹣2x+4，
∴x=2；
∴一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为（2，0）；
令x=0，得
y=4．
∴一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为（0，4）；
（2）S△AOB= OA OB=×2×4=4．
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4．
【解析】【分析】（1）x轴上所有的点的坐标的纵坐标均为0；y轴上所有的点的坐标的横坐标均为0；
（2）利用（1）中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度；然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．
9．如图， 每个小正方形的边长都为 1.
（1） 求 的周长；
（2） 求 的度数.
【答案】（1）解：，
，
，
∴三角形ABC的周长；
（2）解：∵，，
∴AC2+BC2＝5+20=25=AB3，
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°．
【解析】【分析】（1）根据网格的特点，分别利用勾股定理求出AB，BC，AC，然后求其周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，据此求解.
10．如图，DF，EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系 建议按下列步骤探索：
（1）围成的四边形是否必定是平行四边形
（2）在什么条件下，围成的四边形是菱形
（3）在什么条件下，围成的四边形是矩形
（4）你还能发现其他什么结论吗
【答案】（1）解：围成的四边形一定是平行四边形.
∵DF，EF是△ABC的两条中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形 DBEF 是平行四边形.
（2）解：当AB=BC时，四边形 DBEF是菱形.
（3）解：当∠B=90°时，四边形 DBEF 是矩形.
（4）解：当 AB = BC，∠B = 90°时，四边形DBEF 是 正 方形； 等.
【解析】【分析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理解答；
(2)根据菱形的判定定理解答；
(3)根据矩形的判定定理解答；
(4)根据正方形的判定定理解答.
11．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E=　 　．
【答案】（1）解：△A′B′C′即为所求；
（2）解：△D′E′F′即为所求
（3）45°
【解析】【解答】解：（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，
∵A′C′= = 、A′F′= = ，C′F′= = ，
∴A′C′2+A′F′2=5+5=10=C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°，
故答案为：45°.
【分析】（1）作出△ABC各顶点向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度后的点，再依次连接即可；
（2）作出△DEF关于直线l对称的各点，再依次连接即可；
（3）根据轴对称的性质和平移的性质，可得出△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，进而得出∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，利用勾股定理和勾股定理的逆定理得出△A′C′F′为等腰直角三角形，即可得解.
12．如图，在中，，点位于上，于点，且．
（1）求证：≌；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在 和中，
，
≌
（2）解：，，，
，
又≌
，
，
，，
在中，，
，
，
解得 ，
．
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证△ACE≌△AFE；
（2）在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，根据（1）中的全等三角形可得AC=AF，由线段的构成BF=AB-AF、BE=BC-CE求得BF、BE的值，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于EF的方程，解方程求出EF的值，则CE的值可求解.
13． 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5.求 AC、BD 的长.
【答案】（1）解：四边形ABCD是平行四边形，
，
E，F分别是OB，OD的中点 ，
，
，
四边形AECF是平行四边形 .
（2）解：，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，再通过中点的定义得到OE=OF，进而证得四边形AECF是平行四边形 .
(2)由勾股定理可得AC=4，利用平行四边形的性质可得，再通过勾股定理求得BO的长度，即可得到BD的长度.
14．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB=90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证；△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=90°，AC=BC
∴∠ACO+∠BCE=90°
BE⊥CE，
∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACO=∠CBE
∴△AOC≌△CEB
（2）解：∵△AOC≌△CEB
∴BE=OC=2，CE=OA=4
∴点B的坐标为（6，2）
又一次函数y=x+b经过点B（6，2）
∴2=6+b
∴b=-4
∴点D的坐标为（0，-4）
∴|AD|=4+4=8
在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值.
∴S△ABD=×8×6=24
∴△ABD的面积为24.
【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质.（1）根据等腰三角形的性质可得AC=BC，∠ACB=90°，进而可得：∠ACO+∠BCE=90°，利用垂直的性质可得：∠BCE+∠CBE=90°，根据余角的性质可得∠OAC=∠BCE，利用全等三角形的判定定理AAS可证明结论；
（2）根据△AOC≌△CEB，利用全等三角形的性质可得：BE=OC=2，CE=OA=4，据此可求出点B点的坐标，根据一次函数y=x+b经过点B（6，2），可列出方程2=6+b，解方程可求出b的值，据此可求出
点D的坐标为（0，-4），求出|AD|，最后再利用三角形的面积公式进行计算可求出答案.
15． 2025年第十五届全运会由广东、香港、澳门共同举办，为弘扬全运会体育精神，某校在七、八年级开展了“全运会知识竞赛”活动，现从这两个年级中各随机抽取 10名学生的成绩进行整理分析，部分信息如下：
信息一：数据收集（单位：分)
七年级抽取的 10名学生的成绩： 50， 68， 72， 79， 79， 80， 84， 90， 98， 100；
八年级抽取的 10名学生的成绩： 60， 60， 65， 74， 84， 84， 85， 96， 96， 96.
信息二：数据整理与分析
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 a 79 c
八年级 80 84 b 188. 6
（1）填空： a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更加优秀 请从两个不同的统计角度说明理由.
【答案】（1）79.5；96；195
（2）解：我认为八年级的成绩更加优秀，从中位数看，八年级成绩的中位数大于七年级；从众数看，八年级成绩的众数高于七年级，所以八年级的成绩更加优秀
【解析】【解答】解：（1）七年级抽取的10名学生的成绩：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
八年级抽取的10名学生的成绩：60，60，65，74，84，84，85，96，96，96．则：
七年级抽取的10名学生的成绩从小到大排列为：50，68，72，79，79，80，84，90，98，100；
中位数为a＝；
平均数＝＝80，
s2＝[(50 80)2＋(68 80)2＋ ＋(100 80)2]＝＝195，
∴c＝195，
八年级抽取的10名学生的成绩中，96出现次数最多，
∴b＝96.
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的计算方法求解即可；
（2）从中位数、众数判断即可．
16．第19届亚运会在杭州举行，亚运会上的志愿者们被称为“小青荷”，“青荷”的谐音是亲和，彰显志愿者的热情和友好．某场馆比赛结束后，为了选出一位“最佳志愿者”，分别从责任心、亲和力、热情度三个方面对其中三位“小青荷”A、B、C的服务情况进行了评价 （满分100分），统计如下表：
小青荷 责任心 亲和力 热情度
A 91 96 95
B 97 91 94
C 92 98 92
（1）你能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”吗？为什么？
（2）“小青荷”的责任心、亲和力、热情度缺一不可，请你将这三个维度从高到低排序，并按的权重计算加权平均数，从中选出“最佳志愿者”．（结果保留一位小数）
【答案】（1）解：不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”，
理由：的平均分为：（分），
的平均分为：（分），
的平均数为：（分），
∴三人的平均分相同，
∴不能根据三项评价分数的平均分确定人选，选出“最佳志愿者”；
（2）解：的加权平均数为：，
的加权平均数为：，
的加权平均数为：，
∵，
∴成为“最佳志愿者”．
【解析】【分析】（1）分别计算出三人的平均分，再比较大小即可求出答案.
（2）根据题意和题目中的数据，即可计算出加权平均数，然后比较大小即可．
17．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：AD=CN；
（2）请添加一个条件，使四边形ADCN是矩形．并证明．
【答案】（1）证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN
（2）解：∠BAN=90°
∵AD∥CN，AD=CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∵∠BAN=90°，四边形ADCN是平行四边形，
∴四边形ADCN是矩形
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN；（2）先判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．
18．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
（n﹣2）=6﹣1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
19．在算式“”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，求“○”表示的数．
（2）如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）解：设“”表示的数为x，则，
解得：，
∴“○”表示的数为，
故答案为：27；
（2）-3
【解析】【解答】解：（2）①当“□”表示“+”时，；
②当“□”表示“-”时，；
③当“□”表示“×”时，；
④当“□”表示“÷”时，；
∵-3<-1<0<，
∴当“□”表示“×”时，算式的结果最小，这个最小数是-3，
故答案为：-3.
【分析】（1）设“”表示的数为x，根据“ 运算结果为 ”列出方程求出x的值，再求解即可；
（2）先分别将“+”“-”“×”“÷”分别代入计算，再比较大小即可.
20． 现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，．
（1）图①截出的正方形木板的边长为　 　，的边长为　 　；
（2）求图①中阴影部分的周长；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分周长为，

（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【解析】【解答】解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，
故答案为：；；
【小问2详解】
【分析】（1）根据正方形的面积公式求出边长即可；
（2）先表示出阴影部分的长和宽，然后根据周长公式计算即可；
（3）求出面积为的正方形木板的边长，然后把两个边长的和与长方形的边长作比较解答即可．
21．在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图；
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 甲 乙 丙
成绩的平均数（分） m 9.1 8.9
成绩的中位数（分） 9.2 9.0 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请写出表中m，n的值：m=　 　，n=　 　.
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手　 　发挥的稳定性更好.（填“甲”或“丙”）
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手 请说明理由.
【答案】（1）9.1；9.1
（2）甲
（3）解：应该推荐甲，理由如下： 选手甲和选手乙的平均数都高于选手丙的平均 数，所以从选手甲和选手乙中推荐一位选手参 加市级比赛；又因为选手甲比选手乙的中位数 高，且选手甲的最低分高于选手乙的最低分，所 以应该推荐选手甲参加市级比赛
【解析】【解答】解：(1)甲的平均数是：，
把丙选手的成绩从小到大排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4
中位数n=9.1；
故答案为：9.1，9.1.
(2)由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大，所以选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲.
【分析】(1)根据平均数和中位数的定义进行求解即可；
(2)根据方差的意义即可得出答案；
(3)分别从平均数、中位数两方面进行分析，即可得出答案.
22．已知在△ABC中，AD⊥BC于点D．若AB=AC=2cm，AD=cm，求BC的长．
【答案】解：如图，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BC=2BD，
∴，
∴.
∴BC的长为2cm.
【解析】【分析】利用三角形的高的定义及等腰三角形的性质可证得∠ADB=90°，BC=2BD，再利用勾股定理求出BD的长，即可得到BC的长.
23．已知一次函数y = a x
+ b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．求此一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象.
【答案】解：依题意得： ， 解得： ∴ 一次函数的解析式为 y = -2x + 4. 画图如下：
【解析】【分析】先将A、B两点坐标代入解析式，求出待定系数a、b即可得解析式，再根据两点确定一条直线画图即可。
24．已知一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式及点A，B的坐标；
（2）若一次函数的图象与直线交于点C，求点C的坐标．
【答案】（1）解：由已知，把点代入中，得：，
解得，，
∴这个一次函数的解析式为，
当时，，
当时，.
∴点，的坐标分别为，
（2）解：联立方程组 ，
解得，
∴点的坐标为
【解析】【分析】本题以一次函数图象经过点及两直线交点问题为背景，考查了待定系数法求解析式、坐标轴交点坐标的求法及联立方程组求交点坐标。
(1) 将已知点代入解析式求b，再分别令x=0、y=0求与坐标轴交点坐标。
(2) 联立两直线方程，解方程组得交点C的坐标。注意方程组解法的正确运用。
（1）解：由已知，把点代入中，
得：，
解得，，
∴这个一次函数的解析式为，
当时，，
当时，.
∴点，的坐标分别为，；
（2）解：联立方程组 ，
解得，
∴点的坐标为．
25．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．
求证：
（1）≌．
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
，
点是的中点，
，
在与中，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）证明：≌，
，
，
，
又∵AD∥BC，
四边形是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠DAF=∠E，由中点定义得DF=CF，结合对顶角相等，由AAS判断出△ADF≌△ECF；
（2）由全等三角形的对应边相等得AD=CE，结合已知可推出AD=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论.
26．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．
∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，
∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE （AAS），
∴BF=AE．
∵AF=AE+EF，
AF=BF+EF．
【解析】【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．
27．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，
（1）请写出图中的等腰三角形，并证明其中一个三角形是等腰三角形
（2）若E恰好是AD的中点，AB长为4，∠ABC=60°，求△BCF的面积．
【答案】（1）解：
等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
即△ABE是等腰三角形
（2）解：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=2，AD=2AE=2AB=8，
在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠A=∠ADF，∠ABE=∠F，
又∵E恰好是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴S△BCF=S ABCD=8×2=16．
【解析】【分析】（1）由在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF；
（2）首先过点A作AH⊥BC于点H，可求得AH与AD的长，易证得△ABE≌△DFE（AAS），即可得S△BCF=S ABCD．
28．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
【答案】（1）解：CF=CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°=∠DCG，
∴∠CDG+∠G=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∵AE∥DG，
∴∠G=∠AEB，
∴∠FBC=∠CDG，
在△BCF和△DCG中，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，结论得证.
（2）解：连接EH，如图：
在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG，
又∵AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AE=DG，AD=EG，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，
∴BE=BC-EC=AD-EC=EG-EC=CG，
∵在矩形FCGH中，FH=CG，
∴FH=BE，
∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE，
∴四边形BEHF是平行四边形，
∴BF=EH，
由（1）得△BCF≌△DCG，
∴BF=DG，
∴AE=EH，
∴∠EAH=∠EHA，
∵在平行四边形BEHF中，EH∥BF，
又BF⊥AE，
∴EH⊥AE，
∴∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠EHA=45°，
∵AE∥DG，
∴∠AMD=∠EAH=45°.
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得BC=DC，∠BCD=∠DCG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDG+∠G=90°，∠FBC+∠AEB=90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠AEB，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠CDG，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）连接EH，根据正方形的对边平行可得AD∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=DG，AD=EG，根据正方形的四条边都相等和矩形的对边相等可推得BE=EH，结合正方形的对边平行和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEHF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BF=EH，根据全等三角形的对应边相等可得BF=DG，推得AE=EH，根据等边对等角可得∠EAH=∠EHA，根据平行四边形的对边平行和两直线平行，同位角相等可得∠AEH=90°，根据三角形内角和是180°可得∠EAH=∠EHA=45°，根据两直线平行，内错角相等即可求解.
29．下表是某班41名学生右眼视力的检查结果：
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5
（1）求该班学生右眼视力的平均值；
（2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________．
【答案】（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）4.9；4.6；少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）
【解析】【解答】（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
【分析】(1)本题考查加权平均数的计算，以各视力值为数据，对应人数为权重，用加权平均数公式，总分数除以总人数41，算出视力平均值。
(2)本题考查众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数值，中位数是数据排序后中间位置的数，41个数据的中位数为第21个数据，据此确定众数和中位数，再结合视力情况提出合理护眼建议。
（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
30． 已知函数y=-2x+b。 当. 时，y=-1，求常数项b。
【答案】解：将和y=-1代入函数y=-2x+b，
可得：
1+b=-1
b=-2
【解析】【分析】将和y=-1代入函数y=-2x+b中，即可求解.
31．先化简，再求值： ，其中
【答案】解：
；
∵ ， ，
则，
，
故原式.
【解析】【分析】先根据分式的混合运算化简原式，结合题意求出a2+b2或 a2-b2的值，代入即可求解.
32．如图，在中，．求AD，AB的长．
【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，，
，
，
，
.
【解析】【分析】利用平行四边形的性质求得OD、BD的长度，再通过勾股定理计算出AD、AB的长度.
33．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O， ， ，求 的正弦值．
【答案】解： 四边形ABCD为平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
设 ， ，
，
，
．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，结合角CAD的正切值，即可表示出CD和AC，根据勾股定理得到OD的长度，计算∠BDC的值。
34．2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【解析】【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，找出等量关系，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，根据题意即可得到w与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解．
35．如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.
（1）求证：AB=AE；
（2）若BC=2AE，∠E=34°，求∠DAB的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，BC=AD，
∴∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFE和△DFC中，
∴△AFE≌△DFC(AAS)，
∴CD=AE，
∴AB=AE；
（2）解：由(1)可得AF=DF，BC=AD，
∴BC=2AF
∵BC=2AE，
∴AE=AF，
∵∠E=34°，
∴∠AFE=∠E=34°
∴∠DAB=2∠E=68°.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，由二直线平行，内错角相等，得∠E=∠DCF，从而用AAS可判断出△AFE≌△DFC，由全等三角形的对应边相等得CD=AE，根据等量代换即可得出AB=AE；
（2）由中点定理及平行四边形的对边相等得BC=2AF，结合BC=2AE，可得AE=AF，由等边对等角得∠AFE=∠E=34°，最后根据三角形外角性质即可求出∠DAB的度数.
36．甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，牵动着全国人民的心，时值严冬寒潮，当地气温极低，急需防寒保暖物资．某市紧急组织救灾物资援助灾区，安排大、小货车共16辆，分别从A、B两个仓库运送180吨物资到积石山灾区．已知每辆大货车可装15吨物资，每辆小货车可装9吨物资，在每辆货车都装满的情况下，这16辆货车恰好可以装完这批物资．这两种货车的运费如下表．
车型出发地 A仓库（元/辆） B仓库（元/辆）
大货车 1500 1800
小货车 1000 1200
（1）大、小货车各有多少辆？
（2）若要安排货车中的10辆从A仓库出发，其余的6辆从B仓库出发．设从A仓库出发的大货车有m辆，这16辆货车的总运费为W，求W的最小值．
【答案】（1）解：设大货车有x辆，小货车有y辆．
由题意，得，
解得，
答：大货车有6辆，小货车有10辆．
（2）解：从A仓库出发的大货车有m辆，
从A仓库出发的小货车有辆，从B仓库出发的大货车有辆，从B仓库出发的小货车有辆．
由题意，得．
，
W随m的增大而减小．
又，
当时，W有最小值，最小值为．
答：总运费W的最小值为20200元．
【解析】【分析】（1）设大货车有x辆，小货车有y辆，根据大、小货车共16辆，分别从A、B两个仓库运送180吨物资到积石山灾区已知每辆大货车可装15吨物资，每辆小货车可装9吨物资，列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意求得W与m的函数关系式以及m的取值范围，再利用一次函数的性质即可求解.
37．已知一次函数y=（m﹣2）x﹣3m2+12，问：
（1）m为何值时，函数图象过原点？
（2）m为何值时，函数图象平行于直线y=2x？
（3）m为何值时，函数图象过点（0，﹣15），且y随x的增大而减小？
【答案】解：（1）∵一次函数图象经过原点
∴﹣3m2+12=0且m﹣2≠0，
∴m=﹣2；
（2）∵函数图象平行于直线y=2x，
∴m﹣2=2，
解得m=4；
（3）把（0，﹣15）代入解析式，得﹣3m2+12=﹣15，
解得m=±3，
又∵y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0即m＜2
∴m=﹣3．
【解析】【分析】（1）图象经过原点，该函数为正比例函数，据此求解；
（2）当比例系数相同时两条直线平行；
（3）根据经过的点的坐标求得m的值，然后根据其增减性进行取舍即可．
38．如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作
AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．
【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EBD．
在△AEF和△DEB中，∵ ，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形．
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠AFE=∠EBD．然后由AAS判断出△AEF≌△DEB，根据全等三角形对应边相等得出AF=BD，根据等量代换得出AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论。
39．已知：如图，在 中，点，分别为、的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
点，分别是，的中点，
，，
．
在和中，
，
≌，
；
（2）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
是直角三角形，，
四边形是矩形．
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△CBF，可得DE=FB；
（2）先证四边形是平行四边形，利用菱形的性质可推出△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°，根据矩形的判定定理即证结论.
40．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲班 89 100 96 118 97 500
乙班 100 95 110 91 104 500
经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：
（1）计算两班的优秀率．
（2）求两班比赛成绩的中位数．
（3）估计两班比赛数据的方差哪一个小？
（4）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的由．
【答案】解：（1）甲班的优秀率==40%；乙班的优秀率==60%；
（2）甲班的5名学生的比赛成绩由小到大排列为89，96，97，100，118，所以甲班的成绩的中位数为97；
乙班的5名学生的比赛成绩由小到大排列为91，95，100，104，110，所以乙班的成绩的中位数为100；
（3）由于甲班的成绩波动比乙班的波动大，所以可估计乙的方差小；
（4）因为乙班的优秀率比甲班大，乙班的中位数比甲班大，且乙班的方差比甲班小，所以乙班的成绩比甲班好，所以把冠军奖状发给乙班．
【解析】【分析】（1）根据统计表得到甲班有2个优秀，乙班有3个优秀，然后根据百分比的意义求解；
（2）先把两组数据由小到大排列，然后根据中位数的定义求解；
（3）比较两组数据，得到甲班的成绩波动比乙班的波动大，根据方差的意义得到乙的方差小；
（4）根据优秀率、中位数和方差的意义比较两班的成绩．
41．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=3，BC=2，求AB的长.
【答案】解：延长DC交AB延长线于点E，
【解析】【分析】延长DC交AB的延长线于点E，
根据三角形的内角和即可得到∠E的度数，在直角三角形的中，根据勾股定理计算得到BE的长度，即可得到AB的长度。
42．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如图所示的统计图表：
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 　 　 0
乙 　 　 　 1
（1）请补全图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出 说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则 为什么
【答案】（1）解：根据折线统计图得：乙的射击成绩为： 2， 4， 6， 8， 7， 7， 8， 9， 9，10，
则平均数为 9+10)=7(环)，
方差为
甲的射击成绩为9， 6， 7， 6， 2， 7， 7， x， 8， 9，平均数为7(环)，
则甲第八环成绩x=70-9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环)，
所以甲的10次成绩为： 9， 6， 7， 6， 2， 7， 7， 9，8， 9.
中位数为7(环)，
补全表格如下：
甲、乙射击成绩统计表
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 7 4 0
乙 7 7.5 5.4 1
甲、乙射击成绩折线图
（2）解：甲胜出．因为甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定．
（3）解：如果希望乙胜出，应该制定的评判规则：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则看中位数，中位数高的胜出.或在平均成绩相同时，看发挥越来越好者，命中满环多者胜出．因为甲、乙两人的平均成绩相同，但乙的中位数比甲高可胜出；另一方面，乙的成绩一次比一次好，且命中10环1次，所以随着比赛进行，乙的成绩越来越好．
【解析】【分析】(1)根据折线统计图列举出乙的成绩，计算出乙平均数、方差，根据甲成绩的平均数求出缺失的数据，再进一步求出其方差，补全即可；
(2)计算出甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；
(3)希望甲胜出，规则改为9环与10环的总数大的胜出，因为甲9环与10环的总数为4环.
43．如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，BD= = =15米，
在Rt△EBD中，∠EBD=90°，ED＝ ＝ ＝17米.
故点D到灯E的距离是17米.
【解析】【分析】在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利用勾股定理即可得出DE的长度.
44．如图，在中，，，，平分，交边于点D，点E是边的中点，点P为边上的一个动点．
（1） ， （提示：在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）；
（2）若是等腰三角形，则的度数为 ；
（3）当四边形为轴对称图形时，求的长；
（4）若点M在线段上，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1），12
（2）或或
（3）解：由（1）可知，AB=12，
∵CD平分∠ACB，AC=6，
∴当四边形为轴对称图形时，，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，，
∴.
（4）解：在上取点F，使，连接，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
在△CFM和△CPM中，
，
∴△CFM≌△CPM（SAS），
∴FM=PM，
∴MP+ME=MF+ME≥EF，
∴当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴；
由（1）可知，AB=12，
∵点E是AB的中点，
∴AE=AB=6，
∴AF=AE=3，
由勾股定理可得，，
∴的最小值为
【解析】【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵∠A=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=30°，
∵AC=6，
∴AB=2AC=12，
故答案为：45°；12；
（2）若△CPD是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，
则；
②当时，
则；
当时，
则；
∵CD平分，，
∴；
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或；
故答案为：或或.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得=45°；再根据三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质即可求得=12；
（2）由是等腰三角形，分；；三种情况讨论，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得出答案；
（3）由四边形为轴对称图形可知，根据勾股定理求出=，再根据即可得出答案；
（4）在上取点F，使，连接，易证△CFM≌△CPM可求得，进而可得，当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，由含30°角的直角三角形性质求出的各边长即可得出答案．
（1）解：∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：当时，则；
∵平分，
∴；
∴，
∴；
当时，
则；
当时，则；
综上，的度数为或或；
（3）解：∵平分，
∴当四边形为轴对称图形时，则；
由（1）知，，
由勾股定理得：，
∴；
（4）解：如图，在上取点F，使，连接；
∵，
∴，
∴，
∴，
当点F、M、E三点共线，且时，的值最小，从而的值最小，
∵，
∴；
∵点E是的中点，，
∴，
∴，
∴．
∴的值最小值为.
45．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1)时，易证得结论. 请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时， 和 又有怎样的数量关系 请写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。图2的探究结论为 ▲ ；图3的探究结论为 ▲ 。
【答案】结论均是
(1) 如图2， 过点P作. 交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据 (1)中的结论可得，
在矩形ABNM中有 ，在矩形NCDM中有
两式相加得
(2) 如图3， 过点P作. 交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，
∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，
同样根据 (1)中的结论可得，
在矩形BCNM中有 ，在矩形ADNM中有
两式相加得.

【解析】【分析】(2)如果过点P作 于点M，交BC于点N，可在I 和 分别用勾股定理表示出I ，然后我们可得出 与 我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现结论即可.
(3) 如图 (3) 方法同 (2) ， 过点P作交AD， BC于O， Q， 即可证明.
46．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
【答案】（1）解：，
，
解得：.
（2）解：由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为.
（3）解：过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理可得，列出方程，最后求出x的值即可；
（3）过点M作于点N，连接，先证出为等边三角形，求出，利用勾股定理求出ON的长，再结合，可得的最小值为．
（1）解：，
，
解得：；
（2）由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为；
（3）过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
47．垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系： ▲ ，并说明理由．
（2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长．
（3）如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长．
【答案】（1）解：数量关系为：
记交于点O，
∵，
∴在中，
由勾股定理得：，
∴，
同理可得：，
∴。
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为“垂美四边形”，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
同理可求，
∴，
解得：。
（3）解：①当时，
则，
在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
解得：（舍负），
∴，
过点P作延长线的垂线，垂足为点D，
由题意得，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
②当时，
同上可求此时，
过点P作于点D，
同上可证：，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理求得，
综上：或。
【解析】【分析】（1）根据 ，然后在中，利用勾股定理 ， ，再根据等式的性质即可求证；
（2）根据正方形的性质和直角三角形的性质，可得 ，易证， 根据 ，可得 ，进而得到 ，易证四边形为“垂美四边形”，则， 在中，由勾股定理得： ，代入数据，求出，和的值，然后再代入即可求解；
（3）①当时，对中，根据勾股定理： ，代入数据求出，的值，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，易证，求出，和的值，在中，由勾股定理得的值；②当时，同理，求出的值．
（1）解：数量关系为：
记交于点O，
∵，
∴在中，
由勾股定理得：，
∴，
同理可得：，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为“垂美四边形”，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
同理可求，
∴，
解得：；
（3）解：①当时，
则，
在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
解得：（舍负），
∴，
过点P作延长线的垂线，垂足为点D，
由题意得，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
②当时，
同上可求此时，
过点P作于点D，
同上可证：，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理求得，
综上：或．
48．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线BC都经过y轴上的点C，分别交x轴于A，B两点，已知A（－4，0），直线BC的解析式为y＝－2x＋3．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在线段BC上存在一点M，点M到直线AC的距离为3，求点M的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线BC交y轴于点C，
∴令x＝0时，，
∴C（0，3）
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为
（2）解：∵直线BC交x轴于点B，
∴
∴，
∴，
设M（m，－2m＋3），
∵，点M到直线AC的距离为3
即：，
解得：，，
∴
（3）解：P1（，3），P2（，3），P3（，-3）．
【解析】【解答】 （3）如图3，∵，A（-4，0），C（0，3），
∴AB=，
①以AC、BP为对角线时，
CP∥AB，CP=AB=，
∴P1（，3）；
②以AP、BC为对角线时，
CP∥AB，CP=AB=，
∴P2（，3）；
③以AB、CP为对角线时，
xP=，yP=，
∴P3（，-3），
综上所述：存在P1（，3），P2（，3），P3（，-3）．
【分析】 （1）由直线BC的解析式为y=-2x+3得C（0，3），利用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）设M（m，－2m＋3），根据面积的和差列出方程，可求M的坐标即可；
（3）利用平行四边形的对角线互相平分，对角线上两点的中点坐标是相同的，分三种情况即可得出结论．
49． 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，且AD＝，BD＝，CD＝．
（1）求BE的长；
（2）求证：AF＝BC；
（3）如图2，在（2）的条件下，在ED的延长线上取一点G，使BG＝BE，请猜想DG与DE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：在直角△ADC中，
∵，
∴；
（2）证明：在直角△BCE中，，
∴，
∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF=BC；
（3）解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
∵BE=BG，BT⊥GE，
∴GT=ET，
∵，
∴，
∴EM=EN，
∴DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠BDT=45°，
∴BT=DT，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴DG=2DE；
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC=15，然后利用面积法求解；
（2）先利用勾股定理求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC；
（3）过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解．
50．已知直线与轴交于点，与轴交于点，为直线上的一个动点，过点分别作轴于点，轴于点，如图所示．
（1）若点为线段的中点，求的长；
（2）若四边形为正方形时，求点的坐标；
（3）点在上运动过程中，的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，
直线中，
令时，点坐标为，则，
令时，点坐标为，则，
在△中，，
又点为的中点，
；
（2）解：∵四边形PEOF为正方形，且点P在直线上，
，
∴点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，
设点，
当点P在第一象限时，，，
，
得，
所以点P坐标为，
当点P在第二象限时，
，，
，
得，
所以点P坐标为，
综上点P的坐标为或；
（3）解：连接OP，如图，
，
四边形PEOF为矩形，
，
由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，
又，
，
，
所以EF存在最小值，且最小值为.
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点可求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB的长，进而根据勾股定理算出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长；
（2）由正方形性质可得PE=PF，即点P的横纵坐标的绝度值相等，故点P在第一象限或在第二象限的角平分线上，从而分两种情况构建方程，求解可得答案；
（3）易得四边形PEOF是矩形，由矩形对角线相等得OP=EF，由垂线段最短知：当OP⊥AB时，OP最短，进而根据等面积法克求出OP的最小值，从而即可得出答案.
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