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数 学
注意事项：满分 120 分，答题时间 120 分钟。答案写在答题卡上。
一、单选题（每小题 3 分，共 30 分）
1．能源是推动人类社会发展和进步的动力源泉，它为我们的日常生活、工业生产、交通运
输各个领域提供了不可或缺的支持．下列图片是中国能源企业的 Logo，其中文字上方的图
属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．深度求索（ ），是一款人工智能应用软件．在 2025年 2月其访问量达 5.25亿
次，成为史上最快达成这一里程碑的应用软件．将数据“5.25亿次”用科学记数法表示为（ ）
A． 次 B． 次 C． 次 D． 次
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在生物学中，根据生物细胞结构的不同可分为真核生物和原核生物．下列卡片除正而图
案不同外其他均相同，其中酵母菌、黏菌属于真核生物，螺旋藻、支原体则属于原核生物．现
将这四张卡片背面朝上洗匀放好，琦琦从中随机抽取一张卡片（不放回），亮亮再从中随机
抽取一张卡片，则所抽取的两张卡片上的生物均属于真核生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线 射向光伏
玻璃，在玻璃表面点 B处发生反射和折射现象，反射光线为 ，折射光线 在太阳能电
池板表面的点 D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点 E处射出，形成光线 ．已知
， ，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，
引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一
根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺，问长木长多少尺？这
个问题可用方程 来解决，则方程中的 x表示（ ）
A．长木的长 B．长木一半的长 C．绳子的长 D．绳子对折后的长
8．已知点 ， ， 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量 与函数 的部分对应
值如下表：
... ...
... ...
下列结论正确的是（ ）
A．函数图象开口向上 B．
C．当 时， 随 的增大而减小
D．关于 的一元二次方程 （a，b，c是常数， ）有两个不相等的实
数根
10．如图，在 中， ，分别以点 为圆心、 的长为半径
画弧，与 的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．计算 的结果是______．
12．某植物园举办花展，在牡丹花展区，正六边形花盆内摆放白色牡丹花，正方形花盆内摆
放红色牡丹花．现按如图所示的造型摆放牡丹花，其中第 1个造型有 6盆红色牡丹花，第 2
个造型有 11盆红色牡丹花，第 3个造型有 16盆红色牡丹花……依此规律，第 n个造型中
有______盆红色牡丹花．（用含 n的代数式表示）
13．绳如虹飞转，人似蝶翩跹．在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示．评总
分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按 的比例确定最后成绩，则最后成绩最高
的同学为_______．（填“甲”“乙”或“丙”）
成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳
甲 80 90 85
乙 90 80 85
丙 80 80 85
14．如图，在正方形 中， ，点 E是 边的中点， 的平分线交 于点
F，连接 ，则 的值为_______．
15．如图，在 中， ，E是 上的一点， ，过点 B作 交
的延长线于点 D．若 ， ，则 的长为______．
（第 14 题） （第 15 题）
三、解答题（每小题 5 分，共 10 分）
16．（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
17．（本题 8分）如图， 内接于 ， 为 的直径，D为 延长线上一点，作
直线 ，过点 O作 于点 E，交 于点 F，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
18．（本题 7分）2025年 4月 15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春
挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展
利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有 20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩
进行整理，得到如下信息：
信息 1： 名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成 组： ， ，
， ， ）：
信息 2：初赛成绩在第三组（ ）的选手成
绩如下： ．
信息 3：决赛过程中，由 5位教师评委给每位选手打
分（百分制），总分排名前 3名选手的成绩如下表：
得分
选手 平均数 方差
评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5
甲 93 90 92 93 92 92 ________
乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16
丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2
根据上述信息回答下列问题：
(1)初赛 名选手成绩的中位数为_____分；
(2)组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是
否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为 分，小颖的成绩为 分．直
接写出他们两人是否能进入决赛；
(3)决赛的排名规则是：计算 位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；
若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位
选手排出名次，并说明理由．
19．（本题 7分）当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补
共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”
的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬
菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共 400箱，其进货成本、直播成本以及售
价如下表：
进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱）
西芹 18 4 28
西红柿 24 6 40
已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过 10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，
则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润
和此时两种蔬菜的进货量．
20．（本题 7分）北魏平城明堂是中国历史上的四大明堂之一，是北魏帝王举行朝会、祭祀、
庆赏等大典的地方，是礼治文化的载体，是唯一在原址修复完成的明堂．南北朝时期的著名
叙事诗《木兰辞》：“归来见天子，天子坐明堂．”讲述了女英雄花木兰替父从军胜利归来在明
堂觐见皇帝孝文帝的场面．
初三数学综合实践小组的同学们，决定用所学数学知识测量明堂主体建筑的高度．小组发现
明堂底部台基很大，利用影长测量误差较大．决定自制测角仪，对明堂的高度进行测定．最
后选择在明堂公园平坦广场的空地上，小组同学在 C点测得最高处 A仰角 ，向后 30米
在 D处测得最高处 A仰角 ，已知点 A、B、C、D、E、F均在同一竖直平面内，
， ，测角仪的高 米，你能计算明堂主体建筑 的高度吗？
（结果精确到 1米， ， ， ， ，
， ）
21．（本题 10分）阅读下列研究性学习报告内容，并完成相应的任务．
课题：关于“等邻边四边形”的研究报告
研究对象：等邻边四边形
研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究
定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
如图 1所示的四边形 为“等邻边四边形”，其中 ．
性质探究：
性质：等邻边四边形的两组邻边分别相等．
如图 2， ， ，对角线
恰好平分 ．求证：四边形 是“等邻边四边形”．
证明： ， ．（依据 1）
又∵ 平分 ， ．
， ．（依据 2）
， ，∴四边形 是等腰梯形．
， ．∴四边形 是“等邻边四边形”．
任务：
(1)根据“等邻边四边形”的定义，下列四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______．（请填
写正确的两个选项）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
(2)填空：材料中的“依据 1”是指______，“依据 2”是指______；
(3)如图 3，四边形 ABCD是“等邻边四边形”， ， ，
， ，请直接写出“等邻边四边形 ABCD”的面积．
22．（本题 13分）为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的
紧密联系，学校组织开展了小型烟花发射实验活动．同学们发现，从垂直地面的发射装置
的顶端 处，以一定倾斜角度发射出的烟花，烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状．
【提出问题】
怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？
【分析问题】
已知发射装置 的高度是 0.95米，当顶端 处射出的火星与发射装置 的水平距离为 9
米时，达到最大高度 5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点
为原点，表示地面的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系．
【解决问题】
(1)求火星运行路线所在抛物线的解析式；
(2)如图 1，火星刚好落在操场围栏和地面的交界 处，求火星运行路线的落地点 与发射装
置 的水平距离；
(3)为安全接住火星，在操场围栏旁沿图 1中 处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形
（如图 2），其中 为 米， 为 米．为确保火星落到回收箱内（包含 、
两点），需将烟花发射装置顶端 向上升高 米，且火星运行的抛物线形状保持不变，求 的
取值范围．
23．（本题 13分）综合与探究
【问题情境】
如图 1，在正方形 中， ，点 E，F分别为 ， 边的中点，连接 ， 交
于点 M， 交对角线 于点 N．
【猜想验证】
（1）猜想 与 有怎样的数量关系，并加以证明．
【深入探索】
（2）将线段 绕点 C顺时针旋转 得到线段 ，点 E的对应点为点 Q，连接 ，
如图 2．请判断四边形 的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）连接 ，如图 3，请直接写出 的长．数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B C D C C C D
11．
12．
13．甲
14．
15．
16．解：（1）
............................................................................................................................... 3分
；............................................................................................................................. ...5分
（2）
................................................................................................... 2分
............................................................................................................................... 3分
，...................................................................................................................................4分
当 时，原式
；........................................................................................................................... .5分
17．（1）证明：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 为 的半径，
∴ 是 的切线；..................................................................................................................4分
（2）解：∵ ，
∴ ，又 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ．.............................................................................................................................8分
18．(1) ................................................................................................................................. 1分
（2）因为初赛 名选手成绩的中位数为 ，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为
分，而 分的同学有 名， 则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为 分，大于中位数，
则一定能进入决赛．
∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛。............................................................... 4分
（3）甲的方差为
丙的平均数为
甲的方差为 ，丙的平均数为 ，甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数
小于丙的平均数，
∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙。.......................................................................7分
19．解：设该团队进货“西芹” 箱，获得的总利润为 元．
根据题意得： ................................2分
∵该团队投入总成本不超过 10800元，
∴ ，
解得： ，..................................................................................................................... 4分
∵ ， ，
∴y 随 x 的增大而减少，
∴当 时，y 取得最大值，
最大值为 ，则 ，......................................................... 6分
∴“西芹”进货 150箱，“西红柿”进货 250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润
元．.......................................................................................................................................... 7分
20．能，明堂主体建筑 的高约为 27米
解：延长 交 于点 M，则 ，
、 、 ，
∴四边形 ，四边形 为矩形，
米， 米，................................................................................1分
由题意得， ，
中， ，
..................................................................................................3分
中， ，
..................................................................................................5分
........................................................................................................... 7分
解得：
米.......................................................8分
答：明堂主体建筑 的高约为 27米．............................................................................ ..9分
21．(1)B，D.......................................................................................................................... ..2分
(2)两直线平行，内错角相等； 等角对等边.......................................................................6分
(3) ......................................................................................................................................... .8分
22（1）解：由题可知：抛物线的顶点为
∴设抛物线解析式为 ，
把 代入得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ，或 ．.........................4分
（2）解：令 ，得 ＝0，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴火星运行路线的落地点 与发射装置 的水平距离为 ；......................................8分..
（3）解：如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
把 代入得 ，
解得： ......................................................................................................................10分
由平移可知，发射装置顶端 上升高度最小值为 ，
设 ，
把 代入得： ，
解得： ， ...................................................................................................................12分
由平移可知，发射装置顶端 上升高度最大值为 ，
∴当火星落在回收箱内时， 的取值范围为 ．.....................................13分
23．解：（1） ，理由如下：................................................................................. .1分
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点 F 为 边的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ；..........................................................................................4分.
（2）四边形 是菱形，理由如下：...............................................................................5分
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转性质得 ， ，
∵点 E 为 的中点，
∴ ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；..........................................................................................................10分
（3）
................................................................................................................................13分

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