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(共87张PPT)
实验九 用单摆测量重力加速度
教材原型实验
拓展创新实验
备用习题
◆
◆
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作业手册
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一、实验目的
1.练习使用停表和刻度尺.
2.探究影响单摆运动周期的因素.
3.会用单摆测定重力加速度.
二、实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 _ _____，由此得到
，因此，只要测出______和___________，就可以求出当地的重力
加速度 的值.
摆长
振动周期
三、实验器材
铁架台、铁夹、带孔的小钢球、摆线长约 、游标卡尺、刻度尺、停表.
四、实验步骤
1.让摆线的一端穿过小钢球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.
2.把摆线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验桌桌边,使铁夹
3.摆长的测定:用刻度尺测量摆线长 ,用游标卡尺测出小
钢球直径,则单摆的摆长 .
伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处作上标
记,如图所示.
4.周期的测定:将单摆从平衡位置拉开一个角度小于或等于 ,由静止释放
小钢球,记下单摆完成一般为次全振动的总时间 ,算出平均完成
一次全振动所需的时间,即单摆的周期 .反复测三次,再算出周期的平
均值 .
5.根据单摆的周期公式,计算当地的重力加速度 .
6.改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平
均值,该平均值即为当地的重力加速度值.
五、数据处理
1.公式法：利用 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利
用公式 求重力加速度.
2.图像法：根据测出的一系列摆长对应的周期，作 的图像，由单
摆周期公式得 ，图像应是一条过原点的直线，
如图所示，求出图线的斜率，即可利用 ______求
重力加速度.
六、误差分析
1.系统误差的主要来源:悬点不固定,摆球不可视为质点,球、线不符合要求,
振幅不是足够小,振动形成了圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.
2.偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,
不能多计或漏计全振动次数.为了减小偶然误差,应多次测量后取平均值.
3.利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差，
利用图像解题时要特别注意图像的斜率及截距的应用.
七、注意事项
1.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
2.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于 .
3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.
4.应在小钢球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
5.一般选用一米左右的细线.
例1 [2025·广东清远模拟] 小明同学进行“用单摆测定重力加速度”实验.
(1) 该同学组装了如下几种实验装置，你认为最合理的装置是___
(填选项的字母).
A. B. C. D.
√
[解析] 为了减小空气阻力的影响，小球应选择密度大的，即铁球，另外
小球摆动过程中应保证摆长不变，故应选择细绳而不选弹性绳，且细绳上
端应用铁夹固定，故选C.
(2) 该同学用毫米刻度尺测得摆线长度为 ，再用游标卡尺测量摆球直径，
结果如图甲所示，则摆球的直径_____，摆长 ______
(用字母、 表达).
12.0
[解析] 摆球的直径，摆长 .
(3) 该同学通过多次实验得出数据并画出摆长和周期 图像，如图乙所
示，根据图像求出重力加速度 __________(结果保留三位有效数字).
[解析] 由题图乙可知，该图像的斜率
，由 得
，故，即 .
(4) 测得的 值与真实值相比偏大，可能的原因是___(填选项前的字母).
A.测摆长时记录的是摆线的长度
B.开始计时时，停表过早按下
C.摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了
D.实验中误将29次全振动数记为30次
[解析] 由，得，因测得的 值与真实值相比偏大，其原
因是摆长的测量值偏大或周期的测量值偏小，故选D.
√
考向一 实验器材的创新
例2 [2025·广东佛山模拟] 某同学利用单摆测重力加速度的实验过程中，
发现摆球在摆动过程，容易变成圆锥摆，造成实验误差，于是利用双线摆
和光电计数器测量当地的重力加速度，原理图如图甲所示、 为光电计
(1)用游标卡尺测得小球直径为 ，用米尺测得每根
悬线的长度为 ；
(2)使小球偏离竖直方向一定角度 ；
数器 .实验步骤如下：
(3)释放小球，当小球第一次经过图中虚线(光束)位置时，由射向的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，每当小球经过点时，计数器都计数一次.从小球经过点开始计数，当计数次数刚好为时，所用时间为 ；
(4) 调节两悬点间距 ，多次重复实验，由此可知：
① 双线摆的振动周期为____，双线摆的摆长为 _ _________.
(用题中已知量的字母表示)
[解析] 从小球经过点开始计数，当计数次数刚好为时，所用时间为 ，
则有，解得 ；摆长指小球球心
到等效悬点之间的距离，则有
.
② 为了减少误差，将测量数据作图像，通过图线的斜率 ，可得出
______(用题中已知量的字母表示).
[解析] 根据周期公式有，变形得 ，结合图像有
，解得 .
③ 该同学将测量数据输入电脑，由计算机拟合结果如图乙所示，其斜率
，则计算可得重力加速度_____ 保留3位有效数字，
其中取近似值 .
9.82
[解析] 计算机拟合结果如题图乙所示，其斜率 ，结合上述
解得 .
④ 利用游标卡尺测小球直径 时，游标卡尺测量爪的连线并未通过小球
的球心，则利用上述方法得到的重力加速度 的测量值______(选填“大于”
“等于”或“小于”)真实值.
等于
[解析] 利用游标卡尺测小球直径 时，游标卡尺测量爪的连线并未通过小
球的球心，小球直径测量值偏小，则摆长测量值偏小，令摆长测量值与真
实值的差值大小为 ，据周期公式有
，变形得 ，结合图
像有，解得 ，可知，利用图像
斜率求重力加速度与摆球的直径测量无关，即
利用上述方法得到的重力加速度 的测量值等于
真实值.
考向二 测量原理的创新
例3 [2025·河北邢台模拟] 某学习小组同学用以下器材测量学校附近的重
力加速度，为了便于携带，该组同学将一单摆固定于某一深度为 (未测量)
且开口向下的透明塑料杯顶端(单摆的下半部分露于塑料杯外)，如图甲所
示.每次实验前，组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球底端的距
离，并通过改变测出对应的摆动周期 .
实验开始时，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，且单摆在摆
动过程中悬线不会碰到杯壁，最后利用测得的数据，以为纵轴、 为横
轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像求出塑料杯的深度和当地
的重力加速度大小 .
(1) 实验时用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，示数如图丙所示，该摆
球的直径_____ .
11.4
[解析] 游标卡尺示数为主尺示数与游标尺示数之和，所以题图丙中所测
摆球的直径为 .
(2) 测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计
时，同时数1，当摆球第二次通过最低点时数2，依此法往下数，当他数到
60时，按下停表停止计时，读出这段时间 ，则该单摆的周期为___
(填选项前的字母).
A. B. C. D.
√
[解析] 从“1”数到“60”经历的时间为 ，所以该单摆的周期
为 ，故选B.
(3) 实验中所得到的关系图线如图乙中的___(选填“”“”或“ ”)所示，
当地的重力加速度大小为_____ 取 ，结果保留至小数点后
两位 .
9.86
[解析] 摆线在塑料杯内部分的长度为 ，由单摆的周期公式
，可得，可知其关系图线应为 ，
结合题图乙中图像可知斜率，解得 .
(4) 根据以上数据，结合得到的 关系图线，可以求出透明塑料杯的
深度______ .
30.57
[解析] 根据，可得 ，解得
.
变式 [2024·湖北卷] 某同学设计了一个测量重力加速度大小 的实验方案，
所用器材有： 砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1
个、数字计时器1台等.
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托
盘内放入一个砝码，如图甲所示.
②用米尺测量平衡时弹簧的长度 ，并安装光电门.
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动.
④用数字计时器记录30次全振动所用时间 .
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作.
该同学将振动系统理想化为弹簧振子.已知弹簧振子的振动周
期，其中为弹簧的劲度系数， 为振子的质量.
(1) 由步骤④，可知振动周期 _ __.
[解析] 30次全振动所用时间为，则振动周期 .
(2) 设弹簧的原长为，则与、、的关系式为 _ _______.
[解析] 弹簧振子的振动周期，可得振子的质量 ，振子平
衡时，根据平衡条件有，可得，则 与
、、的关系式为 .
(3) 由实验数据作出的图线如图乙所示，可得 ________________
[解析] 根据 ，整理可得
，则 图像的斜率
，由图像可知 ，
解得 .
_____保留三位有效数字，取 .
均可
(4) 本实验的误差来源包括_____.
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
√
√
[解析] 实验时光电门应对齐弹簧振子振动过程中的平衡位置，这样托盘
通过平衡位置时遮光条挡光时间才最短，计时才最准确，若光电门的位置
稍微偏离托盘的平衡位置，则计时准确度变低，造成测量弹簧振子振动周
期出现偶然误差，C正确；光电门是固定的，它对齐的是弹
簧振子未振动时振子所在的平衡位置，若存在空气阻力，则
会导致弹簧振子向上振动和向下振动过程中平衡位置发生变
化，所以光电门记录的不再是平衡位置，造成测量弹簧振子
振动周期出现系统误差，A正确；
根据第(2)问解析中的公式可知，质量是联系弹簧振子的振动周期 和系
统静止时弹簧伸长量的中间量，建立起和的关系后就与 无关了，
所以弹簧质量不为零导致变化时，和 两者都会相应变化，但两种之
间满足的关系式不变，不会对实验造成误差，B错误.
考向三 实验过程的创新
例4 [2025·浙江6月选考] 在用单摆测重力加速度的实验中：
(1) 如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在
摆球的平衡位置处安装光电门.甲同学利用力传感器，
获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2
所示，则单摆的周期为_____ (结果保留3位有效数
字).乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始
计时，记下第次遮光的时刻 ，则单摆的周期
为 ____;
1.31
[解析] 在一个周期内，摆球经过最低点两次(左右摆动各一次)，悬点拉力
在最低点最大，故相邻两个拉力峰值的时间间隔为 ，由图2可知，总时间
，图2中共有11个拉力峰值
(对应10个间隔)，则，解得 .第1次遮光为平衡
位置(起始)，第次遮光时，摆球经过平衡位置 次.单摆一个周期经过平衡
位置2次，故周期(总时间为， 为遮光次数).
(2) 丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度 ，测出
对应的周期，作出相应的 关系图线，如图3所示.由此算出图线的斜
率和截距，则重力加速度 ______，小钢球重心到摆线下端的高度差
____；(结果均用、 表示)
[解析] 单摆周期公式，其中总摆长为摆线长度， 为
钢球重心到摆线下端的高度，变形为，即 是一次函数.
斜率;截距 .
(3) 丁同学用打印技术制作了一个圆心角等于 、半径已知的圆弧槽，
如图4所示.他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为
.若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主
要原因是____________________________.
小球发生滚动，导致周长变长
[解析] 小球发生滚动，导致周长变长.
1.实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验.
(1) 下列装置最合理的是___(填选项对应字母).
A. B. C. D.
[解析] 根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密
度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形
变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D.
√
(2) 为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的是____
(填选项前对应字母).
A.测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B.在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C.在摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D.测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
√
√
[解析] 根据周期公式，可得重力加速度为 ，测量摆长时，
应该测量竖直拉直后的摆线长加摆球半径，故A错误；在摆球运动过程中，
必须保证悬点固定不动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的
夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公式失效，
故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低
点位置摆球速度最大，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小，则周期
测量比较准确，故D错误.
(3) 某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验.由于没有合适
的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进
行实验.
如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为 ，将细线的上
端固定于点.然后利用刻度尺测出、间细线的长度 作为摆长，利用手
机的停表功能测出石块做简谐运动的周期
.在测出几组不同摆长 对应的周期的数
值后，他作出的 图像如图乙所示.
① 该图像的斜率为___(填选项前对应的字母).
A. B. C. D.
√
[解析] 由图可知，设点到重心的距离为，根据周期公式 ，
可得，故该图像的斜率为 ，故选C.
② 由此得出重力加速度的测量值为_____ 取 ，计算结果保留
三位有效数字
9.86
[解析] 由于 ，由此得出重力加速度的测量
值为 .
2.如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的
实验.
若用秒表测出单摆完成次全振动所用的时间为 .
请写出周期的表达式 __.
[解析] 单摆完成次全振动所用的时间为，则周期的表达式
为 .
(2) 若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆
的周期____ .
2.0
[解析] 单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点
时拉力最小，拉力变化的周期为，故单摆的周期为 .
(3) 在多次改变摆线长度并测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期
与摆线长度的关系图线，并根据图线拟合得到方程 ，
由此可知当地的重力加速度_ ___，摆球半径__(均用、、 表示).
[解析] 根据得，知图线的斜率，因此 ；
而，则，图线拟合得到方程为 ，
因此摆球半径为 .
3.某同学在研究“使用单摆测重力加速度”的实验时，为避免摆球
摆动过程中做圆锥摆运动，制作了如图所示的双线摆：、两
悬点距离为 ，为两绳结点，、距离为，、距
离为，紧靠 点下方悬挂一金属小球，小球半径为 .
甲、乙两图分别是侧视、正视示意图.
(1) 该双线摆的摆长为______ .
0.245
[解析] 根据几何关系可得该双线摆的摆长为
.
(2) 将双线摆简化为一个单摆如图丙所示，将小球向右拉至一定角度后由
静止释放，从小球第1次经过光电门至小球第 次经过光电门总计用
时为，则单摆周期 __(用题中字母表示).
[解析] 自小球第1次经过光电门至第次经过光电门，小球完成了 次
全振动，故 .
(3) 若该同学计算摆长时误将 点当作单摆最低点，忘了加上小球半径，
该同学测量了一组数据后计算得到重力加速度 ，则测量值___
(选填“ ”或“ ”)真实值.
[解析] 由 ，忘了加上小球半径，所以摆长测量值偏小，所以
.
(4) 某同学采用一根细线悬挂小球做此实验时，若小球做圆锥摆运动，测
出周期和摆长，用 来计算重力加速度，则测量值___
(选填“ ”或“ ”)真实值.
[解析] 如图所示，由向心力公式有 ，解得
，故用 可得出的测量值大于真实值.
作业手册
1.[2025·海南卷] 小组用如图所示单摆测量当地重力加速度.
(1) 用游标卡尺测得小球直径，刻度尺测得摆线长 ，
80.00
[解析] 单摆的摆长为 .
则单摆摆长______ (保留四位有效数字)；
(2) 拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为 ，无初速度的
释放小球，小球经过______点(选填“最高”或“最低”)时，开始计时，记录
小球做了30次全振动用时，则单摆周期____ ，由此可得当
地重力加速度_____，结果保留3位有效数字 .
最低
1.8
9.88
[解析] 为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始
计时；单摆周期 ，根据单摆周期公
式，可得，代入数值得 .
2.[2025·河北秦皇岛模拟] 如图甲所示，某实验小组利用单摆测量当地的
重力加速度，所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度
传感器、计算机等.实验操作步骤如下：
A.取一根细线，下端系住一个金属小球，上端固定在铁架台上；
B.用米尺(分度值为)测得摆线长为 ；
C.在摆线偏离竖直方向较小夹角 的位置
由静止释放小球；
D.速度传感器连接计算机，记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系，
如图乙所示；
E.改变摆线长度，重复B、C、D的操作；
F.根据实验数据，利用计算机作出 图像，并根据图像得到方程
，由此可以得出当地的重力加速度 .
回答以下问题：
(1) 摆线长为时，单摆的周期____ .
2.0
[解析] 由题图乙可知摆线长为时，该单摆周期 .
(2) 实验小组测得当地的重力加速度_____取 ，结果保留3
位有效数字
9.74
[解析] 设摆球半径为，根据单摆周期公式有 ，整理得
，结合题中根据图像得到的方程 ，
可知，解得 .
(3) 实验时没有测量摆球直径， 为摆线长而不是摆长，这种做法______
(选填“会”或“不会”)引起实验的系统误差；为了使测量误差尽量小，下列
说法正确的是___(填选项前的字母).
不会
C
A.组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球
B.当摆球经过最高点时开始计时
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.单摆偏离平衡位置的角度尽可能大
[解析] 根据，可知实验时没有测量摆球直径， 为摆线
长度时得到的 图像斜率仍不变，在用斜率计算重力加速度时不会引
起实验的系统误差.为了减小空气阻力引起的误差，应选用密度大、体积
小的摆球，故A错误；为准确测量单摆周期，应在摆球经过平衡位置时开
始计时，故B错误；实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，否则会形成圆
锥摆，故C正确；为使单摆做简谐运动，单摆偏离平衡位置的角度应小于
，故D错误.
3.[2025·山东济宁模拟] 某同学尝试测量单摆周期和当地的重力加速度.
(1)如图甲，用一个磁性小球制作一个单摆，在单摆下方放置一个磁传感
器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方，图中磁传感器的引出端 接数字
采集器.
(2) 使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于
________(选填“最高点”或“最低点”).若测得连续 个磁感应强度最大值之
间的时间间隔为，则单摆周期的测量值为_____(用和 表示).
最低点
[解析] 当磁感应强度测量值最大时，小球离传感器最近，所以小球位于
最低点；每隔半个周期磁感应强度达到一次最大值，所以 时间内共经历
个周期，即，故得周期 .
(3) 多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长及相应的周期 .分别取
和的对数，利用计算机得到 图线如图乙所示，读得图线与纵
轴交点的纵坐标为，由此得到该地重力加速度 _ ____.
[解析] 由单摆周期公式得 ，两边取对数整理得
，故得图像横轴截距为，斜率为 ，
又已知纵轴截距，故得 .
4.[2025·安徽合肥模拟] 简谐振动的圆频率(又称角频率)是描述简谐振动快
慢的核心物理量，圆频率越大，振动越快，周期和频率的关系为
.合肥一六八中学某实验小组改进传统单摆实验，使用某软
件分析单摆振动视频，绘制位移—时间图像并计算圆频率 ，以简化重
力加速度的测量.
实验步骤如下：
Ⅰ.准备5个不同摆长的单摆(摆线长度分别为、、、 、
)，摆球为直径 的金属球；
Ⅱ.计算摆长 ；
Ⅲ.将单摆拉开小角度 释放，用手机拍摄振动视频并导入该软件，
生成 图像；
Ⅳ.利用软件自动测量圆频率 ，记录数据如表所示
组别 摆线长/ 摆长 圆频率
1 0.40 0.41 4.90 24.01
2 0.60 0.61 4.00 16.00
3 0.80 0.81 3.50 12.25
4 1.00 1.01 3.13 9.80
5 1.20 1.21 2.86 8.18
(1) 重力加速度与圆频率 的关系式为_________；
[解析] 因，同时，联立解得 .
(2) 同学们查表了解到合肥当地的重力加速度大小约为 ，请指出
第___组数据误差最大，并利用表格剩余组别的数据计算出合肥当地重力
加速度_____ (保留两位小数)；
3
9.85
组别 摆线长/ 摆长 圆频率
1 0.40 0.41 4.90 24.01
2 0.60 0.61 4.00 16.00
3 0.80 0.81 3.50 12.25
4 1.00 1.01 3.13 9.80
5 1.20 1.21 2.86 8.18
[解析] 第1组有 ，第2组有
，第3组有
，第4组有
，第5组有
，通过数据计算可知第3组数值偏差最
大，剩余4组计算结果取平均值得 .
(3) 关于导致上述重力加速度结果较正常值出现偏差的原因，下列说法中
正确的有___(填选项前的字母).
A.摆球体积较大
B.仅用摆线长度计算摆长
C.外部振动(如实验台晃动)使单摆摆动加快
D.摆球不在同一竖直面内运动，而做圆锥摆运动
√
[解析] 摆球体积较大会略微延长周期，进一步导致 的计算值偏小，A错
误；实验中仅用摆线长度计算摆长，会导致摆长测量值偏小，根据公式
，摆长偏小会直接导致计算出的 值偏小，B错误；外部振动
(如实验台晃动)可能使单摆摆动加快，导致周期的测量值偏小，从而 的
计算值偏大，C正确；摆球不在同一竖直面内运动，而做圆锥摆运动，周
期变大，重力加速度测量值偏小，D错误.
5.[2025·河南信阳模拟] 在探究单摆周期与重力加速度定量关系实验中，
小明同学发现，要把单摆的轨迹约束在一个确定的平面上比较困难.他在
伽利略研究小球自由落体运动规律时用斜面来“冲淡”重力思想的启发下，
创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境，如图甲所示，已知当地重
力加速度大小为 .
(1) 小球在倾角为 的斜面上做单摆运动时，等效重力加速度 _______.
[解析] 小球在倾角为 的斜面上做单摆运动时，等效重力加速度
.
(2)为减小图甲实验中摩擦力的影响，小明同学制作了“杆线摆”.如图乙所示，
铁架台上装一根重垂线，在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下，将小球、
摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱
垂直，摆杆可绕着立柱自由转动，且不计其间的摩擦.如图丙所示，把铁架
台底座的一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与重垂线的夹角为 .
(3) 当摆杆来回摆动时，小球相当于在一个倾角为 的斜面上做单摆运动，
则斜面的倾角______(用含 的式子表示).
[解析] 当摆杆来回摆动时，小球圆周运动的圆心在摆杆与立柱的连接点
位置，小球相当于在一个倾角为 的斜面上做单摆运动，倾角等于摆杆与
水平面之间的夹角，根据几何关系可知，斜面的倾角 .
(4) 测出不同倾斜程度下 的值以及该倾角下“杆线摆”的周期 ，为了寻
找物理量之间的线性关系，应该绘制的图像是___.
A. B. C. D.
√
[解析] 结合上述，等效重力加速度 ，根据周期公式
有，解得 ，可知，应该绘制的图像
是 ，故选D.
教材原型实验
二、 摆长 振动周期 五、2.
例1.(1)C (2)12.0 (3) (4)D
拓展创新实验
例2.(4)① ② ③9.82 ④等于
例3.(1)11.4 (2)B (3) 9.86 (4)30.57
变式.(1) (2) (3) 均可 (4)AC
例4.(1)1.31 (2) (3)小球发生滚动，导致周长变长
<
1.(1)80.00 (2)最低 1.8 9.88
2.(1)2.0 (2)9.74 (3)不会 C
3.(2)最低点 (3)
4.(1) (2)3 9.85 (3)C
5.(1) (3) (4)D 例1　(1)C　(2)12.0　l+　(3)9.86 m/s2　(4)D
[解析] (1)为了减小空气阻力的影响,小球应选择密度大的,即铁球,另外小球摆动过程中应保证摆长不变,故应选择细绳而不选弹性绳,且细绳上端应用铁夹固定,故选C.
(2)摆球的直径d=12 mm+0×0.1 mm=12.0 mm,摆长L=l+.
(3)由题图乙可知,该图像的斜率k= m/s2≈0.25 m/s2,由T=2得L=T2,故=k,即g=4π2k≈9.86 m/s2.
(4)由T=2,得g=,因测得的g值与真实值相比偏大,其原因是摆长的测量值偏大或周期的测量值偏小,故选D.
例2　(4)①　　②4kπ2　③9.82　④等于
[解析] (4)①从小球经过点O开始计数,当计数次数刚好为n时,所用时间为t,则有t=·,解得T=;摆长指小球球心到等效悬点之间的距离,则有L=+=.
②根据周期公式有T=2,变形得 L=·T2,结合图像有=k,解得g=4π2k.
③计算机拟合结果如题图乙所示,其斜率k=0.249 m/s2,结合上述解得g≈9.82 m/s2.
④利用游标卡尺测小球直径D时,游标卡尺测量爪的连线并未通过小球的球心,小球直径测量值偏小,则摆长测量值偏小,令摆长测量值与真实值的差值大小为L0,据周期公式有T=2,变形得L=·T2-L0,结合图像有=k,解得g=4kπ2,可知,利用图像斜率求重力加速度与摆球的直径测量无关,即利用上述方法得到的重力加速度g的测量值等于真实值.
例3　(1)11.4　(2)B　 (3) a　 9.86　 (4)30.57
[解析] (1)游标卡尺示数为主尺示数与游标尺示数之和,所以题图丙中所测摆球的直径为11 mm+4×0.1 mm=11.4 mm.
(2)从“1”数到“60”经历的时间为t=(60-1)×,所以该单摆的周期为,故选B.
(3)摆线在塑料杯内部分的长度为h,由单摆的周期公式T=2,可得T2=L+,可知其关系图线应为a,结合题图乙中图像可知斜率k== s2/m,解得g≈9.86 m/s2.
(4)根据T2=L+,可得=1.20 s2,解得h=30.57 cm.
变式　(1)　(2)l0+　(3)9.59(9.56~9.62均可)　(4)AC
[解析] (1)30次全振动所用时间为t,则振动周期T=.
(2)弹簧振子的振动周期T=2,可得振子的质量M=,振子平衡时,根据平衡条件有Mg=kΔl,可得Δl=,则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+.
(3)根据l=l0+,整理可得l=l0+·T2,则l T2图像的斜率k'=,由图像可知k= m/s2,解得g≈9.59 m/s2.
(4)实验时光电门应对齐弹簧振子振动过程中的平衡位置,这样托盘通过平衡位置时遮光条挡光时间才最短,计时才最准确,若光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置,则计时准确度变低,造成测量弹簧振子振动周期出现偶然误差,C正确;光电门是固定的,它对齐的是弹簧振子未振动时振子所在的平衡位置,若存在空气阻力,则会导致弹簧振子向上振动和向下振动过程中平衡位置发生变化,所以光电门记录的不再是平衡位置,造成测量弹簧振子振动周期出现系统误差,A正确;根据第(2)问解析中的公式可知,质量M是联系弹簧振子的振动周期T和系统静止时弹簧伸长量Δl的中间量,建立起T和Δl的关系后就与M无关了,所以弹簧质量不为零导致M变化时,T和Δl两者都会相应变化,但两种之间满足的关系式不变,不会对实验造成误差,B错误.
例4　(1)1.31　　(2)4π2k　-b　
(3)小球发生滚动,导致周长变长
[解析] (1)在一个周期内,摆球经过最低点两次(左右摆动各一次),悬点拉力在最低点最大,故相邻两个拉力峰值的时间间隔为,由图2可知,总时间Δt=7.653 0 s-1.127 7 s=6.525 3 s,图2中共有11个拉力峰值(对应10个间隔),则Δt=10×=5T,解得T≈1.31 s.第1次遮光为平衡位置(起始),第n次遮光时,摆球经过平衡位置n次.单摆一个周期经过平衡位置2次,故周期T=(总时间为t,n为遮光次数).
(2)单摆周期公式T=2,其中总摆长L=l+h(l为摆线长度,h为钢球重心到摆线下端的高度),变形为l=T2-h,即l T2是一次函数.斜率k= g=4π2k;截距b=-h h=-b.
(3)小球发生滚动,导致周长变长.实验九　用单摆测量重力加速度
1.(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
[解析] (1)单摆的摆长为L=l+=80.00 cm.
(2)为减小实验计时误差,需小球经过最低点时开始计时;单摆周期T== s=1.8 s ,根据单摆周期公式T=2,可得g=,代入数值得g=9.88 m/s2.
2.(1)2.0　(2)9.74　(3)不会　C
[解析] (1)由题图乙可知摆线长为L1时,该单摆周期T=2.0 s.
(2)设摆球半径为r,根据单摆周期公式有T=2,整理得T2=L+r,结合题中根据图像得到的方程T2=4.05L+0.036,可知=4.05 s2/m,解得g≈9.74 m/s2.
(3根据T2=L+r,可知实验时没有测量摆球直径,L为摆线长度时得到的T2 L图像斜率仍不变,在用斜率计算重力加速度时不会引起实验的系统误差.为了减小空气阻力引起的误差,应选用密度大、体积小的摆球,故A错误;为准确测量单摆周期,应在摆球经过平衡位置时开始计时,故B错误;实验时须使摆球在同一竖直面内摆动,否则会形成圆锥摆,故C正确;为使单摆做简谐运动,单摆偏离平衡位置的角度应小于5°,故D错误.
3.(2)最低点　　(3)
[解析] (2)当磁感应强度测量值最大时,小球离传感器最近,所以小球位于最低点;每隔半个周期磁感应强度达到一次最大值,所以t时间内共经历个周期,即t=T,故得周期T=.
(3)由单摆周期公式T=2得T2=L,两边取对数整理得lg T=lg L+lg ,故得lg T lg L图像横轴截距为lg ,斜率为,又已知纵轴截距c=lg ,故得g=.
4.(1)g=ω2L　(2)3　9.85　(3)C
[解析] (1)因T=2,同时T=,联立解得g=ω2L.
(2)第1组有g=24.01×0.41 m/s2≈9.84 m/s2,第2组有g=16.00×0.61 m/s2=9.76 m/s2,第3组有g=12.25×0.81 m/s2≈9.92 m/s2,第4组有g=9.80×1.01 m/s2≈9.90 m/s2,第5组有g=8.18×1.21 m/s2≈9.90 m/s2,通过数据计算可知第3组数值偏差最大,剩余4组计算结果取平均值得= m/s2=9.85 m/s2.
(3)摆球体积较大会略微延长周期T,进一步导致g的计算值偏小,A错误;实验中仅用摆线长度计算摆长,会导致摆长测量值偏小,根据公式g=ω2l,摆长l偏小会直接导致计算出的g值偏小,B错误;外部振动(如实验台晃动)可能使单摆摆动加快,导致周期T的测量值偏小,从而g的计算值偏大,C正确;摆球不在同一竖直面内运动,而做圆锥摆运动,周期变大,重力加速度测量值偏小,D错误.
5.(1)gsin α　(3)-β 　(4)D
[解析] (1)小球在倾角为α的斜面上做单摆运动时,等效重力加速度g'==gsin α.
(3)当摆杆来回摆动时,小球圆周运动的圆心在摆杆与立柱的连接点位置,小球相当于在一个倾角为θ的斜面上做单摆运动,倾角等于摆杆与水平面之间的夹角,根据几何关系可知,斜面的倾角θ=-β .
(4)结合上述,等效重力加速度g1=gsin θ=gcos β,根据周期公式有T=2=2,解得T2=·,可知,应该绘制的图像是T2-,故选D.实验九　用单摆测量重力加速度
一、实验目的
1.练习使用停表和刻度尺.
2.探究影响单摆运动周期的因素.
3.会用单摆测定重力加速度.
二、实验原理
当摆角较小时,单摆做简谐运动,其运动周期为T=　　　　,由此得到g=,因此,只要测出　　　　　和　　　　　　　,就可以求出当地的重力加速度g的值.
三、实验器材
铁架台、铁夹、带孔的小钢球、摆线(长约1 m)、游标卡尺、刻度尺、停表.
四、实验步骤
1.让摆线的一端穿过小钢球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.
2.把摆线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验桌桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处作上标记,如图所示.
3.摆长的测定:用刻度尺测量摆线长l0,用游标卡尺测出小钢球直径D,则单摆的摆长l=l0+.
4.周期的测定:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于或等于5°),由静止释放小钢球,记下单摆完成N(一般为30~50)次全振动的总时间t,算出平均完成一次全振动所需的时间,即单摆的周期Tn=.反复测三次,再算出周期的平均值T=.
5.根据单摆的周期公式T=2,计算当地的重力加速度g=.
6.改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平均值,该平均值即为当地的重力加速度值.
五、数据处理
1.公式法:利用T=求出周期,算出三次测得的周期的平均值,然后利用公式g=求重力加速度.
2.图像法:根据测出的一系列摆长l对应的周期T,作l T2的图像,由单摆周期公式得l=T2,图像应是一条过原点的直线,如图所示,求出图线的斜率k,即可利用g=　　　　求重力加速度.
六、误差分析
1.系统误差的主要来源:悬点不固定,摆球不可视为质点,球、线不符合要求,振幅不是足够小,振动形成了圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.
2.偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计全振动次数.为了减小偶然误差,应多次测量后取平均值.
3.利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差,利用图像解题时要特别注意图像的斜率及截距的应用.
七、注意事项
1.悬线顶端不能晃动,需用夹子夹住,保证悬点固定.
2.单摆必须在同一平面内振动,且摆角小于5°.
3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时,并数准全振动的次数.
4.应在小钢球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
5.一般选用一米左右的细线.
例1　[2025·广东清远模拟] 小明同学进行“用单摆测定重力加速度”实验.
(1)该同学组装了如下几种实验装置,你认为最合理的装置是　　　　(填选项的字母).
A
B
C
D
(2)该同学用毫米刻度尺测得摆线长度为l,再用游标卡尺测量摆球直径,结果如图甲所示,则摆球的直径d=　　　　 mm,摆长L=　　　　(用字母l、d表达).
(3)该同学通过多次实验得出数据并画出摆长L和周期T2图像,如图乙所示,根据图像求出重力加速度g=　　　　　(结果保留三位有效数字).
(4)测得的g值与真实值相比偏大,可能的原因是　　　　(填选项前的字母).
A.测摆长时记录的是摆线的长度
B.开始计时时,停表过早按下
C.摆线上端未牢固地系于悬点,摆动中出现松动,使摆线长度增加了
D.实验中误将29次全振动数记为30次
[反思感悟]
考向一　实验器材的创新
例2　[2025·广东佛山模拟] 某同学利用单摆测重力加速度的实验过程中,发现摆球在摆动过程,容易变成圆锥摆,造成实验误差,于是利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度,原理图如图甲所示(A、B为光电计数器).实验步骤如下:
(1)用游标卡尺测得小球直径为D,用米尺测得每根悬线的长度为d;
(2)使小球偏离竖直方向一定角度θ(θ<5°);
(3)释放小球,当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时,由A射向B的光束被挡住,计数器计数一次,显示为“1”,每当小球经过点O时,计数器都计数一次.从小球经过点O开始计数,当计数次数刚好为n时,所用时间为t;
(4)调节两悬点间距s,多次重复实验,由此可知:
①双线摆的振动周期为T=　　　　,双线摆的摆长为L=　　　　.(用题中已知量的字母表示)
②为了减少误差,将测量数据作L T2图像,通过图线的斜率k,可得出g=　　　　(用题中已知量的字母表示).
③该同学将测量数据输入电脑,由计算机拟合结果如图乙所示,其斜率k=0.249 m/s2,则计算可得重力加速度g=　　　　 m/s2(保留3位有效数字,其中π2取近似值9.86).
④利用游标卡尺测小球直径D时,游标卡尺测量爪的连线并未通过小球的球心,则利用上述方法得到的重力加速度g的测量值　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)真实值.
[反思感悟]
考向二　测量原理的创新
例3　[2025·河北邢台模拟] 某学习小组同学用以下器材测量学校附近的重力加速度,为了便于携带,该组同学将一单摆固定于某一深度为h(未测量)且开口向下的透明塑料杯顶端(单摆的下半部分露于塑料杯外),如图甲所示.每次实验前,组内同学利用钢板尺测出杯子的下端口到小球底端的距离L,并通过改变L测出对应的摆动周期T.实验开始时,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,且单摆在摆动过程中悬线不会碰到杯壁,最后利用测得的数据,以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像,那么就可以通过此图像求出塑料杯的深度h和当地的重力加速度大小g.
(1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球的直径,示数如图丙所示,该摆球的直径d=　　　　 mm.
(2)测量单摆的周期时,某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时,同时数1,当摆球第二次通过最低点时数2,依此法往下数,当他数到60时,按下停表停止计时,读出这段时间t,则该单摆的周期为　　　　(填选项前的字母).
A. B.
C. D.
(3)实验中所得到的T2 L关系图线如图乙中的　　　　(选填“a”“b”或“c”)所示,当地的重力加速度大小为g=　　　　 m/s2(π取3.14,结果保留至小数点后两位).
(4)根据以上数据,结合得到的T2 L关系图线,可以求出透明塑料杯的深度h=　　　　 cm.
[反思感悟]
变式　[2024·湖北卷] 某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等.
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片的托盘,在托盘内放入一个砝码,如图甲所示.
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门.
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动.
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t.
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作.
该同学将振动系统理想化为弹簧振子.已知弹簧振子的振动周期T=2,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量.
(1)由步骤④,可知振动周期T=　　　　.
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l=　　　　.
(3)由实验数据作出的l T2图线如图乙所示,可得g=　　　　m/s2(保留三位有效数字,π2取9.87).
(4)本实验的误差来源包括　　　　.
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
考向三　实验过程的创新
例4　[2025·浙江6月选考] 在用单摆测重力加速度的实验中:
(1)如图1所示,可在单摆悬点处安装力传感器,也可在摆球的平衡位置处安装光电门.甲同学利用力传感器,获得传感器读取的力与时间的关系图像,如图2所示,则单摆的周期为　　　　 s(结果保留3位有效数字).乙同学利用光电门,从小钢球第1次遮光开始计时,记下第n次遮光的时刻t,则单摆的周期为T=　　　　;
(2)丙同学发现小钢球已变形,为减小测量误差,他改变摆线长度l,测出对应的周期T,作出相应的l T2关系图线,如图3所示.由此算出图线的斜率k和截距b,则重力加速度g=　　　　,小钢球重心到摆线下端的高度差h=　　　　;(结果均用k、b表示)
(3)丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽,如图4所示.他让小钢球在槽中运动,测出其运动周期,算出重力加速度为8.64 m/s2.若周期测量无误,则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　.
二、2　摆长l　振动周期T
五、2.4π2k实验九　用单摆测量重力加速度 (限时40分钟)
1.[2025·海南卷] 小组用如图所示单摆测量当地重力加速度.
(1)用游标卡尺测得小球直径d=20 mm,刻度尺测得摆线长l=79 cm,则单摆摆长L=　　　　 cm(保留四位有效数字);
(2)拉动小球,使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°),无初速度的释放小球,小球经过　　　　点(选填“最高”或“最低”)时,开始计时,记录小球做了30次全振动用时t=54.00 s,则单摆周期T=　　　　 s,由此可得当地重力加速度g=　　　　 m/s2(π2≈10,结果保留3位有效数字).
2.[2025·河北秦皇岛模拟] 如图甲所示,某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度,所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、速度传感器、计算机等.实验操作步骤如下:
A.取一根细线,下端系住一个金属小球,上端固定在铁架台上;
B.用米尺(分度值为1 mm)测得摆线长为L1;
C.在摆线偏离竖直方向较小夹角θ(θ<5°)的位置由静止释放小球;
D.速度传感器连接计算机,记录了摆球摆动过程中速度随时间变化的关系,如图乙所示;
E.改变摆线长度,重复B、C、D的操作;
F.根据实验数据,利用计算机作出T2 L图像,并根据图像得到方程T2=4.05L+0.036(s2),由此可以得出当地的重力加速度g.
回答以下问题:
(1)摆线长为L1时,单摆的周期T=　　　　s.
(2)实验小组测得当地的重力加速度g=　　　　 m/s2.(π取3.14,结果保留3位有效数字)
(3)实验时没有测量摆球直径,L为摆线长而不是摆长,这种做法　　　　(选填“会”或“不会”)引起实验的系统误差;为了使测量误差尽量小,下列说法正确的是　　　　(填选项前的字母).
A.组装单摆须选用质量和直径都较大的摆球
B.当摆球经过最高点时开始计时
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.单摆偏离平衡位置的角度尽可能大
3.[2025·山东济宁模拟] 某同学尝试测量单摆周期和当地的重力加速度.
(1)如图甲,用一个磁性小球制作一个单摆,在单摆下方放置一个磁传感器,其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方,图中磁传感器的引出端A接数字采集器.
(2)使单摆做小角度摆动,当磁感应强度测量值最大时,磁性小球位于　　　　　　(选填“最高点”或“最低点”).若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t,则单摆周期的测量值为　　　　(用N和t表示).
(3)多次改变摆长使单摆做小角度摆动,测量摆长L及相应的周期T.分别取L和T的对数,利用计算机得到lg T lg L图线如图乙所示,读得图线与纵轴交点的纵坐标为c,由此得到该地重力加速度g=　　　　.
4.[2025·安徽合肥模拟] 简谐振动的圆频率(又称角频率)是描述简谐振动快慢的核心物理量,圆频率越大,振动越快,周期和频率的关系为ω==2πf.合肥一六八中学某实验小组改进传统单摆实验,使用某软件分析单摆振动视频,绘制位移—时间图像并计算圆频率ω,以简化重力加速度的测量.
实验步骤如下:
Ⅰ.准备5个不同摆长的单摆(摆线长度分别为0.4 m、0.6 m、0.8 m、1.0 m、1.2 m),摆球为直径2 cm的金属球;
Ⅱ.计算摆长L;
Ⅲ.将单摆拉开小角度(θ<5°)释放,用手机拍摄振动视频并导入该软件,生成x t图像;
Ⅳ.利用软件自动测量圆频率ω,记录数据如表所示
组别 摆线长/m 摆长L/m 圆频率ω/ (rad/s) ω2/ (rad2/s2)
1 0.40 0.41 4.90 24.01
2 0.60 0.61 4.00 16.00
3 0.80 0.81 3.50 12.25
4 1.00 1.01 3.13 9.80
5 1.20 1.21 2.86 8.18
(1)重力加速度g与圆频率ω的关系式为　　　　;
(2)同学们查表了解到合肥当地的重力加速度大小约为9.79 m/s2,请指出第　　　　组数据误差最大,并利用表格剩余组别的数据计算出合肥当地重力加速度g=　　　　 m/s2(保留两位小数);
(3)关于导致上述重力加速度结果较正常值出现偏差的原因,下列说法中正确的有　　　　(填选项前的字母).
A.摆球体积较大
B.仅用摆线长度计算摆长
C.外部振动(如实验台晃动)使单摆摆动加快
D.摆球不在同一竖直面内运动,而做圆锥摆运动
5.[2025·河南信阳模拟] 在探究单摆周期与重力加速度定量关系实验中,小明同学发现,要把单摆的轨迹约束在一个确定的平面上比较困难.他在伽利略研究小球自由落体运动规律时用斜面来“冲淡”重力思想的启发下,创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境,如图甲所示,已知当地重力加速度大小为g.
(1)小球在倾角为α的斜面上做单摆运动时,等效重力加速度g'=　　　　.
(2)为减小图甲实验中摩擦力的影响,小明同学制作了“杆线摆”.如图乙所示,铁架台上装一根重垂线,在铁架台的立柱跟重垂线平行的情况下,将小球、摆线、摆杆组成的“杆线摆”装在立柱上,调节摆线的长度,使摆杆与立柱垂直,摆杆可绕着立柱自由转动,且不计其间的摩擦.如图丙所示,把铁架台底座的一侧垫高,立柱倾斜,测出静止时摆杆与重垂线的夹角为β.
(3)当摆杆来回摆动时,小球相当于在一个倾角为θ的斜面上做单摆运动,则斜面的倾角θ=　　　　(用含β的式子表示).
(4)测出不同倾斜程度下β的值以及该倾角下“杆线摆”的周期T,为了寻找物理量之间的线性关系,应该绘制的图像是　　　　.
A.T2-gsin β
B.T2-gcos β
C.T2-
D.T2-

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