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专题十二 静电场中图像综合问题
题型一 图像
题型二 图像
题型三 图像、图像
题型四 电场分布与图像相结合问题
备用习题
◆
◆
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作业手册
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答案核查【作】
题型一 图像
图线与轴围成的“面积”表示沿 轴方向的电势差，“面积”大小表示
电势差大小，两点的电势高低根据电场强度方向判定.
例1 真空中有一固定的均匀带正电的球体，其半径为，场强沿半径 方
向的分布如图所示，静电力常量为 ，则( )
A.和 两处电势相等
B.球体表面处电势最高
C.和两处电势差为
D.该球所带的电荷量为
√
[解析] 由图可知，带正电的球体产生的电场强度方向一直是从球心沿半
径向外，由于沿电场线方向电势降低，所以球心处电势最高， 处的电势
高于处电势，故A、B错误； 图像与横轴所围的面积表示电势差，
由图可知，和两处电势差大于 ，故C错误；球外电场可以看
成是电荷量全部集中于球心处的点电荷产生的电场，则在 处，有
，所以该球体所带的电荷量 ，故D正
确.
题型二 图像
(1)电场强度的大小等于 图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，
电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图所示).
切线的斜率为零时 轴上各处电场强度为零.
(2)在 图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系
确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向.(如图所示)
(3)电场中常见的 图像
①点电荷的 图像(取无限远处电势为零)，如图.
②两个等量异种点电荷连线上的 图像，如图.
③两个等量同种点电荷的 图像，如图.
例2 [2024·湖南卷] 真空中有电荷量为和 的两个点电荷，分别固定
在轴上和0处.设无限远处电势为0，正半轴上各点电势 随 变化的
图像正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 轴上和0处的两个点电荷各自产生的电场在 轴正半轴上坐标为
处对应的电场强度分别为和，方向分别沿 轴正方
向和轴负方向，该处的电场强度，其方向取决于与 的大
小关系，令，解得，则当时， ，该处的电
场强度沿轴负方向指向处的负电荷，当时， ，该处的
电场强度沿 轴正方向指向无限远处，根据沿电场强度方向电势降低可知，
从处到处电势升高，而从 处到无限远处电势降低，又知
靠近负电荷处电势趋于负无穷，无限远处电势为0，所以 处的电势应
大于零，即轴正半轴上从 处到无限远处，电势从负无穷增大到大于
0的某一值，然后从该值减小到趋于0，故D正确.
变式 两个所带电荷量相等的点电荷固定在轴上、两点，、 与坐标
原点的距离相等，以无穷远处为电势零点，轴上各点电势 随坐标 变
化的图像如图所示，、是轴上两点，其中点比点距离 点远，将
一带负电的试探电荷沿轴从点移动到 点的过程中，下列说法中正确
的是( )
A.试探电荷在点受到的静电力比在 点大
B.试探电荷在点具有的电势能比在 点大
C.试探电荷在、 两点受到的静电力方向相同
D.静电力先做正功后做负功
√
[解析] 图线上某点切线的斜率表示该点电场强度，由题图可知 点
电场强度大于点电场强度，则试探电荷在点受到的静电力比在 点大，
故A正确；由图线可知，点电势高于 点，则带负电的试探电荷在
点具有的电势能比在点小，故B错误；、 两点电场强度方向不同，
试探电荷在、 两点受到的静电力方向不同，故C错误；由题图可知从
到电势降低，从到电势升高，将带负电的试探电荷沿轴从 点移
动到 点的过程中，静电力对试探电荷先做负功后做正
功，故D错误.
题型三 图像、 图像
电场力做的功等于电势能的变化量，而电场力做功就是力对位移的累积，
由，得，故 图像的斜率的绝对值表示
电场力大小，纵截距表示初始电势能；合力做功等于动能的变化量，如果
带电粒子只受电场力的作用，则合力做的功就是电场力做的功，由
，得，故 图像的斜率表示电场力，纵截
距表示初动能.根据两图像斜率的变化可判断出电场力的变化，进而判断
出电场强度的变化.
例3 [2025·山东济南模拟] 如图甲所示，真空中有两点电荷、 分别固
定在轴上的和处，将一正试探电荷置于轴上， 的
电势能随位置的变化关系部分图像如图乙所示，规定无穷远处电势为零，
点电荷周围某点电势公式，其中为静电力常量， 为点电荷的电
荷量， 为该点到点电荷的距离.下列说法正确的是( )
A.、 为同种电荷
B.、的电荷量之比
C.处的电势低于 处的电势
D.除无限远外， 轴上电场强度为零的点只有一个
√
[解析] 由图乙知处电势为正，处电势为负，可知 带
负电荷，带正电荷，故A错误；由图乙知 处电势为零，根据点电荷
周围电势公式可知，解得，故B错误；在 轴
上，在处右侧电场强度水平向右，在 区间
的电场强度方向水平向右，根据场强的叠加可知 间的电
场强度方向水平向右，当时，处电势为零， 时，
电势为零的点更靠近，所以处电势大于零，即 处的
电势高于 处的电势，故C错误；
由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知轴上在 区域电场
强度不可能为零，在 区域电场强度不可能为零，在
区域，设该点距处的距离为 ，根据电场强度为零，则
有，解得，可知除无限远处， 轴上电场强度为
零的点只有一个，故D正确.
题型四 电场分布与 图像相结合问题
根据 图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化),可确定电荷所受的
电场力方向与电场力大小变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及
电势能的变化.
例4 [2025·河南洛阳模拟] 如图甲所示，绝缘粗糙水平面上固定两个等量
的正电荷，二者连线中点处有一质量为、电荷量大小为 的带电小物块
(可视为质点)，将小物块沿中垂线方向水平射出，途经、、 三点，小
物块在点速度最小， 点速度最大.小物块速度随时间变化的图像如图乙
所示，整个图像在 点的切线斜率绝对值最大.已知小物块与水平面间的动
摩擦因数为，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
A.小物块在 点时的加速度最小
B.小物块可能带负电
C.、两点的电场强度大小均为
D. 时间内，小物块的电势能一直增加
√
[解析] 由题意可知，整个图像在 点的切线斜率绝对值最大，而斜率表示
加速度，故小物块在 点时的加速度最大，故A错误；由图乙可知小物块
先做加速度减小的减速后又做加速运动,最后减速至0，若物块带负电,物体
会一直减速至0，故物块只能带正电，B错误；由图乙可知，、 两点的
加速度为0，小物块所受合力为0，故得，而 ，联立
并代入数据得、两点的电场强度大
小均为，故C正确； 时
间内，小物块由运动到 ，电场力一
直增大并做正功，电势能一直减小，故D错误.
图像
1.某静电场方向平行于轴， 轴上各点电场强度随位置的变化关系如图所
示，规定轴正方向为电场强度正方向.若取处为电势零点，则 轴上各
点电势随位置的变化关系可能为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由图可知，电场强度方向始终沿轴正方向，故电势沿 轴正方向
一直降低，故时，电势，时，电势 ，故A、D
错误；又由知，电势 随 轴位置变化图像的斜率绝对值可
表示电场强度，故时， 图像的斜率绝对值逐渐变大，
时， 图像的斜率绝对值逐渐变小，故C正确，B错误.
2.某半导体结中存在电场，取电场强度的方向为轴正方向，其
关系如图所示，，.取 点的电势为零，则( )
A.、 的电势相等
B.从到 的过程中，电势一直升高
C.电子从移到 的过程中，电势能先增大后减小
D.电子从移到和从移到 的过程中，电场力做
功相等
√
[解析] 根据可知 图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势
差，由于和之间图像与坐标轴围成的面积不为零，故、 的电势不相
等，故A错误；由题意知，电场强度的方向为 轴正方向，根据沿电场线
方向电势降低可知，从到 的过程中，电势一直降低，故B错误；电场线
方向一直是沿轴正方向，则电子从移到 的过程中，电场力一直做负功，
电势能一直增大，故C错误；根据 可知
图像与坐标轴围成的面积表示某两点的电势
差，从到和从到 的电势差相等，根据
可知，电子从移到和从移到 的过程
中，电场力做功相等，故D正确.
3.(多选)如图甲所示，在倾角为 的足够长的绝缘光滑斜面底端，静止放
置质量为、带电荷量为 的物体.加上沿着斜面方向的电场，物体
沿斜面向上运动.物体运动过程中的机械能与其位移 的关系图像如图所
示，其中为直线，为曲线， 为平行于横轴的直线，重力加速度为
，不计空气阻力，则( )
甲
乙
A.过程中，电场强度的大小恒为
B.过程中，物体电势降低了
C. 过程中，物体加速度先变小后变大
D. 过程中，电场强度为零
甲
乙
√
√
√
[解析] 过程中，电场力做正功，机械能增大，则 ，解得
，故A错误； 过程中，电场力做正功，故电势降低，可得
，解得 ，故B正确；图像的斜率表示电场力大
小， 过程中，斜率逐渐减小到零，故电场力逐渐减小到零，物体
加速度 ，可知加速度先减小到零，后沿斜面向下增大，故C
正确； 过程中，机械能不变，
故只有重力做功，电场力为0，则电
场强度为零，故D正确.
甲
乙
图像
4.空间中有一电场，电势分布如图所示，现放入一个负点电荷，随后沿
轴正方向移动此电荷，则此电荷的电势能随位置变化的图像正确的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 负点电荷沿轴正方向移动，由电势能的表达式 得，此电
荷的电势能为负值并且逐渐增大，故C正确.
√
5.(多选)将两点电荷分别固定在轴上的、 两点，其坐标分别为
和，处点电荷带电荷量的绝对值为 ，两点电荷连线上
各点电势 随变化的关系图像如图所示，处电势最低.轴上、
两点的坐标分别为和，静电力常量为 ，则( )
A.处点电荷带电荷量的绝对值为 ，且两点
电荷属于异种电荷
B.点的电场强度大于 点的电场强度
C.点的电场强度大小为
D.负的试探电荷由点运动到 点的过程中，电
势能先增大后减小
√
√
[解析] 由图可知，从一个点电荷处到另一个点电荷处，电势先降低后升
高，所以两点电荷均为正电荷， 图像的斜率表示电场强度，由图可
知，点的电场强度为零，设处点电荷带电荷量绝对值为 ，有
，解得，故A错误；在 点，根据电场叠加原理
有，同理，在
点，有，故 ，
B错误，C正确；由图可知，从点到 点，电
势先降低后升高，又 ，所以负的试探
电荷由点运动到 点的过程中，电势能先增大后减小，故D正确.
图像、 图像
6.(多选)一带负电的微粒(电荷量不变，所受重力不计)只在电场力作用下沿
轴正方向运动，其电势能随位移变化的关系如图所示，其中 段
是曲线，段是平行于轴的直线， 段是倾斜直线，则下列说
法正确的是( )
A. 段电场强度逐渐增大
B. 段电势逐渐升高
C. 段电场强度为零
D. 段微粒做匀加速直线运动
√
√
[解析] 图像的斜率表示电场力，由图像可知， 段微粒所受
电场力减小，故段电场强度减小，同理， 段电场强度为零，
故A错误，C正确； 段微粒受到的电场力不变，电势能减少，则动
能增加，所以微粒做匀加速直线运动，故D正确； 段微粒的电势能
逐渐增大，而微粒带负电荷，所以其电势逐渐降低，故B错误.
7.如图甲所示，在某电场中的 点先后无初速度释放两个正点电荷Ⅰ和Ⅱ，电荷仅在电场力的作
用下沿直线向运动，两电荷的动能随位移变化的关系如图乙所示. 若电荷Ⅰ的电荷量为 ，
则( )
A.电荷Ⅱ的电荷量为
B.电荷Ⅱ受到的电场力大小为
C.此电场一定为匀强电场且场强大小
D.选点为电势零点时，点的电势为
√
[解析] 由动能定理可知，电荷的动能随位移 变化的图像的斜率表示该
电荷所受的电场力，故电荷Ⅰ和Ⅱ所受的电场力分别为 ，
，故B错误；由图像可知，电场力为恒力，则电场强度大小、方
向均不变，为匀强电场，电场强度大小 ，故C正确；又
，所以电荷Ⅱ的电荷量为，故A错误；电荷Ⅰ由到 的过程中，
有，解得，选点
为电势零点时， 点的电势 ，
故D错误.
电场分布与 图像相结合问题
8.(多选)空间某电场线分布如图所示,一负电荷仅在电场力作用下从 点以
初速度沿 方向运动(以向右为正方向),则电荷在运动过程中的速度—
时间图像可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 依题意,由于负电荷受到的电场力方向与初速度方向相反,所以开始
时,电荷先减速,速度减为零时, 又反向加速.根据电场线的疏密程度反应电
场强度的大小,电场线越密,场强越大,若电荷不能过点,根据 ,
则电荷先做加速度逐渐增大的减速运动,减速到零后,反向做加速逐渐减小
的加速运动;若电荷能过点,则电荷先做加速度逐渐增大的减速运动,过
点后又做加速度逐渐减小的减速运动,速度减为零时,反向做加速度逐渐增
大的加速运动,过 点后, 又做加速度逐渐减小的加
速运动,根据 图像的斜率表示加速度,由数学知
识可知选项A、C图像符合, B、D图像不符合.
9.在光滑绝缘水平面上固定着两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有
、、三点，如图甲所示.一质量、电荷量
的带正电小物块从 点由静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面
经过、两点，其运动过程的图像如图乙所示，其中图线在 点位
置时斜率最大.根据图线可以确定( )
A.两点电荷是负电荷
B.点是、 连线的中点
C.
D.中垂线上点电场强度最大，为
√
[解析] 小物块从到 过程，动能增大，则电场力做正功，由于
小物块带正电，所以两点电荷是正电荷，故A错误；小物块从
到 过程，根据动能定理得，
从到 过程，根据动能定理得，可得
，由于两点电荷连线的中垂线上电场线分布不均匀，所以不能
确定点是不是、 连线的中点，故B、C错误；图像的斜率表示加速
度，由图像可知，小物块在 点的加速度最大，
，根据牛顿第二定律得
，解得 ，故D正确.
作业手册
1.[2025·海南卷] 某静电场电势 在轴上分布情况如图所示，图线关于
轴对称，、、是轴上的三点，.有一电子从 点静止释放，
仅受 方向的电场力作用，则下列说法正确的是( )
A.点电场强度方向沿 轴负方向
B.点的电场强度小于 点的电场强度
C.电子在点的动能小于在 点的动能
D.电子在点的电势能大于在 点的电势能
√
[解析] 由图可知在正半轴沿方向电势降低，则电场强度方向沿 正方
向，故A错误；图像斜率表示电场强度，由图可知 点的电场强度与
点的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能
大，故电子在点的电势能小于在 点的电势能，根据能量守恒可知，电
子在点的动能大于在 点的动能，故C错误；
电子在电势低处电势能大，故电子在 点的电
势能大于在 点的电势能，故D正确.
2.[2025·河南焦作模拟] 、 是某电场中一条电场线
上的两点，一正电荷仅在电场力作用下，沿电场线
从点运动到点，速度图像如图所示.下列关于 、
两点电场强度的大小和电势 的高低的判断，正
确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在 图像中，图线斜率的绝对值表示物体的加速度大小，由题
图可得，正电荷在处的加速度大于在 处的加速度，根据牛顿第二定律
可得，则点的电场强度大于点的电场强度，即 ，故A、
B错误；由题图可得，正电荷从到 速度减小，电场力做负功，说明电场
力方向为从指向，即电场线方向为从指向 ，
而沿电场线方向电势降低，则 ，故C正确，
D错误.
3.(多选)[2025·湖北十堰二模] 某一沿轴方向的静电场，电势 在 轴上
的分布情况如图所示，、是 轴上的两点.一负电荷仅在电场力的作用下
从点运动到 点，该负电荷( )
A.在 点的速度最大
B.在点受到的电场力小于在 点受到的电场力
C.在点时的电势能小于在 点时的电势能
D.在点时的动能小于在 点时的动能
√
√
[解析] 点的电势最高，根据 ，可知负电荷在 点时的电势能最
小，由于该负电荷仅在电场力的作用下运动，则其动能和电势能之和保持
不变，所以负电荷在点时的动能最大，速度最大，故A正确； 图线
的切线斜率的绝对值表示电场强度大小，则点处的电场强度大于 点处
的电场强度，负电荷在点受到的电场力大于在 点受到的电场力，故B错
误；由图像可知点的电势大于 点的电势，根据
，可知负电荷在点时的电势能小于在 点
时的电势能，又由于该负电荷的动能和电势能之和
保持不变，则负电荷在点时的动能大于在 点时的
动能，故C正确，D错误.
4.(多选)[2025·安徽宣城模拟] 沿电场中某条直线电场线的方向建立 轴，
该电场线上各点的电场强度随 的变化规律如图所示.将一个带电粒子从
位置由静止释放，粒子仅在电场力的作用下由坐标位置运动到原点
的过程中，下列说法正确的是( )
A.该粒子带正电
B.粒子先加速后减速运动
C.粒子的电势能一直减小
D.坐标原点和位置的电势差
√
√
[解析] 由题图知电场方向一直沿轴正方向，而该带电粒子由坐标位置
从静止向 轴负方向运动，所以该粒子带负电，电场力方向一直与速度方
向相同，电场力一直对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，
A、B错误，C正确；图线与 轴所围成的面积表示电势差，则
，D正确.
5.(多选)[2025·辽宁大连模拟] 一带负电的粒子只在电场力作用下沿 轴正
向运动，其电势能随位移的变化如图所示，其中 段是抛物线，
处是顶点，段是直线，且与抛物线相切.粒子由运动到 过程中，
下列判断正确的是( )
A. 处的电势最高
B. 段粒子动能增大
C. 段粒子加速度增大
D. 段粒子做匀速直线运动
√
√
[解析] 由图像可知，粒子在处时 最低，又因为粒子带负电，由
可知，处的电势最高，A正确；粒子从点运动到 的过程中，只
受电场力作用，则粒子的电势能与动能之和保持不变， 段，粒子的
电势能逐渐增大，则动能减小，B错误；由
可知， 图线斜率的绝对值表示粒子受到的电场力大
小，在 段图线斜率绝对值逐渐增大，说明粒子受到
的电场力逐渐增大，由牛顿第二定律可知粒子加速度增大，
在 段图线斜率不变且不为零，说明粒子所受电场力不变且不为零，
由牛顿第二定律可知粒子的加速度不变且不为零，因此粒子在 段
做匀变速直线运动，C正确，D错误.
6.[2025·安徽名校联考] 竖直平面内有一电场，电场线分布如图所
示，轴竖直向下.一带负电的小球从点由静止释放并沿 轴
正方向运动，从到运动的过程中，下列关于小球的机械能 、
动能、电场的电势 及电场强度随小球运动的位移 变化的
图像，可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 从运动到过程中，随小球运动的位移变化，电场强度 先增大
后减小，且和 点的电场强度不为零，故D错误；小球受到的竖直向上的
电场力先增大后减小，还受到重力，电场力一直做负功，故
小球的机械能一直减小，小球的机械能随位移 变化的图像
的斜率，故A正确；小球的动能随位移 变化
的图像的斜率 ，小球合力先变小后变大，故B错
误；沿着电场线方向，电势一直降低，故C错误.
7.真空中固定一电荷量为的负点电荷，一电荷量为、质量为 的试探电
荷仅在电场力作用下由静止开始运动，先后经过、、三点，其
图像如图所示，为试探电荷的加速度， 代表试探电荷与负点电荷间的距
离，已知 ，则下列说法正确的是( )
A.试探电荷带负电
B.、、三点的电势关系为
C.、、三点的电场强度关系为
D.该图像的斜率代表负点电荷的电荷量与试探电荷质量
的比值
√
[解析] 因为试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动，先后经过 、
、 三点，结合题中图像可知，试探电荷离点电荷越来越近，而点电荷
带负电，说明试探电荷带正电，A错误；沿着电场线方向电势降低，所以
，B错误；根据牛顿第二定律得 ，已知
，可知、、 三点的电场强度关
系为 ，故C正确；点电荷的电场强
度公式为，则， 图像的斜
率为 ，D错误.
8.[2024·重庆卷] 沿空间某直线建立轴，该直线上的静电场方向沿 轴，
其电势 随位置变化的图像如图所示，一电荷量为 、带负电的试探电
荷，经过点时动能为，速度沿 轴正方向，若该电荷仅受电场力，
则其将( )
A.不能通过点 B.在 点两侧往复运动
C.能通过点 D.在 点两侧往复运动
√
[解析] 带负电的试探电荷在处动能为，电势能为 ，总能量
为，且试探电荷速度沿轴正方向，在区域试探电荷受到沿
轴正方向的静电力，做加速运动，在 处速度最大，试探电荷继续运动到
右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为 ，即运动到电势为
处减速到零，开始向轴负方向运动，反向回到处动能仍为 ，
继续向左运动，在电势为处减速到零又反向，不会运动到、 处，
即试探电荷在 点两侧往复运动，故选B.
9.如图所示，等量同种点电荷放在轴上， 点为中心，则两点电荷连线上
的电场强度、电势 随 变化的关系图线可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 等量同种正点电荷的电场线分布如图所示,由图和对称性可知， 轴
上 点处的场强为零，越靠近点电荷则电场强度越大，且每个点电荷两侧
的电场强度方向以点电荷为中心对称，故A、B错误；由于两点电荷为等
量同种正点电荷，可知 轴上的电势均大于0，根据沿电场方向电势降低可
知，离正点电荷越近，电势越高， 图像中，图像的斜率表示电场强
度，因此离点电荷越近，图像的斜率绝对值应越大，
故C错误，D正确.
10.[2025·八省联考] 如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一
带正电小球乙在斜面上由静止释放.以释放点为原点，沿斜面向下为正方
向建立轴.在乙沿轴加速下滑过程中，其动能和机械能随位置 变化
的图像，可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设甲、乙两个带电小球间的距离为，由动能定理可知 图像
的斜率表示合力，乙受到的合力，所以在乙沿 轴
加速下滑的过程中，两个带电小球间的距离逐渐减小， 逐渐减小，则
图线的斜率应该逐渐减小，故A、B错误；由功能关系可知，小球
乙机械能的变化量等于库仑力对小球乙做的功，库仑力对小球乙做负功，
则小球乙的机械能减小，且小球乙的 图线的斜率的绝对值表示库仑
力的大小，在乙沿轴加速下滑过程中， 逐渐减小，
库仑力大小逐渐增大，则 图像的斜
率的绝对值逐渐增大，故C错误，D可能正确.
11.(多选)[2025·广东肇庆二模] 如图甲所示，一均匀带电圆环放置在水平
面内，取圆环中心为原点，以垂直于环面的轴线为 轴，一带电小球从
轴上处由静止释放，小球运动过程中的动能与位置 的变化关系
如图乙所示，图线上与处的切线与轴平行，小球在、
处的动能分别为、 ，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.处与 处场强相同
B.小球从运动到，电势能增加
C.小球从运动到 ，加速度先增大后减小
D.小球从运动到 点，电势能与重力势能之和先减小后增大
√
√
[解析] 带电小球由静止下落过程中，只受重力和电场力作用，由动能定
理可知图像的切线斜率绝对值表示小球受到的合力大小， 与
处图线的切线均与 轴平行，则合力均为0，即电场力均与小球重力
等大反向，则处与处场强相同，故A正确；由题图可知，从 运动到
， 图像的切线斜率绝对值先增大后减小，则小球受到的合力先增
大后减小，加速度先增大后减小，故C正确；
由能量守恒定律可知，小球下落过程中，重力势能、电势能和动能之和保
持不变，则小球从运动到 ，电势能的增加量等于动能减少量和重力势
能减少量之和，即电势能增加量大于动能减少量，小球从 运动
到 点，动能先增大后减小再增大，则电势能与重力势能之和先减小后增
大再减小，故B、D错误.
12.[2025·湖北宜昌模拟] 如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷小
滑块，在处以初速度沿 轴正方向运动.小滑块的质量
为、带电荷量为 ，可视为质点.整个区域存在沿水平方
向的电场，图乙是滑块电势能随位置变化的部分图像， 点是图线的
最低点，虚线是图像在处的切线，并且经过和 两
点，取 .下列说法正确的是( )
A.处的电场强度大小为
B.滑块向右运动过程中，加速度先增大后减小
C.滑块运动至处时，速度大小为
D.若滑块恰好到达处，则该处的电势为
√
[解析] 图线斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小，所以滑块在
处所受电场力大小为，可得 ，
A错误；滑块向右运动过程中， 图线斜率的绝对值先减小后增大，
则所受电场力先减小后增加，加速度先减小后增大，B错误；
滑块从的位置运动至 处的过程中，根据动能定理有
，且 ，解得滑块运动至
处时的速度大小为，C正确；若滑块恰好到达 处，
则，其中，解得滑块在
处的电势能，该处的电势为 ，D错误.
例1.D
例2.D 变式.A
例3.D
例4.C
基础巩固练
1.D 2.C 3.AC 4.CD 5.AC
综合提升练
6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.AC
拓展挑战练
12.C专题十二　静电场中图像综合问题
例1　D　[解析] 由图可知,带正电的球体产生的电场强度方向一直是从球心沿半径向外,由于沿电场线方向电势降低,所以球心处电势最高,r1处的电势高于r2处电势,故A、B错误;E r图像与横轴所围的面积表示电势差,由图可知,r1和r2两处电势差大于E0(r2-r1),故C错误;球外电场可以看成是电荷量全部集中于球心处的点电荷产生的电场,则在r2处,有E0=,所以该球体所带的电荷量Q=,故D正确.
例2　D　[解析] x轴上-1和0处的两个点电荷各自产生的电场在x轴正半轴上坐标为x处对应的电场强度分别为E1=k和E2=k,方向分别沿x轴正方向和x轴负方向,该处的电场强度E=E1-E2,其方向取决于E1与E2的大小关系,令E1=E2,解得x=1,则当01时,E1>E2,该处的电场强度沿x轴正方向指向无限远处,根据沿电场强度方向电势降低可知,从x=0处到x=1处电势升高,而从x=1处到无限远处电势降低,又知靠近负电荷处电势趋于负无穷,无限远处电势为0,所以x=1处的电势应大于零,即x轴正半轴上从x=0处到无限远处,电势从负无穷增大到大于0的某一值,然后从该值减小到趋于0,故D正确.
变式1　A　[解析] φ x图线上某点切线的斜率表示该点电场强度,由题图可知M点电场强度大于N点电场强度,则试探电荷在M点受到的静电力比在N点大,故A正确;由φ x图线可知,M点电势高于N点,则带负电的试探电荷在M点具有的电势能比在N点小,故B错误;M、N两点电场强度方向不同,试探电荷在M、N两点受到的静电力方向不同,故C错误;由题图可知从M到O电势降低,从O到N电势升高,将带负电的试探电荷沿x轴从M点移动到N点的过程中,静电力对试探电荷先做负功后做正功,故D错误.
例3　D　[解析] 由图乙知x>0处电势为正,-1 mq2时,电势为零的点更靠近q2,所以x=-3 m处电势大于零,即x=-3 m处的电势高于x=0处的电势,故C错误;由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量,可知x轴上在x<-5 m区域电场强度不可能为零,在-5 m-1 m区域,设该点距x=-1 m处的距离为l,根据电场强度为零,则有k=k,解得l= m,可知除无限远处,x轴上电场强度为零的点只有一个,故D正确.
例4　C　[解析] 由题意可知,整个图像在B点的切线斜率绝对值最大,而斜率表示加速度,故小物块在B点时的加速度最大,故A错误;由图乙可知小物块先做加速度减小的减速后又做加速运动,最后减速至0,若物块带负电,物体会一直减速至0,故物块只能带正电,B错误;由图乙可知,A、C两点的加速度为0,小物块所受合力为0,故得qE-Ff=0,而Ff=μmg,联立并代入数据得A、C两点的电场强度大小均为E=,故C正确; 0~t1时间内,小物块由O运动到A,电场力一直增大并做正功,电势能一直减小,故D错误.专题十二　静电场中图像综合问题
1.D　[解析] 由图可知在x正半轴沿+x方向电势降低,则电场强度方向沿x正方向,故A错误; φ x图像斜率表示电场强度,由图可知M点的电场强度与N点的电场强度大小相等,方向相反,故B错误;电子在电势低处电势能大,故电子在P点的电势能小于在N点的电势能,根据能量守恒可知,电子在P点的动能大于在N点的动能,故C错误;电子在电势低处电势能大,故电子在M点的电势能大于在P点的电势能,故D正确.
2.C　[解析] 在v t图像中,图线斜率的绝对值表示物体的加速度大小,由题图可得,正电荷在A处的加速度大于在B处的加速度,根据牛顿第二定律可得qE=ma,则A点的电场强度大于B点的电场强度,即EA>EB,故A、B错误;由题图可得,正电荷从A到B速度减小,电场力做负功,说明电场力方向为从B指向A,即电场线方向为从B指向A,而沿电场线方向电势降低,则φA<φB,故C正确,D错误.
3.AC　[解析] O点的电势最高,根据Ep=qφ,可知负电荷在O点时的电势能最小,由于该负电荷仅在电场力的作用下运动,则其动能和电势能之和保持不变,所以负电荷在O点时的动能最大,速度最大,故A正确;φ x图线的切线斜率的绝对值表示电场强度大小,则B点处的电场强度大于C点处的电场强度,负电荷在B点受到的电场力大于在C点受到的电场力,故B错误;由图像可知B点的电势大于C点的电势,根据Ep=qφ,可知负电荷在B点时的电势能小于在C点时的电势能,又由于该负电荷的动能和电势能之和保持不变,则负电荷在B点时的动能大于在C点时的动能,故C正确,D错误.
4.CD　[解析] 由题图知电场方向一直沿x轴正方向,而该带电粒子由坐标位置x3从静止向x轴负方向运动,所以该粒子带负电,电场力方向一直与速度方向相同,电场力一直对粒子做正功,粒子速度一直增大,电势能一直减小,A、B错误,C正确;E x图线与x轴所围成的面积表示电势差,则=,D正确.
5.AC　[解析] 由Ep x图像可知,粒子在x3处时Ep最低,又因为粒子带负电,由φ=可知,x3处的电势最高,A正确;粒子从O点运动到x3的过程中,只受电场力作用,则粒子的电势能与动能之和保持不变,O~x1段,粒子的电势能逐渐增大,则动能减小,B错误;由ΔEp=-F电Δx可知,Ep x图线斜率的绝对值表示粒子受到的电场力大小,在x1~x2段图线斜率绝对值逐渐增大,说明粒子受到的电场力逐渐增大,由牛顿第二定律可知粒子加速度增大,在x2~x3段图线斜率不变且不为零,说明粒子所受电场力不变且不为零,由牛顿第二定律可知粒子的加速度不变且不为零,因此粒子在x2~x3段做匀变速直线运动,C正确,D错误.
6.A　[解析] 从O运动到A过程中,随小球运动的位移x变化,电场强度E先增大后减小,且O和A点的电场强度不为零,故D错误;小球受到的竖直向上的电场力先增大后减小,还受到重力,电场力一直做负功,故小球的机械能一直减小,小球的机械能EJ随位移x变化的图像的斜率k==-F电,故A正确;小球的动能Ek随位移x变化的图像的斜率k'==F合,小球合力先变小后变大,故B错误;沿着电场线方向,电势一直降低,故C错误.
7.C　[解析] 因为试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动,先后经过A、B、C三点,结合题中图像可知,试探电荷离点电荷越来越近,而点电荷带负电,说明试探电荷带正电,A错误;沿着电场线方向电势降低,所以φA>φB>φC,B错误;根据牛顿第二定律得qE=ma,已知aC=3aA=1.5aB,可知A、B、C三点的电场强度关系为EC=3EA=1.5EB,故C正确;点电荷的电场强度公式为E=k,则a==,a 图像的斜率为,D错误.
8.B　[解析] 带负电的试探电荷在x2处动能为1.5 eV,电势能为-1 eV,总能量为0.5 eV,且试探电荷速度沿x轴正方向,在x2~x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力,做加速运动,在x3处速度最大,试探电荷继续运动到x3右侧,做减速运动,当速度为零时,电势能为0.5 eV,即运动到电势为-0.5 V处减速到零,开始向x轴负方向运动,反向回到x2处动能仍为1.5 eV,继续向左运动,在电势为-0.5 V处减速到零又反向,不会运动到x0、x1处,即试探电荷在x3点两侧往复运动,故选B.
9.D　[解析] 等量同种正点电荷的电场线分布如图所示,由图和对称性可知,x轴上O点处的场强为零,越靠近点电荷则电场强度越大,且每个点电荷两侧的电场强度方向以点电荷为中心对称,故A、B错误;由于两点电荷为等量同种正点电荷,可知x轴上的电势均大于0,根据沿电场方向电势降低可知,离正点电荷越近,电势越高,φ x图像中,图像的斜率表示电场强度,因此离点电荷越近,图像的斜率绝对值应越大,故C错误,D正确.
10.D　[解析] 设甲、乙两个带电小球间的距离为r,由动能定理可知Ek x图像的斜率表示合力,乙受到的合力F合=mgsin θ-k,所以在乙沿x轴加速下滑的过程中,两个带电小球间的距离r逐渐减小,F合逐渐减小,则Ek x图线的斜率应该逐渐减小,故A、B错误;由功能关系可知,小球乙机械能的变化量等于库仑力对小球乙做的功,库仑力对小球乙做负功,则小球乙的机械能减小,且小球乙的E x图线的斜率的绝对值表示库仑力的大小,在乙沿x轴加速下滑过程中,r逐渐减小,库仑力大小F=k逐渐增大,则E x图像的斜率的绝对值逐渐增大,故C错误,D可能正确.
11.AC　[解析] 带电小球由静止下落过程中,只受重力和电场力作用,由动能定理可知Ek x图像的切线斜率绝对值表示小球受到的合力大小,x=x1与x=x2处图线的切线均与x轴平行,则合力均为0,即电场力均与小球重力等大反向,则x1处与x2处场强相同,故A正确;由题图可知,从x1运动到x2,Ek x图像的切线斜率绝对值先增大后减小,则小球受到的合力先增大后减小,加速度先增大后减小,故C正确;由能量守恒定律可知,小球下落过程中,重力势能、电势能和动能之和保持不变,则小球从x1运动到x2,电势能的增加量等于动能减少量和重力势能减少量之和,即电势能增加量大于动能减少量E1-E2,小球从x0运动到O点,动能先增大后减小再增大,则电势能与重力势能之和先减小后增大再减小,故B、D错误.
12.C　[解析] Ep x图线斜率的绝对值表示滑块所受电场力的大小,所以滑块在x=1 m处所受电场力大小为F1=E1|q|==1 N,可得E1=10 V/m,A错误;滑块向右运动过程中,Ep x图线斜率的绝对值先减小后增大,则所受电场力先减小后增加,加速度先减小后增大,B错误;滑块从x=1 m的位置运动至x=3 m处的过程中,根据动能定理有W电=mv2-m,且W电=-(Ep3-Ep1)=1 J,解得滑块运动至x=3 m处时的速度大小为v=2 m/s,C正确;若滑块恰好到达x=5 m处,则W电'=-(Ep5-Ep1)=0-m,其中Ep1=2 J,解得滑块在x=5 m处的电势能Ep5=5 J,该处的电势为φ== V=-50 V,D错误.专题十二　静电场中图像综合问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　E x图像
E x图线与x轴围成的“面积”表示沿x轴方向的电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低根据电场强度方向判定.
例1　真空中有一固定的均匀带正电的球体,其半径为R,场强E沿半径r方向的分布如图所示,静电力常量为k,则 (　)
A.r1和r2两处电势相等
B.球体表面处电势最高
C.r1和r2两处电势差为E0(r2-r1)
D.该球所带的电荷量为Q=
[反思感悟] 　



　φ x图像
(1)电场强度的大小等于φ x图线的切线斜率的绝对值,如果图线是曲线,电场为非匀强电场;如果图线是倾斜的直线,电场为匀强电场(如图所示).切线的斜率为零时x轴上各处电场强度为零.
(2)在φ x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向,进而可以判断电荷在电场中的受力方向.(如图所示)
(3)电场中常见的φ x图像
①点电荷的φ x图像(取无限远处电势为零),如图.
②两个等量异种点电荷连线上的φ x图像,如图.
③两个等量同种点电荷的φ x图像,如图.
例2　[2024·湖南卷] 真空中有电荷量为+4q和-q的两个点电荷,分别固定在x轴上-1和0处.设无限远处电势为0,x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是 (　)
A
B
C
D
[反思感悟] 　

变式　两个所带电荷量相等的点电荷固定在x轴上A、B两点,A、B与坐标原点O的距离相等,以无穷远处为电势零点,x轴上各点电势φ随坐标x变化的图像如图所示,M、N是x轴上两点,其中M点比N点距离O点远,将一带负电的试探电荷沿x轴从M点移动到N点的过程中,下列说法中正确的是 (　)
A.试探电荷在M点受到的静电力比在N点大
B.试探电荷在M点具有的电势能比在N点大
C.试探电荷在M、N两点受到的静电力方向相同
D.静电力先做正功后做负功
[反思感悟] 　


　Ep x图像、Ek x图像
电场力做的功等于电势能的变化量,而电场力做功就是力对位移的累积,由Ep0-Ep=Fx,得Ep=Ep0-Fx,故Ep x图像的斜率的绝对值表示电场力大小,纵截距表示初始电势能;合力做功等于动能的变化量,如果带电粒子只受电场力的作用,则合力做的功就是电场力做的功,由Ek-Ek0=Fx,得Ek=Ek0+Fx,故Ek x图像的斜率表示电场力,纵截距表示初动能.根据两图像斜率的变化可判断出电场力的变化,进而判断出电场强度的变化.
例3　[2025·山东济南模拟] 如图甲所示,真空中有两点电荷q1、q2分别固定在x轴上的x=-5 m和x=-1 m处,将一正试探电荷q置于x轴上,q的电势能随位置的变化关系部分图像如图乙所示,规定无穷远处电势为零,点电荷周围某点电势公式φ=k,其中k为静电力常量,Q为点电荷的电荷量,r为该点到点电荷的距离.下列说法正确的是 (　)
A.q1、q2为同种电荷
B.q1、q2的电荷量之比q1∶q2=4∶1
C.x=-3 m处的电势低于x=0处的电势
D.除无限远外,x轴上电场强度为零的点只有一个
[反思感悟] 　

　电场分布与v t图像相结合问题
根据v t图像的速度变化、斜率变化(即加速度的变化),可确定电荷所受的电场力方向与电场力大小变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化.
例4　[2025·河南洛阳模拟] 如图甲所示,绝缘粗糙水平面上固定两个等量的正电荷,二者连线中点O处有一质量为m、电荷量大小为q的带电小物块(可视为质点),将小物块沿中垂线方向水平射出,途经A、B、C三点,小物块在A点速度最小,C点速度最大.小物块速度随时间变化的图像如图乙所示,整个图像在 B点的切线斜率绝对值最大.已知小物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.5,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　)
A.小物块在B点时的加速度最小
B.小物块可能带负电
C.A、C两点的电场强度大小均为
D.0~t1时间内,小物块的电势能一直增加
[反思感悟] 　专题十二　静电场中图像综合问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2025·海南卷] 某静电场电势φ在x轴上分布情况如图所示,图线关于φ轴对称,M、P、N是x轴上的三点,OM=ON.有一电子从M点静止释放,仅受x方向的电场力作用,则下列说法正确的是 (　)
A.P点电场强度方向沿x轴负方向
B.M点的电场强度小于N点的电场强度
C.电子在P点的动能小于在N点的动能
D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能
2.[2025·河南焦作模拟] A、B是某电场中一条电场线上的两点,一正电荷仅在电场力作用下,沿电场线从A点运动到B点,速度图像如图所示.下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势φ的高低的判断,正确的是 (　)
A.EA=EB
B.EAC.φA<φB
D.φA>φB
3.(多选)[2025·湖北十堰二模] 某一沿x轴方向的静电场,电势φ在x轴上的分布情况如图所示,B、C是x轴上的两点.一负电荷仅在电场力的作用下从B点运动到C点,该负电荷 (　)
A.在O点的速度最大
B.在B点受到的电场力小于在C点受到的电场力
C.在B点时的电势能小于在C点时的电势能
D.在B点时的动能小于在C点时的动能
4.(多选)[2025·安徽宣城模拟] 沿电场中某条直线电场线的方向建立x轴,该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示.将一个带电粒子从位置x3由静止释放,粒子仅在电场力的作用下由坐标位置x3运动到原点O的过程中,下列说法正确的是 (　)
A.该粒子带正电
B.粒子先加速后减速运动
C.粒子的电势能一直减小
D.坐标原点O和位置x2的电势差=
5.(多选)[2025·辽宁大连模拟] 一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动,其电势能Ep随位移x的变化如图所示,其中O~x2段是抛物线,x1处是顶点,x2~x3段是直线,且与抛物线相切.粒子由O运动到x3过程中,下列判断正确的是 (　)
A.x3处的电势最高
B.O~x1段粒子动能增大
C.x1~x2段粒子加速度增大
D.x2~x3段粒子做匀速直线运动
6.[2025·安徽名校联考] 竖直平面内有一电场,电场线分布如图所示,Ox轴竖直向下.一带负电的小球从O点由静止释放并沿Ox轴正方向运动,从O到A运动的过程中,下列关于小球的机械能EJ、动能Ek、电场的电势φ及电场强度E随小球运动的位移x变化的图像,可能正确的是 (　)
A
B
C
D
7.真空中固定一电荷量为Q的负点电荷,一电荷量为q、质量为m的试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动,先后经过A、B、C三点,其a 图像如图所示,a为试探电荷的加速度,r代表试探电荷与负点电荷间的距离,已知aC=3aA=1.5aB,则下列说法正确的是 (　)
A.试探电荷带负电
B.A、B、C三点的电势关系为φA<φB<φC
C.A、B、C三点的电场强度关系为EC=3EA=1.5EB
D.该图像的斜率代表负点电荷的电荷量与试探电荷质量的比值
8.[2024·重庆卷] 沿空间某直线建立x轴,该直线上的静电场方向沿x轴,其电势φ随位置x变化的图像如图所示,一电荷量为e、带负电的试探电荷,经过x2点时动能为1.5 eV,速度沿x轴正方向,若该电荷仅受电场力,则其将 (　)
A.不能通过x3点
B.在x3点两侧往复运动
C.能通过x0点
D.在x1点两侧往复运动
9.如图所示,等量同种点电荷放在x轴上,O点为中心,则两点电荷连线上的电场强度E、电势φ随x变化的关系图线可能正确的是 (　)
A
B
C
D
10.[2025·八省联考] 如图,一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上,另一带正电小球乙在斜面上由静止释放.以释放点为原点,沿斜面向下为正方向建立x轴.在乙沿x轴加速下滑过程中,其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像,可能正确的是 (　)
A
B
C
D
11.(多选)[2025·广东肇庆二模] 如图甲所示,一均匀带电圆环放置在水平面内,取圆环中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴,一带电小球从轴上x=x0处由静止释放,小球运动过程中的动能Ek与位置x的变化关系如图乙所示,图线上x=x1与x=x2处的切线与x轴平行,小球在x1、x2处的动能分别为E1、E2,不计空气阻力,下列说法正确的是 (　)
A.x1处与x2处场强相同
B.小球从x1运动到x2,电势能增加E1-E2
C.小球从x1运动到x2,加速度先增大后减小
D.小球从x0运动到O点,电势能与重力势能之和先减小后增大
12.[2025·湖北宜昌模拟] 如图甲所示,光滑绝缘水平面上有一带负电荷小滑块,在x=1 m处以初速度v0= m/s沿x轴正方向运动.小滑块的质量为m=2 kg、带电荷量为q=-0.1 C,可视为质点.整个区域存在沿水平方向的电场,图乙是滑块电势能Ep随位置x变化的部分图像,P点是图线的最低点,虚线AB是图像在x=1 m处的切线,并且AB经过(0,3)和(3,0)两点,g取10 m/s2.下列说法正确的是 (　)
A.x=1 m处的电场强度大小为20 V/m
B.滑块向右运动过程中,加速度先增大后减小
C.滑块运动至x=3 m处时,速度大小为2 m/s
D.若滑块恰好到达x=5 m处,则该处的电势为50 V

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