资源简介

(共83张PPT)
专题十三 带电粒子在电场中运动的综合
问题
题型一 电场中功能关系的综合问题
题型二 等效思想在电场中的应用
题型三 带电粒子的能量和动量综合问题
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
题型一 电场中功能关系的综合问题
电场力做 功的计算
电场中的 功能关系 (1)电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加，
即
(2)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者
总和不变，即
例1 [2025·四川卷] 如图所示，由长为的直管和半径为 的半圆形弯管
、组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接. 圆心
点处固定一电荷量为的带电小球.另一个电荷量为
且的带电小球以一定初速度从点进入管道，沿管道运动后从 点离开.忽略空气阻力.则( )
A.小球在点所受库仑力大于在 点所受库仑力
B.小球从点到 点电势能先不变后减小
C.小球过点的动能等于过 点的动能
D.小球过点的速度大于过 点的速度
√
[解析] 小球所受库仑力，由于，则小球在 点所受库仑力
小于在点所受库仑力，故A错误；因,所以距离越远,电势越低, 、
、为等势面，根据可知小球从点到 点，电势能先不变后减小，
故B正确；点距点相比点距点更远，故,根据 知
,又由能量守恒知，小球过 点的动能
大于过点的动能，故C错误；又 ，即
，由能量守恒知 ，即
，故D错误.
例2 [2025·湖北武汉调考] 如图所示，竖直面内有一长为、宽为 的
长方形，、分别为与的中点.四个电荷量均为未知 的
点电荷位于长方形的四个顶点，、处点电荷带正电，、 处点电荷带
负电. 一个质量为、电荷量为(可视为点电荷)的带电小球从 处由静
止释放，小球运动到中点 处时速度大小
为.已知重力加速度大小为 ，不计空气
阻力.
(1) 求、两点间的电势差 ；
[答案]
[解析] 小球从运动到，在 点时速度大小
由动能定理可得
解得
[解析] 由题意可知
小球从运动到 ，由动能定理得
联立解得
(2) 求小球到达点时的速度大小 ；
[答案]
(3) 已知在电荷量为 的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为
零时，距离该点电荷处的电势为，其中 为静电力常量，多个点电
荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数
和，求点电荷 的电荷量.
[答案]
[解析] 根据点电荷电势的定义可得，点的电势
点的电势
而
联立解得
题型二 等效思想在电场中的应用
1.等效重力场
2.举例
例3 [2025·河南新乡模拟] 如图所示，竖直平面内有
一半径为、圆心为的圆，为水平直径， 为竖
直直径.长为 的轻质细线一端系小球，另一端固定在
圆心.可视为质点的小球带电荷量为，质量为 .
电场强度方向水平向右、大小为 的匀强电场与圆所
在平面平行，且， 为重力加速度大小，则下列说法正确的是
( )
A.若小球从 点由静止释放，则在运动过程中，细线
与竖直方向的最大夹角是
B.要使小球做完整的圆周运动，小球在 点时至少应
以 的速度被水平抛出
C.若小球从点由静止释放，则到达 点时小球的速度
大小为
D.剪断细线，将小球从点以 的速度竖直向
上抛出，小球将经过 点
√
[解析] 设细线与竖直方向的最大夹角为 ，有
，解得 ，故A错误；由
可知，小球所受合力方向斜向下且与水平方向成 角，故当小球经过与
合力方向相反、位于和两点中间的点时速度最小，设为 ，有
，解得，小球从点到 点
的过程，由动能定理得
，
解得 ，故B错误；
小球从点由静止释放，沿直线运动，设到达点时小球的速度为 ，
由动能定理得，解得 ，故C错误；剪断细
线，小球在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做初速度为零、加
速度大小为 的匀加速直线运动，小球竖直向上运动
的时间，回到与 点同一水平线上时，水平位移
大小，故小球恰好经过
点，故D正确.
题型三 带电粒子的能量和动量综合问题
解决电场中的力电综合问题，常用以下几种观点分析解答：
(1)动力学的观点
①由于匀强电场中带电粒子(体)所受电场力和重力都是恒力，可用正交分
解法.
②综合运用牛顿运动定律和运动学公式，注意受力分析和运动分析，特别
注意是否需要考虑重力.
(2)能量的观点
①运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，
判断是对分过程还是对全过程使用动能定理.
②运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现.
(3)动量的观点
①运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各
个矢量必须选同一个正方向.
②运用动量守恒定律，要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，注意正方
向的选取.
例4 (多选)我国霍尔推进器技术世界领
先，其简化的工作原理如图所示.放电通
道两端电极间存在一加速电场，该区域
内有一与电场近似垂直的约束磁场
(未画出)用于提高工作物质被电离的比例.工作时，工作物质氙气进入放电
通道后被电离为氙离子，再经电场加速后喷出，形成推力.某次测试中，
氙气被电离的比例为，氙离子喷射速度为 ，推进器产生
的推力为.已知氙离子的比荷为 .计算时，取氙离子的
初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及离子之间的相互作用，则
( )
A.氙离子的加速电压约为
B.氙离子的加速电压约为
C.氙离子向外喷射形成的电流约为
D.每秒进入放电通道的氙气质量约为
√
√
[解析] 氙离子经电场加速，根据动能定理有 ，可得加速电
压为，故A正确，B错误；设在时间内，有质量为
的氙离子以速度喷射而出，形成的电流为 ，由动量定理可得
，设进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为 ，
则有 ，联立解得
，故D正确；设在 时间
内，有电荷量为 的氙离子喷射出，则有
，，联立解得 ，故C错误.
例5 [2024·安徽卷] 在某装置中的光滑绝缘水平面上，三个完全相同的带
电小球，通过不可伸长的绝缘轻质细线，连接成边长为 的正三角形，如
图甲所示.小球质量为，带电荷量为 ，可视为点电荷.初始时，小球均
静止，细线拉直.现将球1和球2间的细线剪断，当三个小球运动到同一条
直线上时，速度大小分别为、、 ，如图乙所示.该过程中三个小球
组成的系统电势能减少了， 为静电力常量，不计空气阻力.则( )
A.该过程中小球3受到的合力大小始终不变
B.该过程中系统能量守恒，动量不守恒
C.在图乙位置，，
D.在图乙位置，
√
[解析] 该过程中系统动能和电势能相互转化，能量守恒，对整个系统分
析可知系统受到的合外力为0，故动量守恒,故B错误；当三个小球运动到
同一条直线上时，根据对称性可知细线中的拉力相等，此时球3受到1和2
的电场力大小相等，方向相反，故可知此时球3受到的合力为0，球3从静
止状态开始运动，瞬间受到的合力不为0，故该过程中小球3受到的合力在
改变，故A错误；对系统根据动量守恒定律有 ,由球1和2
运动的对称性可知，解得 ,根据能量守恒定律有
，解得 ，故C错误，D正确.
例6 [2025·陕青宁晋卷] 如图所示，有两个电性相同且质量分别为、
的粒子、，初始时刻相距，粒子以速度 沿两粒子连线向速度为0
的粒子运动，此时、两粒子系统的电势能等于.经时间粒子
到达点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子 施加一恒力，方向与
速度方向相同.当粒子的速度为时，粒子恰好运动至 点且速度为0，
、粒子间距离恢复为 ，这时撤去恒力.己知任意两带电粒子系统的电
势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力.求：、、、 均为己知
量
(1) 粒子到达点时的速度大小 ；
[答案]
[解析] 根据动量守恒定律得
解得
(2) 时间内粒子的位移大小 ；
[答案]
[解析] 两者共速时设间距为 ，根据能量守恒定律可知，此时电势能为
根据题意电荷间的电势能与它们之间的距离成反比，则
两者共速前的过程系统始终动量守恒，则有
即
根据位移关系可知
联立解得
(3) 恒力作用的时间 .
[答案]
[解析] 全过程中对系统根据动能定理得
全过程中对系统根据动量定理得
联立解得
电场中功能关系的综合问题
1.(多选)[2023·全国乙卷] 在点处固定一个正点电荷，点在 点右上方.
从 点由静止释放一个带负电的小球.小球仅在重力和该点电荷电场力作用
下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示.、 是轨迹上的两点，
， ，则小球( )
A.在运动过程中，电势能先增加后减少
B.在点的电势能大于在 点的电势能
C.在点的机械能等于在 点的机械能
D.从点运动到 点的过程中，电场力始终不做功
√
√
[解析] 由图可知，带电小球从 点开始运动，下落时电场力对其先做正功，
后做负功，所以电势能先减少后增加，A错误；由于 ，所以带电
小球在点与点的电势能相等，由到 过程，电场力对小球做正功，电
势能减少，所以点的电势能大于点的电势能，即点的电势能也大于
点的电势能，B正确；
小球在运动过程中只有电场力和重力做功，所以只有电势能和机械能的相
互转化，由于电子在点和 点的电势能相等，所以在这两点的机械能也
相等，C正确；从点到点的运动过程，由于有重力作用，虽然点和
点离点距离相等，但此段轨迹不是以 为圆心的圆弧，所以它不是一个等
势线，电场力会做功，且先做正功后做负功，D错误.
2.如图所示，两个带等量正电荷的点电荷分别固定
在绝缘水平桌面上的、 两点，一绝缘圆形细管水
平固定在桌面上、两点间，且圆形细管圆心 位
于、连线的中点，细管与连线及 连线的中
A.小球从运动到 的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，点的电势比 点的电势低
C.小球在、 两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在、 两点所受的电场力相同
垂线交点分别为、、、 .一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做
完整的圆周运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
√
[解析] 带负电的小球从运动到 的过程中，电场力的方向一直与速度方
向的夹角是钝角，电场力一直做负功，所以小球的速度一直减小，A错误；
沿电场线电势降低，由等量正电荷的电场线的分布可知 ，B
错误；由对称性可知，则小球在、 两点的电势能相同，由能量
守恒定律可得小球在和 两点的动能相同，速度大小相等，C正确；等量
同种电荷的电场线如图所示，点电场线与 点电
场线方向相反，因此小球在、 两点所受的电场
力方向不同，D错误.
等效思想在电场中的应用
3.(多选)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在 点，在竖直
平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最
大.已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为 ，
小球质量为、带电荷量为，细线长为，重力加速度为 ，则( )
A.小球带正电
B.静电力大于重力
C.小球运动到最低点时速度最大
D.小球运动过程最小速度至少为
√
√
[解析] 因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和静
电力的合力(等效重力)方向向上，则静电力方向向上，且静电力大于重力，
由于电场方向向下，所以小球带负电，故A错误，B正确；因重力和静电
力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最
大，故C错误；由于等效重力方向竖直向上，所以小
球运动到最低点时速度最小，有 ，
所以最小速度 ，故D正
确.
4.如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为，、 两点
分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上、两点的连线过圆心
且与竖直方向的夹角为 .空间存在方向水平向右且平行于圆形轨道
所在平面的匀强电场，一质量为 的带负电小球(视为质点)恰好能沿轨道
内侧做完整的圆周运动，且小球通过点时速度最小.重力加速度大小为 .
下列说法正确的是( )
A.小球受到的电场力大小为
B.小球通过点时的速度大小为
C.小球在运动过程中的最大速度为
D.小球通过点时所受轨道的作用力大小为
√
[解析] 小球通过 点时速度最小，则在该点时电场力与重力的合力方向沿
半径方向，由平行四边形定则可知，小球受到的电场力大小为
，故A错误；小球通过点时速度最小，则 点为
竖直平面内圆周运动的等效最高点，小球恰好能做完整的圆周运动，在等
效最高点时有最小速度，此时电场力与重力的合力刚
好提供向心力，有，解得 ，
故B错误；
小球在等效最低点点时速度最大，小球从点到 点的过程中，由动能定
理得，联立解得最大速度 ，故C
错误；小球通过点时，由牛顿第二定律得 ，解得轨道
对小球的作用力 ，故D正确.
带电粒子的能量和动量综合问题
5.(多选)如图所示，在水平向右的匀
强电场中，一带正电粒子受重力和电
场力的作用在竖直平面内运动.粒子
运动过程中先后经过、、三点，其中、 两点在同一水平线上.粒子在
点的速度大小为，方向与加速度方向垂直；粒子在 点的速度大小为
，速度方向平行于连线.已知粒子质量为、电荷量为 ，重力加速
度为 ，则下列说法正确的是 ( )
A.电场强度的大小为
B.粒子在点的速度大小为
C.粒子从点运动到 点，合外力的冲量大小为
D.粒子从点运动到 点，电场力的冲量大小为
√
√
[解析] 粒子在点的速度方向与加速度方向垂直，则粒子从到 做类平抛
运动，粒子在点的速度大小为，在点的速度大小为，设粒子在
点的速度偏转角为 ，有，解得 ，由于粒子在 点的速
度方向与连线平行，故在点的速度方向与连线的夹角为 ，电场
力和重力的合力与竖直方向的夹角为 ，由力的合成可得
，解得电场强度
，选项A错误；
粒子在电场力作用下沿水平方向做匀加速直线运动，在重力作用下沿竖直
方向做竖直上抛运动，将粒子在点的速度分解为水平分速度 和竖直
分速度，则， ，在竖直
方向上，粒子从点运动到点与从点运动到 点具有对称性，两段时间
相等，则粒子运动到点的竖直分速度大小 ,在水平方向上，
粒子从点运动到点与从点运动到 点的水平速度增量相等，即
，解得粒子运动到点的水
平分速度大小 ，
所以粒子在点的速度大小 ，选项B正确；
粒子从点运动到 点，在竖直方向上，根据动量定理可知，重力的冲量
，在水平方向上，根据动量定理可知，电
场力的冲量 ，则合外力的冲量
，选项C错误，D正确.
6.如图所示，光滑圆弧轨道竖直固定，与水平面相切于最低点 ，半径
，空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度 ，
物体甲的质量为，带电荷量为，在 点右侧
处有一不带电的物体乙，质量为 ，物体乙右侧
处有一竖直固定挡板，甲物体从与圆心等高的 点以竖直向下
的速度 滑动，甲、乙与水
平面的动摩擦因数均为 ，所
有碰撞均无能量损失，且甲、乙碰
撞没有电荷转移,重力加速度 取
，求:
(1) 在圆形轨道最低点 ，物体甲受到轨道的支持力大小；
[答案]
[解析] 对物体甲，从点到 点，由动能定理得
在 点，根据牛顿第二定律得
解得
(2) 甲、乙第一次碰撞后各自的速度大小；
[答案] 0
[解析] 物体甲在水平面上向右运动，碰撞前，根据动能定理有
甲、乙碰撞过程中，根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得，
(3) 整个过程甲、乙在水平面上运动的总路程之和.
[答案]
[解析] 对物体甲受力分析得
则物体甲、乙最终停在挡板处，在整个过程，对甲、乙系统，由能量守恒
定律得
解得
作业手册
1.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为的带电小球以初速度
从点竖直向上运动，通过点时，速度大小为 ，方向与电场方向相反，
则小球从运动到 的过程( )
A.动能增加 B.机械能增加
C.重力势能增加 D.电势能增加
√
[解析] 带电小球以初速度从运动到 的过程中，竖直方向上只受重力，
水平方向上只受电场力，到达 点时，竖直方向上到了最高点，由运动学
公式有，所以重力势能增加量 ,水平方
向上有,所以电势能减少量 电
,C、D错误；减少的电
势能全部转化为小球的机械能，所以机械能增加了
，B正确；小球动能增加量
，A错误.
2.(多选)[2024·山东卷] 如图所示，带电荷量为的小球被绝缘棒固定在
点，右侧有固定在水平面上、倾角为 的光滑绝缘斜面.质量为 、带电
荷量为的小滑块从斜面上点由静止释放，滑到与小球等高的 点时加
速度为零，滑到点时速度为零.已知、间的距离为 ，重力加速度大小
为，静电力常量为 ，下列说法正确的是( )
A.、间的距离
B.、间的距离
C.从到，静电力对小滑块做功
D.、之间的电势差
√
√
[解析] 小滑块在 点处的加速度为零，则沿斜面方向有
,解得、间的距离 ，A正确，B错误；
小滑块从到 的过程，由动能定理有
,解得静电力对小滑块
做的功为 ,C错误；根据电场力
做功与电势差的关系可知，、 之间的
电势差 ，D正确.
3.(多选)[2025·重庆沙坪坝模拟] 如图，空间存在一匀强电场(图中未画出)，
一质量为的带电小球仅在重力和电场力的作用下运动，重力加速度为 ，
虚线与水平地面之间的夹角为 .若小球从虚线上某处静止释放，恰好
沿虚线向下运动.现将小球以大小为、方向与虚线之间的夹角为 的
初速度从图示位置抛出，则小球运动到最高点的过程中( )
A.小球的最小速度为
B.小球上升的高度可能为
C.重力和电场力做的总功为
D.小球所受合力的冲量大小为
√
√
√
[解析] 根据题意可知，小球静止释放沿虚线运动，则小球受到的重力、
电场力的合力沿虚线向下，沿虚线、垂直于虚线建立正交直角坐标系，小
球沿虚线做匀加速直线运动、垂直虚线做匀速直线运动，可知抛出时小球
的速度最小，即小球的最小速度为，故A错误；若电场方向与 方向相
同，如图甲所示，由几何关系有 ，竖直方向上加速度
，小球上升到最高点的高
度 ，故B正确；
设小球到达最高点时的速度大小为 ，方向水平向右，从抛出到运动到最
高点过程中小球速度的变化量大小为，由可知，的方向与 的
方向一致，即沿虚线向下，根据矢量三角形法则作出速度三角形，如图乙
所示，由几何关系可得， ，由动能定理可得，重力和电
场力做的总功为 ，由动量定理可得，小球所受
合力的冲量大小为 ，
故C、D正确.
4.(多选)[2025·河南名校联考] 如图所示，竖直平
面内有一光滑的圆形玻璃管道，管道圆心为 ，
半径为 ，管道半径远远大于玻璃管道内径.空
间存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为
.将小球置于玻璃管道最低点并给小球
一个初速度，使小球刚好能在玻璃管道内做完整
A.小球运动的最小速率为 B.小球具有的电势能最小为
C.小球具有的机械能最小为 D.小球对轨道的压力最小为0
的圆周运动.小球的质量为，电荷量为.取管道圆心 处
的电势为0，圆心所在水平面为重力势能的零势能面，重力加速度 取
，则下列说法正确的是( )
√
√
[解析] 小球所受电场力大小为，重力为 ，两个力的合
力为，方向沿左下方与水平方向夹角为 ，当小球运动到等效
最高点时速度最小，因细管对小球有支持力，可知到达 “最高点”时小球
运动的最小速率为零，选项A错误；小球运动到
与圆心等高的左侧位置时电势能最小，则具有的
电势能最小为
，选项B错误；
小球运动到与圆心等高的右侧位置时电势能最大，此时小球的机械能最小，
小球从“最高点”到该点由能量关系得
，解得 ，因该点的
重力势能为零，则小球在该点具有的机械能为
，选项C正确；小球对外侧轨道有压力时，
对内侧轨道的压力为零，小球对内侧轨道有压力
时，对外侧轨道的压力为零，则小球对轨道的压
力最小为0，选项D正确.
5.(多选)[2025·河北石家庄三模] 如图所示，在
倾角为 的固定绝缘斜面上，质量分别为
和的两个物块和 用与斜面平行的绝缘轻
质弹簧相连接，弹簧劲度系数为 (弹簧弹性势
能为，为形变量)，带电物块 下
表面光滑，不带电物块下表面粗糙.初始时物块和 静止在斜面上，物
块恰好不下滑.现在该空间加上沿斜面向上的匀强电场，物块 开始沿斜
面向上运动，运动到最高点时，物块 恰好不上滑.下列说法正确的是
( )
A.物块从开始到运动到点，运动的位移大小为
B.物块从开始到运动到点，运动的位移大小为
C.物块所受的电场力大小为
D.若仅将电场强度变为原来的2倍，物块运动到 点时的速度大小为
√
√
[解析] 设物块与斜面间的最大静摩擦力为 ，没有加电场时，设弹簧的
压缩量为，弹簧弹力为，对根据平衡条件有 ，
对根据平衡条件有 ，加上沿斜面向上的匀强电场
后，到达点时，设弹簧的伸长量为，弹簧弹力为，对 根据平衡
条件，物块 从开
始到运动到 点，运动的位移大小为
，联立可得 ，故
B正确，A错误；
设物块所受电场力为，物块 从初始状态到最高点过程中，根据能量守
恒定律有 ，解得 ，
故C错误；若仅将电场强度变为原来的2倍，物块从初始位置到 点过程，
根据动能定理得 ，
解得 ，故D正确.
6.[2025·广东卷] 如图是研究颗粒碰撞荷电特性
的装置的简化图.两块水平绝缘平板与两块竖直
的平行金属平板相接.金属平板之间接高压电源
产生匀强电场.一带电颗粒从上方绝缘平板左端
点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在 点处碰撞，碰撞时电
荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其
水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间倍 .已知
颗粒质量为，两绝缘平板间的距离为，两金属平板间的距离为 ，点与
左平板的距离为，电源电压为，重力加速度为 .忽略空气阻力和电场的
边缘效应.求：
(1) 颗粒碰撞前的电荷量 .
[答案]
[解析] 根据题意可知，粒子在竖直方向上做自
由落体运动，则有
水平方向上做匀加速直线运动，则有
解得
(2) 颗粒在点碰撞后的电荷量 .
[答案]
[解析] 根据题意可知，粒子与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为
水平分速度为
则第一次碰撞后竖直分速度为
设第一次碰撞后粒子速度方向与水平方向夹角为 ，则有
由于第一次碰撞后瞬间粒子所受合力与速度方向垂直，
则有
联立解得
(3) 颗粒从点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功 .
[答案] 或
[解析] 根据题意可知，由于 ，则第一次碰撞后粒子不能返回上绝缘
板，设从第一次碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为 ，则有
水平方向上做匀加速直线运动，加速度为
水平方向运动的距离为
(ⅰ)当 时,
第一次碰撞前电场力做功为
第一次碰撞到第二次碰撞前电场力做功为
则电场力对粒子做的功为
(ⅱ)当 时,颗粒打到右侧金属平板上
第一次碰撞前电场力做功为
第一次碰撞到第二次碰撞前电场力做功为
则电场力对粒子做的功为
7.[2025·湖北黄石二模] 如图所示，在光滑
水平面上放置一右端带有挡板的长直绝缘木
板，不带电，木板 左端上表面有一带正
电小物块(可视为质点)，带电荷量为 ，其到挡板的距离
为，、质量均为 ，不计一切摩擦.整个空间存在水平向
右的匀强电场，场强大小为.从时刻 开始运动起，
经过一段时间，与 的挡板发生碰撞，碰撞过程中无机械能损失，碰撞
时间极短(内力远大于电场力).重力加速度取 .
(1) 求物块与的挡板发生第一次碰撞后的瞬间，物块与木板 的速度大小；
[答案] 0
[解析] 根据题意可知，从 的左端开始运动到右端的过程，由动能定理
有
解得
与 第一次碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得，
(2) 求由、静止开始到物块与木板的挡板发生第二次碰撞经过的时间，并求出第二次碰后瞬间、 的速度大小；
[答案]
[解析] 第一次碰撞后向右以速度做匀速直线运动， 做初速
度为0、加速度为 的匀加速直线运动，设第一次碰撞到第
二次碰撞历时，则有
解得
而从、静止开始运动到第一次碰撞的时间
故、静止开始经物块 与
木板的挡板发生第二次碰撞，此时 的速
度大小为
的速度大小为
第二次碰撞时，同样由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得，
(3) 从物块开始运动到与木板的挡板发生第次碰撞时间内，物块 的电势能的改变量是多少？
[答案]
[解析] 同理第三次碰撞时有
解得
此时的速度大小为
由、静止开始到与 的挡板发生第3次碰
撞时间内，物块的速度随时间 的变化图像如图所示
此后以此类推.由以上分析可知，从第二次碰撞后，到下一次碰撞， 向
前运动的距离都比前一次多，由图像可知从 开始运动到第1次
碰撞，运动的距离为 ；
从第1次碰撞到第2次碰撞，运动的距离为 ；
从第2次碰撞到第3次碰撞，运动的距离为 ；
从第3次碰撞到第4次碰撞， 运动的距离为 ；
根据数学知识可知，从物块 开始运动到与木
板的挡板发生第 次碰撞时间内，物块运动
的距离
则物块的电势能的改变量为
解得
例1.B 例2.(1) (2) (3)
例3.D
例4.AD 例5.D 例6.(1) (2) (3)
基础巩固练
1.B 2.AD 3.BCD 4.CD
综合提升练
5.BD
6.(1) (2) (3)或
拓展挑战练
7.(1)0 (2)
(3)专题十三　带电粒子在电场中运动的综合问题
例1　B　[解析] 小球所受库仑力F=k,由于re>rb,则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力,故A错误;因Q>0,所以距离O越远,电势越低,b、c、d为等势面,根据Ep=φq可知小球从c点到e点,电势能先不变后减小,故B正确;f点距O点相比d点距O点更远,故φd>φf,根据Ep=φq知Epd>Epf,又由能量守恒知,小球过f点的动能大于过d点的动能,故C错误;又φa<φb,即EpaEkb,即va>vb,故D错误.
例2　(1)　(2)2　(3)
[解析] (1)小球从M运动到O,在O点时速度大小
v=
由动能定理可得mg·0.4l+qUMO=mv2
解得UMO=
(2)由题意可知UMN=2UMO
小球从M运动到N,由动能定理得
mg·0.8l+qUMN=m
联立解得vN=2
(3)根据点电荷电势的定义可得,M点的电势φM=
O点的电势φO=0
而UMO=φM-φO
联立解得Q=
例3　D　[解析] 设细线与竖直方向的最大夹角为θ,有-mgL(1-cos θ)+qELsin θ=0,解得θ=90°,故A错误;由qE=mg可知,小球所受合力方向斜向下且与水平方向成45°角,故当小球经过与合力方向相反、位于A和D两点中间的E点时速度最小,设为v1,有mg=m, 解得v1=,小球从C点到E点的过程,由动能定理得-mgL-qELsin 45°=m-m,解得v2=,故B错误;小球从A点由静止释放,沿直线AC运动,设到达C点时小球的速度为v3,由动能定理得mg·L=m,解得v3=2,故C错误;剪断细线,小球在竖直方向上做竖直上抛运动,在水平方向上做初速度为零、加速度大小为g的匀加速直线运动,小球竖直向上运动的时间t=,回到与A点同一水平线上时,水平位移大小x=a=g=2L,故小球恰好经过B点,故D正确.
例4　AD　[解析] 氙离子经电场加速,根据动能定理有qU=mv2-0,可得加速电压为U=≈175 V,故A正确,B错误;设在Δt时间内,有质量为Δm的氙离子以速度v喷射而出,形成的电流为I,由动量定理可得FΔt=Δmv-0,设进入放电通道的氙气质量为Δm0,被电离的比例为η,则有=η,联立解得=≈5.3×10-6 kg,故D正确;设在Δt时间内,有电荷量为ΔQ的氙离子喷射出,则有ΔQ=q,I=,联立解得I=≈3.7 A,故C错误.
例5　D　[解析] 该过程中系统动能和电势能相互转化,能量守恒,对整个系统分析可知系统受到的合外力为0,故动量守恒,故B错误;当三个小球运动到同一条直线上时,根据对称性可知细线中的拉力相等,此时球3受到1和2的电场力大小相等,方向相反,故可知此时球3受到的合力为0,球3从静止状态开始运动,瞬间受到的合力不为0,故该过程中小球3受到的合力在改变,故A错误;对系统根据动量守恒定律有mv1+mv2=mv3,由球1和2运动的对称性可知v1=v2,解得v3=2v1,根据能量守恒定律有mv12+m+m=,解得v3=,故C错误,D正确.
例6　(1)v0　(2)-l0　(3)
[解析] (1)根据动量守恒定律得
mv0=(m+4m)v1
解得v1=v0
(2)两者共速时设间距为l',根据能量守恒定律可知,此时电势能为Ep'=m+m-×5m=m
根据题意电荷间的电势能与它们之间的距离成反比,则l'=l0=l0
即mv0t1=mxA+4mxB
根据位移关系可知xB+l0=xA+l'
联立解得xB=-l0
(3)全过程中对系统根据动能定理得
Fl0=×4m-m
全过程中对系统根据动量定理得
Ft2=4mv0-mv0
联立解得t2=专题十三　带电粒子在电场中运动的综合问题
1.B　[解析] 带电小球以初速度v从M运动到N的过程中,竖直方向上只受重力,水平方向上只受电场力,到达N点时,竖直方向上到了最高点,由运动学公式有0-v2=-2gh,所以重力势能增加量ΔEpG=mgh=mv2,水平方向上有2x=(2v)2-0,所以电势能减少量ΔEp电=qEx=m(2v)2=2mv2,C、D错误;减少的电势能全部转化为小球的机械能,所以机械能增加了2mv2,B正确;小球动能增加量ΔEk=m(2v)2-mv2=mv2,A错误.
2.AD　[解析] 小滑块在B点处的加速度为零,则沿斜面方向有mgsin 30°= 30°,解得O、B间的距离l=,A正确,B错误;小滑块从A到C的过程,由动能定理有W+mgssin 30°=0,解得静电力对小滑块做的功为W=-,C错误;根据电场力做功与电势差的关系可知,A、C之间的电势差UAC==-,D正确.
3.BCD　[解析] 根据题意可知,小球静止释放沿虚线运动,则小球受到的重力、电场力的合力沿虚线向下,沿虚线、垂直于虚线建立正交直角坐标系,小球沿虚线做匀加速直线运动、垂直虚线做匀速直线运动,可知抛出时小球的速度最小,即小球的最小速度为v0,故A错误;若电场方向与v0方向相同,如图甲所示,由几何关系有mg=Eq=ma,竖直方向上加速度ay=asin 30°=g,小球上升到最高点的高度h==,故B正确;设小球到达最高点时的速度大小为v,方向水平向右,从抛出到运动到最高点过程中小球速度的变化量大小为Δv,由a=可知,Δv的方向与a的方向一致,即沿虚线向下,根据矢量三角形法则作出速度三角形,如图乙所示,由几何关系可得v=v0,Δv=v0,由动能定理可得,重力和电场力做的总功为W=mv2-m=m,由动量定理可得,小球所受合力的冲量大小为I=Δp=mΔv=mv0,故C、D正确.
甲
乙
4.CD　[解析] 小球所受电场力大小为F电=0.4 N,重力为G=0.3 N,两个力的合力为F=0.5 N,方向沿左下方与水平方向夹角为37°,当小球运动到等效最高点时速度最小,因细管对小球有支持力,可知到达 “最高点”时小球运动的最小速率为零,选项A错误;小球运动到与圆心等高的左侧位置时电势能最小,则具有的电势能最小为Epmin=Erq=× J=-0.6 J,选项B错误;小球运动到与圆心等高的右侧位置时电势能最大,此时小球的机械能最小,小球从“最高点”到该点由能量关系得mv2=mgrsin 37°-qEr(1-cos 37°),解得mv2=0.15 J,因该点的重力势能为零,则小球在该点具有的机械能为0.15 J,选项C正确;小球对外侧轨道有压力时,对内侧轨道的压力为零,小球对内侧轨道有压力时,对外侧轨道的压力为零,则小球对轨道的压力最小为0,选项D正确.
5.BD　[解析] 设物块Q与斜面间的最大静摩擦力为Ff,没有加电场时,设弹簧的压缩量为x1,弹簧弹力为FT1,对Q根据平衡条件有m2gsin θ+FT1=Ff,对P根据平衡条件有FT1=kx1=m1gsin θ,加上沿斜面向上的匀强电场后,P到达A点时,设弹簧的伸长量为x2,弹簧弹力为FT2,对Q根据平衡条件FT2=kx2=m2gsin θ+Ff,物块P从开始到运动到A点,运动的位移大小为x=x1+x2,联立可得x=,故B正确,A错误;设物块P所受电场力为F,物块P从初始状态到最高点过程中,根据能量守恒定律有Fx=k-k+m1gxsin θ,解得F=gsin θ,故C错误;若仅将电场强度变为原来的2倍,物块P从初始位置到A点过程,根据动能定理得2Fx--m1gxsin θ=m1v2-0,解得v=,故D正确.
6.(1)　(2)　(3)+4k2mgh+或 +
[解析] (1)根据题意可知,粒子在竖直方向上做自由落体运动,则有h=gt2
水平方向上做匀加速直线运动,则有=ma
l=at2
解得q=
(2)根据题意可知,粒子与绝缘板第一次碰撞时,竖直分速度为vy1=
水平分速度为vx1==
则第一次碰撞后竖直分速度为vy2=kvy1=k
设第一次碰撞后粒子速度方向与水平方向夹角为θ,则有tan θ==
由于第一次碰撞后瞬间粒子所受合力与速度方向垂直,则有tan θ==
联立解得Q=
(3)根据题意可知,由于k<1,则第一次碰撞后粒子不能返回上绝缘板,设从第一次碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为t',则有t'==2k
水平方向上做匀加速直线运动,加速度为a'==
水平方向运动的距离为
l'=vx1t'+a't'2=4kl+
(ⅰ)当l'=4kl+>d-l时,
第一次碰撞前电场力做功为W1=
第一次碰撞到第二次碰撞前电场力做功为W2=
则电场力对粒子做的功为
W=W1+W2=+4k2mgh+
(ⅱ)当l'=4kl+第一次碰撞前电场力做功为W1=
第一次碰撞到第二次碰撞前电场力做功为W3=
则电场力对粒子做的功为
W=W1+W3=+
7.(1)0　4 m/s　(2)3 s　8 m/s　4 m/s　(3)-[8+16n] J
[解析] (1)根据题意可知,B从A的左端开始运动到右端的过程,由动能定理有qEd=m
解得v0=4 m/s
B与A第一次碰撞过程,由动量守恒定律和机械能守恒定律有mv0=mvB+mvA
m=m+m
解得vB=0,vA=4 m/s
(2)第一次碰撞后A向右以速度vA=4 m/s做匀速直线运动,B做初速度为0、加速度为a==4 m/s2的匀加速直线运动,设第一次碰撞到第二次碰撞历时t,则有vAt=at2
解得t=2 s
而从A、B静止开始运动到第一次碰撞的时间t0==1 s
故A、B静止开始经T=t0+t=3 s物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞,此时B的速度大小为vB1=at=8 m/s
A的速度大小为vA1=vA=4 m/s
第二次碰撞时,同样由动量守恒定律和机械能守恒定律有mvA1+mvB1=mv A2+mvB2
m+m=m+m
解得vA2=8 m/s,vB2=4 m/s
(3)同理第三次碰撞时有vB2t'+at'2=vA2t'
解得t'=2 s
此时B的速度大小为vB3=vB2+at'=12 m/s
由A、B静止开始到B与A的挡板发生第3次碰撞时间内,物块B的速度v随时间t的变化图像如图所示
此后以此类推.由以上分析可知,从第二次碰撞后,到下一次碰撞,B向前运动的距离都比前一次多8 m,由v t图像可知从B开始运动到第1次碰撞,B运动的距离为2 m;
从第1次碰撞到第2次碰撞,B运动的距离为8 m;
从第2次碰撞到第3次碰撞,B运动的距离为8 m+8 m=16 m;
从第3次碰撞到第4次碰撞,B运动的距离为16 m+8 m=24 m;
根据数学知识可知,从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内,物块B运动的距离sB=2 m+8 m+16 m+24 m+…+8 m=[2+4n] m
则物块B的电势能的改变量为ΔEpB=-qEsB
解得ΔEpB=-[8+16n] J专题十三　带电粒子在电场中运动的综合问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　电场中功能关系的综合问题
电场 力做 功的 计算
电场 中的 功能 关系 (1)电场力做正功,电势能减少;电场力做负功,电势能增加,即W=-ΔEp (2)如果只有电场力做功,则动能和电势能之间相互转化,二者总和不变,即ΔEk=-ΔEp
例1　[2025·四川卷] 如图所示,由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内,管道间平滑连接.bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球.另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道,沿管道运动后从f点离开.忽略空气阻力.则 (　)
A.小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e点电势能先不变后减小
C.小球过f点的动能等于过d点的动能
D.小球过b点的速度大于过a点的速度
[反思感悟] 　

例2　[2025·湖北武汉调考] 如图所示,竖直面内有一长为1.2l、宽为0.8l的长方形ABCD,M、N分别为AD与BC的中点.四个电荷量均为Q(Q未知)的点电荷位于长方形的四个顶点,A、D处点电荷带正电, B、C处点电荷带负电.一个质量为m、电荷量为+q(可视为点电荷)的带电小球从M处由静止释放,小球运动到MN中点O处时速度大小为.已知重力加速度大小为g,不计空气阻力.
(1)求M、O两点间的电势差UMO;
(2)求小球到达N点时的速度大小vN;
(3)已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中,将无限远处的电势规定为零时,距离该点电荷r处的电势为φ=,其中k为静电力常量,多个点电荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和,求点电荷Q的电荷量.
　等效思想在电场中的应用
1.等效重力场
2.举例
例3　[2025·河南新乡模拟] 如图所示,竖直平面内有一半径为L、圆心为O的圆,AB为水平直径,CD为竖直直径.长为L的轻质细线一端系小球,另一端固定在圆心O.可视为质点的小球带电荷量为+q,质量为m.电场强度方向水平向右、大小为E的匀强电场与圆所在平面平行,且qE=mg,g为重力加速度大小,则下列说法正确的是 (　)
A.若小球从C点由静止释放,则在运动过程中,细线与竖直方向的最大夹角是60°
B.要使小球做完整的圆周运动,小球在C 点时至少应以v=2的速度被水平抛出
C.若小球从A点由静止释放,则到达C点时小球的速度大小为
D.剪断细线,将小球从A点以v=的速度竖直向上抛出,小球将经过B点
　带电粒子的能量和动量综合问题
解决电场中的力电综合问题,常用以下几种观点分析解答:
(1)动力学的观点
①由于匀强电场中带电粒子(体)所受电场力和重力都是恒力,可用正交分解法.
②综合运用牛顿运动定律和运动学公式,注意受力分析和运动分析,特别注意是否需要考虑重力.
(2)能量的观点
①运用动能定理,注意过程分析要全面,准确求出过程中的所有力做的功,判断是对分过程还是对全过程使用动能定理.
②运用能量守恒定律,注意题目中有哪些形式的能量出现.
(3)动量的观点
①运用动量定理,要注意动量定理的表达式是矢量式,在一维情况下,各个矢量必须选同一个正方向.
②运用动量守恒定律,要注意动量守恒定律的表达式是矢量式,注意正方向的选取.
例4　(多选)我国霍尔推进器技术世界领先,其简化的工作原理如图所示.放电通道两端电极间存在一加速电场,该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场(未画出)用于提高工作物质被电离的比例.工作时,工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子,再经电场加速后喷出,形成推力.某次测试中,氙气被电离的比例为95%,氙离子喷射速度为1.6×104 m/s,推进器产生的推力为80 mN.已知氙离子的比荷为7.3×105 C/kg.计算时,取氙离子的初速度为零,忽略磁场对离子的作用力及离子之间的相互作用,则 (　)
A.氙离子的加速电压约为175 V
B.氙离子的加速电压约为700 V
C.氙离子向外喷射形成的电流约为37 A
D.每秒进入放电通道的氙气质量约为5.3×10-6 kg
例5　[2024·安徽卷] 在某装置中的光滑绝缘水平面上,三个完全相同的带电小球,通过不可伸长的绝缘轻质细线,连接成边长为d的正三角形,如图甲所示.小球质量为m,带电荷量为+q,可视为点电荷.初始时,小球均静止,细线拉直.现将球1和球2间的细线剪断,当三个小球运动到同一条直线上时,速度大小分别为v1、v2、v3,如图乙所示.该过程中三个小球组成的系统电势能减少了,k为静电力常量,不计空气阻力.则 (　)
A.该过程中小球3受到的合力大小始终不变
B.该过程中系统能量守恒,动量不守恒
C.在图乙位置,v1=v2,v3≠2v1
D.在图乙位置,v3=
例6　[2025·陕青宁晋卷] 如图所示,有两个电性相同且质量分别为m、4m的粒子A、B,初始时刻相距l0,粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动,此时A、B两粒子系统的电势能等于m.经时间t1粒子B到达P点,此时两粒子速度相同,同时开始给粒子B施加一恒力,方向与速度方向相同.当粒子B的速度为v0时,粒子A恰好运动至P点且速度为0,A、B粒子间距离恢复为l0,这时撤去恒力.己知任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比,忽略两粒子所受重力.求:(m、l0、v0、t1均为己知量)
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1;
(2)t1时间内粒子B的位移大小xB;
(3)恒力作用的时间t2.专题十三　带电粒子在电场中运动的综合问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m的带电小球以初速度v从M点竖直向上运动,通过N点时,速度大小为2v,方向与电场方向相反,则小球从M运动到N的过程 (　)
A.动能增加mv2
B.机械能增加2mv2
C.重力势能增加mv2
D.电势能增加2mv2
2.(多选)[2024·山东卷] 如图所示,带电荷量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面.质量为m、带电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零.已知A、C间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是 (　)
A.O、B间的距离l=
B.O、B间的距离l=
C.从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
D.A、C之间的电势差UAC=-
3.(多选)[2025·重庆沙坪坝模拟] 如图,空间存在一匀强电场(图中未画出),一质量为m的带电小球仅在重力和电场力的作用下运动,重力加速度为g,虚线与水平地面之间的夹角为30°.若小球从虚线上某处静止释放,恰好沿虚线向下运动.现将小球以大小为v0、方向与虚线之间的夹角为60°的初速度从图示位置抛出,则小球运动到最高点的过程中 (　)
A.小球的最小速度为v0
B.小球上升的高度可能为
C.重力和电场力做的总功为m
D.小球所受合力的冲量大小为mv0
4.(多选)[2025·河南名校联考] 如图所示,竖直平面内有一光滑的圆形玻璃管道,管道圆心为O,半径为1.5 m,管道半径远远大于玻璃管道内径.空间存在水平向右的匀强电场,电场强度大小为4×106 N/C.将小球置于玻璃管道最低点并给小球一个初速度,使小球刚好能在玻璃管道内做完整的圆周运动.小球的质量为0.03 kg,电荷量为-1×10-7 C.取管道圆心O处的电势为0,圆心O所在水平面为重力势能的零势能面,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是 (　)
A.小球运动的最小速率为5 m/s
B.小球具有的电势能最小为0.6 J
C.小球具有的机械能最小为0.15 J
D.小球对轨道的压力最小为0
5.(多选)[2025·河北石家庄三模] 如图所示,在倾角为θ的固定绝缘斜面上,质量分别为m1和m2的两个物块P和Q用与斜面平行的绝缘轻质弹簧相连接,弹簧劲度系数为k(弹簧弹性势能为Ep=kx2,x为形变量),带电物块P下表面光滑,不带电物块Q下表面粗糙.初始时物块P和Q静止在斜面上,物块Q恰好不下滑.现在该空间加上沿斜面向上的匀强电场,物块P开始沿斜面向上运动,运动到最高点A时,物块Q恰好不上滑.下列说法正确的是 (　)
A.物块P从开始到运动到A点,运动的位移大小为
B.物块P从开始到运动到A点,运动的位移大小为
C.物块P所受的电场力大小为2(m1+m2)gsin θ
D.若仅将电场强度变为原来的2倍,物块P运动到A点时的速度大小为
6.[2025·广东卷] 如图是研究颗粒碰撞荷电特性的装置的简化图.两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接.金属平板之间接高压电源产生匀强电场.一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处,由静止开始向右下方运动,与下方绝缘平板在B点处碰撞,碰撞时电荷量改变,反弹后离开下方绝缘平板瞬间,颗粒的速度与所受合力垂直,其水平分速度与碰前瞬间相同,竖直分速度大小变为碰前瞬间k倍(k<1).已知颗粒质量为m,两绝缘平板间的距离为h,两金属平板间的距离为d,B点与左平板的距离为l,电源电压为U,重力加速度为g.忽略空气阻力和电场的边缘效应.求:
(1)颗粒碰撞前的电荷量q.
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q.
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中,电场力对它做的功W.
7.[2025·湖北黄石二模] 如图所示,在光滑水平面上放置一右端带有挡板的长直绝缘木板A,A不带电,木板A左端上表面有一带正电小物块B(可视为质点),带电荷量为q=+2×10-3 C,其到挡板的距离为d=2 m,A、B质量均为m=1 kg,不计一切摩擦.整个空间存在水平向右的匀强电场,场强大小为E=2×103 N/C.从t=0时刻B开始运动起,经过一段时间,B与A的挡板发生碰撞,碰撞过程中无机械能损失,碰撞时间极短(内力远大于电场力).重力加速度g取10 m/s2.
(1)求物块B与A的挡板发生第一次碰撞后的瞬间,物块B与木板A的速度大小;
(2)求由A、B静止开始到物块B与木板A的挡板发生第二次碰撞经过的时间,并求出第二次碰后瞬间A、B的速度大小;
(3)从物块B开始运动到与木板A的挡板发生第n次碰撞时间内,物块B的电势能的改变量是多少

展开更多......

收起↑