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广东珠海市夏湾中学2025-2026学年八年级下学期期中教学质量检测数学试题
1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为 ．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：2与π为常量，C与r为变量，
故答案为：C．
【分析】根据变量和常量的定义求解即可。
2．下列各图象中，不能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
C、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
故选：C．
【分析】本题考查了函数的概念，由 “垂直检验法”（判断函数图象的标准方法），在平面直角坐标系中，任意作一条垂直于 x 轴的直线，若这条直线与图像只有一个交点，说明每个 x 只对应一个 y，是函数；若这条直线与图像有两个或以上交点，说明存在一个 x 对应多个 y，不是函数。对四个选项的逐一检验，由检验结果，选项 C 不符合函数的定义，因此它不能表示 y 是 x 的函数。
3．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，5 B．8，15，18 C．7，24，25 D．5，13，15
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵选项A中，，，，
∴A不能作为直角三角形三边长；
∵选项B中，，，，
∴B不能作为直角三角形三边长；
∵选项C中，，，满足，
∴C可以作为直角三角形三边长；
∵选项D中，，，，
∴D不能作为直角三角形三边长．
【分析】解题关键是先找出每组数中的最长边，根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；若等式成立，则为直角三角形；若不成立，则不是.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】A、原式＝ ，所以A选项不符合题意；
B、原式＝ ，所以B选项不符合题意；
C、原式＝2，所以C选项不符合题意；
D、原式＝ ，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的化简运算，可得到结果。
5．在直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
作轴于点，则，，
在中，
，
故答案为：．
【分析】这道题主要考查点的坐标相关知识与勾股定理的应用，我们需要知道点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。按照题意，过点作轴，交轴于点，此时可以得到，，最后借助勾股定理即可计算得出结果。
6．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC B．AD∥BC，∠A=∠B
C．AD∥BC，∠A=∠C D．AD∥BC，AB∥CD
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A中，∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意；
B中，根据AD∥BC，∠A=∠B不能证明四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C中，∵AD∥BC，
∴ .
∵∠A=∠C，
∴ ，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
D中，∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可对A作出判断；一组对边平行的四边形不是平行四边形，可对B作出判断；然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可对C、D作出判断.
7．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图：菱形中，E、F、G、H分别是的中点，
，，，，
故四边形是平行四边形，
又，
，，
∴四边形是矩形．
故答案为：B．
【分析】本题核心考查菱形的性质与矩形的判定定理，正确掌握菱形性质以及三角形中位线定理是解这道题的关键。我们可以先画出对应图形：在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点，解题时先证明四边形是平行四边形，再结合“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”完成最终判定。
8．在中，若，则的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∵∠A＋∠C＝200°，
∴∠A=∠C=100°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=80．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的性质，可知对边平行，对角相等，由此可得AD∥BC，∠A=∠C=100°，据此即可完成求解．
9．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO=2MN=10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB=OD=5，∠ABC=90°，CD=10
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质可得BO=2MN=10，再证出△OCD是等边三角形，可得∠ACD=60°，再利用角的运算求出∠ACB=30°即可．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（　　）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：B
【分析】由折叠的性质可以得到对应边相等，也就是。我们可以设，因为CD总长为4，因此。接下来结合已知的比例关系，BC边长为4，计算可得。最后在直角三角形中，利用勾股定理建立方程，求解方程后就能得到CH的长度。
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．五边形的内角和为　 　．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
13．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则　 　cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
14．如图，四边形是菱形，，，于，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【分析】本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，需要注意菱形的面积有两种计算方式，分别为对角线乘积的一半，以及底乘高。已知四边形是菱形，对角线，，我们可以先据此求出菱形的面积，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出边长的长度，进而求解最终答案。
15．如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．则四边形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形、都是矩形，且两个矩形全等，
，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】首先根据矩形的性质，可以推出四边形是平行四边形，再通过AAS证明，即可得到一组邻边相等，进而判定四边形是菱形。接下来设，可得，在中，根据勾股定理有，代入可得方程，解出边长x的值后，利用菱形的面积公式计算，就能得到最终结果。
16．按要求完成作答：
（1）计算：；
（2）当，时，求代数式的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：由条件可得：，
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【分析】（1）由题目给出的二次根式混合运算，先通过二次根式的性质将和化为最简形式，再由同类二次根式的加减法则合并，最后由二次根式的除法法则计算出结果。（2）由题目给出的 x 和 y 的值，先计算出 x+y、x y 和 xy 的值，再由平方差公式 x2 y2=(x+y)(x y) 对代数式进行变形，最后代入化简后的式子计算，避免了直接代入展开复杂的计算。
（1）解：．
（2）解：由条件可得：，
．
17．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：．
【答案】【解答】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由平行四边形的性质，得到两组关键条件：AB∥CD 和 OA=OC，由 AB∥CD，推出内错角相等 ∠EAO=∠FCO，结合对顶角相等 ∠AOE=∠COF，与已得的 OA=OC，凑齐角 - 边 - 角（ASA）的全等判定条件，由 △AOE △COF，直接得出对应边 OE=OF。
18．小华与小明约定周末一起到学校打羽毛球．如图，过程是：小华骑自行车从家中出发，途经小明家，在小明家停留片刻后，与小明一起骑自行车来到学校，打完羽毛球后，小华沿原路骑自行车直接返回家
（1）小明家到学校有　 　米路程；
（2）小华在小明家停留了　 　分钟，与小明一起在学校打了　 　分钟的羽毛球；
（3）求：小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟多少米．
【答案】（1）1000
（2）5；55
（3）解：（米/分钟）．
小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟200米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：小华家到小明家的距离为 1000 米（t=5 分钟时，s=1000 米），小华家到学校的距离为 2000 米（t=10 分钟时，s=2000 米），因此，小明家到学校的路程为：2000 - 1000 = 1000 米.
故答案为：1000.
（2）由图象可得：小华从家中骑自行车到小明家用了5分钟，
在小明家停留了（分钟），
与小明一起在学校打了（分钟）的羽毛球；
故答案为：5；55.
【分析】 (1)由图像中 s t 关系，找到小华家到小明家（s=1000 米）和小华家到学校（s=2000 米）的距离，通过作差得到小明家到学校的路程.
(2)由图像中水平线段（路程不变）的时间差，分别计算在小明家（t=5 到 t=10）和在学校（t=15 到 t=70）的停留时间.
(3)由图像中返回段的路程（2000 米）和时间（t=70 到 t=80，共 10 分钟），代入速度公式计算平均速度.
（1）解：由图象可得：小明家到学校有（米）；
（2）解：由图象可得：小华从家中骑自行车到小明家用了5分钟，
在小明家停留了（分钟），
与小明一起在学校打了（分钟）的羽毛球；
（3）解：（米/分钟）．
答：小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟200米．
19．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．
（1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
①，，E、F为垂足；②；③．
符合条件的选项有：　 　．
（2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ，
证明过程如下：
【答案】（1）①②
（2）解：我选择①，证明过程如下：∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
我选择②，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可．
(1)条件③的排除逻辑：仅 AE=CF 无法证明 AE∥CF，不满足平行四边形的判定条件，所以符合条件的选项有：①②.
(2)条件①，由垂直于同一直线的两直线平行，得 AE∥CF；再由平行四边形 ABCD 的性质，通过 AAS 证 △ABE △CDF，得 AE=CF；最后由 “一组对边平行且相等” 判定四边形 AFCE 为平行四边形.条件②，由平行四边形 ABCD 的性质，结合 BE=DF，通过 SAS 证 △ABE △CDF，得 AE=CF 且 ∠AEB=∠CFD；由等角的补角相等，得 ∠AEF=∠CFE，从而 AE∥CF；再由 “一组对边平行且相等” 判定平行四边形.
（1）解：符合条件的选项有：①②；
（2）解：我选择①，证明过程如下：
∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
我选择②，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20．如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若，，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴ 四边形为平行四边形．
∵，BD为AC边上的中线，
∴，
∴ 四边形为菱形．
（2）解：连接DE交BC于O点，如图
∵ 四边形为菱形，，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先利用“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可完成判定。
（2）连接DE后，结合菱形的性质，再用勾股定理计算即可得到结果。
21．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．
（1）在这个变化中，自变量是 ；
（2）当点运动的路程时，的面积为 ；
（3）求的长和梯形的面积．
【答案】（1）
（2）16
（3）根据图象可得：，此时为，
∴，即，
解得：，
由图象可得：，
则．
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；多边形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵点运动的路程为，的面积为，
∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数，
∴自变量为，
故答案为：.
（2）根据图象可知，点运动的路程时，的面积为.
故答案为：.
【分析】（1）由题目描述：点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为y，由函数的定义，y的值会随着x的变化而变化，且每个x对应唯一的y，由函数中自变量的定义，主动变化的量是自变量，因此自变量是点 P 运动的路程x.
（2）由函数图象的横轴和纵轴含义，横轴x是点 P 的路程，纵轴y是△ABP 的面积，由图象的特征，当x=4时，图象到达最高点，且保持水平，此时的y值恒定为16，由图象读取，直接得到当x=4时，y=16.
（3）由图象转折点的意义，x=4对应点 P 运动到 C 点，因此BC=4；x=9对应点 P 运动到 D 点，因此CD=9 4=5.
由三角形面积公式求 AB，当x=4时，S△ABP=16，代入公式S=×AB×BC，解得AB=8.由梯形面积公式求总面积，直角梯形的高为BC=4，上底CD=5，下底AB=8，代入公式计算即可得到结果.
（1）解：∵点运动的路程为，的面积为，
∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数，
∴自变量为，
故答案为：；
（2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得：，此时为，
∴，即，解得：，
由图象可得：，
则．
22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简： ______；______；
（2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
（3）当时，化简：．
【答案】（1），
（2）解：矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）解：当时
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
【分析】（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可．
（2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可．
（3）把各分母先有理化再进行加减运算．
（1）解：，
（2）矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）当时
23．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，．
（1）的长为，的长为（用含t的代数式表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）∵点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动∴，
∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，
∴，
∵，
∴；
（2）能．理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
若使平行四边形为菱形，则需，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴
根据，可得，
解得．
即当时，四边形为菱形；
（3）①当时，即有，如图
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴；
②当时，即，如图
由（2）得，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
③当时，此种情况不存在．
综上所述，当或时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）由动点运动速度、时间表示线段AE、CD，由Rt△DFC中∠C=30 直角三角形边角性质，推导DF与CD数量关系，代入CD=2t，得到含t的DF表达式.（2）由AB⊥BC、DF⊥BC，推AE∥DF；再由AE=DF，证四边形AEFD是平行四边形；由Rt△ABC已知边长、30 角，借助勾股定理算出定长AC；由CD=2t，表示AD=AC CD；由菱形需要平行四边形一组邻边相等，列AE=AD方程，解方程求t.
（3）由直角三角形直角顶点不确定，分∠EDF=90 、∠DEF=90 、∠EFD=90 三类分类讨论；①由∠EDF=90 、DF⊥BC，推出DE∥BC，转化出△ADE含30 特殊直角三角形，利用边角关系列AE与AD等式求t；②由∠DEF=90 、平行四边形EF∥AD，转换角度，在△ADE中构造30 直角边关系，列式计算t；③由∠EFD=90 结合图形动点范围，验证该情况不存在，舍去；最后汇总有效t取值.
（1）解：∵点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动
∴
∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动
∴
∵，
∴；
（2）解：能．理由如下：
∵，
∴
∵，
∴
∴四边形为平行四边形
若使平行四边形为菱形，则需
∵，，
∴，
∴
∴
∴
根据，可得，
解得．
即当时，四边形为菱形；
（3）解：①当时，即有，如图
∴
∴
∴
∴在中，
∵，
∴，
∴；
②当时，即，如图
由（2）得，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
解得；
③当时，此种情况不存在．
综上所述，当或时，为直角三角形．
1 / 1广东珠海市夏湾中学2025-2026学年八年级下学期期中教学质量检测数学试题
1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为 ．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量
2．下列各图象中，不能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，5 B．8，15，18 C．7，24，25 D．5，13，15
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．
6．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC B．AD∥BC，∠A=∠B
C．AD∥BC，∠A=∠C D．AD∥BC，AB∥CD
7．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．在中，若，则的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
9．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
10．如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（　　）
A．3 B． C．1 D．2
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．五边形的内角和为　 　．
13．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则　 　cm．
14．如图，四边形是菱形，，，于，则　 　．
15．如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．则四边形的面积是　 　．
16．按要求完成作答：
（1）计算：；
（2）当，时，求代数式的值．
17．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：．
18．小华与小明约定周末一起到学校打羽毛球．如图，过程是：小华骑自行车从家中出发，途经小明家，在小明家停留片刻后，与小明一起骑自行车来到学校，打完羽毛球后，小华沿原路骑自行车直接返回家
（1）小明家到学校有　 　米路程；
（2）小华在小明家停留了　 　分钟，与小明一起在学校打了　 　分钟的羽毛球；
（3）求：小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟多少米．
19．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．
（1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
①，，E、F为垂足；②；③．
符合条件的选项有：　 　．
（2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ，
证明过程如下：
20．如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若，，求DE的长．
21．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．
（1）在这个变化中，自变量是 ；
（2）当点运动的路程时，的面积为 ；
（3）求的长和梯形的面积．
22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简： ______；______；
（2）矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
（3）当时，化简：．
23．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作于点F，连接，．
（1）的长为，的长为（用含t的代数式表示）；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：2与π为常量，C与r为变量，
故答案为：C．
【分析】根据变量和常量的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
C、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数；
故选：C．
【分析】本题考查了函数的概念，由 “垂直检验法”（判断函数图象的标准方法），在平面直角坐标系中，任意作一条垂直于 x 轴的直线，若这条直线与图像只有一个交点，说明每个 x 只对应一个 y，是函数；若这条直线与图像有两个或以上交点，说明存在一个 x 对应多个 y，不是函数。对四个选项的逐一检验，由检验结果，选项 C 不符合函数的定义，因此它不能表示 y 是 x 的函数。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵选项A中，，，，
∴A不能作为直角三角形三边长；
∵选项B中，，，，
∴B不能作为直角三角形三边长；
∵选项C中，，，满足，
∴C可以作为直角三角形三边长；
∵选项D中，，，，
∴D不能作为直角三角形三边长．
【分析】解题关键是先找出每组数中的最长边，根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；若等式成立，则为直角三角形；若不成立，则不是.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【解答】A、原式＝ ，所以A选项不符合题意；
B、原式＝ ，所以B选项不符合题意；
C、原式＝2，所以C选项不符合题意；
D、原式＝ ，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的化简运算，可得到结果。
5．【答案】B
【知识点】点的坐标；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
作轴于点，则，，
在中，
，
故答案为：．
【分析】这道题主要考查点的坐标相关知识与勾股定理的应用，我们需要知道点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。按照题意，过点作轴，交轴于点，此时可以得到，，最后借助勾股定理即可计算得出结果。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A中，∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意；
B中，根据AD∥BC，∠A=∠B不能证明四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
C中，∵AD∥BC，
∴ .
∵∠A=∠C，
∴ ，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
D中，∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可对A作出判断；一组对边平行的四边形不是平行四边形，可对B作出判断；然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可对C、D作出判断.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图：菱形中，E、F、G、H分别是的中点，
，，，，
故四边形是平行四边形，
又，
，，
∴四边形是矩形．
故答案为：B．
【分析】本题核心考查菱形的性质与矩形的判定定理，正确掌握菱形性质以及三角形中位线定理是解这道题的关键。我们可以先画出对应图形：在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点，解题时先证明四边形是平行四边形，再结合“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”完成最终判定。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∵∠A＋∠C＝200°，
∴∠A=∠C=100°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=80．
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的性质，可知对边平行，对角相等，由此可得AD∥BC，∠A=∠C=100°，据此即可完成求解．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO=2MN=10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB=OD=5，∠ABC=90°，CD=10
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质可得BO=2MN=10，再证出△OCD是等边三角形，可得∠ACD=60°，再利用角的运算求出∠ACB=30°即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：B
【分析】由折叠的性质可以得到对应边相等，也就是。我们可以设，因为CD总长为4，因此。接下来结合已知的比例关系，BC边长为4，计算可得。最后在直角三角形中，利用勾股定理建立方程，求解方程后就能得到CH的长度。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
12．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，AB=4，AD=7，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴BC=CF，
∴AD=CF=CD+DF
∴7=4+DF，
∴DF=3
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，由平行线的性质、角平分线的定义证出，从而根据等腰三角形判定“等角对等边”得BC=CF，进而得AD=CF=CD+DF，代入AD、CD的值，即可求DF的值.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【分析】本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，需要注意菱形的面积有两种计算方式，分别为对角线乘积的一半，以及底乘高。已知四边形是菱形，对角线，，我们可以先据此求出菱形的面积，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出边长的长度，进而求解最终答案。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形、都是矩形，且两个矩形全等，
，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】首先根据矩形的性质，可以推出四边形是平行四边形，再通过AAS证明，即可得到一组邻边相等，进而判定四边形是菱形。接下来设，可得，在中，根据勾股定理有，代入可得方程，解出边长x的值后，利用菱形的面积公式计算，就能得到最终结果。
16．【答案】（1）解：．
（2）解：由条件可得：，
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【分析】（1）由题目给出的二次根式混合运算，先通过二次根式的性质将和化为最简形式，再由同类二次根式的加减法则合并，最后由二次根式的除法法则计算出结果。（2）由题目给出的 x 和 y 的值，先计算出 x+y、x y 和 xy 的值，再由平方差公式 x2 y2=(x+y)(x y) 对代数式进行变形，最后代入化简后的式子计算，避免了直接代入展开复杂的计算。
（1）解：．
（2）解：由条件可得：，
．
17．【答案】【解答】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由平行四边形的性质，得到两组关键条件：AB∥CD 和 OA=OC，由 AB∥CD，推出内错角相等 ∠EAO=∠FCO，结合对顶角相等 ∠AOE=∠COF，与已得的 OA=OC，凑齐角 - 边 - 角（ASA）的全等判定条件，由 △AOE △COF，直接得出对应边 OE=OF。
18．【答案】（1）1000
（2）5；55
（3）解：（米/分钟）．
小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟200米．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：小华家到小明家的距离为 1000 米（t=5 分钟时，s=1000 米），小华家到学校的距离为 2000 米（t=10 分钟时，s=2000 米），因此，小明家到学校的路程为：2000 - 1000 = 1000 米.
故答案为：1000.
（2）由图象可得：小华从家中骑自行车到小明家用了5分钟，
在小明家停留了（分钟），
与小明一起在学校打了（分钟）的羽毛球；
故答案为：5；55.
【分析】 (1)由图像中 s t 关系，找到小华家到小明家（s=1000 米）和小华家到学校（s=2000 米）的距离，通过作差得到小明家到学校的路程.
(2)由图像中水平线段（路程不变）的时间差，分别计算在小明家（t=5 到 t=10）和在学校（t=15 到 t=70）的停留时间.
(3)由图像中返回段的路程（2000 米）和时间（t=70 到 t=80，共 10 分钟），代入速度公式计算平均速度.
（1）解：由图象可得：小明家到学校有（米）；
（2）解：由图象可得：小华从家中骑自行车到小明家用了5分钟，
在小明家停留了（分钟），
与小明一起在学校打了（分钟）的羽毛球；
（3）解：（米/分钟）．
答：小华在回家时，骑自行车的平均速度是每分钟200米．
19．【答案】（1）①②
（2）解：我选择①，证明过程如下：∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
我选择②，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可．
(1)条件③的排除逻辑：仅 AE=CF 无法证明 AE∥CF，不满足平行四边形的判定条件，所以符合条件的选项有：①②.
(2)条件①，由垂直于同一直线的两直线平行，得 AE∥CF；再由平行四边形 ABCD 的性质，通过 AAS 证 △ABE △CDF，得 AE=CF；最后由 “一组对边平行且相等” 判定四边形 AFCE 为平行四边形.条件②，由平行四边形 ABCD 的性质，结合 BE=DF，通过 SAS 证 △ABE △CDF，得 AE=CF 且 ∠AEB=∠CFD；由等角的补角相等，得 ∠AEF=∠CFE，从而 AE∥CF；再由 “一组对边平行且相等” 判定平行四边形.
（1）解：符合条件的选项有：①②；
（2）解：我选择①，证明过程如下：
∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
我选择②，证明过程如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴ 四边形为平行四边形．
∵，BD为AC边上的中线，
∴，
∴ 四边形为菱形．
（2）解：连接DE交BC于O点，如图
∵ 四边形为菱形，，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先利用“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可完成判定。
（2）连接DE后，结合菱形的性质，再用勾股定理计算即可得到结果。
21．【答案】（1）
（2）16
（3）根据图象可得：，此时为，
∴，即，
解得：，
由图象可得：，
则．
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；多边形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵点运动的路程为，的面积为，
∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数，
∴自变量为，
故答案为：.
（2）根据图象可知，点运动的路程时，的面积为.
故答案为：.
【分析】（1）由题目描述：点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为y，由函数的定义，y的值会随着x的变化而变化，且每个x对应唯一的y，由函数中自变量的定义，主动变化的量是自变量，因此自变量是点 P 运动的路程x.
（2）由函数图象的横轴和纵轴含义，横轴x是点 P 的路程，纵轴y是△ABP 的面积，由图象的特征，当x=4时，图象到达最高点，且保持水平，此时的y值恒定为16，由图象读取，直接得到当x=4时，y=16.
（3）由图象转折点的意义，x=4对应点 P 运动到 C 点，因此BC=4；x=9对应点 P 运动到 D 点，因此CD=9 4=5.
由三角形面积公式求 AB，当x=4时，S△ABP=16，代入公式S=×AB×BC，解得AB=8.由梯形面积公式求总面积，直角梯形的高为BC=4，上底CD=5，下底AB=8，代入公式计算即可得到结果.
（1）解：∵点运动的路程为，的面积为，
∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数，
∴自变量为，
故答案为：；
（2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得：，此时为，
∴，即，解得：，
由图象可得：，
则．
22．【答案】（1），
（2）解：矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）解：当时
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
【分析】（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可．
（2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可．
（3）把各分母先有理化再进行加减运算．
（1）解：，
（2）矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）当时
23．【答案】（1）∵点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动∴，
∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，
∴，
∵，
∴；
（2）能．理由如下：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
若使平行四边形为菱形，则需，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴
根据，可得，
解得．
即当时，四边形为菱形；
（3）①当时，即有，如图
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴；
②当时，即，如图
由（2）得，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
③当时，此种情况不存在．
综上所述，当或时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）由动点运动速度、时间表示线段AE、CD，由Rt△DFC中∠C=30 直角三角形边角性质，推导DF与CD数量关系，代入CD=2t，得到含t的DF表达式.（2）由AB⊥BC、DF⊥BC，推AE∥DF；再由AE=DF，证四边形AEFD是平行四边形；由Rt△ABC已知边长、30 角，借助勾股定理算出定长AC；由CD=2t，表示AD=AC CD；由菱形需要平行四边形一组邻边相等，列AE=AD方程，解方程求t.
（3）由直角三角形直角顶点不确定，分∠EDF=90 、∠DEF=90 、∠EFD=90 三类分类讨论；①由∠EDF=90 、DF⊥BC，推出DE∥BC，转化出△ADE含30 特殊直角三角形，利用边角关系列AE与AD等式求t；②由∠DEF=90 、平行四边形EF∥AD，转换角度，在△ADE中构造30 直角边关系，列式计算t；③由∠EFD=90 结合图形动点范围，验证该情况不存在，舍去；最后汇总有效t取值.
（1）解：∵点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动
∴
∵点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动
∴
∵，
∴；
（2）解：能．理由如下：
∵，
∴
∵，
∴
∴四边形为平行四边形
若使平行四边形为菱形，则需
∵，，
∴，
∴
∴
∴
根据，可得，
解得．
即当时，四边形为菱形；
（3）解：①当时，即有，如图
∴
∴
∴
∴在中，
∵，
∴，
∴；
②当时，即，如图
由（2）得，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
解得；
③当时，此种情况不存在．
综上所述，当或时，为直角三角形．
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