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广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是
A．1 B．-1 C．i D．-i
2．如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（　　）
A．400件 B．600件 C．1000件 D．1200件
4．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（　　）
A． B． C． D．
5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　）
A．2 B．8 C．或 D．2或8
6．在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（　　）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
8．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（　　）
A．出现点数5 B．出现点数6 C．出现点数1 D．出现点数2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则
B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限
C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件
D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则
10．下列论述正确的是（　　）
A．若事件，则
B．必然事件与任意事件相互独立
C．若事件M，N互斥，且，，则
D．若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥
11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（　　）
A．平面
B．直线与底面所成的角为60°
C．正三棱台的外接球体积为
D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是　 　.
13．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为　 　.
14．已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在长方体中，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若的面积为，，且，求.
17．一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同.
（1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；
（2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n；
（3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值.
18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求x的值；
（2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）；
（i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性；
（ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值.
19．在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、.
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
（3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：=，则它的虚部是1．
故选：A
【分析】利用复数的乘法运算计算，进而即可求得该复数的虚部.
2．【答案】C
【知识点】单位向量；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，向量不等于数字，故选项A错误；
B，向量，方向不一定相同，故选项B错误；
C，，，所以 ，故选项C正确；
D，，两向量夹角未知，故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据向量的定义即可判断选项A；根据单位向量的定义即可判断选项B；根据向量的数量积运算即可判断选项CD.
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知，第一分厂生产的电子产品件数为件.
故选：C.
【分析】利用分层随机抽样的定义计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立，
所以，
所以.
故选：A
【分析】根据题意可知事件A，B独立，进而由独立事件乘法公式得到，进而利用计算即可求得.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或，
若夹角为0，已知
则，
若夹角为，，
则．
故答案为：D．
【分析】利用夹角两两相等可得三向量两两夹角为0或，再利用向量求模公式即可求解．
6．【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体为两个共同底面的圆锥，
由勾股定理可知，
设边上的高为，，则，
所以旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径，母线长分别为和，
则这个几何体的表面积.
故选：A.
【分析】旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，求出底面半径，进而利用圆锥侧面积公式计算即可求解.
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：A，依题意，，则，故选项A错误；
B，由时，得，即，而，则，故选项B错误；
C，，令，得，
解得，则，解得，
即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，故选项C错误；
D，由，得，即，
则，解得，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，故选项D正确.
故选：D
【分析】根据给定条件可得，进而利用周期公式即可求得，可判断选项A；当t=0时，d=1.5代入即可求得的值可判断选项B；结合正弦函数的性质解求得t的值即可判断选项C；结合正弦函数的性质解不等式即可判断选项D.
8．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设5次点数分别为平均数为，所以，方差，所以，
因为，故不可能出现点数6，
故选：B.
【分析】利用方差公式计算即可.
9．【答案】A,D
【知识点】充要条件；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，，则，故选项A正确；
B，在平面内对应的点在第一象限，故选项B正确；
C，是复数（a，）为虚数的充要条件，故选项C正确；
D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为，
则，解得，因此，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】先根据复数的乘法运算求得复数z，进而根据复数的模长公式计算即可判断选项A；根据复数的加法运算求得 ，进而即可判断选项B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断选项C；方程另一根为，进而利用韦达定理列式计算求得q和p即可判断选项D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A，由事件，得，当且仅当取等号，故选项A错误；
B，对任意事件，，，所以必然事件与任意事件相互独立，故选项B正确；
C，由事件M，N互斥，得，，故选项C正确；
D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，故选项D正确.
故选：BCD
【分析】利用概率的性质判断选项A；利用相互独立事件，必然事件与任意事件的意义即可判断选项B；互斥事件的性质和对立事件的概率运算判断选项C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义计算即可判断选项D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A，假设平面，而平面，则平面平面，
与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，故选项A错误；
B，如图所示，设三棱台上下底面中心分别为，.连接，，，，
上下底面均为正三角形，则，.
已知侧棱长，由正三棱台性质可知，上下底面.
直角梯形中，.
直线与底面的角为与投影的夹角θ，
在中，，所以，故选项B正确；
C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R. 设，则.
由，，.
在直角梯形中，
则，，即，
所以外接球体积，故选项C正确；
D，因为，，.
交线圆半径，圆心为在底面的投影（）.
底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算.
12．【答案】19
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将样本数据由小到大排列为：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，
由，得该组数据的第80百分位数是.
故答案为：19
【分析】将数据从小到大排列，进而利用百分位数的意义计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心，分别以1和为半径的两个圆构成的圆环，
所以所求面积为.
故答案为：
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义可知在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心，分别以1和为半径的两个圆构成的圆环，利用圆的面积公式计算即可求解.
14．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：显然，所以，
因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角，
当为钝角时，，即，即，因为c>0，解得，
又，故，故，故，
此时的周长取值范围是，即，
当为钝角时，，即，即，因为c>0，解得，
又，故，
此时的周长取值范围是，
综上，的周长取值范围是，
故答案为：
【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围.
15．【答案】（1）证明：在长方体中，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：在长方体中，由，得，，
等腰的面积，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先证得，进而根据线面平行的判定定理即可证得直线平面；
（2）利用等体积法，即即可求得 点到平面的距离d.
（1）在长方体中，，
则四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以直线平面.
（2）在长方体中，由，得，，
等腰的面积，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
16．【答案】（1）解：因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为的面积为，所以，解得，
由余弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得，进而根据正弦定理边化角可得，再化简结合同角三角函数的关系式即可求得角A；
（2）利用三角形面积公式先求得bc的值，进而根据余弦定理可得，根据平面向量的线性运算可得，再利用平面向量的模长公式计算即可求得.
（1）由及，，得，
在中，由正弦定理得，而，即，
解得，即，又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，解得，
由，得，则，
所以.
17．【答案】（1）解：由题意可知，袋子中有2个红球，3个白球，
记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间，
，共20个，
第二次取到白球的事件，共6个，
所以第二次取到白球的概率.
（2）解：从个球中依次取2个球的试验有个基本事件，
先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，
因此，整理得，解得或，
所以或.
（3）解：有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，
先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求得2个球的样本空间，再求得第二次取到白球的样本点个数，进而利用古典概型的计算个数即可求解；
（2）分别求得取2个球的基本事件和按取红球、白球的先后次序取出一个红球和一个白球的基本事件，进而利用古典概型的计算公式求出概率，再结合已知列式求解即可求得n的值；
（3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，利用有放回抽取的概率求出的表达式，利用二次函数即可求得的最大值.
（1）记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间，
，共20个，
第二次取到白球的事件，共6个，
所以第二次取到白球的概率.
（2）从个球中依次取2个球的试验有个基本事件，
先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，
因此，整理得，解得或，
所以或.
（3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，
先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，，
解得.
（2）解：（i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户，
则，
即105户居民用户月用电量落在中的可能性为.
（ii）设原来的100户居民用户月用电量的平均值为，
则
，
则，
即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）各小矩形面积之和为列式计算即可求得x的值；
（2）（i）借助频率、频数与总数的关系计算即可得；
（ii）结合频率分布直方图先计算出原来的100户居民用户月用电量的平均值，进而即可求得105户居民用户月用电量的平均值.
（1）由已知和频率之和为1得，
解得；
（2）（i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户，
则，
即105户居民用户月用电量落在中的可能性为；
（ii）设原来的100户居民用户月用电量的平均值为，
则
，
则，
即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h.
19．【答案】（1）证明：如图所示，连接、，
由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，所以，
因为为棱的中点，所以，
又，所以；
（2）解：如图所示取中点，连接，，过点作于点，连接、，
因为为正三角形，所以，
又底面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又、平面，所以、，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为2，则，则，所以，
由，所以，
则，
即有，
则，
所以线段上存在点，使得二面角的正切值为， 且.
（3）解：如图所示，设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，所以平面平面，，即A，G，M三点共线，
因为为棱的中点，所以，，
设，，所以，
，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以.
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接、，结合正棱柱的性质可知，进而等腰三角形三线合一可得，线线平行的性质即可证得；
（2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，证得，可得即为二面角的平面角，则，则可得，进而求得BF即可；
（3）设，则，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为、表示，利用换元，则函数，利用函数的单调性求得即可求得的取值范围.
（1）连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，
则，又为棱的中点，则，
又，故；
（2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，
由为正三角形，则，又底面，
平面，故，
又，、平面，
故平面，又、平面，故、，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
故即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为2，则，则，故，
由，故，
则，
即有，
则，故存在，且.
（3）设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，则有平面平面，，
即A，G，M三点共线，由为棱的中点，则，，
设，，
则，，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以.
1 / 1广东省广州市天河区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是
A．1 B．-1 C．i D．-i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：=，则它的虚部是1．
故选：A
【分析】利用复数的乘法运算计算，进而即可求得该复数的虚部.
2．如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A，向量不等于数字，故选项A错误；
B，向量，方向不一定相同，故选项B错误；
C，，，所以 ，故选项C正确；
D，，两向量夹角未知，故选项D错误.
故选：C.
【分析】根据向量的定义即可判断选项A；根据单位向量的定义即可判断选项B；根据向量的数量积运算即可判断选项CD.
3．某企业三个分厂生产同一种电子产品共2000件，用分层随机抽样方法从三个分厂共抽取100件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂20件，来自第三分厂30件，则第一分厂生产的电子产品件数为（　　）
A．400件 B．600件 C．1000件 D．1200件
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知，第一分厂生产的电子产品件数为件.
故选：C.
【分析】利用分层随机抽样的定义计算即可求解.
4．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件“甲元件故障”，事件“乙元件故障”，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为甲、乙两个元件互相不影响，故事件相互独立，
所以，
所以.
故选：A
【分析】根据题意可知事件A，B独立，进而由独立事件乘法公式得到，进而利用计算即可求得.
5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　）
A．2 B．8 C．或 D．2或8
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或，
若夹角为0，已知
则，
若夹角为，，
则．
故答案为：D．
【分析】利用夹角两两相等可得三向量两两夹角为0或，再利用向量求模公式即可求解．
6．在中，，，，现以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解： 以所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体为两个共同底面的圆锥，
由勾股定理可知，
设边上的高为，，则，
所以旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，底面半径，母线长分别为和，
则这个几何体的表面积.
故选：A.
【分析】旋转形成的几何体为两个共同底面的圆锥，求出底面半径，进而利用圆锥侧面积公式计算即可求解.
7．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（　　）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【解答】解：A，依题意，，则，故选项A错误；
B，由时，得，即，而，则，故选项B错误；
C，，令，得，
解得，则，解得，
即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，故选项C错误；
D，由，得，即，
则，解得，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，故选项D正确.
故选：D
【分析】根据给定条件可得，进而利用周期公式即可求得，可判断选项A；当t=0时，d=1.5代入即可求得的值可判断选项B；结合正弦函数的性质解求得t的值即可判断选项C；结合正弦函数的性质解不等式即可判断选项D.
8．某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据统计结果，得到数据的平均数为2，方差为2.4，下列说法错误的是（　　）
A．出现点数5 B．出现点数6 C．出现点数1 D．出现点数2
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设5次点数分别为平均数为，所以，方差，所以，
因为，故不可能出现点数6，
故选：B.
【分析】利用方差公式计算即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．已知为虚数单位，下列说法正确的是（　　）
A．若复数，则
B．若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限
C．是复数（a，）为虚数的充分不必要条件
D．若复数是关于x的实系数方程的一个根，则
【答案】A,D
【知识点】充要条件；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，，则，故选项A正确；
B，在平面内对应的点在第一象限，故选项B正确；
C，是复数（a，）为虚数的充要条件，故选项C正确；
D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为，
则，解得，因此，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】先根据复数的乘法运算求得复数z，进而根据复数的模长公式计算即可判断选项A；根据复数的加法运算求得 ，进而即可判断选项B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断选项C；方程另一根为，进而利用韦达定理列式计算求得q和p即可判断选项D.
10．下列论述正确的是（　　）
A．若事件，则
B．必然事件与任意事件相互独立
C．若事件M，N互斥，且，，则
D．若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥
【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A，由事件，得，当且仅当取等号，故选项A错误；
B，对任意事件，，，所以必然事件与任意事件相互独立，故选项B正确；
C，由事件M，N互斥，得，，故选项C正确；
D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，故选项D正确.
故选：BCD
【分析】利用概率的性质判断选项A；利用相互独立事件，必然事件与任意事件的意义即可判断选项B；互斥事件的性质和对立事件的概率运算判断选项C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义计算即可判断选项D.
11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则（　　）
A．平面
B．直线与底面所成的角为60°
C．正三棱台的外接球体积为
D．若点P为底面ABC的动点，且，则P的轨迹长度为
【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A，假设平面，而平面，则平面平面，
与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，故选项A错误；
B，如图所示，设三棱台上下底面中心分别为，.连接，，，，
上下底面均为正三角形，则，.
已知侧棱长，由正三棱台性质可知，上下底面.
直角梯形中，.
直线与底面的角为与投影的夹角θ，
在中，，所以，故选项B正确；
C，设正三棱台的外接球的球心为M，半径为R. 设，则.
由，，.
在直角梯形中，
则，，即，
所以外接球体积，故选项C正确；
D，因为，，.
交线圆半径，圆心为在底面的投影（）.
底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧，弧长，故选项D正确.
故选：BCD.
【分析】根据正三棱台的性质，利用边长，侧棱长等条件，通过相关几何关系进行判断和计算.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是　 　.
【答案】19
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将样本数据由小到大排列为：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，
由，得该组数据的第80百分位数是.
故答案为：19
【分析】将数据从小到大排列，进而利用百分位数的意义计算即可求解.
13．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心，分别以1和为半径的两个圆构成的圆环，
所以所求面积为.
故答案为：
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义可知在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心，分别以1和为半径的两个圆构成的圆环，利用圆的面积公式计算即可求解.
14．已知是钝角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的周长的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：显然，所以，
因为为钝角三角形，故为钝角，或为钝角，
当为钝角时，，即，即，因为c>0，解得，
又，故，故，故，
此时的周长取值范围是，即，
当为钝角时，，即，即，因为c>0，解得，
又，故，
此时的周长取值范围是，
综上，的周长取值范围是，
故答案为：
【分析】分为钝角，为钝角两种情况，结合余弦定理和三角形三边关系得到不等式，求出的取值范围，进而求出周长的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在长方体中，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：在长方体中，因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：在长方体中，由，得，，
等腰的面积，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先证得，进而根据线面平行的判定定理即可证得直线平面；
（2）利用等体积法，即即可求得 点到平面的距离d.
（1）在长方体中，，
则四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以直线平面.
（2）在长方体中，由，得，，
等腰的面积，，
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，
所以点到平面的距离为.
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若的面积为，，且，求.
【答案】（1）解：因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为的面积为，所以，解得，
由余弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得，进而根据正弦定理边化角可得，再化简结合同角三角函数的关系式即可求得角A；
（2）利用三角形面积公式先求得bc的值，进而根据余弦定理可得，根据平面向量的线性运算可得，再利用平面向量的模长公式计算即可求得.
（1）由及，，得，
在中，由正弦定理得，而，即，
解得，即，又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，解得，
由，得，则，
所以.
17．一个袋子中有m个红球，n个白球，球的大小和质地相同.
（1）若，；采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到白球的概率；
（2）若，采取不放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求n；
（3）若，采取有放回的方式从中依次随机地取出2个球，已知取出一个红球和一个白球的概率是，求的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知，袋子中有2个红球，3个白球，
记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间，
，共20个，
第二次取到白球的事件，共6个，
所以第二次取到白球的概率.
（2）解：从个球中依次取2个球的试验有个基本事件，
先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，
因此，整理得，解得或，
所以或.
（3）解：有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，
先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用列举法求得2个球的样本空间，再求得第二次取到白球的样本点个数，进而利用古典概型的计算个数即可求解；
（2）分别求得取2个球的基本事件和按取红球、白球的先后次序取出一个红球和一个白球的基本事件，进而利用古典概型的计算公式求出概率，再结合已知列式求解即可求得n的值；
（3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，利用有放回抽取的概率求出的表达式，利用二次函数即可求得的最大值.
（1）记2个红球为，3个白球为，依次取出2个球的样本空间，
，共20个，
第二次取到白球的事件，共6个，
所以第二次取到白球的概率.
（2）从个球中依次取2个球的试验有个基本事件，
先取红球再取白球的事件有个基本事件；先取白球再取红球的事件有个基本事件，
因此，整理得，解得或，
所以或.
（3）有放回取球两次，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，
先取白球再取红球的概率为；先红取球再取白球的概率为，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
18．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在25～325kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求x的值；
（2）若新增加5户居民用户的月用电量，数据分别为74，112，174，221，119（kW·h）；
（i）估计105户居民用户月用电量落在中的可能性；
（ii）将原来的100户与新增的5户分成两组，估计105户居民用户月用电量的平均值.
【答案】（1）解：由题意可知，，
解得.
（2）解：（i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户，
则，
即105户居民用户月用电量落在中的可能性为.
（ii）设原来的100户居民用户月用电量的平均值为，
则
，
则，
即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）各小矩形面积之和为列式计算即可求得x的值；
（2）（i）借助频率、频数与总数的关系计算即可得；
（ii）结合频率分布直方图先计算出原来的100户居民用户月用电量的平均值，进而即可求得105户居民用户月用电量的平均值.
（1）由已知和频率之和为1得，
解得；
（2）（i）新增加的5户居民用户的月用电量落在的有2户，
则，
即105户居民用户月用电量落在中的可能性为；
（ii）设原来的100户居民用户月用电量的平均值为，
则
，
则，
即可估计105户居民用户月用电量的平均值为 kW·h.
19．在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、.
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
（3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围.
【答案】（1）证明：如图所示，连接、，
由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，所以，
因为为棱的中点，所以，
又，所以；
（2）解：如图所示取中点，连接，，过点作于点，连接、，
因为为正三角形，所以，
又底面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又、平面，所以、，
又，，、平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为2，则，则，所以，
由，所以，
则，
即有，
则，
所以线段上存在点，使得二面角的正切值为， 且.
（3）解：如图所示，设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，所以平面平面，，即A，G，M三点共线，
因为为棱的中点，所以，，
设，，所以，
，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以.
【知识点】平面的基本性质及推论；平行公理；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接、，结合正棱柱的性质可知，进而等腰三角形三线合一可得，线线平行的性质即可证得；
（2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，证得，可得即为二面角的平面角，则，则可得，进而求得BF即可；
（3）设，则，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为、表示，利用换元，则函数，利用函数的单调性求得即可求得的取值范围.
（1）连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，
则，又为棱的中点，则，
又，故；
（2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，
由为正三角形，则，又底面，
平面，故，
又，、平面，
故平面，又、平面，故、，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
故即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为2，则，则，故，
由，故，
则，
即有，
则，故存在，且.
（3）设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，则有平面平面，，
即A，G，M三点共线，由为棱的中点，则，，
设，，
则，，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以.
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