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浙江省舟山市定海三校联考2025-2026学年八年级下学期数学期中质量检测试卷
一、单选题
1．下列根式是最简二次根式的（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：90，85，85，80，75，85，90，85，则该组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．85，80 B．85，77.5 C．90，85 D．85，85
5．用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（　　）
A．27 B．30 C．32 D．40
8．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
9．某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小
C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大
10．如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．要使二次根式有意义，则实数的取值范围是　 　．
12．学校开展了纪念“一二九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是　 　分．
13．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是　 　m．
14．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　．
15．为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为　 　．
16．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列方程：
（1）
（2）
19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（1）根据图示填空：　 　，　 　，　 　；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是　 　；
（2）化去式子分母中的根号：　 　；（直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
21．设，是关于x的一元二次方程的两根．
（1）当时，求及m的值；
（2）求证：无论m取何值，方程总有2个实数根．
（3）求证：．
22．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵　 　，　 　，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时．
（1）每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．
24．“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：
（1）填空：代数式有最　 　（填“大”或“小”）值：这个最值为　 　；
（2）证明：代数式的值恒为正数．
（3）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，．
①则图中线段 ▲ 空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．
②若，则的值为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求，A符合题意.
的被开方数含有分母，不符合要求，B不符合题意；
，被开方数含有分母，不符合要求，C不符合题意；
，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：选项A：方程含有x和y两个未知数，不是一元二次方程；
选项B：方程2x=1中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程；
选项C：方程x2+x+7=0满足所有三个条件，是一元二次方程；
选项D：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程)，逐一判断各选项即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：算术平方根的结果为非负数，，A选项错误；
合并同类二次根式得，B选项错误；
与不是同类二次根式，不能直接合并，C选项错误；
，计算正确，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，逐一判断选项即可.
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将原数据从小到大排序得：75，80，85，85，85，85，90，90.
∵85出现次数最多，共4次，
∴众数为85.
∵本组数据共8个，中位数为第4个和第5个数据的平均数，
∴中位数为.
故答案为：D.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x+3=0，
移项，得x2-4x=-3，
方程两边同时加4，得x2-4x+4=-3+4，即(x-2)2=1.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤进行求解即可，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知： =52-4×1×(-2)=25+8=33
∵ >0.
∴关于x的一元二次方程x2+5x-2=0有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为20和5，
∴正方形ABFE和正方形GFCH的边长分别为
∴，，
∴长方形ABCD的面积.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形ABCD的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
9．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原数据的和为178+180+185+190+192=925
∵原数据的平均数为
原数据的方差为
新数据的和为925+185=1110，新数据的平均数为
新数据的方差为
∴平均数不变，方差变小.
故答案为：C.
【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，比较大小即可得出结论.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，A'D=AD=a，
∴BD=4-a，
如图，作DM⊥BC于M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDM=30°，
∴
由勾股定理得，
∵翻折后，点A始终落在边BC上，
∴A'D≥DM，即，AD解得，，
∴.
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质可知，AD=AD=a，则BD=4-a，如图，作DM⊥BC于M，由△ABC为等边三角形，可得∠B=60°，则∠BDM=30°，，由勾股定理求得DM，由翻折后，点A始终落在边BC上，可得A'D≥DM即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，
因此得x-2026≥0，
解得：x≥2026.
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解.
12．【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式可得：
该班的综合成绩是(分)
故答案为：87.
【分析】根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=12m，
∴AC=3BC=36m，
∴，
故答案为：.
【分析】由迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=12m，AC=3BC=36m，再根据勾股定理求解即可.
14．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则{-1，1}的离差平方和为(-1-0)2+(1-0)2=2；
3，4，5的平均数为4，则{3，4，5}的离差平方和为(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2=2
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
15．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为(24-2x)m的正方形，其面积为484m2，
则可列方程：(24-2x)2=484
故答案为：(24-2x)2=484.
【分析】劳动实践基地的边长为(24-2x)m，根据正方形的面积公式列方程即可.
16．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由条件可得，mn=1，
对于任意正整数t有：
由于mn=1，则mtnt=(mn)t=1代入得：
∵，mn=1，
∴m>0，n>0，
∴2+mt+nt>0
∴恒成立，
因此S1+S2+…+St=t×1=t，
∵S1+S2+…+St=t2-90
∴t=t2-90.
整理得t2-t-90=0
解得t=10或t=-9(舍去)
故t=10
故答案为：10.
【分析】由根与系数的关系得，mn=1，计算，通分后恒等于1，故S1+S2+…+St=t，代入方程 t=t2-90求解即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果；
(2)先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果.
18．【答案】（1）解：
，
（2）解：
或
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解解一元二次方程即可求解；
(2)利用因式分解解一元二次方程即可求解.
19．【答案】（1）85；85；80
（2）解：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好
（3）解：（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)七年级的平均分，众数b=85，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80，
故答案为：85，85，80.
【分析】(1)根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可；
(2)根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可；
(3)根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵（n为正整数）
，
∴
，
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：.
(2)
故答案为：.
【分析】(1)根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式；
(2)利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案；
(3)将括号内每个分数进行化简，再利用平方差公式即可求出本题答案.
21．【答案】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴无论m取何值，方程总有2个实数根
（3）证明：，是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果；
(2)求出 =4m2+1>0，即可得证；
(3)由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=3，x1·x2=2-m2，再将(x1-1)(x2-1)展开，整体代入并计算即可得证.
22．【答案】（1）18；10
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）②
∴．
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算即可求出答案.
（2）①根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
∴．
23．【答案】（1）； (40-x)
（2）解：根据题意，得：，
解得：，，
答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得：，
化简得，
方程无解，
故不可能做到平均每天盈利2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售(20+2x)件，每件盈利120-80-x=(40-x)元；
故答案为：(20+2x)；(40-x).
【分析】(1)根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出2x件，从而得出答案；
(2)根据“总利润=单件利润×数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案；
(3)根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案.
24．【答案】（1）小；1
（2）证明：，
∵，
∴，
∴代数式的值恒为正数
（3）解：①AD
②
【知识点】勾股定理；配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)x2-6x+10=x2-6x+9+1=(x-3)2+1
∵(x-3)2≥0
∴(x-3)2+1≥1，
∴x2-6x+10≥1，
∴代数式x2-6x+10有最小值：这个最值为1；
故答案为：小；1.
(3)①∵，∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；
∴，
∴；
故答案为：AD.
②∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，AD=EC
∴AD=AE=EC，
∵AB-BD=AE，AC=AE+EC=2AE，
∴， b=2AE，
∴
4(a2+b2)=(b+2a)2
4a2+4b2=b2+4ab+4a2
3b2=4ab
3b=4a
故答案为：.
【分析】(1)将x2-6x+10化简为(x-3)2+1，再完全平方式的非负性判断即可；
(2)将3x2-6x+5化简为3(x-1)2+2，再完全平方式的非负性判断即可；
(3)①将x2+2ax=b2化简为，由勾股定理得|x+a|=AB，再等量代换即可；
②由题意得AD=AE=EC，根据AB-BD=AE，AC=AE+EC=2AE，得，化简得.
1 / 1浙江省舟山市定海三校联考2025-2026学年八年级下学期数学期中质量检测试卷
一、单选题
1．下列根式是最简二次根式的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求，A符合题意.
的被开方数含有分母，不符合要求，B不符合题意；
，被开方数含有分母，不符合要求，C不符合题意；
，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合要求，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：选项A：方程含有x和y两个未知数，不是一元二次方程；
选项B：方程2x=1中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程；
选项C：方程x2+x+7=0满足所有三个条件，是一元二次方程；
选项D：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程)，逐一判断各选项即可.
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：算术平方根的结果为非负数，，A选项错误；
合并同类二次根式得，B选项错误；
与不是同类二次根式，不能直接合并，C选项错误；
，计算正确，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，逐一判断选项即可.
4．某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：90，85，85，80，75，85，90，85，则该组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．85，80 B．85，77.5 C．90，85 D．85，85
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将原数据从小到大排序得：75，80，85，85，85，85，90，90.
∵85出现次数最多，共4次，
∴众数为85.
∵本组数据共8个，中位数为第4个和第5个数据的平均数，
∴中位数为.
故答案为：D.
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可.
5．用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x+3=0，
移项，得x2-4x=-3，
方程两边同时加4，得x2-4x+4=-3+4，即(x-2)2=1.
故答案为：B.
【分析】根据配方法的步骤进行求解即可，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方.
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知： =52-4×1×(-2)=25+8=33
∵ >0.
∴关于x的一元二次方程x2+5x-2=0有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解.
7．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（　　）
A．27 B．30 C．32 D．40
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为20和5，
∴正方形ABFE和正方形GFCH的边长分别为
∴，，
∴长方形ABCD的面积.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形ABCD的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案.
8．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
9．某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小
C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原数据的和为178+180+185+190+192=925
∵原数据的平均数为
原数据的方差为
新数据的和为925+185=1110，新数据的平均数为
新数据的方差为
∴平均数不变，方差变小.
故答案为：C.
【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，比较大小即可得出结论.
10．如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，A'D=AD=a，
∴BD=4-a，
如图，作DM⊥BC于M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDM=30°，
∴
由勾股定理得，
∵翻折后，点A始终落在边BC上，
∴A'D≥DM，即，AD解得，，
∴.
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质可知，AD=AD=a，则BD=4-a，如图，作DM⊥BC于M，由△ABC为等边三角形，可得∠B=60°，则∠BDM=30°，，由勾股定理求得DM，由翻折后，点A始终落在边BC上，可得A'D≥DM即可求解.
二、填空题
11．要使二次根式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，
因此得x-2026≥0，
解得：x≥2026.
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解.
12．学校开展了纪念“一二九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照计算综合成绩．某班这三项分别得了80分、90分和88分，则该班的综合成绩是　 　分．
【答案】87
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式可得：
该班的综合成绩是(分)
故答案为：87.
【分析】根据各项目的权重和得分，代入加权平均数公式求解.
13．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是　 　m．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=12m，
∴AC=3BC=36m，
∴，
故答案为：.
【分析】由迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=12m，AC=3BC=36m，再根据勾股定理求解即可.
14．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为　 　．
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：-1，1的平均数为0，则{-1，1}的离差平方和为(-1-0)2+(1-0)2=2；
3，4，5的平均数为4，则{3，4，5}的离差平方和为(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2=2
所以这种分组情况的组内离差平方和为2+2=4
故答案为：4.
【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加.
15．为落实五育并举政策，某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为．设小路的宽度为，则根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，劳动实践基地是边长为(24-2x)m的正方形，其面积为484m2，
则可列方程：(24-2x)2=484
故答案为：(24-2x)2=484.
【分析】劳动实践基地的边长为(24-2x)m，根据正方形的面积公式列方程即可.
16．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：由条件可得，mn=1，
对于任意正整数t有：
由于mn=1，则mtnt=(mn)t=1代入得：
∵，mn=1，
∴m>0，n>0，
∴2+mt+nt>0
∴恒成立，
因此S1+S2+…+St=t×1=t，
∵S1+S2+…+St=t2-90
∴t=t2-90.
整理得t2-t-90=0
解得t=10或t=-9(舍去)
故t=10
故答案为：10.
【分析】由根与系数的关系得，mn=1，计算，通分后恒等于1，故S1+S2+…+St=t，代入方程 t=t2-90求解即可.
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果；
(2)先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果.
18．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
或
解得，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解解一元二次方程即可求解；
(2)利用因式分解解一元二次方程即可求解.
19．某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示．
平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分）
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（1）根据图示填空：　 　，　 　，　 　；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）85；85；80
（2）解：由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高，
故七年级决赛成绩较好
（3）解：（分），
∴七年级代表队选手成绩比较稳定
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)七年级的平均分，众数b=85，
八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80，
故答案为：85，85，80.
【分析】(1)根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可；
(2)根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可；
(3)根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可.
20．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是　 　；
（2）化去式子分母中的根号：　 　；（直接写结果）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵（n为正整数）
，
∴
，
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：.
(2)
故答案为：.
【分析】(1)根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式；
(2)利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案；
(3)将括号内每个分数进行化简，再利用平方差公式即可求出本题答案.
21．设，是关于x的一元二次方程的两根．
（1）当时，求及m的值；
（2）求证：无论m取何值，方程总有2个实数根．
（3）求证：．
【答案】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴无论m取何值，方程总有2个实数根
（3）证明：，是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果；
(2)求出 =4m2+1>0，即可得证；
(3)由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=3，x1·x2=2-m2，再将(x1-1)(x2-1)展开，整体代入并计算即可得证.
22．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：
（1）填空：
∵　 　，　 　，
∴，
∴．
（2）如图，以，，为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出与的大小关系．
【答案】（1）18；10
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）②
∴．
【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算即可求出答案.
（2）①根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②根据三角形三边关系即可求出答案.
（1）解：∵，
，
故答案为：18，10；
（2）①为直角三角形；理由：
∵，
∴为直角三角形；
②
∴．
23．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时．
（1）每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）； (40-x)
（2）解：根据题意，得：，
解得：，，
答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得：，
化简得，
方程无解，
故不可能做到平均每天盈利2000元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)设每件童装降价x元时，每天可销售(20+2x)件，每件盈利120-80-x=(40-x)元；
故答案为：(20+2x)；(40-x).
【分析】(1)根据降价1元多售出2件可得：降价x元多售出2x件，从而得出答案；
(2)根据“总利润=单件利润×数量”列出方程，从而求出方程的解得出答案；
(3)根据题意列出方程，根据方程是否有解得出答案.
24．“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：
（1）填空：代数式有最　 　（填“大”或“小”）值：这个最值为　 　；
（2）证明：代数式的值恒为正数．
（3）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，．
①则图中线段 ▲ 空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．
②若，则的值为 ▲ ．
【答案】（1）小；1
（2）证明：，
∵，
∴，
∴代数式的值恒为正数
（3）解：①AD
②
【知识点】勾股定理；配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：(1)x2-6x+10=x2-6x+9+1=(x-3)2+1
∵(x-3)2≥0
∴(x-3)2+1≥1，
∴x2-6x+10≥1，
∴代数式x2-6x+10有最小值：这个最值为1；
故答案为：小；1.
(3)①∵，∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；
∴，
∴；
故答案为：AD.
②∵以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，AD=EC
∴AD=AE=EC，
∵AB-BD=AE，AC=AE+EC=2AE，
∴， b=2AE，
∴
4(a2+b2)=(b+2a)2
4a2+4b2=b2+4ab+4a2
3b2=4ab
3b=4a
故答案为：.
【分析】(1)将x2-6x+10化简为(x-3)2+1，再完全平方式的非负性判断即可；
(2)将3x2-6x+5化简为3(x-1)2+2，再完全平方式的非负性判断即可；
(3)①将x2+2ax=b2化简为，由勾股定理得|x+a|=AB，再等量代换即可；
②由题意得AD=AE=EC，根据AB-BD=AE，AC=AE+EC=2AE，得，化简得.
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