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浙江杭州市临安区2025-2026学年第二学期期中学业水平测试八年级数学试题卷
1．下列格式中一定是二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．某互联网公司由三个部门组成，共有30名员工，2025年各部门人数及相应的人均年利润如表1所示：该公司2025年人均年利润为(　　)
部门 人数 人均年利润/万元
A 10 250
B 8 220
C 12 145
A．186万元 B．200万元 C．216万元 D．220万元
4．用配方法求解方程 正确的是(　　)
A．x(x+4)=0 B． C． D．
5．方程 的根的情况为(　　)
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板.已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是(　　)
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
7．某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为80分，期末成绩为90分，加权平均数为86分，平时成绩的所占权重比例为(　　)
A．20% B．30% C．40% D．50%
8．已知关于x的方程 的两根为x1，x2，则以 为两根的一元二次方程是(　　)
A． B． C． D．
9．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路(小路宽度均相等)，纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道.已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为x米，则可列方程为(　　)
A．(30-x)(20-2x)=504 B．30×20-2×30x-20x=504
C．(30-2x)(20-2x)=504 D．(30-2x)(20-x)=504
10．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道.已知汽车在避险车道上的速度 v随路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是(　　)
A． B． C．20m/s D．
11．化简：=　 　 .
12．若一组数据x1，x2，x3与平均数的差分别为-1，2，3，则这组数据的离差平方和是　 　.
13．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
14．已知关于x的方程 通过配方可变形为 则m的值为　 　.
15．观察下列等式： ·按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则 n=　 　∵
16．在矩形 ABCD中， 现将矩形沿对角线 AC剪开，拼成一个新的平行四边形(不重叠、无缝隙)，若该平行四边形的一条对角线长为4 cm，则这个平行四边形较长一边的边长为　 　cm.
17． 计算：
（1）
（2）
18． 解方程：
（1）
（2）
19． 2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演.为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时(单位：秒)进行统计，抽取10台 G1 型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据： 1.23， 1.18， 1.26， 1.31， 1.24， 1.19， 1.28，1.22， 1.25， 1.30；H2 型号机器人的耗时数据绘制箱线图所示.(注：m25表示下四分位数，m50表示中位数，m75表示上四分位数)
（1）求 G1型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数；
（2）根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由.
20． 已知实数x1， x2满足：
（1）求作以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程；
（2）若 求a+b的值.
21． 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来严重.为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度v(单位：m/s)和高度h(单位：m)近似满足公式： (不考虑风速的影响， 已知小临所住小区楼层高度规律为第 n楼高度
（1）小临家在2楼，即 n=2，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度；
（2）计算当从 n楼坠落时，物品落地时的速度.
22．已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩.往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克.今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术.
（1）经过测算，若采用无人机授粉，山核桃的亩产量将得到提升.假设亩产量的年平均增长率为x，经过两年(即两次增长周期)的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克.请根据题意，列出关于x的一元二次方程，并求出年平均增长率 x.
（2）在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入.已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩的净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元.若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元.请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉
解：设他们应该安排y亩山核桃林进行无人机授粉.
①当y=60时，总净利润为： 60×3400=204000元<224000元，不满足题意，
当y>60时，总净利润为： ▲ (列方程)；
②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉.
23．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形.它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为 矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释.
如图，黄金矩形 ABCD按如下方式构造：
1.作正方形 ABEF，边长AB=1；
2.取 AF的中点 M；
3.以 M为圆心，ME为半径画弧，交 AF延长线于点 D；
4.过点 D作 AD的垂线，交 BE延长线于点 C.
经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：
【知识回顾】素材1： 素材2：
【解决问题】
（1）化简：
（2）根据计算可知【知识情境】中的长方形 EFDC也是黄金矩形，请通过计算说明理由.
24．已知长方形的长和宽分别为 a，b.
（1）当周长为12时，
①请用含有 a的式子表示这个长方形的面积.
②当面积为8时，求这个长方形的长和宽.
（2）当周长为k时，证明：当k≥12时，总能围成面积为9的长方形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵a2+1、、的根指数都不是2，故选项A、C、D中的代数式都不是二次根式；
符合二次根式的定义，故选项B中的代数式是二次根式
故答案为：B.
【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2；被开方数为非负数，结合定义逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
3．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该公司2025年人均年利润为(万元)
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的计算公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题知x2+4x=0，
x2+4x+4=0+4.
(x+2)2=4.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=22-4×1=0
∴方程有两个相等的两个实数根
故答案为：B.
【分析】先确定一元二次方程的系数，再计算判别式的值，最后根据判别式判断根的情况.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：斜着沿门框对角线能进门，
理由：(m)
∵2.1<2.19
∴斜着沿门框对角线能进门，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论.
7．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设平时成绩的所占权重比例为x，
由题意得，80x+90(1-x)=86，
解得x=0.4=40%
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数的计算方法解答.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+2x-3=0的两根
∴x1+x2=-2， x1x2=-3
∴以-2，-3为两根的一元二次方程的两根之和为-5，两根之积为6，
∴该一元二次方程为x2+5x+6=0
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系解答即可.
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为x米，则剩余部分可合成长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的矩形，
∴可列方程为(30-2x)(20-x)=504.
故答案为：D.
【分析】设道路的宽都是x米，则除去道路，余下部分可合成为长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的长方形，然后根据题意，结合长方形的面积公式，即可列出方程.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵避险车道坡比为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，
∴汽车在避险的斜坡竖直高度为20m，
由勾股定理得：汽车进入避险车道行驶的距离为：(m)，
则
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据坡度的概念求出汽车在避险的斜坡竖直高度，根据勾股定理求出汽车进入避险车道行驶的距离，代入公式计算得到答案.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．【答案】14
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：设这组数据的平均数为，
由题意得，，，，
∴这组数据的离差平方和是.
故答案为：14.
【分析】离差平方和是每个数据与平均数差值的平方的总和，已知每个数据与平均数的差值，只需将这些差值分别平方后相加即可得到离差平方和.
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，
则2x-4≥0，
解得：x≥2
故答案为：x≥2.
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
14．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意，将方程展开即可解决问题.
15．【答案】15
【解析】【解答】解：由题知，
因为12+2×1=3；
22+2×2=8；
32+2×3=15；
42+2×4=24；
...，
所以第n个等式的左边为n2+2n
因为某个正整数n对应的等式结果为255
则n2+2n=255，
解得n=15(舍负).
故答案为：15.
【分析】观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
拼成平行四边形ACC'D，
此时对角线，(cm)，与题意不符；
拼成平行四边形ACC''B，此时对角线，(cm)，符合题意，较长的一边(cm)，
故答案为：.
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法解答即可.
17．【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式=6-2=4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式进行计算，即可解答.
18．【答案】（1）解：(x-1)=±2
x-1=2或x-1=-2
所以
（2）解：
x+1=2或x+1=-2
所以
【解析】【分析】(1)直接开平方解一元二次方程；
(2)利用因式分解解一元二次方程.
19．【答案】（1）解：第一步：将G1型号数据从小到大排序：
1.18， 1.19， 1.22， 1.23， 1.24， 1.25， 1.26， 1.28， 1.30， 1.31
中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值 (秒)
下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为=1.22(秒)
上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28(秒)
（2）解：①集中趋势对比
G1型号中位数为1.245秒，H2型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当.
②离散程度对比
G1型号：上四分位数与下四分位数的差(箱体的高度)=1.28-1.22=0.06秒，极差
H2型号：上四分位数与下四分位数的差(箱体的高度)=1.27-1.21=0.06秒，极差 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间50%数据的波动程度一致；但G1型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，G1型号机器人的动作耗时更稳定
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；四分位数
【解析】【分析】(1)先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；
(2)对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可.
20．【答案】（1）解：∵x1+x2=-3，x1x2=-4，
∴以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2+3x-4=0
（2）解：∵a2+a-1=0，b2+b-1=0(a≠b)，
∴a、b可看作方程x2+x-1=0的两根
∴a+b=-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2-(x1+x2)+x1x2=0；
(2)根据一元二次方程解的定义，a、b可看作方程x2+x-1=0的两根，然后利用根与系数的关系求解.
21．【答案】（1）解：当n=2时，
（2）解：
∵g=10， n>0
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先根据楼层数计算高度h，再代入速度公式求落地速度；
(2)将高度h的表达式代入速度公式，化简得出用n表示的速度.
22．【答案】（1）解：
解得： (舍)，
答：年平均增长率为30%
（2）解：①y[3400-20(y-60)]=224000，
②y[3400-20(y-60)]=224000
解得： (舍)，
答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：(2)①当y>60时，总净利润为：
y[3400-20(y-60)]=224000，
故答案为：y[3400-20(y-60)]=224000.
【分析】(1)根据亩产量的两年增长关系，列一元二次方程解答即可；
(2)①当作业面积y>60时，超过60亩的部分为y-60亩，每亩净利润降低20(y-60)元，故每亩净利润为3400-20(y-60)元，根据净利润=作业面积×每亩净利润，列方程解答即可；
②由①解方程即可.
23．【答案】（1）解：
（2）解：根据作图可知， EF=AB=1，
在 RtΔMEF中，
∴长方形 EFDC 也是黄金矩形
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】(1)根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可；
(2)根据黄金矩形的定义及已知条件找到DF与EF的长，再求比值即可.
24．【答案】（1）解：①已知周长为12，根据周长公式： 2(a+b)=12
化简得： a+b=6
因此b=6-a，长方形的面积S= ab=a(6-a).
②已知面积为8，代入①的结果：a(6-a)=8，整理为一元二次方程得：
因式分解得： (a-2)(a-4)=0，解得 a=2或a=4.
所以长为4，宽为2
（2）解：已知周长为k，则 即
要围成面积为9的长方形，需满足：
整理方程：
计算根的判别式：
当k≥12时， 则 即△≥0
因此，当k≥12时，总能围成面积为9的长方形
【知识点】公式法解一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】(1)①根据长方形周长公式求出长与宽的关系，再代入面积公式即可；
②将面积值代入1中得到的面积表达式，求解方程得到长和宽；
(2)先根据周长公式求出长与宽的关系，再代入面积公式得到关于长的一元二次方程，通过判别式判断方程是否有解，进而证明能否围成面积为9的长方形.
1 / 1浙江杭州市临安区2025-2026学年第二学期期中学业水平测试八年级数学试题卷
1．下列格式中一定是二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：∵a2+1、、的根指数都不是2，故选项A、C、D中的代数式都不是二次根式；
符合二次根式的定义，故选项B中的代数式是二次根式
故答案为：B.
【分析】二次根式需同时满足两个条件：根指数为2；被开方数为非负数，结合定义逐一判断即可.
2．下列等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
3．某互联网公司由三个部门组成，共有30名员工，2025年各部门人数及相应的人均年利润如表1所示：该公司2025年人均年利润为(　　)
部门 人数 人均年利润/万元
A 10 250
B 8 220
C 12 145
A．186万元 B．200万元 C．216万元 D．220万元
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该公司2025年人均年利润为(万元)
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的计算公式计算即可.
4．用配方法求解方程 正确的是(　　)
A．x(x+4)=0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题知x2+4x=0，
x2+4x+4=0+4.
(x+2)2=4.
故答案为：C.
【分析】根据题意，利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可.
5．方程 的根的情况为(　　)
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵Δ=22-4×1=0
∴方程有两个相等的两个实数根
故答案为：B.
【分析】先确定一元二次方程的系数，再计算判别式的值，最后根据判别式判断根的情况.
6．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为2.1m的正方形装饰泡沫板.已知教室门框高2m，宽0.9m，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是(　　)
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：斜着沿门框对角线能进门，
理由：(m)
∵2.1<2.19
∴斜着沿门框对角线能进门，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出长方形门框的对角线长，再与正方形大理石的边长进行比较即可得到结论.
7．某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为80分，期末成绩为90分，加权平均数为86分，平时成绩的所占权重比例为(　　)
A．20% B．30% C．40% D．50%
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设平时成绩的所占权重比例为x，
由题意得，80x+90(1-x)=86，
解得x=0.4=40%
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数的计算方法解答.
8．已知关于x的方程 的两根为x1，x2，则以 为两根的一元二次方程是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+2x-3=0的两根
∴x1+x2=-2， x1x2=-3
∴以-2，-3为两根的一元二次方程的两根之和为-5，两根之积为6，
∴该一元二次方程为x2+5x+6=0
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系解答即可.
9．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路(小路宽度均相等)，纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道.已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为x米，则可列方程为(　　)
A．(30-x)(20-2x)=504 B．30×20-2×30x-20x=504
C．(30-2x)(20-2x)=504 D．(30-2x)(20-x)=504
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为x米，则剩余部分可合成长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的矩形，
∴可列方程为(30-2x)(20-x)=504.
故答案为：D.
【分析】设道路的宽都是x米，则除去道路，余下部分可合成为长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的长方形，然后根据题意，结合长方形的面积公式，即可列出方程.
10．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道.已知汽车在避险车道上的速度 v随路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是(　　)
A． B． C．20m/s D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵避险车道坡比为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，
∴汽车在避险的斜坡竖直高度为20m，
由勾股定理得：汽车进入避险车道行驶的距离为：(m)，
则
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据坡度的概念求出汽车在避险的斜坡竖直高度，根据勾股定理求出汽车进入避险车道行驶的距离，代入公式计算得到答案.
11．化简：=　 　 .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．若一组数据x1，x2，x3与平均数的差分别为-1，2，3，则这组数据的离差平方和是　 　.
【答案】14
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：设这组数据的平均数为，
由题意得，，，，
∴这组数据的离差平方和是.
故答案为：14.
【分析】离差平方和是每个数据与平均数差值的平方的总和，已知每个数据与平均数的差值，只需将这些差值分别平方后相加即可得到离差平方和.
13．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式在实数范围内有意义，
则2x-4≥0，
解得：x≥2
故答案为：x≥2.
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
14．已知关于x的方程 通过配方可变形为 则m的值为　 　.
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由得，
，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据题意，将方程展开即可解决问题.
15．观察下列等式： ·按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则 n=　 　∵
【答案】15
【解析】【解答】解：由题知，
因为12+2×1=3；
22+2×2=8；
32+2×3=15；
42+2×4=24；
...，
所以第n个等式的左边为n2+2n
因为某个正整数n对应的等式结果为255
则n2+2n=255，
解得n=15(舍负).
故答案为：15.
【分析】观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题.
16．在矩形 ABCD中， 现将矩形沿对角线 AC剪开，拼成一个新的平行四边形(不重叠、无缝隙)，若该平行四边形的一条对角线长为4 cm，则这个平行四边形较长一边的边长为　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
拼成平行四边形ACC'D，
此时对角线，(cm)，与题意不符；
拼成平行四边形ACC''B，此时对角线，(cm)，符合题意，较长的一边(cm)，
故答案为：.
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法解答即可.
17． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式=6-2=4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用平方差公式进行计算，即可解答.
18． 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：(x-1)=±2
x-1=2或x-1=-2
所以
（2）解：
x+1=2或x+1=-2
所以
【解析】【分析】(1)直接开平方解一元二次方程；
(2)利用因式分解解一元二次方程.
19． 2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演.为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时(单位：秒)进行统计，抽取10台 G1 型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据： 1.23， 1.18， 1.26， 1.31， 1.24， 1.19， 1.28，1.22， 1.25， 1.30；H2 型号机器人的耗时数据绘制箱线图所示.(注：m25表示下四分位数，m50表示中位数，m75表示上四分位数)
（1）求 G1型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数；
（2）根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由.
【答案】（1）解：第一步：将G1型号数据从小到大排序：
1.18， 1.19， 1.22， 1.23， 1.24， 1.25， 1.26， 1.28， 1.30， 1.31
中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值 (秒)
下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为=1.22(秒)
上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28(秒)
（2）解：①集中趋势对比
G1型号中位数为1.245秒，H2型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当.
②离散程度对比
G1型号：上四分位数与下四分位数的差(箱体的高度)=1.28-1.22=0.06秒，极差
H2型号：上四分位数与下四分位数的差(箱体的高度)=1.27-1.21=0.06秒，极差 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间50%数据的波动程度一致；但G1型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，G1型号机器人的动作耗时更稳定
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；四分位数
【解析】【分析】(1)先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；
(2)对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可.
20． 已知实数x1， x2满足：
（1）求作以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程；
（2）若 求a+b的值.
【答案】（1）解：∵x1+x2=-3，x1x2=-4，
∴以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2+3x-4=0
（2）解：∵a2+a-1=0，b2+b-1=0(a≠b)，
∴a、b可看作方程x2+x-1=0的两根
∴a+b=-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2-(x1+x2)+x1x2=0；
(2)根据一元二次方程解的定义，a、b可看作方程x2+x-1=0的两根，然后利用根与系数的关系求解.
21． 近年来，因为高空抛物导致的人员伤亡和经济损失越来严重.为了弄清楚高空抛物的危害，小临请教了科学老师，得知高空抛物下落的速度v(单位：m/s)和高度h(单位：m)近似满足公式： (不考虑风速的影响， 已知小临所住小区楼层高度规律为第 n楼高度
（1）小临家在2楼，即 n=2，假如一个物品从小临家坠落，求该物品落地时的速度；
（2）计算当从 n楼坠落时，物品落地时的速度.
【答案】（1）解：当n=2时，
（2）解：
∵g=10， n>0
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】(1)先根据楼层数计算高度h，再代入速度公式求落地速度；
(2)将高度h的表达式代入速度公式，化简得出用n表示的速度.
22．已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩.往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克.今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术.
（1）经过测算，若采用无人机授粉，山核桃的亩产量将得到提升.假设亩产量的年平均增长率为x，经过两年(即两次增长周期)的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克.请根据题意，列出关于x的一元二次方程，并求出年平均增长率 x.
（2）在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入.已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩的净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元.若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元.请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉
解：设他们应该安排y亩山核桃林进行无人机授粉.
①当y=60时，总净利润为： 60×3400=204000元<224000元，不满足题意，
当y>60时，总净利润为： ▲ (列方程)；
②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉.
【答案】（1）解：
解得： (舍)，
答：年平均增长率为30%
（2）解：①y[3400-20(y-60)]=224000，
②y[3400-20(y-60)]=224000
解得： (舍)，
答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：(2)①当y>60时，总净利润为：
y[3400-20(y-60)]=224000，
故答案为：y[3400-20(y-60)]=224000.
【分析】(1)根据亩产量的两年增长关系，列一元二次方程解答即可；
(2)①当作业面积y>60时，超过60亩的部分为y-60亩，每亩净利润降低20(y-60)元，故每亩净利润为3400-20(y-60)元，根据净利润=作业面积×每亩净利润，列方程解答即可；
②由①解方程即可.
23．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形.它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为 矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释.
如图，黄金矩形 ABCD按如下方式构造：
1.作正方形 ABEF，边长AB=1；
2.取 AF的中点 M；
3.以 M为圆心，ME为半径画弧，交 AF延长线于点 D；
4.过点 D作 AD的垂线，交 BE延长线于点 C.
经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：
【知识回顾】素材1： 素材2：
【解决问题】
（1）化简：
（2）根据计算可知【知识情境】中的长方形 EFDC也是黄金矩形，请通过计算说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：根据作图可知， EF=AB=1，
在 RtΔMEF中，
∴长方形 EFDC 也是黄金矩形
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】(1)根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可；
(2)根据黄金矩形的定义及已知条件找到DF与EF的长，再求比值即可.
24．已知长方形的长和宽分别为 a，b.
（1）当周长为12时，
①请用含有 a的式子表示这个长方形的面积.
②当面积为8时，求这个长方形的长和宽.
（2）当周长为k时，证明：当k≥12时，总能围成面积为9的长方形.
【答案】（1）解：①已知周长为12，根据周长公式： 2(a+b)=12
化简得： a+b=6
因此b=6-a，长方形的面积S= ab=a(6-a).
②已知面积为8，代入①的结果：a(6-a)=8，整理为一元二次方程得：
因式分解得： (a-2)(a-4)=0，解得 a=2或a=4.
所以长为4，宽为2
（2）解：已知周长为k，则 即
要围成面积为9的长方形，需满足：
整理方程：
计算根的判别式：
当k≥12时， 则 即△≥0
因此，当k≥12时，总能围成面积为9的长方形
【知识点】公式法解一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】(1)①根据长方形周长公式求出长与宽的关系，再代入面积公式即可；
②将面积值代入1中得到的面积表达式，求解方程得到长和宽；
(2)先根据周长公式求出长与宽的关系，再代入面积公式得到关于长的一元二次方程，通过判别式判断方程是否有解，进而证明能否围成面积为9的长方形.
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