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广东省汕头市龙湖区2024—2025学年下学期七年级数学 期末测试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、 是分数，分数属于有理数，不是无理数，A符合题意；
B、 是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，B不符合题意；
C、 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，C不符合题意；
D、 是无限不循环小数，属于无理数，D不符合题意；
故答案为：A。
【解答】本题考查有理数与无理数的区分，核心是理解无理数的定义——无限不循环小数，且不能表示为两个整数的比。
2． 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是 （　　）.
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取100人 D．在全校学生中随机选取100人
【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】 解：ABC：只关注了特定的群体，比如一个班的学生、一个体育队的学生或全校女生，不具有代表性；
D：在全校学生中随机选取100人，这种方法能够最大程度地确保样本的随机性与代表性，从而更准确地反映出全校学生在课余用于体育锻炼时间的普遍情况，
故答案为：D
【分析】根据抽样调查的代表性和科学性结合题意逐一评估即可求解。
3．平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】已知点 P 的坐标为 (-1， 3)，它的横坐标为负数，纵坐标为正数，符合第二象限的坐标符号特征。因此点 P 在第二象限，
故答案为：B。
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号规律：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），据此即可快速判断点所在的象限。
4．若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ∵，而，
，故A选项错误；
B.，
，故B选项正确；
C.，，
，故C选项错误；
D.，
，故D选项错误．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．解方程组时，若将①-②可得（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①-②得：，
即，
故答案为：D．
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
6．下列说法错误的是（　　）
A．64的立方根是4
B．算术平方根等于它本身的数有0和1
C．的平方根是2
D．
【答案】C
【知识点】实数的绝对值；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、64 的立方根是 4，A正确；
B、算术平方根等于本身的数只有 0 和 1，B正确；
C、 ，2 的平方根是 ，C错误；
D、因为 9 大于 5，所以 3 大于√5，3 减√5 的结果为正数，因此它的绝对值就是本身，即 ，D正确；
故答案为：C。
【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根和实数绝对值的相关知识，熟练掌握这些概念的定义与性质，通过逐一分析选项。
7．已知直线，且分别与直线交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】已知直线 ，根据平行线的同位角相等，可得 ；
又已知三角板的 ，而 、、 共同组成平角，因此：
故答案为：B。
【分析】本题考查平行线的性质与平角的定义，利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系，再结合平角为180°的性质，通过角度计算求出目标角的度数。
8．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：已知点 A 的坐标为 (2，1)、点 C 的坐标为 (-1，2)，据此可以确定 x 轴、y 轴的位置和单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示：
在坐标系中，根据网格线可以读出点 B 的位置，其坐标为 (-2，-2)，
故答案为：C。
【分析】本题考查平面直角坐标系中根据已知点坐标确定坐标系、求解未知点坐标的问题。利用 A、C 两点的坐标特征，还原平面直角坐标系的位置，再根据网格确定点 B 的坐标。
9．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
，，
，
，
，
，
∴；
故选：C．
【分析】本题考查由平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得出，进而求出和的度数．
10．如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： 由题意可得：，，
…，
以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限，
∵，
∴点在第三象限，
∵，，，
∴可以推出，
∴，即
故答案为：B．
【分析】先求出规律当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限，再结合，，，求出，最后求出，即即可.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．已知和互为邻补角，若，则　 　．
【答案】
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵和互为邻补角，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】 根据邻补角的定义，两角之和为 180°，再结合已知∠1 的度数，通过减法计算即可求出∠2 的度数。
12．如图，表示小华每个月测量他栽种的小树的高度之间的趋势图，去掉一个点后，剩下的五个点大致分布在如图这条直线附近，这个点是　 　．
【答案】
【知识点】趋势图；生活中的简单统计分析
【解析】【解答】解：由图可知远离这条直线，因此掉点后，剩下的5个点大致分布在如图这条直线附近，
故答案为：．
【分析】 观察图中各点与直线的位置关系，找出偏离趋势直线最远的点，即为需要去掉的点。
13．若是二元一次方程的一个解，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，得，
∴．
故答案为：．
【分析】将方程的解代入方程可得，再整体代入代数式即可求出答案.
14．已知点的横坐标x．纵坐标y满足等式：，则点P到y轴的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】点到直线的距离；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴点P的坐标为，
∴点P到y轴的距离是，
故答案为：3．
【分析】根据非负数的性质，由算术平方根与平方数的和为 0，分别求出横坐标x和纵坐标y的值，再利用点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，计算得出结果。
15．已知关于x的不等式组的整数解只有三个，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
∵不等式组的整数解只有三个，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到公共解集；接着结合 “整数解只有三个” 的条件，确定参数a的取值范围，最后解关于a的不等式得出结果。
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
表示在数轴上是：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据 “同小取小” 的原则确定它们的公共解集，最后在数轴上表示出该解集。
17． 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯. A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元； B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元. 1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元
【答案】解：设1盏甲型节能灯售价x元，1盏乙型节能灯的售价y元，
，解得
∴1盏甲型节能灯售价5元，1盏乙型节能灯的售价7元。
【知识点】二元一次方程的应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】本题根据条件“ A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元 ”，可列式，然后根据条件“ B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元 ”列式，联立方程组求解即可。
18．人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对七年级开展5种兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图①、图②所示，根据提供的信息，解决下列问题：
（1）本次抽样调查样本容量是 ▲ ；将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为　 　；
（3）若该校七年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数，
【答案】（1）15；
（2）
（3）解：（人，
答：估计喜欢（数据分析）模块的学生人数约150名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机抽取调查的总人数为：（名，
∴本次抽样调查样本容量是60．
故喜欢的人数为：（名，
故答案为：15；
（2）解：图②中项目对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据 C 组人数和所占百分比算出样本总人数，再用总人数减去其他组人数得到 D 组人数，补全条形统计图；
（2）用 360° 乘以 E 组人数占总人数的比例，算出对应扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘以样本中 B 组人数所占的比例，估计出全校喜欢 B 模块的学生人数
（1）解：本次随机抽取调查的总人数为：（名，
∴本次抽样调查样本容量是60．
故喜欢的人数为：（名，
补全图①中的条形统计图如下：
（2）解：图②中项目对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
（3）解：（人，
答：估计喜欢（数据分析）模块的学生人数约150名．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．如图，在平面直角坐标系中，已知．
（1）若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）；
（2）在图中画出平移后的；
（3）将线段平移到线段，点A平移到E，若平移后点E，F恰好都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）
（2）解：由（1）得：，，，
依次连接点坐标，如下图所示：
（3）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵， 把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，
∴，，，
故答案为：；
（3）解：∵平移后点E，F恰好都在坐标轴上，，
设平移后的点，，
①当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴；
②当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴．
【分析】（1）根据平移的坐标变化规律，计算出△ABC 各顶点平移后的对应点坐标；
（2）依据（1）中得到的平移后顶点坐标，在坐标系中描点并依次连接，画出平移后的三角形；
（3）设出平移后点 E、F 的坐标，分 “E 在 x 轴、F 在 y 轴” 和 “E 在 y 轴、F 在 x 轴” 两种情况，利用坐标轴上点的坐标特征列方程求解，得到点 E 的坐标。
（1）解：∵， 把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，
∴，，，
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，，，
依次连接点坐标，如下图所示：
（3）解：∵平移后点E，F恰好都在坐标轴上，，
设平移后的点，，
①当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴；
②当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴．
20．如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
（1）已知，直接写出的度数；
（2）求证：平分．
【答案】（1）
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
21．【问题背景】
全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量
家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车：
【理解应用】
（1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？
【方案设计】
（2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？
【答案】解：（1）
，
答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量．
（2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得：
，
解得：，
∴x的整数解有1，2，3，
∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点；
方案一所需要费用：（元）；
方案二所需要费用：（元）；
方案三所需要费用：（元）；
∵，
∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数混合运算的实际应用；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）先根据各项数据和对应碳排放系数算出总碳排放量，再除以天数，得到平均每天的二氧化碳排放量；
（2）先设大租赁点的数量为未知数，根据总费用限制和租赁点数量要求列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再分别计算各方案费用并比较，选出最省钱的方案。
五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题：
（1）已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是　 　；
（2）设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；
（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和．
【答案】（1）
（2）解：将，代入方程得：
．
解得：．
代入方程得：．
∴此方程的正整数解为：．
（3）解：∵，
∴，．
∵是“合作线”的一个“团结点”，
∴．
∴，或．
∵，，
∴由，可得s有最大值12．
由，可得s有最小值．
∴s的最大值与最小值的和为．
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：将，，C(1，2)代入方程，只有是方程的解，
∴“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
【分析】(1) 把各点坐标代入“合作线”方程，能使方程成立的点即为“团结点”；
(2) 先将两个“团结点”坐标代入方程求出参数、的值，再代入新方程求解其正整数解；
(3) 根据“团结点”定义和已知条件，将表示为或的函数，结合非负数的性质求出的最大值与最小值，再计算它们的和。
（1）解：将，，C(1，2)代入方程，只有是方程的解，
∴“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
（2）解：将，代入方程得：
．
解得：．
代入方程得：．
∴此方程的正整数解为：．
（3）解：∵，
∴，．
∵是“合作线”的一个“团结点”，
∴．
∴，或．
∵，，
∴由，可得s有最大值12．
由，可得s有最小值．
∴s的最大值与最小值的和为．
23．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且．
（1）点C的坐标为：______；
（2）一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动．
①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数；
②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：①如图，过点F作轴，
则；
轴，
，，
；
，
，
；
分别是与的角平分线，
，
，
；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则；
由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，
则此时点D的坐标为；
，
∴点D到x轴的距离为，
当的面积为6时，即，
解得：或，
即或；
当的面积大于6时，m的范围为：或．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，轴，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据轴，，求出点C的坐标即可；
（2）①过点F作轴，先求出；再利用角平分线定义可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则，再求出点D的坐标为，再根据的面积为6时，即，求出t的值，再求出m的值，从而得解.
（1）解：，轴，
，
故答案为：；
（2）解：①如图，过点F作轴，则；
轴，
，，
；
，
，
；
分别是与的角平分线，
，
，
；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则；
由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，
则此时点D的坐标为；
，点D到x轴的距离为，
当的面积为6时，即，
解得：或，
即或；
当的面积大于6时，m的范围为：或．
1 / 1广东省汕头市龙湖区2024—2025学年下学期七年级数学 期末测试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（　　）
A． B． C． D．
2． 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是 （　　）.
A．随机选取一个班的学生 B．随机选取一个体育队的学生
C．在全校女生中随机选取100人 D．在全校学生中随机选取100人
3．平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．解方程组时，若将①-②可得（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（　　）
A．64的立方根是4
B．算术平方根等于它本身的数有0和1
C．的平方根是2
D．
7．已知直线，且分别与直线交于点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点；按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．已知和互为邻补角，若，则　 　．
12．如图，表示小华每个月测量他栽种的小树的高度之间的趋势图，去掉一个点后，剩下的五个点大致分布在如图这条直线附近，这个点是　 　．
13．若是二元一次方程的一个解，则的值是　 　．
14．已知点的横坐标x．纵坐标y满足等式：，则点P到y轴的距离是　 　．
15．已知关于x的不等式组的整数解只有三个，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
17． 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯. A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元； B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元. 1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元
18．人工智能（AI）通过智能算法处理数据、自动化办公、客户服务等任务．可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对七年级开展5种兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，学校从七年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图①、图②所示，根据提供的信息，解决下列问题：
（1）本次抽样调查样本容量是 ▲ ；将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为　 　；
（3）若该校七年级共有500名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数，
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．如图，在平面直角坐标系中，已知．
（1）若把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，直接写出点的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ），的坐标：（ ， ）；
（2）在图中画出平移后的；
（3）将线段平移到线段，点A平移到E，若平移后点E，F恰好都在坐标轴上，请直接写出点E的坐标．
20．如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
（1）已知，直接写出的度数；
（2）求证：平分．
21．【问题背景】
全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 每人使用各种交通工具 每移动产生的碳排放量
家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车： 公交车： 汽车：
【理解应用】
（1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？
【方案设计】
（2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？
五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．规定：关于x，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，答下列问题：
（1）已知，，，则是“合作线”的“团结点”的是　 　；
（2）设，是“合作线”的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；
（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”的一个“团结点”，求S的最大值与最小值的和．
23．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且．
（1）点C的坐标为：______；
（2）一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动．
①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数；
②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、 是分数，分数属于有理数，不是无理数，A符合题意；
B、 是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，B不符合题意；
C、 是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，C不符合题意；
D、 是无限不循环小数，属于无理数，D不符合题意；
故答案为：A。
【解答】本题考查有理数与无理数的区分，核心是理解无理数的定义——无限不循环小数，且不能表示为两个整数的比。
2．【答案】D
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】 解：ABC：只关注了特定的群体，比如一个班的学生、一个体育队的学生或全校女生，不具有代表性；
D：在全校学生中随机选取100人，这种方法能够最大程度地确保样本的随机性与代表性，从而更准确地反映出全校学生在课余用于体育锻炼时间的普遍情况，
故答案为：D
【分析】根据抽样调查的代表性和科学性结合题意逐一评估即可求解。
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】已知点 P 的坐标为 (-1， 3)，它的横坐标为负数，纵坐标为正数，符合第二象限的坐标符号特征。因此点 P 在第二象限，
故答案为：B。
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号规律：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），据此即可快速判断点所在的象限。
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A. ∵，而，
，故A选项错误；
B.，
，故B选项正确；
C.，，
，故C选项错误；
D.，
，故D选项错误．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①-②得：，
即，
故答案为：D．
【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
6．【答案】C
【知识点】实数的绝对值；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A、64 的立方根是 4，A正确；
B、算术平方根等于本身的数只有 0 和 1，B正确；
C、 ，2 的平方根是 ，C错误；
D、因为 9 大于 5，所以 3 大于√5，3 减√5 的结果为正数，因此它的绝对值就是本身，即 ，D正确；
故答案为：C。
【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根和实数绝对值的相关知识，熟练掌握这些概念的定义与性质，通过逐一分析选项。
7．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】已知直线 ，根据平行线的同位角相等，可得 ；
又已知三角板的 ，而 、、 共同组成平角，因此：
故答案为：B。
【分析】本题考查平行线的性质与平角的定义，利用“两直线平行，同位角相等”得到角的等量关系，再结合平角为180°的性质，通过角度计算求出目标角的度数。
8．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：已知点 A 的坐标为 (2，1)、点 C 的坐标为 (-1，2)，据此可以确定 x 轴、y 轴的位置和单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示：
在坐标系中，根据网格线可以读出点 B 的位置，其坐标为 (-2，-2)，
故答案为：C。
【分析】本题考查平面直角坐标系中根据已知点坐标确定坐标系、求解未知点坐标的问题。利用 A、C 两点的坐标特征，还原平面直角坐标系的位置，再根据网格确定点 B 的坐标。
9．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
，，
，
，
，
，
∴；
故选：C．
【分析】本题考查由平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得出，进而求出和的度数．
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： 由题意可得：，，
…，
以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限，
∵，
∴点在第三象限，
∵，，，
∴可以推出，
∴，即
故答案为：B．
【分析】先求出规律当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限，再结合，，，求出，最后求出，即即可.
11．【答案】
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵和互为邻补角，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】 根据邻补角的定义，两角之和为 180°，再结合已知∠1 的度数，通过减法计算即可求出∠2 的度数。
12．【答案】
【知识点】趋势图；生活中的简单统计分析
【解析】【解答】解：由图可知远离这条直线，因此掉点后，剩下的5个点大致分布在如图这条直线附近，
故答案为：．
【分析】 观察图中各点与直线的位置关系，找出偏离趋势直线最远的点，即为需要去掉的点。
13．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入二元一次方程，得，
∴．
故答案为：．
【分析】将方程的解代入方程可得，再整体代入代数式即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】点到直线的距离；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴点P的坐标为，
∴点P到y轴的距离是，
故答案为：3．
【分析】根据非负数的性质，由算术平方根与平方数的和为 0，分别求出横坐标x和纵坐标y的值，再利用点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，计算得出结果。
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
∵不等式组的整数解只有三个，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到公共解集；接着结合 “整数解只有三个” 的条件，确定参数a的取值范围，最后解关于a的不等式得出结果。
16．【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
表示在数轴上是：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据 “同小取小” 的原则确定它们的公共解集，最后在数轴上表示出该解集。
17．【答案】解：设1盏甲型节能灯售价x元，1盏乙型节能灯的售价y元，
，解得
∴1盏甲型节能灯售价5元，1盏乙型节能灯的售价7元。
【知识点】二元一次方程的应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】本题根据条件“ A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元 ”，可列式，然后根据条件“ B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元 ”列式，联立方程组求解即可。
18．【答案】（1）15；
（2）
（3）解：（人，
答：估计喜欢（数据分析）模块的学生人数约150名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机抽取调查的总人数为：（名，
∴本次抽样调查样本容量是60．
故喜欢的人数为：（名，
故答案为：15；
（2）解：图②中项目对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
【分析】（1）先根据 C 组人数和所占百分比算出样本总人数，再用总人数减去其他组人数得到 D 组人数，补全条形统计图；
（2）用 360° 乘以 E 组人数占总人数的比例，算出对应扇形圆心角的度数；
（3）用全校总人数乘以样本中 B 组人数所占的比例，估计出全校喜欢 B 模块的学生人数
（1）解：本次随机抽取调查的总人数为：（名，
∴本次抽样调查样本容量是60．
故喜欢的人数为：（名，
补全图①中的条形统计图如下：
（2）解：图②中项目对应的圆心角的度数为：，
故答案为：；
（3）解：（人，
答：估计喜欢（数据分析）模块的学生人数约150名．
19．【答案】（1）
（2）解：由（1）得：，，，
依次连接点坐标，如下图所示：
（3）
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：∵， 把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，
∴，，，
故答案为：；
（3）解：∵平移后点E，F恰好都在坐标轴上，，
设平移后的点，，
①当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴；
②当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴．
【分析】（1）根据平移的坐标变化规律，计算出△ABC 各顶点平移后的对应点坐标；
（2）依据（1）中得到的平移后顶点坐标，在坐标系中描点并依次连接，画出平移后的三角形；
（3）设出平移后点 E、F 的坐标，分 “E 在 x 轴、F 在 y 轴” 和 “E 在 y 轴、F 在 x 轴” 两种情况，利用坐标轴上点的坐标特征列方程求解，得到点 E 的坐标。
（1）解：∵， 把向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到，
∴，，，
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，，，
依次连接点坐标，如下图所示：
（3）解：∵平移后点E，F恰好都在坐标轴上，，
设平移后的点，，
①当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴；
②当在轴上，在轴上时，
∴，即：，
，即：，
∴．
20．【答案】（1）
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
21．【答案】解：（1）
，
答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量．
（2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得：
，
解得：，
∴x的整数解有1，2，3，
∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点；
方案一所需要费用：（元）；
方案二所需要费用：（元）；
方案三所需要费用：（元）；
∵，
∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数混合运算的实际应用；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）先根据各项数据和对应碳排放系数算出总碳排放量，再除以天数，得到平均每天的二氧化碳排放量；
（2）先设大租赁点的数量为未知数，根据总费用限制和租赁点数量要求列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再分别计算各方案费用并比较，选出最省钱的方案。
22．【答案】（1）
（2）解：将，代入方程得：
．
解得：．
代入方程得：．
∴此方程的正整数解为：．
（3）解：∵，
∴，．
∵是“合作线”的一个“团结点”，
∴．
∴，或．
∵，，
∴由，可得s有最大值12．
由，可得s有最小值．
∴s的最大值与最小值的和为．
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：将，，C(1，2)代入方程，只有是方程的解，
∴“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
【分析】(1) 把各点坐标代入“合作线”方程，能使方程成立的点即为“团结点”；
(2) 先将两个“团结点”坐标代入方程求出参数、的值，再代入新方程求解其正整数解；
(3) 根据“团结点”定义和已知条件，将表示为或的函数，结合非负数的性质求出的最大值与最小值，再计算它们的和。
（1）解：将，，C(1，2)代入方程，只有是方程的解，
∴“合作线”的团结点的是．
故答案为：．
（2）解：将，代入方程得：
．
解得：．
代入方程得：．
∴此方程的正整数解为：．
（3）解：∵，
∴，．
∵是“合作线”的一个“团结点”，
∴．
∴，或．
∵，，
∴由，可得s有最大值12．
由，可得s有最小值．
∴s的最大值与最小值的和为．
23．【答案】（1）
（2）解：①如图，过点F作轴，
则；
轴，
，，
；
，
，
；
分别是与的角平分线，
，
，
；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则；
由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，
则此时点D的坐标为；
，
∴点D到x轴的距离为，
当的面积为6时，即，
解得：或，
即或；
当的面积大于6时，m的范围为：或．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，轴，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据轴，，求出点C的坐标即可；
（2）①过点F作轴，先求出；再利用角平分线定义可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则，再求出点D的坐标为，再根据的面积为6时，即，求出t的值，再求出m的值，从而得解.
（1）解：，轴，
，
故答案为：；
（2）解：①如图，过点F作轴，则；
轴，
，，
；
，
，
；
分别是与的角平分线，
，
，
；
②设t秒时，点D的横坐标为m，则；
由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，
则此时点D的坐标为；
，点D到x轴的距离为，
当的面积为6时，即，
解得：或，
即或；
当的面积大于6时，m的范围为：或．
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