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第五单元 分式
期末专题复习（教师版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 分式的概念（5.1）
1. 形如（B≠0，A、B为整式）的式子叫做分式。分母必须含有字母。
2. 分式有意义的条件：分母B≠0。分式值为零的条件：A=0且B≠0。
3. 区分分式与整式：关键看分母是否含有字母（π不是字母，是常数）。
考点02 分式的基本性质（5.1）
1.= = （M≠0，N≠0，M、N为整式）。
2. 应用一——约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式。
3. 应用二——通分：化为同分母分式，为加减运算做准备。
考点03 分式的乘除（5.2）
1. 乘法： × = ；除法： ÷ =× = 。
2. 运算步骤：①除变乘（取倒数）；②分子分母分别分解因式；③约分。
考点04 分式的加减（5.2）
1. 同分母： ± =，分母不变，分子相加减。
2. 异分母：先通分化为同分母，再加减。关键：找最简公分母。
3. 最简公分母：①系数取最小公倍数；②所有字母取最高次幂。
考点05 分式方程（5.3）
1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 解法步骤：①去分母（两边同乘最简公分母）→化为整式方程；②解整式方程；③验根——必须代入最简公分母检验，使公分母为0的是增根，舍去。
3. 列分式方程解应用题：注意检验解是否符合实际意义。
考点06 分式的综合应用（5.4）
1. 先化简再求值：先将分式化为最简形式，再代入数值求值。
2. 含参数的分式方程：根据解的情况求参数值。注意增根情况。
3. 注意约分与通分时的符号问题，特别是分母为负时的处理。
二、考点例题讲解
例1 （分式有意义条件）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：D．
例2 （分式的基本性质）下列分式的变形正确的是（　　）
A．＝﹣ B．＝x+y
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
例3 （分式的乘除）化简：__________．
【答案】a
【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：a．
例4 （分式的加减）计算：的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加法．原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
例5 （分式方程）方程的解是________．
【答案】．
【分析】方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化求解，最后将求得的解代入最简公分母进行检验．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：，
检验：将代入，
故是原方程的解，
故答案为：．
例6 （分式的综合运用）施工队要铺设米的下水管道,因在中考期间需停工天,每天要比原计划多施工米才能按时完成任务.设原计划每天施工米,所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的应用。根据“原计划所用时间-实际所用时间=3”可得方程．
【详解】解：设原计划每天施工x米，
根据题意，可列方程：，
故选择：A.
三、课后训练
（一）选择题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了最简分式，直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可．
【详解】解：A选项中分子和分母有公因式，所以A选项不符合题意；
B选项中分子和分母有公因式，所以B选项不符合题意；
C选项中的分子和分母没有公因式，所以C选项符合题意；
D 选项中分子和分母有公因式，所以D选项不符合题意；
故选：C．
2．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了元，竹叶青酒花费了元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵元．设每瓶汾酒的价格为元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元，依据两种酒的瓶数相同列方程即可．
【详解】解：设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元，
依题意列方程：
，
故选：B．
3．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．8个
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．
将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：
，
若要的值为整数，只需为整数即可，可以是，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个，
故答案为：D．
4．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天；
方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案．
【详解】解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，
根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
∴完成这项工程的规定日期是天；
∴方案①的费用为（万元），
方案③的费用为：（万元），
∵，
∴在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③．
故选：C．
5．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
【答案】D
【分析】根据增根的定义确定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．
【详解】解：，
去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
6．设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
【答案】D
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原方程为：，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得：，
∵关于x的方程无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，
故选：D．
（二）填空题
7．使分式方程产生增根的的值为_____________．
【答案】
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的是分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【详解】解：方程两边都乘，
得，
最简公分母为，
原方程的增根为，
把代入，得，
故答案为：．
8．计算：的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加法．原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
9．若，且，那么代数式___________．
【答案】/
【分析】先对代数式进行化简，然后把代入求值即可；
【详解】解：∵，
∴，
原式，
∵，
∴原式．
故答案是．
10．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______．
【答案】0、2、3
【分析】由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的约数，从而可得答案．
【详解】解：根据“雅中式”的定义，可得，
即，
因式分解得，对等式左边通分得：
，
因此，
展开计算得：
，
因此，
分式有意义，则，即，约分可得，
因为为整数，的值为整数，所以是的约数，即，
解得或或或，
又因为分式有意义需满足，，即且，
故舍去，
因此所有符合条件的的值为0、2、3．
（三）解答题
11．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)（增根），原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，经检验是原方程的解；
（2）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，当时，所以是分式方程的增根，原方程无解．
【详解】（1）解：
解得，
经检验是原方程的解；
（2）解：
，
解得，
当时，
是分式方程的增根，原方程无解．
12．先化简，再求值：，其中x＝5．
【答案】，
【分析】直接将括号里面通分运算，再把分式除法运算转换成分式乘法计算得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝5时，原式＝．
13．疫苗是防控疫情的重要手段，是国际抗疫合作的重要内容．中国将新冠疫苗作为全球公共产品，并加入了世界卫生组织新冠肺炎疫苗实施计划，这既是为国际社会战胜疫情作出贡献，也是在践行人类命运共同体理念．某制药厂计划生产2万份国产疫苗，生产2天后，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，那么原计划每天生产疫苗多少份？
【答案】2500
【分析】设原来每天生产疫苗x份，则两天后每天生产的疫苗数为1.5x，然后根据计划生产2万份国产疫苗，生产2天后，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，列出方程求解即可．
【详解】解：设原来每天生产疫苗x份，则两天后每天生产的疫苗数为1.5x，
由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原来每天生产疫苗2500份，
答：原来每天生产疫苗2500份．
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第五单元 分式
期末专题复习（学生版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 分式的概念（5.1）
1. 形如（B≠0，A、B为整式）的式子叫做分式。分母必须含有字母。
2. 分式有意义的条件：分母B≠0。分式值为零的条件：A=0且B≠0。
3. 区分分式与整式：关键看分母是否含有字母（π不是字母，是常数）。
考点02 分式的基本性质（5.1）
1.= = （M≠0，N≠0，M、N为整式）。
2. 应用一——约分：分子分母同除以公因式，化为最简分式。
3. 应用二——通分：化为同分母分式，为加减运算做准备。
考点03 分式的乘除（5.2）
1. 乘法： × = ；除法： ÷ =× = 。
2. 运算步骤：①除变乘（取倒数）；②分子分母分别分解因式；③约分。
考点04 分式的加减（5.2）
1. 同分母： ± =，分母不变，分子相加减。
2. 异分母：先通分化为同分母，再加减。关键：找最简公分母。
3. 最简公分母：①系数取最小公倍数；②所有字母取最高次幂。
考点05 分式方程（5.3）
1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 解法步骤：①去分母（两边同乘最简公分母）→化为整式方程；②解整式方程；③验根——必须代入最简公分母检验，使公分母为0的是增根，舍去。
3. 列分式方程解应用题：注意检验解是否符合实际意义。
考点06 分式的综合应用（5.4）
1. 先化简再求值：先将分式化为最简形式，再代入数值求值。
2. 含参数的分式方程：根据解的情况求参数值。注意增根情况。
3. 注意约分与通分时的符号问题，特别是分母为负时的处理。
二、考点例题讲解（演练）
例1 （分式有意义条件）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2 （分式的基本性质）下列分式的变形正确的是（　　）
A．＝﹣ B．＝x+y
C． D．
例3 （分式的乘除）化简：__________．
例4 （分式的加减）计算：的值为________．
例5 （分式方程）方程的解是________．
例6 （分式的综合运用）施工队要铺设米的下水管道,因在中考期间需停工天,每天要比原计划多施工米才能按时完成任务.设原计划每天施工米,所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
三、课后训练
（一）选择题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．某商场购进了一批白酒，这批白酒包括杏花汾酒和竹叶青酒，且两种白酒的瓶数相同，其中汾酒花费了元，竹叶青酒花费了元，已知一瓶汾酒比一瓶竹叶青酒的价格贵元．设每瓶汾酒的价格为元，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．8个
4．为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天；
方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ）
A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③
5．若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．不存在 B．6 C．12 D．6或12
6．设，为实数，定义如下一种新运算：，若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．4 B．－3 C．4或－3 D．4或3
（二）填空题
7．使分式方程产生增根的的值为_____________．
8．计算：的值为________．
9．若，且，那么代数式___________．
10．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______．
（三）解答题
11．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
12．先化简，再求值：，其中x＝5．
13．疫苗是防控疫情的重要手段，是国际抗疫合作的重要内容．中国将新冠疫苗作为全球公共产品，并加入了世界卫生组织新冠肺炎疫苗实施计划，这既是为国际社会战胜疫情作出贡献，也是在践行人类命运共同体理念．某制药厂计划生产2万份国产疫苗，生产2天后，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，那么原计划每天生产疫苗多少份？
四、参考答案
例题答案
例一：【答案】D
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：D．
例二：【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
例三：【答案】a
【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：a．
例四：【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加法．原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
例五：【答案】．
【分析】方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化求解，最后将求得的解代入最简公分母进行检验．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：，
检验：将代入，
故是原方程的解，
故答案为：．
例六：【答案】A
【分析】本题考查的是分式的应用。根据“原计划所用时间-实际所用时间=3”可得方程．
【详解】解：设原计划每天施工x米，
根据题意，可列方程：，
故选择：A.
课后训练答案
一、选择题
1.【答案】C
【分析】本题考查了最简分式，直接判断分子和分母在因式分解后有没有公因式即可．
【详解】解：A选项中分子和分母有公因式，所以A选项不符合题意；
B选项中分子和分母有公因式，所以B选项不符合题意；
C选项中的分子和分母没有公因式，所以C选项符合题意；
D 选项中分子和分母有公因式，所以D选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】B
【分析】设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元，依据两种酒的瓶数相同列方程即可．
【详解】解：设每瓶汾酒的价格为元，则每瓶竹叶青酒的价格为元，
依题意列方程：
，
故选：B．
3.【答案】D
【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．
将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．
【详解】解：
，
若要的值为整数，只需为整数即可，可以是，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个，
故答案为：D．
4.【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案．
【详解】解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，
根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
∴完成这项工程的规定日期是天；
∴方案①的费用为（万元），
方案③的费用为：（万元），
∵，
∴在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③．
故选：C．
5.【答案】D
【分析】根据增根的定义确定x的值，把分式方程去分母后，代入即可求m的值．
【详解】解：，
去分母得，
∵方程有增根，
当时，；
当时，，；
故选：D．
6.【答案】D
【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴原方程为：，
去分母得：
ax=12+3x-9，
移项，合并同类项得：
（a-3）x=3，
解得：，
∵关于x的方程无解，
∴原方程有增根3或a-3=0，
∴或a-3=0，
解得：解得：a=4或a=3，
故选：D．
二、填空题
7.【答案】
【分析】根据增根是分式方程化为整式方程后产生的是分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
【详解】解：方程两边都乘，
得，
最简公分母为，
原方程的增根为，
把代入，得，
故答案为：．
8.【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的加法．原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可求出值．
【详解】解：
．
故答案为：．
9.【答案】/
【分析】先对代数式进行化简，然后把代入求值即可；
【详解】解：∵，
∴，
原式，
∵，
∴原式．
故答案是．
10.【答案】0、2、3
【分析】由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的约数，从而可得答案．
【详解】解：根据“雅中式”的定义，可得，
即，
因式分解得，对等式左边通分得：
，
因此，
展开计算得：
，
因此，
分式有意义，则，即，约分可得，
因为为整数，的值为整数，所以是的约数，即，
解得或或或，
又因为分式有意义需满足，，即且，
故舍去，
因此所有符合条件的的值为0、2、3．
三、解答题
11.【答案】(1)
(2)（增根），原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，经检验是原方程的解；
（2）将分式方程化为整式方程得到，继而得到，解得，当时，所以是分式方程的增根，原方程无解．
【详解】（1）解：
解得，
经检验是原方程的解；
（2）解：
，
解得，
当时，
是分式方程的增根，原方程无解．
12.【答案】，
【分析】直接将括号里面通分运算，再把分式除法运算转换成分式乘法计算得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当x＝5时，原式＝．
13.【答案】2500
【分析】设原来每天生产疫苗x份，则两天后每天生产的疫苗数为1.5x，然后根据计划生产2万份国产疫苗，生产2天后，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，列出方程求解即可．
【详解】解：设原来每天生产疫苗x份，则两天后每天生产的疫苗数为1.5x，
由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原来每天生产疫苗2500份，
答：原来每天生产疫苗2500份．
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