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第四单元 因式分解
期末专题复习（学生版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 因式分解的概念（4.1）
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。
2. 因式分解是整式乘法的逆变形；如ma+mb+mc = m(a+b+c)的逆用。
3. 判断依据：结果必须是整式乘积的形式（而非和差形式）。
考点02 提公因式法（4.1）
1. 公因式：多项式各项都含有的公共因式。ma+mb+mc = m(a+b+c)。
2. 确定公因式：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③指数取相同字母的最低次幂。
3. 步骤：找出公因式 → 提出公因式 → 括号内写除以公因式后的商。
考点03 公式法——平方差公式（4.2）
1. a - b = (a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数的和与差的积。
2. 识别特征：两项、异号、每项都是完全平方。
3. 注意：①a和b可以是单项式也可以是多项式；②能用平方差的前提是两项符号相反。
考点04 公式法——完全平方公式（4.2）
1. a +2ab+b = (a+b) ；a -2ab+b = (a-b) 。
2. 识别特征：三项，首尾是完全平方项，中间项是首尾底数乘积的2倍。
3. 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍中间放"。看符号定括号内的加减。
考点05 十字相乘法（4.3）
1. x +(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)，即二次项系数为1时，找两个数p、q使p+q等于一次项系数，pq等于常数项。
2. 符号规律：常数项为正→p、q同号（跟一次项系数符号）；常数项为负→p、q异号（绝对值大者跟一次项系数符号）。
3. 注意验证：展开(x+p)(x+q)是否等于原多项式。
考点06 分组分解法（4.3）
1. 把多项式适当分组，使每组都能分解，再整体分解。如ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)。
2. 常见分组：①按公因式分组；②三项一组用完全平方，两项一组用平方差。
3. 分解彻底原则：分解到每个因式都不能再分解为止。
二、考点例题讲解（演练）
例1 （提公因式法）把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
例2 （平方差公式）若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或 D．4
例3 （完全平方公式）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
例4 （十字相乘法）已知二次三项式可以因式分解为，则的值为______．
例5 （分组分解法）因式分解的结果是________
三、课后训练
（一）选择题
1．下列各式可以因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，则等于（ ）
A．13 B．14 C．12 D．7
3．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五
（二）填空题
7．分解因式：________
8．因式分解∶______．
9．因式分解：______．
10．设，，，都是正整数，且，，，则______．
（三）解答题
11．分解因式：
(1)；
(2)．
12．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式：______．
13．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：___________．
(1)用平方差公式补全上面算式最后一步．
(2)用上述方法把分解因式．
四、参考答案
例题答案
例一：【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
利用提取公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
例二：【答案】B
【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
例三：【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
需满足的形式，据此判断各选项．
【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式；
选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配；
选项C：：首项，末项，中间项，符合；
选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方；
故选C．
例四：【答案】
【分析】根据十字乘法求得，可得的值，即可求解．
【详解】解：
∴，
∴，
故答案为：．
例五：【答案】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分组分解的方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
课后训练答案
一、选择题
1.【答案】C
【分析】将一个多项式写出几个整式的积的形式即将多项式因式分解，根据定义及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A．不能因式分解，故不符合题意；
B．不能因式分解，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．不能因式分解，故不符合题意；
故选：C．
2.【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
3.【答案】D
【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；
多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
4.【答案】C
【分析】首先设原式，进而求出即可．
【详解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，
∴．
故选C．
5.【答案】A
【分析】根据因式分解的定义得出即可．
【详解】解：A、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B、，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；
D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A
6.【答案】D
【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵，
又∵ ，，
∴原式 ．
根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉，
因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”．
故选：D．
二、填空题
7.【答案】
【分析】提取公因式完成因式分解．
【详解】解：．
8.【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
9.【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
10.【答案】
【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解．
【详解】解：设，（，为正整数），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵为质数，，，为正整数，
∴，解得，
∴，
∴，，
∴．
三、解答题
11.【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）通过平方差公式分解因式；
（2）先提公因式，再通过完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12.【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
13.【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平方差公式法因式分解即可进行求解即可；
（2）根据配方法因式分解即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）
．
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第四单元 因式分解
期末专题复习（教师版）
姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________
一、考点回顾
考点01 因式分解的概念（4.1）
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。
2. 因式分解是整式乘法的逆变形；如ma+mb+mc = m(a+b+c)的逆用。
3. 判断依据：结果必须是整式乘积的形式（而非和差形式）。
考点02 提公因式法（4.1）
1. 公因式：多项式各项都含有的公共因式。ma+mb+mc = m(a+b+c)。
2. 确定公因式：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③指数取相同字母的最低次幂。
3. 步骤：找出公因式 → 提出公因式 → 括号内写除以公因式后的商。
考点03 公式法——平方差公式（4.2）
1. a - b = (a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数的和与差的积。
2. 识别特征：两项、异号、每项都是完全平方。
3. 注意：①a和b可以是单项式也可以是多项式；②能用平方差的前提是两项符号相反。
考点04 公式法——完全平方公式（4.2）
1. a +2ab+b = (a+b) ；a -2ab+b = (a-b) 。
2. 识别特征：三项，首尾是完全平方项，中间项是首尾底数乘积的2倍。
3. 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍中间放"。看符号定括号内的加减。
考点05 十字相乘法（4.3）
1. x +(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)，即二次项系数为1时，找两个数p、q使p+q等于一次项系数，pq等于常数项。
2. 符号规律：常数项为正→p、q同号（跟一次项系数符号）；常数项为负→p、q异号（绝对值大者跟一次项系数符号）。
3. 注意验证：展开(x+p)(x+q)是否等于原多项式。
考点06 分组分解法（4.3）
1. 把多项式适当分组，使每组都能分解，再整体分解。如ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)。
2. 常见分组：①按公因式分组；②三项一组用完全平方，两项一组用平方差。
3. 分解彻底原则：分解到每个因式都不能再分解为止。
二、考点例题讲解
例1 （提公因式法）把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
利用提取公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
例2 （平方差公式）若，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或 D．4
【答案】B
【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
故选：B．
例3 （完全平方公式）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．
需满足的形式，据此判断各选项．
【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式；
选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配；
选项C：：首项，末项，中间项，符合；
选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方；
故选C．
例4 （十字相乘法）已知二次三项式可以因式分解为，则的值为______．
【答案】
【分析】根据十字乘法求得，可得的值，即可求解．
【详解】解：
∴，
∴，
故答案为：．
例5 （分组分解法）因式分解的结果是________
【答案】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分组分解的方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
三、课后训练
（一）选择题
1．下列各式可以因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将一个多项式写出几个整式的积的形式即将多项式因式分解，根据定义及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A．不能因式分解，故不符合题意；
B．不能因式分解，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．不能因式分解，故不符合题意；
故选：C．
2．已知，，则等于（ ）
A．13 B．14 C．12 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
3．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；
多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
4．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先设原式，进而求出即可．
【详解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，
∴．
故选C．
5．下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义得出即可．
【详解】解：A、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B、，从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，原式从左到右的变形错误，故本选项不符合题意；
D、两边不相等，从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A
6．泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五
【答案】D
【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵，
又∵ ，，
∴原式 ．
根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉，
因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”．
故选：D．
（二）填空题
7．分解因式：________
【答案】
【分析】提取公因式完成因式分解．
【详解】解：．
8．因式分解∶______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
9．因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．设，，，都是正整数，且，，，则______．
【答案】
【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解．
【详解】解：设，（，为正整数），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵为质数，，，为正整数，
∴，解得，
∴，
∴，，
∴．
（三）解答题
11．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）通过平方差公式分解因式；
（2）先提公因式，再通过完全平方公式进行分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式：______．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
13．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，例如：___________．
(1)用平方差公式补全上面算式最后一步．
(2)用上述方法把分解因式．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据平方差公式法因式分解即可进行求解即可；
（2）根据配方法因式分解即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）
．
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