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河北新乐市第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．360
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知随机事件、满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（ ）
A． B． C．240 D．60
8．设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
9．若不等式对恒成立，则实数的值可能为（ ）
A．-2 B．-1 C． D．2
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
B．随机变量，若方差，则；
C．若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项；
D．某项测量结果服从正态分布，，则．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．此函数的最大值为（为自然对数的底数）
B．
C．，使
D．若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数）
三、填空题
12．计算：________
13．设，，若，则实数的值可以为_____．
14．设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求在上的最值.
16．河北省石家庄市某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下：
制作模型数（个）
花费时间（分钟）
参考数据：，．
(1)请根据以上数据，求关于的线性回归方程；
(2)若要制作个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间．
附：回归直线方程，其中，.
17．已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值.
18．某社区对随机抽取的120名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的．
满意 不满意 合计
男性居民 60
女性居民 20 60
合计 120
(1)请根据调查结果将上面的列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验分析居民对“安全卫生服务”的满意程度是否有差异；
(2)用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取9人，再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
参考答案
1．B
【详解】由题意，
故，
故选：B
2．B
【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，
所以③④图的变量具有线性相关关系.
故选：B
3．A
【详解】因为，所以或，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【详解】首先安排C场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：B
5．B
【详解】，则，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：B．
6．A
【详解】因为，
所以有，
因此，
故选：A
7．D
解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称，
因为，所以，所以，
其中展开式的通项为，
令，解得，所以，
即展开式的常数项为；
故选：D
8．A
【详解】
，
即函数在上单调递减，在上单调递增
当时，，，
则函数与的图象如下图所示
平移直线可知，函数与的交点个数可能为
则关于的方程的实数根的个数可能为
故选：A
9．BC
【详解】不等式的解集是，
因为不等式对恒成立，
所以，
所以，
解得 ，
所以 实数的值可能为-1，
故选：BC
10．BD
【详解】对于A，回归直线恒过样本中心，但未必经过其他样本点，故A错误；
对于B，由，
得，解得，
所以，故B正确；
对于C，因为的展开式中二项式系数的和为64，
所以，解得，
展开式的通项公式为，
令，解得，
又，故，所以系数最大的项为第5项，故C错误；
对于D，因为服从正态分布，
所以，故D正确.
故选：BD.
11．ABD
【详解】对于A，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以函数的最大值为，故A正确，
对于B，因为，且当时，单调递减，
所以，故B正确；
对于C，因为，当时，单调递减且，当时，单调递增，
所以函数有唯一零点，
因此由，由于函数的最大值为，
所以方程无实数解，不C错误；
对于D，有两个不等实根，则有两个不等的解，
，令，则，
由，所以，所以，
令有，由，
所以在单调递增，在单调递减，，
作出的图像：
由图可知，
所以有两个不等的解，则，故D正确.
故选：ABD
12．
【详解】，
故答案为：
13．，，
【详解】，
因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，
则或，
所以或，
综上实数的值可以为，，.
14．
【详解】若对于，，使成立，只需，
因为，所以，
当时，，所以在上是减函数，
所以函数取得最小值．
因为，
当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立；
当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解；
综上，实数的取值范围是，
故答案为：.
15．(1)函数递增区间为和，递减区间为
(2)最大值，最小值．
【详解】（1）函数，．
当或时，；当，
故函数递增区间为和，递减区间为.
（2）由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
则在上的最大值，最小值．
16．(1)
(2)分钟
【详解】（1）由数据得，，
因为，，
所以，
则，
所以关于的线性回归方程为．
（2）当时，（分钟），
因此可以预测制作个这种模型需要花费分钟．
17．(1)极大值为：；无极小值.
(2)2
【详解】（1）当时，，.
所以，.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，函数有极大值，为；无极小值.
（2）不等式为，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.
设，则，
当时，，，
又在上是增函数，，，
所以存在，使得，
当时，，；
当时，，，
即在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以的最小值为.
18．(1)列联表见解析，有差异
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的，
所以对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有（人），
所以列联表如下：
满意 不满意 合计
男性居民 50 10 60
女性居民 40 20 60
合计 90 30 120
零假设为：居民对“安全卫生服务”满意程度无差异．
根据题表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此可以认为不成立，
即认为居民对“安全卫生服务”的满意程度有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）由（1）知对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有50人，女性居民有40人，
用分层随机抽样的方法随机抽取9人，
则男性居民应抽取5人，女性居民应抽取4人，
再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，
所以的所有可能取值为，
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.

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