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2025-2026学年浙教版八年级（下）期末数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分_________
一．选择题（共10小题）
1．如图图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知抛物线y＝x2﹣8x与直线y＝1的交点的横坐标为m，设，则下列关于T与﹣1的大小关系中，正确的是（　　）
A．T小于﹣1 B．T大于﹣1 C．T等于﹣1 D．无法确定
4．水平社区卫生所在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，卫生所每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
收缩压（毫米汞柱） 151 148 140 139 140 136 140
舒张压（毫米汞柱） 90 92 88 88 90 80 88
对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（　　）
A．收缩压的中位数为139
B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142
D．舒张压的方差为12
5．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不等实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2且a≠1 B．a≥2且a≠1 C．a＜2且a≠1 D．a≤2且a≠1
7．在 ABCD中，AC与BD相交于点O．下列判断不正确的是（　　）
A．若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形
B．若AB＝AD，则∠DAC＝∠BAC
C．若AC＝BD，则这个图形中至少有4个等腰三角形
D．若∠BAD＝90°，则AC⊥BD
8．题目“如图，AB⊥BC，，P为线段AB上一动点，Q为点A关于点P的对称点．连接CQ．当△BCQ有一个内角为30°时，求AQ的长．”甲的答案为，乙的答案为，丙的答案为，则下列说法正确的是（　　）
A．只有甲的答案对
B．甲、乙两人的答案合在一起才完整
C．甲、丙两人的答案合在一起才完整
D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整
9．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF，DE分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　）
A． B． C． D．1
10．平面直角坐标系中有点A（0，1），点B（0，﹣1），过点B作直线l⊥y轴，点P为抛物线y＝ax2（a＞0）上任意一点，若点P到直线l的距离与PA相等，则a的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（共6小题）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
12．用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，则第一步应先假设　 　 ．
13．小明所在的一个小组共有5个学生，在一次考试中，平均分为80分，小明得了第四名，但成绩为85分，请你写出符合题意的5个数据：　 　 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为 　 　 cm/s时，能够在某一时刻使△BPD≌△CQP．
15．如图，在△ABC中，BC＝20，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝4，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，则AC＝　 　 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．点E为对角线BD上异于D的一点，以AE，DE为邻边作平行四边形AEDF，则线段EF的最小值是　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．解下列方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+3）2＝2x+6．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线．
（1）在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形ADCE是矩形．
20．在10块条件完全等同的试验田上试种A、B两个品种玉米，每个品种玉米各试种5块，产量（单位：kg）分别如下：品种A：80，85，85，90，95；品种B：80，85，90，90，90．
（1）分别求出两种品种玉米5块试验田的产量平均数、中位数及众数．
（2）根据（1）计算结果分析，你认为该选择哪种品种玉米推广种植？
21．小方在劳动教育基地活动时，用一根长6.25米的水管AO与地面上一个水阀门A连接浇菜地．打开水阀门，拉直的水管的另一头O在小方手指的挤压下，水流呈抛物线状向右方喷去，如图所示，以点O为坐标系原点建立平面直角坐标系，测量发现水流在距O点1.5米处达到最高，最高点距水平地面2.25米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）小方抬高水管头到距地面1.75米的B处继续浇地，压力不变的情况下，她此时所浇地面会比抬高前远多少米？
22．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
（1）请问每次降价的百分率为多少？
（2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？
23．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的顶点坐标为（1，9）．
（1）求a，c的值，并写出函数表达式．
（2）已知A（m，n）在该抛物线上．
①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标．
②若m≤﹣1，m≤x≤m+6时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
24．在边长为6的菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F是边BC、AB上的点，连接EF，
（1）如图1，将∠B沿EF翻折使B的对应点B′落在AC中点上，此时四边形BEB′F是什么四边形？并说明理由．
（2）如图2，若BE＝2，以EF为边在EF右侧作等边△EFG，
①连接CG，当△CEG是以CG为腰的等腰三角形时，求BF的长度．
②直接写出CG的最小值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则分别计算判断即可．
解：A、与不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意，将点（m，1）代入二次函数解析式，并据此进行计算即可．
解：由题知，
因为抛物线y＝x2﹣8x与直线y＝1的交点的横坐标为m，
所以m2﹣8m＝1，
则m2＝8m+1，
所以T．
由m2﹣8m＝1得，
m，
当m时，显然m＞﹣1，即T＞﹣1；
当m时，
，
则m＞﹣1，
即T＞﹣1，
综上所述，T大于﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象点的坐标特征，根据题意得出T＝m及求出m的值是解题的关键．
4．【考点】方差；算术平均数；中位数；众数
【分析】分别根据中位数、众数、算术平均数和方差的定义解答即可．
解：把7天的收缩压从小到大排列，排在中间的数是140，故中位数是140，故选项A符合题意；
在7天的舒张压中，88出现的次数最多，所以舒张压的众数为88，故选项B不符合题意；
收缩压的平均数为：（151+148+140+139+140+136+140）＝142，故选项C不符合题意；
舒张压的平均数为（90+92+88+88+90+80+88）＝88，
舒张压的方差为[2×（90﹣88）2+（92﹣88）2+（80﹣88）2+3×（88﹣88）2]，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了方差、算术平均数，中位数以及众数，掌握相关统计量的定义以及计算方法是解答本题的关键．
5．【考点】正多边形和圆
【分析】易得点O是正多边形外接圆的圆心，那么∠ADB为所对的圆周角，进而求得正多边形的中心角，即可求得正多边形的半径．
解：作出⊙O，连接OA，OB．
∵点O为正多边形的中心，
∴A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，
∴∠ADB为所对的圆周角，
∴∠AOB＝2∠ADB＝45°，
∴这个正多边形的边数为：8．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆的相关知识．理解正多边形的中心是它外接圆的圆心并进行应用是解决本题的关键．
6．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义
【分析】分两种情况：二次项系数为0时，此时不合题意；二次项系数不为0时，根据Δ＝b2﹣4ac＞0求解即可．
解：当a﹣1＝0，即a＝1时，
原方程为﹣2x+1＝0，
解得：x，
∴a＝1不符合题意；
当a﹣1≠0，即a≠1时，
∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不等实数根
∴，
解得：a＜2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义，熟知根的判别式与根的个数的关系是解题关键．元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
7．【考点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【分析】由菱形和矩形的判定方法和性质，即可判断．
解：A、判断正确，故A不符合题意；
B、判定四边形ABCD是菱形，推出∠DAC＝∠BAC，故B不符合题意；
C、判定四边形是矩形，推出OA＝OB＝OC＝OD，因此这个图形中至少有4个等腰三角形，故C不符合题意；
D、判定四边形是矩形，得到AC＝BD，但AC和BD不一定垂直，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，关键是掌握菱形和矩形的判定方法和性质．
8．【考点】中心对称
【分析】分两种情形：当点Q在线段AB上时，当点Q′在AB的延长线上时，分别求解．
解：当点Q在线段AB上时，
∵∠CBQ＝90°，∠BCQ＝30°，BC，
∴BQ＝BC tan30°，
∴AQ＝AB﹣BQ．
当点Q′在AB的延长线上时，同法可得AQ′．
综上所述，AQ的长为或．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
9．【考点】平行四边形的性质
【分析】由平行四边形的性质得DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，BC∥AD，则∠BFA＝∠DAF，∠CED＝∠ADE，而∠BAF＝∠DAF，∠CDE＝∠ADE，所以∠BFA＝∠BAF，∠CED＝∠CDE，则FB＝AB＝3，EC＝DC＝3，由FB+EC＝5+EF＝6，求得EF＝1，
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，AD＝5，
∴DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，BC∥AD，
∴∠BFA＝∠DAF，∠CED＝∠ADE，
∵AF，DE分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠BAF＝∠DAF，∠CDE＝∠ADE，
∴∠BFA＝∠BAF，∠CED＝∠CDE，
∴FB＝AB＝3，EC＝DC＝3，
∵FB+EC＝BE+EF+EC＝BC+EF＝5+EF，且FB+EC＝3+3＝6，
∴5+EF＝6，
∴EF＝1，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出∠BFA＝∠BAF，∠CED＝∠CDE是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意，设出点P的坐标，再结合点P到直线l的距离与PA相等建立方程即可解决问题．
解：由题知，
令点P坐标为（m，am2），
则PA，点P到直线l的距离为am2+1．
因为点P到直线l的距离与PA相等，
所以，
整理得，4am2＝m2，
因为P为抛物线上任意一点，
则m不恒为零，
所以4a＝1，
解得a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据题意而得出关于点P坐标的方程是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据条件列一元一次不等式求解即可．
解：根据题意可知，6﹣2x≥0，
移项得﹣2x≥﹣6，
不等式两边同除以﹣2，不等号方向改变，得x≤3．
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
12．【考点】反证法
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
解：反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”，则第一步应先假设a2≤b2，
故答案为：a2≤b2．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．【考点】算术平均数
【分析】根据题意先求出5个学生的总分，即平均分×5，然后减去85得到另外四位同学的总分，即可得到答案．
解：80×5﹣85
＝400﹣85
＝315（分），
315﹣89﹣90﹣91＝45（分）．
故符合题意的5个数据：45，85，89，90，91（答案不唯一）．
故答案为：45，85，89，90，91（答案不唯一）．
【点评】本题考查了算术平均数，解题的关键是认真审题，牢记平均数的求法．
14．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【分析】根据线段中点的定义得到BD＝6cm，再由全等三角形的性质得到BD＝CP＝6cm，BP＝CQ，进而求出运动时间t＝2÷2＝1秒，CQ＝2cm，据此可得答案．
解：∵AB＝12cm，点D为AB的中点，
∴BDAB12＝6（cm），
∵∠B＝∠C，
∴当△BPD与△CQP全等时，点B与点C对应，
∵△BPD≌△CQP，
∴BD＝CP＝6cm，BP＝CQ，
∵BC＝8cm，
∴BP＝BC﹣CP＝2cm，
∴运动时间t＝2÷2＝1秒，CQ＝2cm，
∴点Q的运动速度为2÷1＝2cm/s；
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【分析】由三角形中位线定理得到DEBC＝10，求出EF＝DE﹣DF＝6，由直角三角形斜边中线的性质得到AC＝2EF＝12．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC20＝10，
∵DF＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6，
∵∠AFC＝90°、E分别是AC的中点，
∴AC＝2EF＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线等于第三边的一半．
16．【考点】矩形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离；平行四边形的性质
【分析】由平行四边形的性质可得EF＝2OE＝2OF，AO＝OD，AF∥BD，即当OE⊥BD时，OE有最小值，即EF有最小值，由面积法可求AH，通过证明四边形AFEH是平行四边形，可得EF＝AH，即可求解．
解：设AD与EF的交点为O，过点A作AH⊥BD于H，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴EF＝2OE＝2OF，AO＝OD，AF∥BD，
∴当OE⊥BD时，OE有最小值，即EF有最小值，
∵AB＝3，AD＝4，
∴BD5，
∵S△ABDAB ADBD AH，
∴3×4＝5AH，
∴AH，
∵AH⊥BD，OE⊥BD，
∴AH∥OE，
∴四边形AFEH是平行四边形，
∴EF＝AH，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．【考点】二次根式的混合运算
【分析】先算括号里面的除法，再把括号中的每一项分别同相乘，再把结果相减即可．
解：原式
．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元一次方程
【分析】（1）利用公式法解该一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解该一元二次方程即可．
解：（1）2x2+3x+1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝1，
则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴x，
∴x1＝1，x2；
（2）解：（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+3﹣2）＝0，
x+3＝0或x+3﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x1＝﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的常用解法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
19．【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的判定
【分析】（1）①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P；
③作射线AP交BC于点D；
④以点A为圆心，DC长为半径画弧，交AG于点E，则点D，E即为所求．
（2）先由AB＝AC得出∠B＝∠ACB，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得AE∥CD，再结合AE＝CD，根据一组对边平行且相等证出四边形ADCE是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，即∠ADC＝90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明．
（1）解：如图，先利用尺规作角平分线的方法作出∠BAC的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点E，则点D，E即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB．
∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAG＝∠GAC．
∵∠B+∠ACB＝∠FAG+∠GAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC，
∴AE∥CD．
∵AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
由作图可知AD平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来．
20．【考点】众数；算术平均数；中位数
【分析】（1）分别根据算术平均数、中位数及众数的定义解答即可；
（2）结合（1）的结论解答即可．
解：（1）品种A玉米5块试验田的产量平均数为：（80+85+85+90+95）＝87，中位数为85，众数为85；
品种B玉米5块试验田的产量平均数为：（80+85+90+90+90）＝87，中位数为90，众数为90；
（2）乙品种玉米推广种植，理由如下：
虽然两个品种玉米5块试验田的产量平均数相同，但乙品种玉米的中位数和众数均高于甲品种玉米，所以乙品种玉米推广种植．
【点评】本题考查了算术平均数、中位数和众数，解决本题的关键是掌握相关统计量的计算方法．
21．【考点】二次函数的应用；二次函数的性质
【分析】（1）依据题意，设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，结合顶点为（1.5，2.25），从而y＝a（x﹣1.5）2+2.25，又其经过点O（0，0），故0＝a（0﹣1.5）2+2.25，进而计算可以得解；
（2）依据题意，过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△ABC中，AB＝AO＝6.25米，BC＝1.75米，由勾股定理得（米），CO＝6.25﹣6＝0.25（米）；因压力不变，抛物线形状不发生变化，可得a＝﹣1，相当于抛物线y＝﹣（x﹣1.5）2+2.25向上平移1.75米，向左平移0.25米，故其解析式为y＝﹣（x﹣1.25）2+4，又把y＝0代入y＝﹣（x﹣1.5）2+2.25中，得0＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，从而x1＝0，x2＝3，接着把y＝0代入y＝﹣（x﹣1.25）2+4中，得0＝﹣（x﹣1.25）2+4，从而x1＝﹣0.75，x2＝3.25，则3.25﹣3＝0.25（米），进而可以得解．
解：（1）由题意，∵顶点为（1.5，2.25），
∴设该抛物线为y＝a（x﹣1.5）2+2.25．
∵图象过点O（0，0），
∴0＝a（0﹣1.5）2+2.25，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1.5）2+2.25；
（2）如图，过点B作BC⊥OA于点C，
在Rt△ABC中，AB＝AO＝6.25米，BC＝1.75米，
由勾股定理得（米），CO＝6.25﹣6＝0.25（米）；
因压力不变，抛物线形状不发生变化，
∴a＝﹣1．相当于抛物线y＝﹣（x﹣1.5）2+2.25向上平移1.75米，向左平移0.25米，
∴其解析式为y＝﹣（x﹣1.25）2+4．
把y＝0代入y＝﹣（x﹣1.5）2+2.25中，得0＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，
∴x1＝0，x2＝3．
把y＝0代入y＝﹣（x﹣1.25）2+4中，得0＝﹣（x﹣1.25）2+4，
∴x1＝﹣0.75，x2＝3.25．
∴3.25﹣3＝0.25（米）．
∴她此时所浇地面会比抬高前远0.25米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
22．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每次降价的百分率是x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，根据要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设每次降价的百分率是x，
由题意得：100（1﹣x）2＝36，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不符合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是40%；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，
由题意得：50m+50×0.8（200﹣m）﹣36×200≥2000，
解得：m≥120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（1，9）可知抛物线对称轴为直线x1，再将（1，9）代入抛物线表达式即可求出a，c；
（2）①根据平移规律求出点B坐标为（m+6，n），再根据点A与点B关于对称轴对称列出关于m的方程，求出m，将点A坐标代入抛物线表达式即可求出点A坐标；
②根据m≤﹣1以及抛物线的开口方向和对称轴，分（Ⅰ）m+6≤1即m≤﹣5，（Ⅱ）﹣5≤m＜﹣2，（Ⅲ）﹣2≤m≤﹣1三种情况求抛物线的最值，再根据二次函数的最大值是最小值的2倍得到关于m的方程，解方程即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c的顶点坐标为（1，9），
∴1，a﹣2+c＝9，
∴a＝1，则c＝10，
∴a＝1，c＝10，抛物线表达式为y＝x2﹣2x+10；
（2）①∵将点A（m，n）向右平移6个单位后得到点B，
∴B（m+6，n），
又∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴是直线x＝1，
∴1，
∴m＝﹣2，
∴将点A（﹣2，n）代入抛物线表达式为y＝x2﹣2x+10得：n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+10＝18．
∴A（﹣2，18）；
②由题意，二次函数表达式为y＝x2﹣2x+10，对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，
∴m≤x≤m+6求最值要分3种情况：
（Ⅰ）当m+6≤1，即m≤﹣5时，可得：x＝m时，y取最大值为m2﹣2m+10，当x＝m+6时，y取最小值为（m+6）2﹣2（m+6）+10＝m2+10m+34，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴m2﹣2m+10＝2（m2+10m+34），
即m2+22m+58＝0，
解得：m＝﹣11±3，
∵m≤﹣5，
∴m＝﹣11﹣3，
（Ⅱ）当﹣5＜m≤﹣2时，m+6＞1，且1﹣m＞m+5，
此时，当x＝m时，y取最大值为m2﹣2m+10，当x＝1时，y取最小值为9，
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴m2﹣2m+10＝18，
解得：m＝4或m＝﹣2，
∵﹣5≤m≤﹣2，
∴m＝﹣2，
（Ⅲ）当﹣2＜m≤﹣1时，m+6＞1，且1﹣m＜m+5，
此时，当x＝m+6时，y取最大值为（m+6）2﹣2（m+6）+10＝m2+10m+34，当x＝1时，y取最小值为9，
∴m2+10m+34＝18，
解得：m＝﹣2或﹣8，
∵﹣2＜m≤﹣1
∴此种情况不成立，
综上所述，m的值为﹣11﹣3或﹣2．
【点评】本题考查了抛物线的顶点式、对称轴以及最值等知识，难点是要分情况讨论函数在给定区间内的最大值和最小值，进而列出关于m的方程求解．
24．【考点】四边形综合题
【分析】（1）由折叠的性质可得EF⊥BB'，BF＝B'F，BE＝B'E，由菱形的性质和等腰三角形的可得AC⊥BB'，可证BE＝BF＝B'F＝B'E，可得结论，
（2）①由“SAS”可证△BEF≌△MEG，可得BF＝MG，∠ABC＝∠EMG＝60°，分两种情况讨论，由等边三角形的性质和勾股定理可求解，
②由垂线段最短，可得当点G与点H重合时，CG的最小值为．
解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：连接BB'，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵点B'是AC的中点，
∴AC⊥BB'，
∵将∠B沿EF翻折使B的对应点B′落在AC中点上，
∴EF⊥BB'，BF＝B'F，BE＝B'E，
∴EF∥AC，
∴∠BFE＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴BE＝BF＝B'F＝B'E，
∴四边形BEB'F是菱形，
（2）①如图2，连接AC，在AB上截取BM＝BE，连接ME，连接MG，并延长MG，交AC为N，过点C作CH⊥直线MN于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵BE＝BM，
∴△BEM是等边三角形，
∴BE＝ME＝BM＝2，∠ABC＝∠MEB＝∠BME＝60°，
∴∠AME＝120°，AM＝4＝EC，
∵△EFG是等边三角形，
∴EF＝EG，∠FEG＝∠BEM＝60°，
∴∠BEF＝∠MEG，
∴△BEF≌△MEG（SAS），
∴BF＝MG，∠ABC＝∠EMG＝60°，
∴∠AMN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN＝AM＝MN＝4，∠ANM＝60°＝∠CNH，
∴CN＝2，∠HCN＝30°，
∴NH＝1，CH，
当CG＝CE＝4时，HG，
∴MG＝MN+NH﹣GH＝5，
∴BF＝MG＝5，
当CG＝GE时，过点M作MQ⊥BC于Q，过点G作GP⊥BC于P，
∵△BME是等边三角形，MQ⊥BE，
∴QE＝BQ＝1，∠MQE＝90°，
∵GE＝GC，GF⊥EC，
∴EP＝PC＝2，
∵∠AMN＝∠ABC＝60°，
∴MN∥BC，
∴∠MQE＝∠QMN＝90°，
∴四边形MQPG是矩形，
∴MG＝QP＝3，
∴BF＝MG＝3，
综上所述：BF的长为3或5，
②上面一问可知：点G在MN上运动，且MN∥BC，MN与BC的距离为CH，
∴当点G与点H重合时，CG的最小值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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