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河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（ ）
A．与，都有关 B．与，都无关
C．与有关，与无关 D．与有关，与无关
5．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为1，取正方形各边的四等分点，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去.这些正方形的面积之和将趋于 （ ）
A． B．2 C． D．
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．若，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（ ）
A． B．数列是等差数列
C．是递增数列 D．
11．设，函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．若，则当时，
C．若有个零点，则的取值范围是
D．若存在，满足，则
三、填空题
12．已知1，2，成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为_________．
13．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________．
14．从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点．
(1)证明：．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
17．设等差数列的前n项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)证明：在上单调递减．
(3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
19．泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作Poisson（），则其概率分布为．
(1)当时，泊松分布可以近似为正态分布．已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若，则，
(2)若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中．某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算：
①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：）
②求使得最大时的值．
(3)若Poisson（），求证：当时，．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B D B C D BD BC
题号 11
答案 BCD
1．B
解不等式得到集合，利用补集概念求出答案.
【详解】或，
故.
故选：B
2．A
本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限.
【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限.
3．A
根据平面向量的坐标运算可得向量平行时的值，再结合充分条件与必要条件的概念进行判断即可得结论.
【详解】因为向量，
若可得，解得或，
所以时，可得；时，不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
作出辅助线，设正方体的边长为，可得，到平面的距离为定值，到直线的距离为定值，的面积为定值．从而得到即可求解.
【详解】如图，连接，，，，，，设正方体的边长为
∵，平面，平面，
∴平面，∴到平面的距离为定值，
∵，∴到直线的距离为定值，
∴的面积为定值．
∵，∴四面体的体积是与m，n无关的定值．
故选：B
5．D
根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，则的最大值为．
故选：D．
6．B
探讨直线与曲线的特征，画出图形，数形结合求出的范围.
【详解】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为，
直线过定点，直线与曲线，如图，
观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，
所以的取值范围为.
故选：B
7．C
不妨设为，正方形的面积为，，分析可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】不妨设为，正方形的面积为，，
可知，
当时，因为，则，
可得，
可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，
则数列的前k项和，
当k趋近于时，趋近于0，则趋近于，
所以这些正方形的面积之和将趋于.
故选：C.
8．D
根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可.
【详解】
，，
，
令，则，
，即，
，
，
，
解得，
故选：D
9．BD
【详解】对于A，由，得，则，即，A错误；
对于B，由，得，则，即，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，D正确.
10．BC
由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D.
【详解】，，
则数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，，故A错误，B正确；
，因为函数在单调递增，
所以是递增数列，故C正确；
，
，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
利用导数分类求解含参函数的单调性，判断选项A，结合选项A中单调性即可直接判断选项BC，根据等量关系直接求解，即可判断选项D.
【详解】对于A选项，，
当时，，单调递增，无极值点；
当时，得或，，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，故A选项错误；
对于B选项，当，时，
由上述知，在上单调递增，在上单调递减，
则，故B选项正确；
对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有个零点，
则由单调性可知必然有，解得.
而当时，，，
在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确；
对于D选项，，
等价于或，，故D选项正确.
故选：BCD
12．16
【详解】由1，2，成等比数列，则.
令，则
所以的展开式中所有项的系数之和为16.
13．/
根据给定条件，利用圆的切线性质列式求解.
【详解】由点，线段为的一条直径，得，
的半径，
由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则，
整理得，因此是方程的两个根，
所以.
14．/0.5
【详解】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为，
要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ，
它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例，
平均分成两组的分法有：种，
以下枚举与符合条件的情形：
与，与，与，与，与
共5种，所以．
15．(1)证明见解析
(2)
（1）取的中点为，连接，，根据面面垂直的性质定理证得底面，再由线面垂直的性质定理得，，从而建立空间直角坐标系，由向量法证明垂直关系；
（2）求出平面与平面的法向量，由平面夹角的向量公式计算即可求解.
【详解】（1）取的中点为，连接，，
因为是等边三角形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，因为底面，
所以，，所以，，两两垂直，
则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，，，
，，
因为，所以，所以；
（2）在平面中，，，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则为平面的一个法向量．
又平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16．(1)
(2)或
（1）根据题意可得，进而解出即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或.
17．(1)
(2)10
（1）由等差数列的前项和公式求得公差，可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和求得，根据新定义求得，然后分组，结合等差数列的前项和公式计算后解方程可得．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，则．
因为，则，得．
所以数列的通项公式是．
（2）因为，则
所以
．
当时，因为，则．
当时，因为，则．
因为，则，即，
即，即．因为，所以
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得；
（2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证；
（3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值．
【详解】（1）因为，所以，
，又，即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即.
（2）令，，
则，
所以当时，，因此函数在上单调递增，
当时，，因此函数在上单调递减，
故函数的最大值为，
即在上恒成立，
则在上单调递减．
（3）关于的不等式恒成立，即恒成立，
由于，所以恒成立，
设，则，
由（2）知在上单调递减，且，，
所以存在唯一，使得，即，
则当时，，因此函数在上单调递增，
当时，，因此函数在上单调递减，
故函数的最大值为，
因为在上单调递增，则，
要使恒成立，且为整数，
所以的最小值为.
19．(1)0.8186；
(2)①0.225；②，或
(3)证明见解析
【详解】（1）因为Poisson（），且，可近似地认为，即，
所以
；
（2）①由题知Poisson（），其中，
．
②，
所以，
当时，，当时，，当时，，
所以
所以当，或时，最大．
（3）因为Poisson（），所以，
由泊松分布的概率公式，得，
所以，
要证当时，，只要证当时，．
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以只要证，
因为，所以只需证，
令，则对任意的恒成立，
所以在上单调递减，且，
所以，所以，
所以当时，.

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