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广东东莞市2026年数学初中生毕业水平考试二模试卷
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．“华阳湖湿地公园”“银瓶山森林公园”“鸦片战争博物馆”是东莞市三个有代表性的旅游景点.小明准备从这三个景点中随机选择1个景点作为游览的首站，则刚好选中“鸦片战争博物馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
刚好选中“鸦片战争博物馆”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
3．验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”.通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　）
A．-2.50D B．-0.75D C．-1.25D D．-1.50D
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：近视200度记录为-2.00D
∵-0.75D<-1.25D<-1.50D<-2.00D<-2.50D
故答案为：A
【分析】根据题意比较大小即可求出答案.
4．下列运算结果为x6的是（　　）
A． B． C． D．（x3）3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：（x3）3=x9，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
5．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
能够塞住木板上三个孔洞的塞子是
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵点D，E分别是边AC，AB的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得，x≤2
解不等式②可得，x>-1
在数轴上表示解集为：
故答案为：D
【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
8．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　）
A．x-2+2=2（x-3） B．x-2-2=2x-3
C．x-2-2=2（x-3） D．x-2+2（x-3）=2（x-3）
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，两边同时乘以x-3，则x-2-2=2（x-3）
故答案为：C
【分析】根据去分母法则即可求出答案.
9．将抛物线y=（x-3）2-5向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点C（0，c），在平移过程中c的值会（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】 解：由题知，将抛物线y=(x-3)2-5向左平移4个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=(x+1)2-5.
∵抛物线y=(x-3)2-5与y轴的交点坐标为(0，4)，抛物线y=(x+1)2-5与y轴的交点坐标为(0，-4)
∴当向左平移3个单位长度时，所得抛物线与y轴的交点纵坐标取得最小值为-4
∴在整个平移过程中c的值先减小后增大.
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，结合二次函数的性质即可求出答案.
10．如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF.若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，AB=2，则CF的长是（　　）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：延长FE和CD交于点G
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，CD=AB=2
∴∠G=∠AFE，∠EDG=∠A
∵E是AD的中点
∴DE=AE
∴△EDG≌△△EAF
∴EG=EF，DG=AF
∵∠CEF=90°
∴CE垂直平分FG
∴CF=CG
∵F是AB边上的中点
∴
∴CG=CD+DG=3
∴CF=3
故答案为：A
【分析】延长FE和CD交于点G，根据平行四边形性质可得AB∥CD，CD=AB=2，则∠G=∠AFE，∠EDG=∠A，根据线段中点可得DE=AE，再根据全等三角形判定定理可得△EDG≌△△EAF，则EG=EF，DG=AF，根据垂直平分线判定定理可得CE垂直平分FG，则CF=CG，根据线段中点可得AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．计算：=　 　.
【答案】2
【知识点】零指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：=3-1=2
故答案为：2
【分析】根据算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下：
柑橘总质量/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量/kg 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为　 　.（结果保留小数点后一位）
【答案】0.1
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：柑橘损坏的频率稳定在0.1左右
∴这批柑橘损坏的概率为0.1
故答案为：0.1
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
13．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程　 　.
【答案】x2+5x+6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
两实数根之积为6的一元二次方程可以为x2+5x+6=0
故答案为：x2+5x+6=0
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A.把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，则△AOB的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，令平移后的直线交y轴于点C，连接AC
由平移可得，直线BC的解析式为
当x=0时，y=3
∴C(0，3)
联立，解得x=±4
∵点在第一象限，则x=4，y=2
∴A(4，2)
∵OA∥BC
∴
故答案为：6
【分析】令平移后的直线交y轴于点C，连接AC，根据函数图象的平移规律可得直线BC的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得C(0，3)，联立直线OA与反比例函数解析式可得A(4，2)，再根据直线平行性质，结合三角形面积即可求出答案.
15．如图，由5个边长为3的小正方形组成的L型图案如图摆放，点A，B在半圆直径上，点C，D在半圆上，则半圆的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF
由垂径定理可得OE⊥CD
∵EF⊥CD
∴O，F，E三点共线
∴OF⊥AF
∴OF∥BG
∴，即
解得：OF=2
∴OE=OF+EF=5
∴
故答案为：
【分析】连接OD，OE，OF，由垂径定理可得OE⊥CD，根据直线平行判定定理可得OF∥BG，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得OF，根据边之间的关系可得OE，再根据勾股定理即可求出答案.
16．按要求完成：
（1）将因式分解；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：由（1）得，当时，
原式
=12.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）将x，y值代入即可求出答案.
17．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下：
健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度
A 非常好 一般 良好 一般 良好
B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好
C 非常好 非常好 良好 一般 良好
层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分.
计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度.
（1）从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目
（2）请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表
（3）结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因.
【答案】（1）解：小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目.
（2）解：A款智能手表得分：4×3+2×1+2+1+2=19分.
B款智能手表得分：4×1+2×3+3+3+3=19分.
C款智能手表得分：4×3+2×3+2+1+2=23分.
∵23>19
∴按此评分规则，小明会选购C款智能手表.
（3）解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权是4，重要程度高，对总分影响大.
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析判断即可求出答案.
（2）分别求出3款手表的得分，再比较大小即可求出答案.
（3）B款智能手表被评为“非常好”的四项权分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权是4，重要程度高，对总分影响大.
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿着MN折叠，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），EF与AD交于点G，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF分别与MH，MN交于点K，P.
（1）请写出三个与△MHN相似的三角形，并从中任选一个证明它与△MHN相似；
（2）求的值.
【答案】（1）解：△MPK，△BHK，△BPN，△BCF，△FPN.（写出3个即可）
选择证明△MHN∽△BCF.
证明：在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=90°.
∵MH⊥BC，
∴∠MHN=∠MHB=90°.
∴∠C=∠MHN，∠PNH+∠HMN=90°.
由折叠可知，MN⊥BF，
∴∠BPN=90°.
∴∠PNH+∠PBN=90°.
∴∠HMN=∠PBN.
∴△MHN∽△BCF.
（2）解：由（1）得△MHN∽△BCF，
∵∠A=∠ABC=∠MHB=90°，
∴四边形ABHM为矩形.
∴AB=MH=6，BC=8.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠C=∠MHN，根据折叠可得MN⊥BF，则∠BPN=90°，再根据角之间的关系可得∠HMN=∠PBN，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形ABHM为矩形，则AB=MH=6，BC=8，再代入即可求出答案.
19．为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动.某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍.已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元.
（1）求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元
（2）室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克.怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大 最大吸收总量是多少
【答案】（1）解：设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元.
根据题意，得
解得
答：采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元.
（2）解：设采购绿萝a盆，吊兰（20-a）盆，
根据题意，得
解得
设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，则
W=0.12a+0.1（20-a）=0.02a+2.
∵0.02>0，
∴W随着a的增大而增大.
又∵a为正整数，
∴当a=16时，克.
答：采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设采购绿萝a盆，吊兰（20-a）盆，根据题意建立不等式组，解不等式组可得a的取值范围，设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，再建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
20．综合与探究：若正数a，b，c满足0（1）探究一：探究a的取值范围；
探究过程 推理依据
第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，　 　. 思路2中得到是根据不等式的性质：　 　
∵00. 即 同理
第二步 根据不等式的放缩法：因为是，，三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和.
第三步 解得a≤3. 根据不等式的性质.
第四步 又 根据不等式的放缩法：　 　
第五步 解得a>1. 根据不等式的性质.
第六步 ∴1（2）探究二：探究方程的正整数解.
若a，b，c为三个正整数，求所有满足条件的a，b，c的值.
【答案】（1）分数越小；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；因为，这两个数都大于0，所以一定大于
（2）解：由（1）得1∴正整数a的取值为2或3.
①当a=2时，
解得b≤4.
∴2≤b≤4.
当b=2时，与题意不符，舍去.
当b=3时，
∴c=6.
当b=4时，
∴c=4.
②当a=3时，
解得b≤3.
∵a≤b≤c，∴b=3，此时c=3.
综上所述，a，b，c的值为2，3，6或2，4，4或3，3，3.
【知识点】不等式的性质；放缩法
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，结合分式的性质分析判断即可求出答案.
（2）由（1）可得正整数a的取值为2或3，分类讨论，结合题意，分式的性质即可求出答案.
21．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题
问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域.
知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中.受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区.
测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下.（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，AC⊥EM，BD⊥EM，PE⊥EM.） 测量项目车宽车高视线高度AC点B到地面距离BDBD与PE之间的距离EDBD与AC之间的距离CD数据/m1.71.51.40.80.41.5
问题解决 ⑴任务1：平路的车头盲区问题 如图1，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图2中车头盲区的面积. ⑵任务2：上坡路的车头盲区问题 如图3，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，MN//EH，坡角∠EMN=6.58°.（参考数据：sin15.2°≈0.26，cos15.2°≈0.97，tan15.2°≈0.27，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40） ①求∠AHE的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗 为什么
【答案】解：（1）如图2，延长AP交直线CD于点K.
根据题意，得BD∥AC.
∴△BDK∽△ACK.
即
解得EK=1.6.
∴车头盲区的面积约为
（2）①如图，延长ME交AH于点K.
在Rt△BDK中，
∴∠BKD=21.8°.
∵MN∥HE，
∴∠HEK=∠EMN=6.58°.
②司机不能看见孩子，理由如下：
如图3，过F作FG⊥HE交AH于点G.
解得FG≈1.08米>0.9米.
所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子.
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；盲区；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）延长AP交直线CD于点K，根据相似三角形判定定理可得△BDK∽△ACK，则，代值计算即可求出答案.
（2）①延长ME交AH于点K，根据正切定义可得∠BKD=21.8°，再根据直线平行性质可得∠HEK=∠EMN=6.58°，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过F作FG⊥HE交AH于点G，根据正切定义可得FG，再比较大小即可求出答案.
22．若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”.
（1）以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：　 　（填序号）；
①正方形 ②矩形 ③含60°角的菱形 ④含60°角的等腰梯形
（2）如图1，四边形ABCD是“等直共圆四边形”，AB⊥AC，DA=DC.若E是BD上中点，∠BDC=2∠BAE，DF=2，求AB的长；
（3）如图2，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规在⊙O上求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”.当AB=8，AC=6时，求AD的长.
【答案】（1）①
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=90°.
∵∠BDC=2∠BAE，
∴∠EAC=90°-∠BAE=45°=∠BAE.
∵DA=DC，
∴DA=DC.
∴∠ABD=∠DBC=∠ACD=∠DAC.
∴∠DAC+∠EAC=∠ABD+∠BAE，即∠DAE=∠DEA.
∴DA=DE.
∵E是BD上中点，DF=2，
∴设EF=x，则DA=DE=BE=x+2，DB=2x+4.
在△ADF和△BDA中，
∴△ADF∽△BDA.
，即
解得x=2.
∴DB=8，BF=6.
设AF=a，AB=2a.
∵在Rt△ABF中，AF2+AB2=BF2，即
解得
（3）解：作图分三种情况：
如图，点D为所求.
在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，
∴
情况①：如图，过B作BE⊥AD交于点E.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CDB=90°，
∵BD=CD，
∴BD=CD.
∴在Rt△BDE中，
情况②：如图，连接OD交AB于点E，连接OA.
∵AD=BD，OB=OA，
∴OD垂直平分AB.
在Rt△OBE中，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
在Rt△ADE中，
情况③：如图，连接OD交AC于点E，连接OA.
∵AD=CD，OC=OA=5，
∴OD垂直平分AC.
在Rt△OEC中，
∴DE=OD-OE=5-4=1.
在Rt△AED中，
综上所述，AD的长度为7或2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵正方形是圆的内接四边形，一条对角线将正方形分成两个等腰直角三角形，
∴正方形满足是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形
∴正方形一定是“等直共圆四边形”.
∵矩形是圆的内接四边形，但它的一条对角线将矩形分成两个直角三角形，只有它的长与宽相等时，才能满足是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形
∴矩形不一定是“等直共圆四边形”.
∵含60°角的菱形不是圆的内接四边形，
∴含60°角的菱形一定不是“等直共圆四边形”.
∵含60°角的等腰梯形是圆的内接四边形，但只有上底与腰相等的含60°角的等腰梯形是“等直共圆四边形”
∴含60°角的等腰梯形不一定是“等直共圆四边形”.
综上，一定是“等直共圆四边形”是正方形.
故答案为：①
【分析】（1）根据等直共圆四边形定义，结合正方形，矩形，菱形，等腰梯形的性质逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据圆内接四边形性质可得∠BDC=∠BAC=90°，根据角之间的关系可得∠EAC，根据等边对等角可得∠ABD=∠DBC=∠ACD=∠DAC，再根据角之间的关系可得∠DAE=∠DEA，根据等角对等边可得DA=DE，设EF=x，则DA=DE=BE=x+2，DB=2x+4，根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△BDA，则，代值计算可得x值，设AF=a，AB=2a，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等直共圆四边形定义作图即可，根据勾股定理可得BC，分情况讨论：情况①：过B作BE⊥AD交于点E，根据圆周角定理的推论可得∠BAC，解直角三角形可得BE，BD，根据勾股定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案；情况②：连接OD交AB于点E，连接OA，根据垂直平分线判定定理可得OD垂直平分AB，则，根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，再根据勾股定理即可求出答案；情况③：如图，连接OD交AC于点E，连接OA，根据垂直平分线判定定理可得OD垂直平分AC，则，根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
23．在平面直角坐标系xOy中，
（1）如图1，点A（2，0）绕点B（0，4）顺时针旋转得到点A'，则点A'的坐标为　 　；
（2）如图2，点A（2，0），B（0，4）在直线l上，若直线l绕点B顺时针旋转得到直线l'，直线l'与x轴交于点C，求点C的坐标；
（3）如图3，直线l分别与函数的图象交于点D，E，将直线l绕点E逆时针旋转45°，与函数的图象交于点F，连接DF，若DF∥x轴，求的值.
【答案】（1）（-4，2）
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∴∠CDA=∠AOB=90°.
∴∠DAC+∠DCA=∠DAC+∠ABO=90°.
∴∠DCA=∠ABO.
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4.
设AD=a，则
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
即
解得
（3）解：如图，过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF.
根据反比例函数k的几何意义，得
∵BD∥CE，
∴△BDO∽△CEO，相似比为
设BD=4m，则CE=OG=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m.
∴DF=5m，ON=15m，GN=9m，E（6m，），F（9m，）
∵∠DEF=45°，OH⊥OE，
∴△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，
∠EOG+∠MOH=∠MOH+∠OHM=90°.
∴∠EOG=∠OHM，∠OMH=∠OGE.
∴△EOG≌△OHM.
∵HM∥EG，
∴△HMN∽△EGN.
即
解得
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4
由旋转性质可得，AB=AB'，∠ABA'=90°
∴∠A'BO=∠ABO=90°
∵∠A'BO+∠A'BO'=90°
∴∠ABO=∠A'BO'
∵∠AOB=∠A'O'B=90°
∴△AOB≌△A'O'B
∴O'A'=OA=2，O'B=OB=4
∴点A'的坐标为(-4，4-2)，即(-4，2)
【分析】（1）根据两点间距离可得OA=2，OB=4，由旋转性质可得，AB=AB'，∠ABA'=90°，根据角之间的关系可得∠ABO=∠A'BO'，再根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△A'O'B，则O'A'=OA=2，O'B=OB=4，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）过点C作CD⊥AB于点D，根据角之间的关系可得∠DCA=∠ABO，根据两点间距离可得OA=2，OB=4，根据正切定义可得，根据勾股定理可得AB，设AD=a，则，根据特殊角的三角函数值建立方程，解方程可得OC，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF，根据反比例函数k的结合意义可得，根据三角形面积可得，再根据相似三角形判定定理可得△BDO∽△CEO，则，设BD=4m，则CE=OG=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m，根据边之间的关系可得DF=5m，ON=15m，GN=9m，根据点的坐标可得E（6m，），F（9m，），根据等腰直角三角形判定定理可得△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，则∠EOG=∠OHM，∠OMH=∠OGE，再根据全等三角形判定定理可得△EOG≌△OHM，则，根据边之间的关系可得MN，再根据相似三角形判定定理可得△HMN∽△EGN，则，代值计算可得m值，再根据勾股定理可得EF，OE，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东东莞市2026年数学初中生毕业水平考试二模试卷
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“华阳湖湿地公园”“银瓶山森林公园”“鸦片战争博物馆”是东莞市三个有代表性的旅游景点.小明准备从这三个景点中随机选择1个景点作为游览的首站，则刚好选中“鸦片战争博物馆”的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”.通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　）
A．-2.50D B．-0.75D C．-1.25D D．-1.50D
4．下列运算结果为x6的是（　　）
A． B． C． D．（x3）3
5．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边AC，AB的中点，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　）
A．x-2+2=2（x-3） B．x-2-2=2x-3
C．x-2-2=2（x-3） D．x-2+2（x-3）=2（x-3）
9．将抛物线y=（x-3）2-5向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点C（0，c），在平移过程中c的值会（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
10．如图，□ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF.若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，AB=2，则CF的长是（　　）
A．3 B． C． D．3.5
11．计算：=　 　.
12．某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下：
柑橘总质量/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量/kg 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为　 　.（结果保留小数点后一位）
13．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程　 　.
14．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A.把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点B，连接AB，OB，则△AOB的面积是　 　.
15．如图，由5个边长为3的小正方形组成的L型图案如图摆放，点A，B在半圆直径上，点C，D在半圆上，则半圆的半径为　 　.
16．按要求完成：
（1）将因式分解；
（2）当时，求的值.
17．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下：
健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度
A 非常好 一般 良好 一般 良好
B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好
C 非常好 非常好 良好 一般 良好
层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分.
计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度.
（1）从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目
（2）请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表
（3）结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因.
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿着MN折叠，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），EF与AD交于点G，过点M作MH⊥BC于点H，连接BF分别与MH，MN交于点K，P.
（1）请写出三个与△MHN相似的三角形，并从中任选一个证明它与△MHN相似；
（2）求的值.
19．为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动.某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍.已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元.
（1）求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元
（2）室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克.怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大 最大吸收总量是多少
20．综合与探究：若正数a，b，c满足0（1）探究一：探究a的取值范围；
探究过程 推理依据
第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，　 　. 思路2中得到是根据不等式的性质：　 　
∵00. 即 同理
第二步 根据不等式的放缩法：因为是，，三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和.
第三步 解得a≤3. 根据不等式的性质.
第四步 又 根据不等式的放缩法：　 　
第五步 解得a>1. 根据不等式的性质.
第六步 ∴1（2）探究二：探究方程的正整数解.
若a，b，c为三个正整数，求所有满足条件的a，b，c的值.
21．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题
问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域.
知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中.受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区.
测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下.（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，AC⊥EM，BD⊥EM，PE⊥EM.） 测量项目车宽车高视线高度AC点B到地面距离BDBD与PE之间的距离EDBD与AC之间的距离CD数据/m1.71.51.40.80.41.5
问题解决 ⑴任务1：平路的车头盲区问题 如图1，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图2中车头盲区的面积. ⑵任务2：上坡路的车头盲区问题 如图3，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，MN//EH，坡角∠EMN=6.58°.（参考数据：sin15.2°≈0.26，cos15.2°≈0.97，tan15.2°≈0.27，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40） ①求∠AHE的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗 为什么
22．若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”.
（1）以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：　 　（填序号）；
①正方形 ②矩形 ③含60°角的菱形 ④含60°角的等腰梯形
（2）如图1，四边形ABCD是“等直共圆四边形”，AB⊥AC，DA=DC.若E是BD上中点，∠BDC=2∠BAE，DF=2，求AB的长；
（3）如图2，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规在⊙O上求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”.当AB=8，AC=6时，求AD的长.
23．在平面直角坐标系xOy中，
（1）如图1，点A（2，0）绕点B（0，4）顺时针旋转得到点A'，则点A'的坐标为　 　；
（2）如图2，点A（2，0），B（0，4）在直线l上，若直线l绕点B顺时针旋转得到直线l'，直线l'与x轴交于点C，求点C的坐标；
（3）如图3，直线l分别与函数的图象交于点D，E，将直线l绕点E逆时针旋转45°，与函数的图象交于点F，连接DF，若DF∥x轴，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
刚好选中“鸦片战争博物馆”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：近视200度记录为-2.00D
∵-0.75D<-1.25D<-1.50D<-2.00D<-2.50D
故答案为：A
【分析】根据题意比较大小即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：（x3）3=x9，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
能够塞住木板上三个孔洞的塞子是
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵点D，E分别是边AC，AB的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得，x≤2
解不等式②可得，x>-1
在数轴上表示解集为：
故答案为：D
【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，两边同时乘以x-3，则x-2-2=2（x-3）
故答案为：C
【分析】根据去分母法则即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】 解：由题知，将抛物线y=(x-3)2-5向左平移4个单位长度后，所得抛物线的解析式为y=(x+1)2-5.
∵抛物线y=(x-3)2-5与y轴的交点坐标为(0，4)，抛物线y=(x+1)2-5与y轴的交点坐标为(0，-4)
∴当向左平移3个单位长度时，所得抛物线与y轴的交点纵坐标取得最小值为-4
∴在整个平移过程中c的值先减小后增大.
故答案为：D
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，结合二次函数的性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：延长FE和CD交于点G
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，CD=AB=2
∴∠G=∠AFE，∠EDG=∠A
∵E是AD的中点
∴DE=AE
∴△EDG≌△△EAF
∴EG=EF，DG=AF
∵∠CEF=90°
∴CE垂直平分FG
∴CF=CG
∵F是AB边上的中点
∴
∴CG=CD+DG=3
∴CF=3
故答案为：A
【分析】延长FE和CD交于点G，根据平行四边形性质可得AB∥CD，CD=AB=2，则∠G=∠AFE，∠EDG=∠A，根据线段中点可得DE=AE，再根据全等三角形判定定理可得△EDG≌△△EAF，则EG=EF，DG=AF，根据垂直平分线判定定理可得CE垂直平分FG，则CF=CG，根据线段中点可得AF，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】零指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：=3-1=2
故答案为：2
【分析】根据算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】0.1
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：柑橘损坏的频率稳定在0.1左右
∴这批柑橘损坏的概率为0.1
故答案为：0.1
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
13．【答案】x2+5x+6=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
两实数根之积为6的一元二次方程可以为x2+5x+6=0
故答案为：x2+5x+6=0
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，令平移后的直线交y轴于点C，连接AC
由平移可得，直线BC的解析式为
当x=0时，y=3
∴C(0，3)
联立，解得x=±4
∵点在第一象限，则x=4，y=2
∴A(4，2)
∵OA∥BC
∴
故答案为：6
【分析】令平移后的直线交y轴于点C，连接AC，根据函数图象的平移规律可得直线BC的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得C(0，3)，联立直线OA与反比例函数解析式可得A(4，2)，再根据直线平行性质，结合三角形面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，OF
由垂径定理可得OE⊥CD
∵EF⊥CD
∴O，F，E三点共线
∴OF⊥AF
∴OF∥BG
∴，即
解得：OF=2
∴OE=OF+EF=5
∴
故答案为：
【分析】连接OD，OE，OF，由垂径定理可得OE⊥CD，根据直线平行判定定理可得OF∥BG，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得OF，根据边之间的关系可得OE，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式
（2）解：由（1）得，当时，
原式
=12.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）提公因数，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（2）将x，y值代入即可求出答案.
17．【答案】（1）解：小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目.
（2）解：A款智能手表得分：4×3+2×1+2+1+2=19分.
B款智能手表得分：4×1+2×3+3+3+3=19分.
C款智能手表得分：4×3+2×3+2+1+2=23分.
∵23>19
∴按此评分规则，小明会选购C款智能手表.
（3）解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权是4，重要程度高，对总分影响大.
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析判断即可求出答案.
（2）分别求出3款手表的得分，再比较大小即可求出答案.
（3）B款智能手表被评为“非常好”的四项权分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权是4，重要程度高，对总分影响大.
18．【答案】（1）解：△MPK，△BHK，△BPN，△BCF，△FPN.（写出3个即可）
选择证明△MHN∽△BCF.
证明：在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=90°.
∵MH⊥BC，
∴∠MHN=∠MHB=90°.
∴∠C=∠MHN，∠PNH+∠HMN=90°.
由折叠可知，MN⊥BF，
∴∠BPN=90°.
∴∠PNH+∠PBN=90°.
∴∠HMN=∠PBN.
∴△MHN∽△BCF.
（2）解：由（1）得△MHN∽△BCF，
∵∠A=∠ABC=∠MHB=90°，
∴四边形ABHM为矩形.
∴AB=MH=6，BC=8.
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠C=∠MHN，根据折叠可得MN⊥BF，则∠BPN=90°，再根据角之间的关系可得∠HMN=∠PBN，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形ABHM为矩形，则AB=MH=6，BC=8，再代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元.
根据题意，得
解得
答：采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元.
（2）解：设采购绿萝a盆，吊兰（20-a）盆，
根据题意，得
解得
设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，则
W=0.12a+0.1（20-a）=0.02a+2.
∵0.02>0，
∴W随着a的增大而增大.
又∵a为正整数，
∴当a=16时，克.
答：采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）设采购绿萝a盆，吊兰（20-a）盆，根据题意建立不等式组，解不等式组可得a的取值范围，设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，再建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
20．【答案】（1）分数越小；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；因为，这两个数都大于0，所以一定大于
（2）解：由（1）得1∴正整数a的取值为2或3.
①当a=2时，
解得b≤4.
∴2≤b≤4.
当b=2时，与题意不符，舍去.
当b=3时，
∴c=6.
当b=4时，
∴c=4.
②当a=3时，
解得b≤3.
∵a≤b≤c，∴b=3，此时c=3.
综上所述，a，b，c的值为2，3，6或2，4，4或3，3，3.
【知识点】不等式的性质；放缩法
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，结合分式的性质分析判断即可求出答案.
（2）由（1）可得正整数a的取值为2或3，分类讨论，结合题意，分式的性质即可求出答案.
21．【答案】解：（1）如图2，延长AP交直线CD于点K.
根据题意，得BD∥AC.
∴△BDK∽△ACK.
即
解得EK=1.6.
∴车头盲区的面积约为
（2）①如图，延长ME交AH于点K.
在Rt△BDK中，
∴∠BKD=21.8°.
∵MN∥HE，
∴∠HEK=∠EMN=6.58°.
②司机不能看见孩子，理由如下：
如图3，过F作FG⊥HE交AH于点G.
解得FG≈1.08米>0.9米.
所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子.
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；盲区；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）延长AP交直线CD于点K，根据相似三角形判定定理可得△BDK∽△ACK，则，代值计算即可求出答案.
（2）①延长ME交AH于点K，根据正切定义可得∠BKD=21.8°，再根据直线平行性质可得∠HEK=∠EMN=6.58°，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过F作FG⊥HE交AH于点G，根据正切定义可得FG，再比较大小即可求出答案.
22．【答案】（1）①
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=90°.
∵∠BDC=2∠BAE，
∴∠EAC=90°-∠BAE=45°=∠BAE.
∵DA=DC，
∴DA=DC.
∴∠ABD=∠DBC=∠ACD=∠DAC.
∴∠DAC+∠EAC=∠ABD+∠BAE，即∠DAE=∠DEA.
∴DA=DE.
∵E是BD上中点，DF=2，
∴设EF=x，则DA=DE=BE=x+2，DB=2x+4.
在△ADF和△BDA中，
∴△ADF∽△BDA.
，即
解得x=2.
∴DB=8，BF=6.
设AF=a，AB=2a.
∵在Rt△ABF中，AF2+AB2=BF2，即
解得
（3）解：作图分三种情况：
如图，点D为所求.
在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，
∴
情况①：如图，过B作BE⊥AD交于点E.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CDB=90°，
∵BD=CD，
∴BD=CD.
∴在Rt△BDE中，
情况②：如图，连接OD交AB于点E，连接OA.
∵AD=BD，OB=OA，
∴OD垂直平分AB.
在Rt△OBE中，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
在Rt△ADE中，
情况③：如图，连接OD交AC于点E，连接OA.
∵AD=CD，OC=OA=5，
∴OD垂直平分AC.
在Rt△OEC中，
∴DE=OD-OE=5-4=1.
在Rt△AED中，
综上所述，AD的长度为7或2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵正方形是圆的内接四边形，一条对角线将正方形分成两个等腰直角三角形，
∴正方形满足是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形
∴正方形一定是“等直共圆四边形”.
∵矩形是圆的内接四边形，但它的一条对角线将矩形分成两个直角三角形，只有它的长与宽相等时，才能满足是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形
∴矩形不一定是“等直共圆四边形”.
∵含60°角的菱形不是圆的内接四边形，
∴含60°角的菱形一定不是“等直共圆四边形”.
∵含60°角的等腰梯形是圆的内接四边形，但只有上底与腰相等的含60°角的等腰梯形是“等直共圆四边形”
∴含60°角的等腰梯形不一定是“等直共圆四边形”.
综上，一定是“等直共圆四边形”是正方形.
故答案为：①
【分析】（1）根据等直共圆四边形定义，结合正方形，矩形，菱形，等腰梯形的性质逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据圆内接四边形性质可得∠BDC=∠BAC=90°，根据角之间的关系可得∠EAC，根据等边对等角可得∠ABD=∠DBC=∠ACD=∠DAC，再根据角之间的关系可得∠DAE=∠DEA，根据等角对等边可得DA=DE，设EF=x，则DA=DE=BE=x+2，DB=2x+4，根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△BDA，则，代值计算可得x值，设AF=a，AB=2a，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等直共圆四边形定义作图即可，根据勾股定理可得BC，分情况讨论：情况①：过B作BE⊥AD交于点E，根据圆周角定理的推论可得∠BAC，解直角三角形可得BE，BD，根据勾股定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案；情况②：连接OD交AB于点E，连接OA，根据垂直平分线判定定理可得OD垂直平分AB，则，根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，再根据勾股定理即可求出答案；情况③：如图，连接OD交AC于点E，连接OA，根据垂直平分线判定定理可得OD垂直平分AC，则，根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
23．【答案】（1）（-4，2）
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∴∠CDA=∠AOB=90°.
∴∠DAC+∠DCA=∠DAC+∠ABO=90°.
∴∠DCA=∠ABO.
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4.
设AD=a，则
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
即
解得
（3）解：如图，过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF.
根据反比例函数k的几何意义，得
∵BD∥CE，
∴△BDO∽△CEO，相似比为
设BD=4m，则CE=OG=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m.
∴DF=5m，ON=15m，GN=9m，E（6m，），F（9m，）
∵∠DEF=45°，OH⊥OE，
∴△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，
∠EOG+∠MOH=∠MOH+∠OHM=90°.
∴∠EOG=∠OHM，∠OMH=∠OGE.
∴△EOG≌△OHM.
∵HM∥EG，
∴△HMN∽△EGN.
即
解得
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4
由旋转性质可得，AB=AB'，∠ABA'=90°
∴∠A'BO=∠ABO=90°
∵∠A'BO+∠A'BO'=90°
∴∠ABO=∠A'BO'
∵∠AOB=∠A'O'B=90°
∴△AOB≌△A'O'B
∴O'A'=OA=2，O'B=OB=4
∴点A'的坐标为(-4，4-2)，即(-4，2)
【分析】（1）根据两点间距离可得OA=2，OB=4，由旋转性质可得，AB=AB'，∠ABA'=90°，根据角之间的关系可得∠ABO=∠A'BO'，再根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△A'O'B，则O'A'=OA=2，O'B=OB=4，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）过点C作CD⊥AB于点D，根据角之间的关系可得∠DCA=∠ABO，根据两点间距离可得OA=2，OB=4，根据正切定义可得，根据勾股定理可得AB，设AD=a，则，根据特殊角的三角函数值建立方程，解方程可得OC，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF，根据反比例函数k的结合意义可得，根据三角形面积可得，再根据相似三角形判定定理可得△BDO∽△CEO，则，设BD=4m，则CE=OG=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m，根据边之间的关系可得DF=5m，ON=15m，GN=9m，根据点的坐标可得E（6m，），F（9m，），根据等腰直角三角形判定定理可得△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，则∠EOG=∠OHM，∠OMH=∠OGE，再根据全等三角形判定定理可得△EOG≌△OHM，则，根据边之间的关系可得MN，再根据相似三角形判定定理可得△HMN∽△EGN，则，代值计算可得m值，再根据勾股定理可得EF，OE，再根据边之间的关系即可求出答案.
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