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广东省深圳市深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）：平均数>中位数=众数
B．图（2）：众数>平均数
C．图（3）：众数<中位数<平均数
D．图（3）：众数<平均数<中位数
3．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
4．千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知随机变量服从两点分布，且，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
7．已知函数，则图象上关于原点对称的点有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．命题“，”的否定是真命题
D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
10．下列说法正确的是（　　）
A．若事件A与B互相独立，且，则
B．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好
C．若随机变量服从二项分布，则
D．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
11．函数对于任意的，满足，且，则（　　）
A．为偶函数 B．是函数的一个周期
C．点是图象的对称中心 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知两个变量x和y的统计数据如下表：
x 13 16 17 18
y 15 16 19 22
根据上表可解得回归直线方程：，则实数a的值为　 　．
13．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为　 　.
14．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式，若_____________，求：
（1）求n和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中含的项的系数．
17．在函数性质学习过程中，我们可以总结出一些常见奇偶性函数模型，例如：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数______________________．偶函数：①函数．②函数．③函数型，等等．对于奇偶函数也有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶．请根据所学函数的有关知识，结合以上内容，完成下面问题：
（1）类比奇函数①中的函数模型，在奇函数③中补充一个函数．
（2）若为偶函数，求a的值．
（3）已知函数，若，求m的取值范围
18．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％．
　 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 　 　 　
不经常整理 　 　 　
合计 　 　 　
（1）求图1中m的值；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值.
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先求出集合A在全集U中的补集，再求该补集与集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A：中应有平均数=中位数=众数，A错误；
B：中众数<平均数，B错误；
C、D：，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，
所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小，C正确，D错误；
故答案为：C.
【分析】本题考查频率分布直方图中平均数、中位数、众数的关系，核心是根据分布形态（对称、不规则、右拖尾）判断三者的大小关系。
3．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的周期性
【解析】【解答】解：由图可知：函数以及均是周期为4的周期函数，
A、对应中的值，由图象知，故A错误；
B、对应中的值，由图象知，故B错误；
C、，则，又对应中的值，
由图象知，即，故C正确；
D、，则，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可.
4．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，“至少有2人都选择贵州地区支教”的对立事件为只有1人选择贵州地区支教和没有人选择贵州地区支教，
只有1人选择贵州地区支教的情况有种，没有人选择贵州地区支教的情况有种，
所以至少有2人都选择贵州地区支教的概率.
故答案为：B.
【分析】本题考查古典概型中对立事件概率的计算，核心是利用 “至少有 2 人选择贵州” 的对立事件（0 人或 1 人选择贵州）来简化计算。
5．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；两点分布
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
因为，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查两点分布的概率性质与期望计算，关键是先利用分布列的性质求出参数 a，再根据期望的线性性质计算最终结果。
6．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据已知条件第一组数据的个数为个，且，
所以，
，
第二组数据的个数为个，且平均数，
，
因为，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查方差的计算与比较，核心是根据方差的定义，分别计算两组数据的方差，再比较大小。
7．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
如图所示，当时，，其关于原点对称后的图像为，
易知与有两个交点，即上有两个点，中心对称后在上；
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数关于原点对称的点的个数，核心是利用中心对称的性质，将问题转化为求对称后的函数与原函数的交点个数。
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得或，
由为增函数，解得或，
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立，
因此，即.
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：D.
【分析】本题考查不等式恒成立条件与基本不等式的综合应用，关键是先由恒成立条件得出2a+b=2，再利用“乘1法”和基本不等式求最值。
9．【答案】B,C
【知识点】全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A：因为，故A错误；
B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确；
C：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故C正确；
D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故D错误；
和BC.
【分析】A：通过配方判断二次函数的取值范围；B：根据存在量词命题的否定规则判断；C：写出全称量词命题的否定并判断真假；D：根据充分、必要条件的定义判断关系。
10．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：A：已知事件A与B互相独立，则，则，A正确；
B：决定系数越接近1拟合效果越好，则甲拟合效果更好，B错误；
C：根据二项分布均值公式可知，根据均值的性质可知，C正确；
D：根据规则，只有连续五次投不中，才游戏失败，所以成功的概率为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据独立事件的条件概率公式判断；B：根据决定系数R2的意义判断拟合效果；C：根据二项分布的期望公式及期望的线性性质计算；D：根据对立事件的概率公式计算游戏成功的概率。
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题知，
A：令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以函数为奇函数，故A错误；
B：令，，即，
，所以周期为，故B正确；
C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故C正确；
D：令，得，即，
令，得，所以，
所以，
故，故D正确.
故答案为：BCD..
【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法分析函数的奇偶性、周期性、对称性，并计算特定求和式的值。
12．【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
样本中心点为，代入得，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查回归直线方程的求解，核心是利用回归直线必过样本中心点的性质来计算参数。
13．【答案】（中的任意一个数均可）
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】 解：因为，且，则，且，
故若，则.
故答案为：（中的任意一个数均可）.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质，结合已知概率确定a的取值范围。
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【分析】本题考查分段函数的单调性，核心是确保分段函数的每一段都单调递减，同时保证分段点处的函数值满足递减的衔接条件。
15．【答案】（1）解：由得：，解得：，即，
当时，，
解得：，即；
故；
（2）解：由（1）知：；由得：，
即，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.
或，解得，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 先分别解不等式得到集合A和B，再根据交集的定义求解。
(2) 根据必要不充分条件的定义，转化为集合B是集合A的真子集，进而求解参数a的取值范围。
（1）由得：，解得：，即，
当时，，
解得：，即；
故；
（2）由（1）知：；
由得：，
即，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.
或，解得，
即实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意，
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得；
当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项，
根据二项式展开式可知，第项为，
当时，，当时，，
所以二项式系数最大的项为第4项和第5项
（2）解：已知，展开式通项为，
当，即时，，
当，即时，，
所以含的项为，可得含的项的系数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【分析】先判断条件：条件①无解，条件②和③都解得 ，按题意取条件②/③解题。
(1) 利用二项式系数的性质，确定 ，找到二项式系数最大的项；
(2) 分析 展开式中含 的项，需分别计算两部分的贡献并求和。
（1）条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意，
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得；
当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项，
根据二项式展开式可知，第项为，
当时，，当时，，
所以二项式系数最大的项为第4项和第5项.
（2）已知，展开式通项为，
当，即时，，
当，即时，，
所以含的项为，可得含的项的系数为.
17．【答案】（1）解：类比得：，
由，符合条件；
（2）解：已知为偶函数，则有，
则，
化简得，解得，
当时，，定义域为，，符合偶函数，所以；
（3）解：已知，定义域为，解得，即定义域为，
可知，，所以为奇函数，
设，则，
因为，所以，
且，，可得，
所以，得，即，
所以，在上单调递减，
由，，得，即
所以，解得，
所以m的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 类比给出的奇函数模型，补充符合条件的函数并验证其奇偶性；(2) 根据偶函数的定义，列出等式求解参数 a；
(3) 先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数性质解不等式。
（1）类比得：，
由，符合条件；
（2）已知为偶函数，则有，
则，
化简得，解得，
当时，，定义域为，，符合偶函数，所以；
（3）已知，定义域为，解得，即定义域为，
可知，，所以为奇函数，
设，则，
因为，所以，
且，，可得，
所以，得，即，
所以，在上单调递减，
由，，得，即
所以，解得，
所以m的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
（3）解：由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则可得X的数学期望为．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，列方程求解；
(2) 先根据统计图表数据补全列联表，再计算统计量，判断是否有关联；
(3) 先根据分层抽样确定抽取的学生人数，再分析随机变量的可能取值，计算对应概率，得到分布列和数学期望。
（1）由题意可得，
解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则可得X的数学期望为．
19．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
则的解析式为.
（2）解：当时，，
所以，
①当时，在上单调递增，
此时，解得，不合题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，
则，
所以，符合题意；
③当时，在单调递减，
则，
解得，不合题意，
综上所述，.
（3）解：由，得，
由，得，
则同号.
①当时，
当时，，
则，
所以，
则在区间上单调递减，
所以，
则为方程的根，
由，
得，
则，
解出；
②同理可得，当时，
当时，，
所以，
则，
所以在区间上单调递减，
则，
解得.
综上可得，或.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由奇函数定义和变形的方法，从而得出分段函数解析式.
（2）先讨论函数的定义域与二次函数对称轴的关系，再根据函数的最大值和最小值建立等量关系，从而计算出的值.
（3）分“”和“”两种情况分类讨论，再结合函数的单调性建立等量关系，从而得出a，b的值.
（1）当时，，
所以
所以的解析式为.
（2）当时，，所以.
①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，，即，符合题意；
③当时，在单调递减，则，解得，不合题意.
综上得，.
（3）由得，，由得，得，故同号.
①当时，由于时，，故，则，
所以在区间上单调递减，
所以，
即为方程的根，
由得，即，从而解出.
②同理时，由于时，，故，则
故在区间上单调递减，
所以，解得.
综上可得，或.
1 / 1广东省深圳市深圳外国语学校高中园2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先求出集合A在全集U中的补集，再求该补集与集合B的交集。
2．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）：平均数>中位数=众数
B．图（2）：众数>平均数
C．图（3）：众数<中位数<平均数
D．图（3）：众数<平均数<中位数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：A：中应有平均数=中位数=众数，A错误；
B：中众数<平均数，B错误；
C、D：，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，
所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小，C正确，D错误；
故答案为：C.
【分析】本题考查频率分布直方图中平均数、中位数、众数的关系，核心是根据分布形态（对称、不规则、右拖尾）判断三者的大小关系。
3．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的周期性
【解析】【解答】解：由图可知：函数以及均是周期为4的周期函数，
A、对应中的值，由图象知，故A错误；
B、对应中的值，由图象知，故B错误；
C、，则，又对应中的值，
由图象知，即，故C正确；
D、，则，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可.
4．千里烟尘书香近，异乡耕耘报国情．离家辛勤育人梦，天下繁花桃李红．越来越多的大学生选择毕业后支教边远山区，这项活动不仅是对孩子们未来的投资，也是这些年轻志愿者自身成长与蜕变的旅程．现有5名大学生，每人从甘肃、贵州、云南地区选择一个地区支教，则至少有2人都选择贵州地区支教的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，“至少有2人都选择贵州地区支教”的对立事件为只有1人选择贵州地区支教和没有人选择贵州地区支教，
只有1人选择贵州地区支教的情况有种，没有人选择贵州地区支教的情况有种，
所以至少有2人都选择贵州地区支教的概率.
故答案为：B.
【分析】本题考查古典概型中对立事件概率的计算，核心是利用 “至少有 2 人选择贵州” 的对立事件（0 人或 1 人选择贵州）来简化计算。
5．已知随机变量服从两点分布，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；两点分布
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
因为，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查两点分布的概率性质与期望计算，关键是先利用分布列的性质求出参数 a，再根据期望的线性性质计算最终结果。
6．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据已知条件第一组数据的个数为个，且，
所以，
，
第二组数据的个数为个，且平均数，
，
因为，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查方差的计算与比较，核心是根据方差的定义，分别计算两组数据的方差，再比较大小。
7．已知函数，则图象上关于原点对称的点有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
如图所示，当时，，其关于原点对称后的图像为，
易知与有两个交点，即上有两个点，中心对称后在上；
故答案为：B.
【分析】本题考查分段函数关于原点对称的点的个数，核心是利用中心对称的性质，将问题转化为求对称后的函数与原函数的交点个数。
8．若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得或，
由为增函数，解得或，
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立，
因此，即.
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：D.
【分析】本题考查不等式恒成立条件与基本不等式的综合应用，关键是先由恒成立条件得出2a+b=2，再利用“乘1法”和基本不等式求最值。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．命题“，”的否定是真命题
D．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
【答案】B,C
【知识点】全称量词命题；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A：因为，故A错误；
B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确；
C：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故C正确；
D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故D错误；
和BC.
【分析】A：通过配方判断二次函数的取值范围；B：根据存在量词命题的否定规则判断；C：写出全称量词命题的否定并判断真假；D：根据充分、必要条件的定义判断关系。
10．下列说法正确的是（　　）
A．若事件A与B互相独立，且，则
B．甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好
C．若随机变量服从二项分布，则
D．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；二项分布；条件概率
【解析】【解答】解：A：已知事件A与B互相独立，则，则，A正确；
B：决定系数越接近1拟合效果越好，则甲拟合效果更好，B错误；
C：根据二项分布均值公式可知，根据均值的性质可知，C正确；
D：根据规则，只有连续五次投不中，才游戏失败，所以成功的概率为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据独立事件的条件概率公式判断；B：根据决定系数R2的意义判断拟合效果；C：根据二项分布的期望公式及期望的线性性质计算；D：根据对立事件的概率公式计算游戏成功的概率。
11．函数对于任意的，满足，且，则（　　）
A．为偶函数 B．是函数的一个周期
C．点是图象的对称中心 D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题知，
A：令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以函数为奇函数，故A错误；
B：令，，即，
，所以周期为，故B正确；
C： 由B中，即，所以关于 对称，且，又周期为，所以，故C正确；
D：令，得，即，
令，得，所以，
所以，
故，故D正确.
故答案为：BCD..
【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法分析函数的奇偶性、周期性、对称性，并计算特定求和式的值。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知两个变量x和y的统计数据如下表：
x 13 16 17 18
y 15 16 19 22
根据上表可解得回归直线方程：，则实数a的值为　 　．
【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
样本中心点为，代入得，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查回归直线方程的求解，核心是利用回归直线必过样本中心点的性质来计算参数。
13．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若.写出一个符合条件的的值为　 　.
【答案】（中的任意一个数均可）
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】 解：因为，且，则，且，
故若，则.
故答案为：（中的任意一个数均可）.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质，结合已知概率确定a的取值范围。
14．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【分析】本题考查分段函数的单调性，核心是确保分段函数的每一段都单调递减，同时保证分段点处的函数值满足递减的衔接条件。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设全集，集合，集合，其中.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由得：，解得：，即，
当时，，
解得：，即；
故；
（2）解：由（1）知：；由得：，
即，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.
或，解得，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算；必要条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1) 先分别解不等式得到集合A和B，再根据交集的定义求解。
(2) 根据必要不充分条件的定义，转化为集合B是集合A的真子集，进而求解参数a的取值范围。
（1）由得：，解得：，即，
当时，，
解得：，即；
故；
（2）由（1）知：；
由得：，
即，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集.
或，解得，
即实数的取值范围为.
16．在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式，若_____________，求：
（1）求n和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中含的项的系数．
【答案】（1）解：条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意，
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得；
当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项，
根据二项式展开式可知，第项为，
当时，，当时，，
所以二项式系数最大的项为第4项和第5项
（2）解：已知，展开式通项为，
当，即时，，
当，即时，，
所以含的项为，可得含的项的系数为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式
【解析】【分析】先判断条件：条件①无解，条件②和③都解得 ，按题意取条件②/③解题。
(1) 利用二项式系数的性质，确定 ，找到二项式系数最大的项；
(2) 分析 展开式中含 的项，需分别计算两部分的贡献并求和。
（1）条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和为，令，无整数解，条件一不符合题意，
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21，即，解得；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，即，解得；
当时，二项式为，二项式系数最大的项为第4项和第5项，
根据二项式展开式可知，第项为，
当时，，当时，，
所以二项式系数最大的项为第4项和第5项.
（2）已知，展开式通项为，
当，即时，，
当，即时，，
所以含的项为，可得含的项的系数为.
17．在函数性质学习过程中，我们可以总结出一些常见奇偶性函数模型，例如：奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数______________________．偶函数：①函数．②函数．③函数型，等等．对于奇偶函数也有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶．请根据所学函数的有关知识，结合以上内容，完成下面问题：
（1）类比奇函数①中的函数模型，在奇函数③中补充一个函数．
（2）若为偶函数，求a的值．
（3）已知函数，若，求m的取值范围
【答案】（1）解：类比得：，
由，符合条件；
（2）解：已知为偶函数，则有，
则，
化简得，解得，
当时，，定义域为，，符合偶函数，所以；
（3）解：已知，定义域为，解得，即定义域为，
可知，，所以为奇函数，
设，则，
因为，所以，
且，，可得，
所以，得，即，
所以，在上单调递减，
由，，得，即
所以，解得，
所以m的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】(1) 类比给出的奇函数模型，补充符合条件的函数并验证其奇偶性；(2) 根据偶函数的定义，列出等式求解参数 a；
(3) 先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数性质解不等式。
（1）类比得：，
由，符合条件；
（2）已知为偶函数，则有，
则，
化简得，解得，
当时，，定义域为，，符合偶函数，所以；
（3）已知，定义域为，解得，即定义域为，
可知，，所以为奇函数，
设，则，
因为，所以，
且，，可得，
所以，得，即，
所以，在上单调递减，
由，，得，即
所以，解得，
所以m的取值范围为.
18．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％．
　 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 　 　 　
不经常整理 　 　 　
合计 　 　 　
（1）求图1中m的值；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
（3）解：由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则可得X的数学期望为．
【知识点】频率分布直方图；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图的性质，所有矩形面积和为1，列方程求解；
(2) 先根据统计图表数据补全列联表，再计算统计量，判断是否有关联；
(3) 先根据分层抽样确定抽取的学生人数，再分析随机变量的可能取值，计算对应概率，得到分布列和数学期望。
（1）由题意可得，
解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
由于，所以在犯错误的概率不超过5的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则可得X的数学期望为．
19．定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值.
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
则的解析式为.
（2）解：当时，，
所以，
①当时，在上单调递增，
此时，解得，不合题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，
则，
所以，符合题意；
③当时，在单调递减，
则，
解得，不合题意，
综上所述，.
（3）解：由，得，
由，得，
则同号.
①当时，
当时，，
则，
所以，
则在区间上单调递减，
所以，
则为方程的根，
由，
得，
则，
解出；
②同理可得，当时，
当时，，
所以，
则，
所以在区间上单调递减，
则，
解得.
综上可得，或.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）由奇函数定义和变形的方法，从而得出分段函数解析式.
（2）先讨论函数的定义域与二次函数对称轴的关系，再根据函数的最大值和最小值建立等量关系，从而计算出的值.
（3）分“”和“”两种情况分类讨论，再结合函数的单调性建立等量关系，从而得出a，b的值.
（1）当时，，
所以
所以的解析式为.
（2）当时，，所以.
①当时，在上单调递增，此时，解得不合题意.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，，即，符合题意；
③当时，在单调递减，则，解得，不合题意.
综上得，.
（3）由得，，由得，得，故同号.
①当时，由于时，，故，则，
所以在区间上单调递减，
所以，
即为方程的根，
由得，即，从而解出.
②同理时，由于时，，故，则
故在区间上单调递减，
所以，解得.
综上可得，或.
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