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八下数学第14周《二次根式拓展》
1．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　）
A．B． C． D．
2．若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 　 　 ．
3．下列各数中，可使式子有意义的x的取值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ．
5．若二次根式有意义，且关于x的分式方程2有正整数解，则符合条件的整数m的和是 　 　 ．
6．使代数式有意义，则x的取值范围是　 　 ．
7．已知x和y是实数，且，则x+y＝　 　 ．
8．若x，y为实数，且y．求的值．
9．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（　　）
A．﹣2a B．2b C．0 D．2b﹣2a
10．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　）
A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x
11．若，写出一个符合条件的a的值 　 　 ．
12．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ，那么便有±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ，
∴2
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
13．下列各数中，与的积为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
144．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
15．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
16．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　 ．
17．观察下列各式：
①2；
②3；
③4．
（1）根据你发现的规律填空：
　 　 ＝　 　 ；
（2）猜想（n≥2，n为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想．
18．阅读下列解题过程：2；
22；
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算；
（2）请直接写出的结果．（n≥1）
（3）利用上面的解法，请化简：．
【典型例题】
1．阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有2m2＝n2．
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．
设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2，
∴2t2＝m2，
∴m也是偶数，
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误，
∴不是有理数．
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
（1）用类似的方法，请证明是无理数；
（2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数．
2．像（2）（2）＝1、 a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
3．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣21．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
4．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题．
（1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理．
（2）求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为　 　 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值．
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）则AC的长为　 　 （用含x的代数式表示），CE的长为　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　 　 ；
（4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　 　 ．
6．综合探究：
“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积．”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中△ABC的面积是 　 　 ；
（2）若△MNP的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积．
（3）拓展应用：求代数式的最小值．
【巩固练习】
1．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a3 a3＝2a3
C． D．a12÷a2＝a6
2．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　 　 段．
3．已知，求的值．
4．某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．计算的结果等于　 　 ．
6．计算的结果是 　 　 ．
7．计算：
（1）；
（2）（）×（3）．
（1）；
（2）．
8．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
（1）﹣2与 　 　 是关于1的一组“关联数”；
（2）与 　 　 是关于3的一组“关联数”；
（3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
∴0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，1，即m＝﹣3，
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣1，1，其和为﹣1+1＝0．
故答案为：0．
6．使代数式有意义，则x的取值范围是x≥4　 ．
【解答】解：根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负可得，
则x≥4，
故答案为：x≥4．
7．已知x和y是实数，且，则x+y＝　3　 ．
【解答】解：根据题意，得x﹣5≥0且5﹣x≥0，
∴x＝5．
∴y2，
∴x+y＝5+（﹣2）＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
8．若x，y为实数，且y．求的值．
【解答】解：依题意得：x，则y，
所以，2，
所以．
四．二次根式的性质与化简（共5小题）
9．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（　　）
A．﹣2a B．2b C．0 D．2b﹣2a
【解答】解：由数轴可知a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a+b﹣b+a＝0，
故选：C．
10．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　）
A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x
【解答】解：（1）∵①2，
②3，
③4，
∴5，
故答案为：，5；
（2）猜想：n，
验证如下：当n≥2，n为自然数时，
原式
＝n．
五．分母有理化（共2小题）
14．下列各数中，与的积为有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴与的积为有理数的是，
故选：C．
15．阅读下列解题过程：2；
22；
请解答下列问题：
（1）观察上面解题过程，计算；
（2）请直接写出的结果．（n≥1）
（3）利用上面的解法，请化简：．
【解答】解：（1）原式；
（2）归纳总结得：（n≥1）；
（3）原式110﹣1＝9．
六．同类二次根式（共3小题）
16．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【解答】解：2，而与最简二次根式能合并成一项，
所以2t﹣1＝3，
解得t＝2，
故选：C．
17．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故B符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、2，与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
18．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　2　 ．
【解答】解：∵最简二次根式和是可以合并的二次根式，
∴3b＝2b﹣a+2，
∴a+b＝2．
故答案为：2．
七．无理数（共1小题）
19．阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有2m2＝n2．
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．
设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2，
∴2t2＝m2，
∴m也是偶数，
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误，
∴不是有理数．
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
（1）用类似的方法，请证明是无理数；
（2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数．
【解答】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有5m2＝n2．
∵5m2是5的倍数，
∴n2也是5的倍数，
∴n是5的倍数．
设n＝5t（t是正整数），则n2＝25t2，即25t2＝5m2，
∴5t2＝m2，
∴m也是5的倍数，
∴m，n都是5的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴不是有理数；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分a为4，小数部分b为：42，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴2的整数部分x为3，小数部分y为：2﹣31，
∴，
∴x﹣y的相反数是．
八．二次根式的加减法（共3小题）
20．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝a6 B．a3 a3＝2a3
C． D．a12÷a2＝a6
【解答】解：由题知，
因为（﹣a3）2＝a6，
所以A选项符合题意；
因为a3 a3＝a6，
所以B选项不符合题意；
因为，
所以C选项不符合题意；
因为a12÷a2＝a10，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
21．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　②　 段．
【解答】解：由条件可得，
∵，
∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段，
故答案为：②．
22．已知，求的值．
【解答】解：由题意得：0，0，
解得：a2，b2，
5．
九．二次根式的混合运算（共8小题）
23．某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下：
①，正确，不符合题意；
②，正确，不符合题意；
③，正确，不符合题意；
④，错误，符合题意；
故选：A．
24．计算的结果等于　12　 ．
【解答】解：
＝12．
故答案为：12．
25．计算的结果是 　　 ．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
26．像（2）（2）＝1、 a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）；
（2）
＝2
＝2+2；
（3），
理由：∵，
，
，
∴，
∴．
27．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣21．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【解答】解：（1）1；
（2）4；
（3）原式，
，
，
122，
1．
28．计算：
（1）；
（2）（）×（3）．
【解答】解：（1）
＝2
；
（2）（）×（3）
＝3
＝3．
29．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
2
＝3；
（2）
＝3﹣4+3+44
＝6+4．
30．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”．
（1）﹣2与 　4　 是关于1的一组“关联数”；
（2）与 　5　 是关于3的一组“关联数”；
（3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由．
【解答】解：（1）设﹣2与x是关于1的一组“关联数”，
∴1，
解得：x＝4，
∴﹣2与4是关于1的一组“关联数”，
故答案为：4；
（2）设1与y是关于3的一组“关联数”，
∴3，
解得：y＝5，
∴1与5是关于3的一组“关联数”，
故答案为：5；
（3）a2与b2是关于3的一组“关联数”，
理由：∵，
∴
＝3，
∴a2与b2是关于3的一组“关联数”．
十．勾股定理的应用（共3小题）
31．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题．
（1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理．
（2）求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为　13　 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值．
【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD，
则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12，
∴代数式表示AB+DB，
∵AB+DB的最小值为AD的长，
即代数式的最小值为AD的长，
在Rt△ADG中，由勾股定理得AD13，
即的最小值为13；
故答案为：13．
（2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD，
则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5，
∴代数式表示AB+BD，
∵AB+DB的最小值为AD的长，
∴代数式的最小值为AD的长，
∵AD，
即代数式的最小值为．
32．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）则AC的长为　　 （用含x的代数式表示），CE的长为　　 （用含x的代数式表示）；
（2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　13　 ；
（4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　　 ．
【解答】解：（1）由AB＝5，DE＝1，BD＝8，
∵CD＝x，
∴BC＝8﹣x，
在Rt△ABC中，，
在Rt△CDE中，．
故答案为：；．
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，作EF⊥AB的延长线于F，
，
依题意得：BF＝DE＝1，
∴AE．
∴AC+CE的最小值为10．
（3）如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
，
设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值，
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，
得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以，
即的最小值为13．
故代数式 的最值为13，
故答案为：13；
（4）如图，作OA＝4．过点A作AB⊥OA，使AB＝3．OC＝2，连接BC交x轴负半轴于点D，
，
设D的坐标为（x，0），
则BC的长即为代数式的最大值，
过点C作CE⊥AB，
则AE＝OC＝2，CE＝OA＝4，
∴BE＝1，
在Rt△CBE中，
根据勾股定理，得BC，
求代数式的最小值，就是求AP+BP的最小值，当AP与BP共线时，AP+BP为最小，最小值为AB的长．
∵AE＝AC+CE＝1+2＝3，BE＝CD＝4，
∴由勾股定理，得AB5，
∴代数式的最小值是5．
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