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江苏省南京市中华中学2025届高三三模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题结出的四个选项14下一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
3．在边长为3的等边三角形中，，则（　　）
A． B． C． D．
4．一组数据1，7，5，2，，2，且，，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
5．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则当时，的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（　　）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
10．设抛物线的焦点为F，准线为，为上一点，以点F为圆心，为半径的圆交于B，D两点，，且的面积为，则（　　）
A．是正三角形
B．
C．抛物线的方程为
D．若AF与抛物线交于另一点E，则
11．用表示不超过实数x的最大整数，如：，．已知函数，函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于y轴对称 B．函数是周期函数
C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为　 　.
13．已知，则　 　.
14．已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点.
（1）证明：；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
16．在中，，且，，为内一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求．
17．魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.
（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
18．已知椭圆过点，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值.
19．已知函数.
（1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）当时，设的极大值为，求证：；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
所以，有2个元素.
故答案为：B.
【分析】先根据对数函数的单调性和对数型函数的定义域，从而求出集合，再根据交集的运算法则得出集合，进而得出集合的元素个数.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，
所以，复数的共轭复数为.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数定义得出复数z的共轭复数.
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的结构特征和向量共线定理，则根据数量积的定义得出的值.
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易得众数为2，则中位数为，
所以将数据按照从小到大排列得1，2，2，，5，7，则，解得，
则平均数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查统计量的计算，关键是先利用众数与中位数的关系求出x，再计算平均数。
5．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，则，
因为为的中点，所以，则，
又因为在圆上，
所以，
则，
所以，点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意结合中点的坐标表示，从而可得点，再代入圆的方程得出线段的中点的轨迹方程.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
可得，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在时取得极大值，也是最大值.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出当时的函数的最大值.
7．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：连接，因为，
所以四边形为平行四边形，
则，
所以即为异面直线与所成的角或补角，
设，则，
所以，
连接，则，
因为，
所以平面，平面，
则，
又因为，，
由余弦定理，得，
所以，异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：D.
【分析】连接，再利用异面直线定义，从而得出为异面直线与所成的角，设，解三角形即可.
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】这类题多用数形结方法来解题
作出与的图像，
因为
所以的图像要在图像上方，
当时，
即找到与相切时的a
所以方程的得
直线绕逆时针转到直线
故选D
【分析】分段函数图象，绝对值对图像影响，二次函数的切线求法及不等式转化成图像.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【解答】解：由题意，设等差数列的公差为，则，
因为，，成等比数列，所以，
则，
解得：，所以.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为数列的前项和为，故B错误；
对于C，因为，
所以的前2025项和为：
，故C正确；
对于D，因为，
所以的前10项和为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式，从而求出的值，再利用等差数列的通项公式可判断选项A；根据等差数列前n项和公式判断出选项B；利用并项求和法判断出选项C；利用裂项相消法求和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设圆与轴的交点为，根据题意，作图如下：
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，
所以，
又因为，所以，点在抛物线上，
则，所以为等边三角形，故A正确；
则，解得，故B错误；
由，可得轴，则，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，故C正确．
又因为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义和等边三角形的定义，则判断出出选项A；利用已知条件和三角形的面积公式，从而确定的边长，则判断出选项B；利用抛物线的焦半径公式，则得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，则判断出选项C；利用抛物线的焦半径公式，从而得出EF的长，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为值域为全体实数关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数，
则函数的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，因为，
所以，函数是周期为的周期函数，故B正确；
对于C，因为，
当时，；当时，，
所以的值域为，
则函数的值域是，故C错误；
对于D，我们考虑在上的性质，结合周期性顺延即可，
则，
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时有一个解为；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
当或时，或，，此时无解，
综上所述，方程只有一个实数根，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和偶函数的图象的对称性，则判断出选项A；对于B，结合三角型函数的周期性，则判断选项B；利用结合函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件分类讨论结合解方程的方法，从而得出方程只有一个实数根，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，易知第6项的二项式系数为，
若仅有最大，可得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和二项式系数性质，从而得出n的值.
13．【答案】或.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，则，
因为，
所以，
当时，
；
当时，
.
故答案为：或.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用角之间的关系结合两角和差的余弦公式，从而分类讨论得出的值.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，设双曲线的右焦点，连接、、，
因为点是双曲线上点关于原点的对称点，
所以四边形为平行四边形，
又因为以为直径的圆过点，所以，
因为，所以，
又因为，所以，则，
设，则，
由双曲线的定义，
得：，，
在中，由余弦定理，得：，
则，
整理得，，所以，，
在中，，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意作出图形，利用平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，再根据圆的性质、等腰直角三角形的性质得出、的值，由双曲线的定义、余弦定理和勾股定理，从而得出a，c的关系式，从而求出双曲线的离心率.
15．【答案】（1）证明：根据题意，沿将折起后，，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
由左图易得矩形，
则，
所以.
（2）解：由（1）得，平面，平面，
则，
所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)，
则，
因为，分别是棱，的中点，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，
故可取；
又因为，
设平面的法向量为，
则，
所以，可取，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以，平面和平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 先由线线垂直证明平面，再由线面垂直得，证明，即得；
（2）由（1）得平面，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而建系得出相关点的坐标和向量的坐标，求出两平面的法向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面和平面的夹角的余弦值.
（1）根据题意，沿将折起后，，平面，则平面，
因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证.
（2）由（1）平面，平面，则，
故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图).
则，
因，分别是棱，的中点，则，
则，
设平面的法向量为，
则，故可取；
因，
设平面的法向量为，
则，故可取.
设平面和平面的夹角为，
则.
即平面和平面的夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：如图：
在中，，，，
所以，，
在中，，，，
所以，，
则点在线段上，
所以.
（2）解： 如图：
设，
在直角中，，
在中，由正弦定理，
可得：，
所以，.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和勾股定理，从而确定点的位置，再利用作差法得出的长.
（2）利用直角三角形的结构特征和诱导公式以及余弦函数的定义，则得出，在中，利用正弦定理列式结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（1）如图：
因为在中，，，，所以，.
在中，，，，所以，.
所以点在线段上，所以.
（2）如图：
设，
在直角中，.
在中，由正弦定理可得：
.
所以：.
17．【答案】（1）解：因为采用三局两胜制，
所以，的可能取值为，
则表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
则的分布列为：
所以的数学期望为.
（2）解：若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
所以，小王获胜的概率为
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
所以，小王获胜的概率为：
，
因为，
所以，小王应选择“五局三胜制”.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出其对应的概率，再利用期望公式计算求解.
（2）利用已知条件分类讨论，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出小王不同选择下对应的获胜概率，再利用比较法得出为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”.
（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
18．【答案】（1）解：依题意，可得，
解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设点、，
将直线方程与椭圆的方程联立，
消去整理，得，
由，
且，
所以，
易知、，
则直线的方程为，
直线的方程为，
两式作商，得，解得，
则点在定直线上.
由图可知，点、都在直线的上方，
点关于直线的对称点为原点，
由对称性知，
则，
当且仅当点为线段与直线的交点时，
则点的坐标为时，等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意结合代入法和椭圆短轴长的定义，可得，解方程组求出、的值，从而得出椭圆的方程.
（2）由图形的对称性判断出该定直线为平行于横轴的直线，将直线方程与椭圆方程联立消去，设直线的方程和直线的方程，两式作商得出点的纵坐标，再结合韦达定理化简计算可知点在直线上，再利用“将军饮马”求出的最小值.
（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点、，
直线与椭圆的方程联立消去整理得，
由，且，
所以，
易知、，则直线的方程为，
直线的方程为，
两式作商得，解得，
故在定直线上.
由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点，
由对称性知，所以，
当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立，
故的最小值为.
19．【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）证明：因为，
当时，令，则或，
则当，；当，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
则.
当时，在上单调递增，不存在极大值，
当时，令，则或，
则当，；当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
则，
所以，
设，，
则，
当，；当，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）解：因为，
所以与的零点个数相同.
依题意，共有个不同的零点，所以有两个零点，
因为，
当，则在上恒成立，
所以在上单调递增，不符合题意；
当，则在上，在上，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以有.
不妨设的两个零点为，
所以的两个零点为，
则，，
若四个零点成等差数列，则有两种情况：
①当时，
则
可得①，则，
可得，则，②，
代回原式，可得，
代入①可得，，则
这与②矛盾，故不存在；
②当时，
则
可得③，
则，可得，
则，④，
代回原式，可得，
代入③，可得，
则，
这与④矛盾，故不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；等差数列概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出实数a的值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，再分，和讨论，从而得出函数的极大值，再利用已知条件，设，，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式成立.
（3）先利用已知条件分析得出函数有两个零点，再假设函数相关零点，分和讨论结合导数正负判断函数单调性的方法以及函数求极限的方法，从而判断出不存在实数使得四个零点成等差数列.
（1），
.
（2），
当时，令，则或，
则当，；当，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
当时，在上递增，不存在极大值.
当时，令，则或，
则当，；当，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
，
设，，，
当，；当，；
则在上单调递减，在上单调递增.
.证毕！
（3）由于，
所以与的零点个数相同.
依题意共有个不同的零点，所以有两个零点.
，
当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意.
当，则在上，在上；
则在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以有.
不妨设的两个零点为，
的两个零点为，
则有，.
若四个零点成等差数列，则有两种情况.
①当时，
有
可得①
即，可得.
即，②
代回原式可得
代入①可得，即
这与②矛盾，故不存在.
②当时，
有
可得③
即，可得.
即，④
代回原式可得
代入③可得，即
这与④矛盾，故不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
1 / 1江苏省南京市中华中学2025届高三三模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题结出的四个选项14下一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的元素个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
所以，有2个元素.
故答案为：B.
【分析】先根据对数函数的单调性和对数型函数的定义域，从而求出集合，再根据交集的运算法则得出集合，进而得出集合的元素个数.
2．已知复数的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数，
所以，复数的共轭复数为.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算法则，从而得出复数z，再利用共轭复数定义得出复数z的共轭复数.
3．在边长为3的等边三角形中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的结构特征和向量共线定理，则根据数量积的定义得出的值.
4．一组数据1，7，5，2，，2，且，，若该组数据的众数是中位数的，则该组数据的平均数为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易得众数为2，则中位数为，
所以将数据按照从小到大排列得1，2，2，，5，7，则，解得，
则平均数为.
故答案为：B.
【分析】本题考查统计量的计算，关键是先利用众数与中位数的关系求出x，再计算平均数。
5．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，则，
因为为的中点，所以，则，
又因为在圆上，
所以，
则，
所以，点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意结合中点的坐标表示，从而可得点，再代入圆的方程得出线段的中点的轨迹方程.
6．已知函数，则当时，的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，
可得，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在时取得极大值，也是最大值.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值，进而得出当时的函数的最大值.
7．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：连接，因为，
所以四边形为平行四边形，
则，
所以即为异面直线与所成的角或补角，
设，则，
所以，
连接，则，
因为，
所以平面，平面，
则，
又因为，，
由余弦定理，得，
所以，异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：D.
【分析】连接，再利用异面直线定义，从而得出为异面直线与所成的角，设，解三角形即可.
8．已知函数，若，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】这类题多用数形结方法来解题
作出与的图像，
因为
所以的图像要在图像上方，
当时，
即找到与相切时的a
所以方程的得
直线绕逆时针转到直线
故选D
【分析】分段函数图象，绝对值对图像影响，二次函数的切线求法及不等式转化成图像.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.
9．已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则（　　）
A． B．的前项和为
C．的前2025项和为 D．的前10项和为
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【解答】解：由题意，设等差数列的公差为，则，
因为，，成等比数列，所以，
则，
解得：，所以.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为数列的前项和为，故B错误；
对于C，因为，
所以的前2025项和为：
，故C正确；
对于D，因为，
所以的前10项和为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式，从而求出的值，再利用等差数列的通项公式可判断选项A；根据等差数列前n项和公式判断出选项B；利用并项求和法判断出选项C；利用裂项相消法求和，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．设抛物线的焦点为F，准线为，为上一点，以点F为圆心，为半径的圆交于B，D两点，，且的面积为，则（　　）
A．是正三角形
B．
C．抛物线的方程为
D．若AF与抛物线交于另一点E，则
【答案】A,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设圆与轴的交点为，根据题意，作图如下：
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，
所以，
又因为，所以，点在抛物线上，
则，所以为等边三角形，故A正确；
则，解得，故B错误；
由，可得轴，则，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，故C正确．
又因为，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义和等边三角形的定义，则判断出出选项A；利用已知条件和三角形的面积公式，从而确定的边长，则判断出选项B；利用抛物线的焦半径公式，则得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，则判断出选项C；利用抛物线的焦半径公式，从而得出EF的长，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．用表示不超过实数x的最大整数，如：，．已知函数，函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于y轴对称 B．函数是周期函数
C．函数的值域是 D．方程只有一个实数根
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为值域为全体实数关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数，
则函数的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，因为，
所以，函数是周期为的周期函数，故B正确；
对于C，因为，
当时，；当时，，
所以的值域为，
则函数的值域是，故C错误；
对于D，我们考虑在上的性质，结合周期性顺延即可，
则，
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时有一个解为；
当时， ，，此时无解；
当时， ，，此时无解；
当或时，或，，此时无解，
综上所述，方程只有一个实数根，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和偶函数的图象的对称性，则判断出选项A；对于B，结合三角型函数的周期性，则判断选项B；利用结合函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件分类讨论结合解方程的方法，从而得出方程只有一个实数根，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意，易知第6项的二项式系数为，
若仅有最大，可得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和二项式系数性质，从而得出n的值.
13．已知，则　 　.
【答案】或.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意，，则，
因为，
所以，
当时，
；
当时，
.
故答案为：或.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用角之间的关系结合两角和差的余弦公式，从而分类讨论得出的值.
14．已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图，设双曲线的右焦点，连接、、，
因为点是双曲线上点关于原点的对称点，
所以四边形为平行四边形，
又因为以为直径的圆过点，所以，
因为，所以，
又因为，所以，则，
设，则，
由双曲线的定义，
得：，，
在中，由余弦定理，得：，
则，
整理得，，所以，，
在中，，
则.
故答案为：.
【分析】根据题意作出图形，利用平行四边形的定义判断出四边形为平行四边形，再根据圆的性质、等腰直角三角形的性质得出、的值，由双曲线的定义、余弦定理和勾股定理，从而得出a，c的关系式，从而求出双曲线的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点.
（1）证明：；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：根据题意，沿将折起后，，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
由左图易得矩形，
则，
所以.
（2）解：由（1）得，平面，平面，
则，
所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)，
则，
因为，分别是棱，的中点，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，
故可取；
又因为，
设平面的法向量为，
则，
所以，可取，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以，平面和平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 先由线线垂直证明平面，再由线面垂直得，证明，即得；
（2）由（1）得平面，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而建系得出相关点的坐标和向量的坐标，求出两平面的法向量坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面和平面的夹角的余弦值.
（1）根据题意，沿将折起后，，平面，则平面，
因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证.
（2）由（1）平面，平面，则，
故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图).
则，
因，分别是棱，的中点，则，
则，
设平面的法向量为，
则，故可取；
因，
设平面的法向量为，
则，故可取.
设平面和平面的夹角为，
则.
即平面和平面的夹角的余弦值为.
16．在中，，且，，为内一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求．
【答案】（1）解：如图：
在中，，，，
所以，，
在中，，，，
所以，，
则点在线段上，
所以.
（2）解： 如图：
设，
在直角中，，
在中，由正弦定理，
可得：，
所以，.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和勾股定理，从而确定点的位置，再利用作差法得出的长.
（2）利用直角三角形的结构特征和诱导公式以及余弦函数的定义，则得出，在中，利用正弦定理列式结合同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（1）如图：
因为在中，，，，所以，.
在中，，，，所以，.
所以点在线段上，所以.
（2）如图：
设，
在直角中，.
在中，由正弦定理可得：
.
所以：.
17．魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.
（1）小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
（2）小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为，小王在某局中若取胜，则他下一局比赛获胜的概率为，若负，则他下一局比赛获胜的概率为，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
【答案】（1）解：因为采用三局两胜制，
所以，的可能取值为，
则表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
则的分布列为：
所以的数学期望为.
（2）解：若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
所以，小王获胜的概率为
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
所以，小王获胜的概率为：
，
因为，
所以，小王应选择“五局三胜制”.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意得到的可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出其对应的概率，再利用期望公式计算求解.
（2）利用已知条件分类讨论，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出小王不同选择下对应的获胜概率，再利用比较法得出为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”.
（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
18．已知椭圆过点，短轴长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值.
【答案】（1）解：依题意，可得，
解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设点、，
将直线方程与椭圆的方程联立，
消去整理，得，
由，
且，
所以，
易知、，
则直线的方程为，
直线的方程为，
两式作商，得，解得，
则点在定直线上.
由图可知，点、都在直线的上方，
点关于直线的对称点为原点，
由对称性知，
则，
当且仅当点为线段与直线的交点时，
则点的坐标为时，等号成立，
所以的最小值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）依题意结合代入法和椭圆短轴长的定义，可得，解方程组求出、的值，从而得出椭圆的方程.
（2）由图形的对称性判断出该定直线为平行于横轴的直线，将直线方程与椭圆方程联立消去，设直线的方程和直线的方程，两式作商得出点的纵坐标，再结合韦达定理化简计算可知点在直线上，再利用“将军饮马”求出的最小值.
（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点、，
直线与椭圆的方程联立消去整理得，
由，且，
所以，
易知、，则直线的方程为，
直线的方程为，
两式作商得，解得，
故在定直线上.
由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点，
由对称性知，所以，
当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立，
故的最小值为.
19．已知函数.
（1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）当时，设的极大值为，求证：；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）证明：因为，
当时，令，则或，
则当，；当，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
则.
当时，在上单调递增，不存在极大值，
当时，令，则或，
则当，；当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
则，
所以，
设，，
则，
当，；当，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）解：因为，
所以与的零点个数相同.
依题意，共有个不同的零点，所以有两个零点，
因为，
当，则在上恒成立，
所以在上单调递增，不符合题意；
当，则在上，在上，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以有.
不妨设的两个零点为，
所以的两个零点为，
则，，
若四个零点成等差数列，则有两种情况：
①当时，
则
可得①，则，
可得，则，②，
代回原式，可得，
代入①可得，，则
这与②矛盾，故不存在；
②当时，
则
可得③，
则，可得，
则，④，
代回原式，可得，
代入③，可得，
则，
这与④矛盾，故不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；等差数列概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出实数a的值.
（2）利用导数的正负判断函数的单调性，再分，和讨论，从而得出函数的极大值，再利用已知条件，设，，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而证出不等式成立.
（3）先利用已知条件分析得出函数有两个零点，再假设函数相关零点，分和讨论结合导数正负判断函数单调性的方法以及函数求极限的方法，从而判断出不存在实数使得四个零点成等差数列.
（1），
.
（2），
当时，令，则或，
则当，；当，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
当时，在上递增，不存在极大值.
当时，令，则或，
则当，；当，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故.
，
设，，，
当，；当，；
则在上单调递减，在上单调递增.
.证毕！
（3）由于，
所以与的零点个数相同.
依题意共有个不同的零点，所以有两个零点.
，
当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意.
当，则在上，在上；
则在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以有.
不妨设的两个零点为，
的两个零点为，
则有，.
若四个零点成等差数列，则有两种情况.
①当时，
有
可得①
即，可得.
即，②
代回原式可得
代入①可得，即
这与②矛盾，故不存在.
②当时，
有
可得③
即，可得.
即，④
代回原式可得
代入③可得，即
这与④矛盾，故不存在.
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
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