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江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为（　　）
A． B．或
C． D．
3．复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量满足，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（　　）．
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
6．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（　　）
A． B． C． D．
8．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（　　）
A． B．
C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件
11．在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（　　）
A．对任意的点P，始终有
B．存在某个点P的位置，满足平面平面
C．对任意的点P，始终有平面与平面的交线
D．当二面角为时，四棱锥的体积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为　 　．
13．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为　 　L．
14．在中，若，则的最小值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，函数的最小值为0．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的图象的对称中心．
16．某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件．
（1）求2件都是合格品的概率；
（2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率；
（3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率．
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a．
18．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点C到平面MBD的距离；
（3）证明：平面平面．
19．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；
（3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：由题，
则.
故答案为：C.
【分析】根据区间的并集运算直接求解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：或，则得或.
则解集为或.
故答案为：B.
【分析】直接解二次不等式即可.
3．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则对应点为，在第二象限.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与几何意义，关键是先将复数化为标准形式，再根据实部和虚部的符号判断象限。
4．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
由，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】设与的夹角为，根据得到，再结合夹角公式求解.
5．【答案】A
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故.
故答案为：A.
【分析】由题可得居中的那个小矩形的面积占全部面积的，再计算频数即可.
6．【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，连接，．
在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；
在中，，
由余弦定理得．
故答案为：A．
【分析】由异面直线夹角的定义可知，就是所求角或其补角，再利用余弦定理求解即可．
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故答案为：D．
【分析】根据，再利用两角差的余弦公式，从而化简得出的值．
8．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：将正四面体如图放于正方体中，
因的所有棱长均为，
则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心，
外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，
则棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为.
注意到，
则，设中心为，则为正四面体的高.
则.
又三点共线，则到平面距离为.
注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为.
故答案为：C.
【分析】将正四面体放于正方体中，先求出外接球的半径，再得到到平面距离，然后可得截面圆的半径即可求解.
9．【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或相交，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，，则，故C正确；
若，，，则，则D正确．
故答案为：BCD．
【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设2个红球为，白球为，黑球为.
则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况.
对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确；
对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：，
事件D样本空间为：，则，，
则，故B正确；
对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由古典概型可得，，，据此可判断AB，结合独立事件及互斥事件的概念即可判断CD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：取 的中点F，连接交与O，连接PF，
可知点O为的中点，
又因为为的中点，所以，即，同理得到，
又，平面，所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
对于B：设平面平面，因为平面，
故平面，又平面，则，由选项A知平面，
所以平面，则为平面与平面所成的二面角，
因为，所以不可能为直二面角，故B错误；
对于C：设平面平面，因为平面，
故平面，又平面， 则，故C正确；
对于D：
如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点，
又因为为的中点，所以即，同理得到，
又，平面，所以平面，
所以二面角的平面角为，
故，再过点P作平面的垂线交于点H，
在直角三角形中，，
，所以，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A，根据线面垂直的判定可得平面，则；对于B，由题可知为平面与平面所成的二面角，结合，则不可能为直二面角；对于C，由线面平行的性质即可判断；对于D，由二面角为，得到，再根据锥体体积公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，
，所以上四分位数为第6个数与第7个数的平均数，为
故答案为：.
【分析】由上四分位数为分位数，又，则上四分位数为第6个数与第7个数的平均数.
13．【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：该油槽的容积为.
故答案为：.
【分析】根据棱台体积进行求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：由可得：
，
所以，
设中，角对应的边为，
所以，所以，
所以
，当且仅当时取等，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】由向量的线性运算可得，即，再由余弦定理结合基本不等式求最值即可.
15．【答案】（1）解：，
因为，所以，所以.
（2）解：由（1）可得：，
令，则，
所以函数的图象的对称中心为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简可得，结合最小值即可得到的值；
（2）利用整体法求对称中心即可.
（1），
因为，所以，所以.
（2）由（1）可得：，
令，则，
所以函数的图象的对称中心为.
16．【答案】（1）解：从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法，
其中2件都是合格品的事件数有：种，
可得2件都是合格品的概率：.
（2）解：其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，
可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：；
（3）解：抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种，
可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：，
即这批产品没有被退货的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）利用组合数求事件的种数，再结合古典概型计算概率即可；
（2）由题可得1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，再计算概率即可；
（3）利用对立事件得到不被退货的概率即可.
（1）从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法，
其中2件都是合格品的事件数有：种，
可得2件都是合格品的概率：.
（2）其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，
可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：；
（3）抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种，
可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：，
即这批产品没有被退货的概率为.
17．【答案】（1）解：因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2）解：由题意，解得，
所以由余弦定理有，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合恒等变形化简可得，再求角即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再由余弦定理求出即可.
（1）因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2）由题意，解得，
所以由余弦定理有，解得.
18．【答案】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点，
所以过点，且为的中点，
在中，分别为的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，
因为底面，
底面，所以，
所以，
所以，
，
设点C到平面MBD的距离为，因为，
所以，所以，所以.
所以点C到平面MBD的距离为.
（3）证明：取的中点为，连接，，连接与交于点，
由正方体的性质可得，所以五点共面，
所以平面即为平面，
又由正方体的性质可得平面，平面，
所以，在三角形中，，
所以，又因为，所以，
所以在三角形，，所以，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由中位线的性质可得，结合线面平行的判定即可证明；
（2）利用等体积法求点到面距离即可；
（3）取的中点为，根据线面垂直的判定可证得平面，然后由面面垂直的判定即可求证.
（1）连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点，
所以过点，且为的中点，
在中，分别为的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）因为，
因为底面，
底面，所以，
所以，
所以，
，
设点C到平面MBD的距离为，因为，
所以，所以，所以.
所以点C到平面MBD的距离为.
（3）取的中点为，连接，，连接与交于点，
由正方体的性质可得，所以五点共面，
所以平面即为平面，
又由正方体的性质可得平面，平面，
所以，在三角形中，，
所以，又因为，所以，
所以在三角形，，所以，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
19．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为平面，则为直线与平面所成的角，即，
所以，因为为中点，所以，
所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则，
过作交于点，则为的平面角．
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，所以．
在三角形中，由余弦定理得.
（3）解：过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，过点作，垂足为，连结，
因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，即为点到直线的距离．
因为，所以，
所以点在的角平分线上，所以，所以，
所以点在直线上，
所以，因为，
所以，即三棱锥体积的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，进而利用线面垂直的判定定理即可证得平面；
（2）取中点为，连结，可得，过作交于点，可得为的平面角，利用余弦定理得，进而在中利用余弦定理即可得到答案；
（3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，进而根据线面垂直的性质可得，即为点到直线的距离．由点在直线上可求得，最后根据锥体的体积公式即可得到三棱锥体积的取值范围 .
（1）因为平面，且平面，所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为平面，则为直线与平面所成的角，即，
所以，因为为中点，所以，
所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则，
过作交于点，则为的平面角．
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，所以．
在三角形中，由余弦定理得.
（3）过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，过点作，垂足为，连结，
因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，即为点到直线的距离．
因为，所以，
所以点在的角平分线上，所以，所以，
所以点在直线上，
所以，因为，
所以，即三棱锥体积的取值范围为．
1 / 1江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：由题，
则.
故答案为：C.
【分析】根据区间的并集运算直接求解.
2．不等式的解集为（　　）
A． B．或
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：或，则得或.
则解集为或.
故答案为：B.
【分析】直接解二次不等式即可.
3．复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则对应点为，在第二象限.
故答案为：B
【分析】本题考查复数的除法运算与几何意义，关键是先将复数化为标准形式，再根据实部和虚部的符号判断象限。
4．已知向量满足，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
由，
则，解得.
故答案为：C.
【分析】设与的夹角为，根据得到，再结合夹角公式求解.
5．在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（　　）．
A．32 B．0.2 C．40 D．0.25
【答案】A
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故.
故答案为：A.
【分析】由题可得居中的那个小矩形的面积占全部面积的，再计算频数即可.
6．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，连接，．
在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；
在中，，
由余弦定理得．
故答案为：A．
【分析】由异面直线夹角的定义可知，就是所求角或其补角，再利用余弦定理求解即可．
7．（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
，
，
.
故答案为：D．
【分析】根据，再利用两角差的余弦公式，从而化简得出的值．
8．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：将正四面体如图放于正方体中，
因的所有棱长均为，
则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心，
外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，
则棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为.
注意到，
则，设中心为，则为正四面体的高.
则.
又三点共线，则到平面距离为.
注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为.
故答案为：C.
【分析】将正四面体放于正方体中，先求出外接球的半径，再得到到平面距离，然后可得截面圆的半径即可求解.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，，则或相交，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，，则，故C正确；
若，，，则，则D正确．
故答案为：BCD．
【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断即可.
10．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（　　）
A． B．
C．事件A，B为相互独立事件 D．事件A，B为互斥事件
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设2个红球为，白球为，黑球为.
则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况.
对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确；
对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：，
事件D样本空间为：，则，，
则，故B正确；
对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由古典概型可得，，，据此可判断AB，结合独立事件及互斥事件的概念即可判断CD.
11．在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（　　）
A．对任意的点P，始终有
B．存在某个点P的位置，满足平面平面
C．对任意的点P，始终有平面与平面的交线
D．当二面角为时，四棱锥的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：取 的中点F，连接交与O，连接PF，
可知点O为的中点，
又因为为的中点，所以，即，同理得到，
又，平面，所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
对于B：设平面平面，因为平面，
故平面，又平面，则，由选项A知平面，
所以平面，则为平面与平面所成的二面角，
因为，所以不可能为直二面角，故B错误；
对于C：设平面平面，因为平面，
故平面，又平面， 则，故C正确；
对于D：
如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点，
又因为为的中点，所以即，同理得到，
又，平面，所以平面，
所以二面角的平面角为，
故，再过点P作平面的垂线交于点H，
在直角三角形中，，
，所以，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A，根据线面垂直的判定可得平面，则；对于B，由题可知为平面与平面所成的二面角，结合，则不可能为直二面角；对于C，由线面平行的性质即可判断；对于D，由二面角为，得到，再根据锥体体积公式计算即可.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为　 　．
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，
，所以上四分位数为第6个数与第7个数的平均数，为
故答案为：.
【分析】由上四分位数为分位数，又，则上四分位数为第6个数与第7个数的平均数.
13．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为　 　L．
【答案】
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：该油槽的容积为.
故答案为：.
【分析】根据棱台体积进行求解.
14．在中，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：由可得：
，
所以，
设中，角对应的边为，
所以，所以，
所以
，当且仅当时取等，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】由向量的线性运算可得，即，再由余弦定理结合基本不等式求最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，函数的最小值为0．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的图象的对称中心．
【答案】（1）解：，
因为，所以，所以.
（2）解：由（1）可得：，
令，则，
所以函数的图象的对称中心为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简可得，结合最小值即可得到的值；
（2）利用整体法求对称中心即可.
（1），
因为，所以，所以.
（2）由（1）可得：，
令，则，
所以函数的图象的对称中心为.
16．某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件．
（1）求2件都是合格品的概率；
（2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率；
（3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率．
【答案】（1）解：从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法，
其中2件都是合格品的事件数有：种，
可得2件都是合格品的概率：.
（2）解：其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，
可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：；
（3）解：抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种，
可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：，
即这批产品没有被退货的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）利用组合数求事件的种数，再结合古典概型计算概率即可；
（2）由题可得1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，再计算概率即可；
（3）利用对立事件得到不被退货的概率即可.
（1）从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法，
其中2件都是合格品的事件数有：种，
可得2件都是合格品的概率：.
（2）其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，
可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：；
（3）抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种，
可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：，
即这批产品没有被退货的概率为.
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a．
【答案】（1）解：因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2）解：由题意，解得，
所以由余弦定理有，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合恒等变形化简可得，再求角即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再由余弦定理求出即可.
（1）因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2）由题意，解得，
所以由余弦定理有，解得.
18．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点C到平面MBD的距离；
（3）证明：平面平面．
【答案】（1）证明：连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点，
所以过点，且为的中点，
在中，分别为的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，
因为底面，
底面，所以，
所以，
所以，
，
设点C到平面MBD的距离为，因为，
所以，所以，所以.
所以点C到平面MBD的距离为.
（3）证明：取的中点为，连接，，连接与交于点，
由正方体的性质可得，所以五点共面，
所以平面即为平面，
又由正方体的性质可得平面，平面，
所以，在三角形中，，
所以，又因为，所以，
所以在三角形，，所以，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由中位线的性质可得，结合线面平行的判定即可证明；
（2）利用等体积法求点到面距离即可；
（3）取的中点为，根据线面垂直的判定可证得平面，然后由面面垂直的判定即可求证.
（1）连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点，
所以过点，且为的中点，
在中，分别为的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）因为，
因为底面，
底面，所以，
所以，
所以，
，
设点C到平面MBD的距离为，因为，
所以，所以，所以.
所以点C到平面MBD的距离为.
（3）取的中点为，连接，，连接与交于点，
由正方体的性质可得，所以五点共面，
所以平面即为平面，
又由正方体的性质可得平面，平面，
所以，在三角形中，，
所以，又因为，所以，
所以在三角形，，所以，
平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
19．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；
（3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为平面，则为直线与平面所成的角，即，
所以，因为为中点，所以，
所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则，
过作交于点，则为的平面角．
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，所以．
在三角形中，由余弦定理得.
（3）解：过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，过点作，垂足为，连结，
因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，即为点到直线的距离．
因为，所以，
所以点在的角平分线上，所以，所以，
所以点在直线上，
所以，因为，
所以，即三棱锥体积的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，进而利用线面垂直的判定定理即可证得平面；
（2）取中点为，连结，可得，过作交于点，可得为的平面角，利用余弦定理得，进而在中利用余弦定理即可得到答案；
（3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，进而根据线面垂直的性质可得，即为点到直线的距离．由点在直线上可求得，最后根据锥体的体积公式即可得到三棱锥体积的取值范围 .
（1）因为平面，且平面，所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为平面，则为直线与平面所成的角，即，
所以，因为为中点，所以，
所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则，
过作交于点，则为的平面角．
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以，所以．
在三角形中，由余弦定理得.
（3）过点作，垂足为，
因为平面，且平面，所以，
因为平面平面，
所以平面，过点作，垂足为，连结，
因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，即为点到直线的距离．
因为，所以，
所以点在的角平分线上，所以，所以，
所以点在直线上，
所以，因为，
所以，即三棱锥体积的取值范围为．
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