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江苏省镇江中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.）
1．已知函数在处可导，且，则（　　）
A．8 B． C． D．2
2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（　　）
A．1 B． C． D．
4．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（　　）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
5．当时，函数取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．1
6．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则的值为（　　）
A．255 B．256 C．511 D．512
8．已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲 乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）
9．已知事件满足，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．若与相互对立，则
C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则
10．已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同的直线与相切
D．函数有5个零点
11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则面
B．若，则
C．若，则到平面的距离为
D．若时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为　 　百元.
0 1 2
百元 5 4 2 2 1
13．已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是　 　.
14．甲 乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为　 　.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.）
15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中不存在常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
16．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（1）根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．
附：，．
17．已知函数（为自然对数的底数），
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
18．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19．高尔顿板又称豆机 梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.
（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）
（2）将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由题意知：，即，
故答案为：A．
【分析】由导数的极限表示得，再求解即可．
2．【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查散点图与相关系数的关系，核心是根据散点图判断正负相关，再通过点的集中程度判断相关性强弱，进而比较相关系数的大小。
3．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，所以，可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故答案为：C
【分析】本题考查空间四点共面的向量条件，关键是将向量表达式整理为以O为起点的形式，再利用共面向量定理中“系数和为1“的结论求解参数t。
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：首先将甲，乙，丙，丁、戊5名航天员分为3组，其中甲、乙在一组，其他3人中还有2人在一组，共有种分法，然后再将三组分配到三个工作舱，其中一人的一组在问天实验舱或梦天实验舱，得所有的方法共有种不同的方案．
故答案为：B．
【分析】由题可知，甲、乙在一组，其他3人分成2组，结合分步乘法计算原理及分组分配求解．
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，依题可知，，，
而，所以，即，
所以，因此函数在上递增，在上递减，
当时取最大值，满足题意，即有．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.
6．【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A表示甲车间生产的产品，
记事件表示乙车间生产的产品，
记事件表示丙车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
，
若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：
.
故选：C
【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式()代入计算，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令求出的值，分别令、，则两式相加可得，最后减去得出的值.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知，的可能取值为，的可能取值为，
所以，，
，
所以，
.
乙每次抽到选择题的概率为，由条件可得
根据二项分布的均值方差公式得：，
，
所以，.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为，再分别求出对应概率，得到期望及方差进行判断即可．
9．【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：选项A：若B A，则，A错误；
选项B：若与相互对立，则，B正确；
选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立， ，C错误；
选项D：若与互斥，则，D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，B A，则；对于B，由对立事件概率的关系可得；对于C，由题可知A与相互独立，则；对于D，由与互斥， 则．
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
因为是函数的一个极值点，
所以，
解得，经检验适合题意，所以A正确：
对于B，由，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确：
对于C，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
因为切点满足直线方程，
则，
整理得，解得，
所以只能作一条切线，所以C错误：
对于D，令，则的根有三个，如图所示，
则，
所以方程有3个不同根，
则方程和均有1个根，
所以有5个零点，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连结，由可知，点在线段上，
因为，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，且平面，
所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；
如图以为原点建立空间直角坐标系，则
，，
对于A，，
则，得，则，
，A正确：
对于B，由A分析可得，
故不与垂直，故B错误；
对于C，时，，又，
设平面的法向量为，则，
故可取，又，
则到平面的距离为，故C正确：
对于D，当时，，则，
又由C已得平面的法向量为，
则
当，
当，
因在上单调递减，则，则有，
则，则当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，若，则点在线段上，再通过证明平面平面，即可得到平面；对于B，以为原点建立空间直角坐标系，利空间向量法判断即可；对于CD，利用空间向量法求点到平面的距离公式及线面角即可判断．
12．【答案】6
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由已知数据可知变量的平均值，
变量的平均值，
所以样本数据的中心点为，
因为，所以，代入，得，
所以，
令，得.
故答案为：6.
【分析】根据回归方程过点，得到，再进行估算即可．
13．【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：在双方平后，要甲以赢下此局，则甲乙各胜一场后，甲再连胜两场，
所以概率为.
故答案为：.
【分析】根据比赛规则可知甲乙各胜一场后，甲再连胜两场，再利用独立事件乘法公式求解．
15．【答案】（1）证明：由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为，
则，所以，
即，解得或（舍）；
因此二项式为，假设第项为常数项，其中，
即可得为常数项，所以，
解得，不合题意；
即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；
（2）解：由（1）可知，二项展开式的通项可得，
其中的有理项需满足，即，且；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
综上所得，展开式中所有的有理项为，，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由题意和二项式系数的性质可得可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；
（2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项.
16．【答案】（1）解：零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．
（2）解：3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3.
；
；
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)先零假设，再计算出 ，对照临界值表可得结论；
(2)写出ξ的所有可能取值，求出ξ取每个值的概率可得分布列，根据均值公式可得均值.
17．【答案】（1）解：因为，定义域为，所以，.
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减：
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减：
当时，，则在上单调递增：
综上：当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）得，，
要证，即证，
即证恒成立，
令，则，
令，则：令，则：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分，进行讨论，根据的正负，判断函数的单调性；
（2）时，由（1）可知，不等式转化为证，再设，然后利用导数证明不等式即可．
（1）因为，定义域为，所以，.
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减：
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减：
当时，，则在上单调递增：
综上：当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，，
要证，即证，
即证恒成立，
令，则，
令，则：令，则：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，证毕
18．【答案】（1）证明：不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）证明，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直）即可得证；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
19．【答案】（1）的取值可能为.
，
.
因为，所以的取值可能为.
，
.
的分布列为
0 5 10 15
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元，
所以该商品的最低定价约为25元.
（2）由（1）得.
进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则.
.
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
所以当时，，此时这两项概率均为最大1.
故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题可知的取值可能为，利用二项分布求出对于概率，进而可得的分布列，并计算期望即可；
（2）由（1）得，进而可知，再根据二项分布最值的求解方式计算．
（1）的取值可能为.
，
.
因为，所以的取值可能为.
，
.
的分布列为
0 5 10 15
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元，
所以该商品的最低定价约为25元.
（2）由（1）得.
进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则.
.
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
所以当时，，此时这两项概率均为最大1.
故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大.
1 / 1江苏省镇江中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.）
1．已知函数在处可导，且，则（　　）
A．8 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由题意知：，即，
故答案为：A．
【分析】由导数的极限表示得，再求解即可．
2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查散点图与相关系数的关系，核心是根据散点图判断正负相关，再通过点的集中程度判断相关性强弱，进而比较相关系数的大小。
3．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，所以，可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故答案为：C
【分析】本题考查空间四点共面的向量条件，关键是将向量表达式整理为以O为起点的形式，再利用共面向量定理中“系数和为1“的结论求解参数t。
4．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（　　）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：首先将甲，乙，丙，丁、戊5名航天员分为3组，其中甲、乙在一组，其他3人中还有2人在一组，共有种分法，然后再将三组分配到三个工作舱，其中一人的一组在问天实验舱或梦天实验舱，得所有的方法共有种不同的方案．
故答案为：B．
【分析】由题可知，甲、乙在一组，其他3人分成2组，结合分步乘法计算原理及分组分配求解．
5．当时，函数取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，依题可知，，，
而，所以，即，
所以，因此函数在上递增，在上递减，
当时取最大值，满足题意，即有．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.
6．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A表示甲车间生产的产品，
记事件表示乙车间生产的产品，
记事件表示丙车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则，
，
取到次品的概率为
，
若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：
.
故选：C
【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式()代入计算，即可求解.
7．已知，则的值为（　　）
A．255 B．256 C．511 D．512
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：令，得，
令，得，
令，得，
两式相加得，
得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，令求出的值，分别令、，则两式相加可得，最后减去得出的值.
8．已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲 乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知，的可能取值为，的可能取值为，
所以，，
，
所以，
.
乙每次抽到选择题的概率为，由条件可得
根据二项分布的均值方差公式得：，
，
所以，.
故答案为：D.
【分析】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为，再分别求出对应概率，得到期望及方差进行判断即可．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.）
9．已知事件满足，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则 B．若与相互对立，则
C．若与相互独立，则 D．若与互斥，则
【答案】B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：选项A：若B A，则，A错误；
选项B：若与相互对立，则，B正确；
选项C：若A与B相互独立，则A与相互独立， ，C错误；
选项D：若与互斥，则，D正确.
故答案为：BD.
【分析】对于A，B A，则；对于B，由对立事件概率的关系可得；对于C，由题可知A与相互独立，则；对于D，由与互斥， 则．
10．已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同的直线与相切
D．函数有5个零点
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
因为是函数的一个极值点，
所以，
解得，经检验适合题意，所以A正确：
对于B，由，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确：
对于C，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
因为切点满足直线方程，
则，
整理得，解得，
所以只能作一条切线，所以C错误：
对于D，令，则的根有三个，如图所示，
则，
所以方程有3个不同根，
则方程和均有1个根，
所以有5个零点，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则面
B．若，则
C．若，则到平面的距离为
D．若时，直线与平面所成角为，则
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连结，由可知，点在线段上，
因为，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，且平面，
所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；
如图以为原点建立空间直角坐标系，则
，，
对于A，，
则，得，则，
，A正确：
对于B，由A分析可得，
故不与垂直，故B错误；
对于C，时，，又，
设平面的法向量为，则，
故可取，又，
则到平面的距离为，故C正确：
对于D，当时，，则，
又由C已得平面的法向量为，
则
当，
当，
因在上单调递减，则，则有，
则，则当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对于A，若，则点在线段上，再通过证明平面平面，即可得到平面；对于B，以为原点建立空间直角坐标系，利空间向量法判断即可；对于CD，利用空间向量法求点到平面的距离公式及线面角即可判断．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．某小吃店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据：由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为　 　百元.
0 1 2
百元 5 4 2 2 1
【答案】6
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由已知数据可知变量的平均值，
变量的平均值，
所以样本数据的中心点为，
因为，所以，代入，得，
所以，
令，得.
故答案为：6.
【分析】根据回归方程过点，得到，再进行估算即可．
13．已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
14．甲 乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到平后，先多得2分者为胜方.在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为　 　.
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：在双方平后，要甲以赢下此局，则甲乙各胜一场后，甲再连胜两场，
所以概率为.
故答案为：.
【分析】根据比赛规则可知甲乙各胜一场后，甲再连胜两场，再利用独立事件乘法公式求解．
四、解答题：（本题共5小题，共77分.）
15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中不存在常数项；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）证明：由题意可知第2，3，4项的二项式系数依次为，
则，所以，
即，解得或（舍）；
因此二项式为，假设第项为常数项，其中，
即可得为常数项，所以，
解得，不合题意；
即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；
（2）解：由（1）可知，二项展开式的通项可得，
其中的有理项需满足，即，且；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
当，此时有理项为；
综上所得，展开式中所有的有理项为，，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）由题意和二项式系数的性质可得可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；
（2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项.
16．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各100名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
（1）根据小概率值的独立性检验，判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）现从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和均值．
附：，．
【答案】（1）解：零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关．
（2）解：3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3.
；
；
；
；
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)先零假设，再计算出 ，对照临界值表可得结论；
(2)写出ξ的所有可能取值，求出ξ取每个值的概率可得分布列，根据均值公式可得均值.
17．已知函数（为自然对数的底数），
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）解：因为，定义域为，所以，.
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减：
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减：
当时，，则在上单调递增：
综上：当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）得，，
要证，即证，
即证恒成立，
令，则，
令，则：令，则：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分，进行讨论，根据的正负，判断函数的单调性；
（2）时，由（1）可知，不等式转化为证，再设，然后利用导数证明不等式即可．
（1）因为，定义域为，所以，.
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减：
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减：
当时，，则在上单调递增：
综上：当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，，
要证，即证，
即证恒成立，
令，则，
令，则：令，则：
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，恒成立，证毕
18．已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明：不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）证明，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直）即可得证；
（2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）不妨设，
因为平面平面，故，
在中，，
由余弦定理，，
得，故，则，
因为平面，所以平面，
而平面，所以平面平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
，所以，
设，则，即，
所以；
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，所以，
因为轴平面，则可取为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，故．
19．高尔顿板又称豆机 梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.
（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）
（2）将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
【答案】（1）的取值可能为.
，
.
因为，所以的取值可能为.
，
.
的分布列为
0 5 10 15
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元，
所以该商品的最低定价约为25元.
（2）由（1）得.
进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则.
.
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
所以当时，，此时这两项概率均为最大1.
故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题可知的取值可能为，利用二项分布求出对于概率，进而可得的分布列，并计算期望即可；
（2）由（1）得，进而可知，再根据二项分布最值的求解方式计算．
（1）的取值可能为.
，
.
因为，所以的取值可能为.
，
.
的分布列为
0 5 10 15
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元，
所以该商品的最低定价约为25元.
（2）由（1）得.
进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则.
.
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
所以当时，，此时这两项概率均为最大1.
故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大.
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