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广东省汕头市2025-2026学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
1．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，
即集合，，则.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求得集合M，再根据集合的补集和交集运算求解即可.
2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点为，位于虚轴.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数在复平面内的表示判断即可.
3．圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由侧面展开图是一个半圆，得，解得，
则侧面展开图的面积，
所以圆锥的表面积，解得.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，求得半径和母线长的关系，再计算侧面积，根据圆锥的表面积公式列式求解即可.
4．溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（　　）
A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升
B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的
C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强
D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：A、令，则摩尔/升，故A错误；
B、胃酸的，故B错误；
C、当摩尔/升时，由，可得当越大时，越小，酸性越大，故C正确；
D、当摩尔/升时，由，可得若溶液的碱性越大，则越大，越小，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据对数的运算求解即可判断AB；根据的单调性，即可判断CD.
5．双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程是，
当双曲线方程为时，，则离心率；
当双曲线方程为时，，则离心率；
综上所述：双曲线的离心率为或.
故答案为：C.
【分析】分双曲线焦点在轴和轴两种情况讨论，由渐近线方程，可得或的值，再根据离心率公式求解即可.
6．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数基本关系化弦为切，求值即可.
7．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（　　）
A．7或 B．5或 C．3或 D．1或
【答案】D
【知识点】二项分布；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为，
质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：，
每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：，
其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的，
时
时
时
时
时
时
时
时
综上，组合数在和时取得最大值，
当时，代入得：，
当时，代入得：，
质点最可能移动到的位置坐标为或.
故答案为：D.
【分析】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为，每次移动向正、负方向的概率均为，“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，根据二项分布的概率公式，将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置即可.
8．设，且，，，则它们的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：令，求导得在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，所以，
又因为在上恒成立，且，所以，
所以，所以即，
由于在上单调递增，则；
令，求导得，
因为，所以，所以且，
所以，所以在上单调递减，所以，
又因为在上恒成立，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即，由单调性可知，
综合以及，可得.
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，比较大小；再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，即可得的大小关系.
9．某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（　　）
A．
B．
C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车
D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车
【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布，
所以，所以，故A正确；
B、因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布，
所以，其分布关于均值34对称，由于而，40和30并不关于34对称，则，故B错误；
C、计算34分钟内不迟到的概率为，，
因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，故C正确；
D、计算38分钟内不迟到的概率为，
，
因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】坐公交车用时都服从正态分布，利用正态分布求解即可判断A；骑自行车用时都服从正态分布，根据正态分布的性质求解即可判断B；分别计算34分钟内不迟到的概率以及38分钟内不迟到的概率即可判断CD.
10．正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（　　）
A．直线与所成的角为
B．平面
C．当时，的长最小，且最小值为
D．当的长最小时，点到平面的距离为
【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知、、、、、，
A、，，
则，即直线与所成的角为，故A错误；
B、由，则，
，则，
，，
设平面的法向量为，则，可取，则，
可得，由，可得，
因为平面，所以平面，故B正确；
C、，
则，
当且仅当时，取最小，且最小值为，故C正确；
D、由C知，当的长最小时，，此时，
，则，
设平面的法向量为，则，可取，则，
可得，又，
则点到平面的距离，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，利用空间向量法求解即可判断AB；借助向量与模长的关系计算即可判断C；由C知，当的长最小时，，，求平面的法向量，利用点到平面距离公式计算即可判断D.
11．如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（　　）
A．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01
B．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99
C．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1
D．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1
【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设小球半径为，由题意小球球心在对称轴轴上，
A、曲线，杯底为，则球心坐标为，
对任意在上，到球心距离的平方：，
要满足，即，
即，即，因为，得，
又，故A错误；
B、曲线，杯底，球心，
对任意在上，到球心距离的平方： ，
代入，得：，
要满足，即，整理得，在恒成立，
二次函数开口向上，对称轴，当时，对称轴，区间上最小值为，满足条件， ，符合要求，故B正确；
C、曲线，杯底，球心，
对任意在上，到球心距离的平方：，
代入，得要满足，即
整理得，因，等价于对所有成立， 最小值在处，得，即半径至多为1，故C正确；
D、曲线，杯底，球心，对任意在上，到球心距离的平方：，代入，得，
要满足，即整理得，因，等价于对所有成立，最小值在处，得，即半径至多为1，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设小球半径为，由题意小球球心在对称轴轴上，根据曲线线段C的方程，逐项求杯底，和球心坐标，且需满足曲线上所有点到球心的距离不小于小球半径，逐项判断即可.
12．为圆O的一条弦，且，则的值为　 　.
【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图所示：
因为，所以，
根据向量数量积的几何意义： .
故答案为：2.
【分析】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，结合向量的数量积的几何意义求解即可.
13．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则，即，函数，
则，
故曲线在点处的切线方程是，化简得.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可.
14．中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
不妨设，因为，所以，，
故，设，则，
在中，由正弦定理，
得，
整理可得，即，
设，其中，
因为，，
故在上为减函数，
而在上为减函数，故在上为减函数，
而，
故有唯一解，故.
故答案为：.
【分析】作出图形，不妨设，，在中，利用正弦定理可得，利用两角差的余弦公式化简整理可得，构建函数，其中，根据函数的单调性求的.
15．如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
（2）解：以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 本题考查线面垂直的证明，核心是证明 同时垂直于平面 内的两条相交直线 和 ，利用长方体的棱面垂直关系推导；
(2) 本题考查空间向量法求二面角，通过建立坐标系，求出两个平面的法向量，再计算法向量夹角的余弦值，关键是利用(1)的结论直接得到平面 的法向量 ，简化计算。
（1）因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 14 7 21
男 8 11 19
合计 22 18 40
（1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响；
（2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据：，临界值）
（3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.
【答案】（1）解：有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生，
故该中学高三年级学生的性别与身高有关联，具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，
男生更倾向于身高不低于170 cm；
（2）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，
实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立；
（3）解：（1）与（2）的结论不一致，
A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，若总体中确实存在关联，则其结论可靠；
B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，
样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据等高堆积条形图判断两者是否关联；
（2）先进行零假设，再列联表计算卡方值，与临界值比较，判断即可；
（3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致.
（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生，
故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm．
（2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，
实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立.
（3）（1）与（2）的结论不一致，
A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，
若总体中确实存在关联，则其结论可靠；
B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，
样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
17．已知函数．
（1）求证：不是函数的极值点；
（2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：函数的定义域为，，
若为函数的极值点，则必有，
由得，
当时，，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号，
所以在上单调递增，不是的极值点，
当时，，故不是的极值点，
综上，不是函数的极值点；
（2）解：由（1）知，，，
当时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意，
当时，令，即，解得，
若，即时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意，
若，即时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，，
令，解得，符合题意，
综上，存在，使得函数的最小值为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用反证法，假设为函数的极值点，则，求得a的值，再将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，判断1是否为极值点即可；
（2）由（1）知，，求导，分和讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2.
（1）方法一：函数的定义域为，，
若为函数的极值点，则必有，
由得，
当时，，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号，
所以在上单调递增，不是的极值点，
当时，，故不是的极值点，
综上，不是函数的极值点，
方法二：函数的定义域为，.
当时，.
令，则.
当时，在上恒成立，
则在上单调递减，即在上单调递减.
当时，；当时，；
因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点.
当时，令，即，解得.
若，即，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.
若，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得最小值.
当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.
当时，，在和上各有一个零点，设为，，
在上，，，单调递减；
在和在上，，，单调递增；
所以不是极值点.
综上，不是函数的极值点.
（2）由（1）知，，..
当时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意.
当时，令，即，解得.
若，即时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意.
若，即时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以.
令，解得，符合题意.
综上，存在，使得函数的最小值为2.
18．已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点．
（1）求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程；
（2）设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆．
【答案】（1）证明：设，，则，
又因为在椭圆，所以，
两式相减得，即，
所以，又因为直线的方程为，
所以，代入上式得，即，
所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为；
（2）证明：因为直线与椭圆相交于C、D两点，
直线与椭圆相交于A、B两点，
所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程，
化简整理得，
因为要使该方程表示圆，则，得，
代入方程得，
即，，
方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上，如图所示：
则A、B、C、D四点共圆.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，，利用中点坐标公式得，由点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法证明点在定直线上，并求直线方程即可；
（2）由（1）得直线的方程，直线的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方程即可.
（1）设，，则.
又因为在椭圆，所以，
两式相减得，即，
所以，又因为直线的方程为，
所以，代入上式得，即，
所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为.
（2）因为直线与椭圆相交于C、D两点，
直线与椭圆相交于A、B两点，
所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程，
化简整理得，
因为要使该方程表示圆，则，得，
代入方程得，
即，，
方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上.如图：
所以A、B、C、D四点共圆.
19．设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，．
（1）若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值；
（2）求证：；
（3）请举出一个满足的例子．
【答案】（1）解：设抽取的三个项为，，，三数成等比，
故，整理得： 由，
当取最小值时，，此时，故，
且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为；
（2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为，
故第项为，代入等差数列通项得： ，
由，得（因），且为整数，故，
对任意，两项下标差满足： ，
累加得： ，
因，故，得证；
（3）解：取首项，公差的等差数列，，
即等差数列为；抽取下标为的项，得到项，
这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比，利用等比中项，构造关于不等式，求出最小值即可；
（2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法证明即可；
（3）取首项，公差的等差数列，验证满足即可.
（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比，
故，整理得： 由，
当取最小值时，，此时，故，
且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为.
（2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为，
故第项为，代入等差数列通项得： ，
由，得（因），且为整数，故.
对任意，两项下标差满足： ，
累加得： ，
因，故，得证.
（3）取首项，公差的等差数列，，
即等差数列为；抽取下标为的项，得到项，
这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求.
1 / 1广东省汕头市2025-2026学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
1．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限
3．圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．1
4．溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（　　）
A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升
B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的
C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强
D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大
5．双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（　　）
A．7或 B．5或 C．3或 D．1或
8．设，且，，，则它们的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（　　）
A．
B．
C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车
D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车
10．正方形、的边长为1，且它们所在的平面互相垂直.点、分别在正方形对角线和上移动，且．则（　　）
A．直线与所成的角为
B．平面
C．当时，的长最小，且最小值为
D．当的长最小时，点到平面的距离为
11．如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是（　　）
A．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是2.01
B．若曲线段C的方程为，则小球半径可以是0.99
C．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1
D．若曲线段C的方程为，则小球半径至多是1
12．为圆O的一条弦，且，则的值为　 　.
13．已知函数满足，则曲线在点处的切线方程是　 　.
14．中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为　 　.
15．如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．
16．某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 14 7 21
男 8 11 19
合计 22 18 40
（1）请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响；
（2）根据B同学的列联表，依据的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据：，临界值）
（3）请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.
17．已知函数．
（1）求证：不是函数的极值点；
（2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
18．已知椭圆，点M为动直线被椭圆截得的弦的中点．
（1）求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程；
（2）设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆．
19．设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，．
（1）若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值；
（2）求证：；
（3）请举出一个满足的例子．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，
即集合，，则.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求得集合M，再根据集合的补集和交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，在复平面内对应的点为，位于虚轴.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数在复平面内的表示判断即可.
3．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由侧面展开图是一个半圆，得，解得，
则侧面展开图的面积，
所以圆锥的表面积，解得.
故答案为：B.
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，求得半径和母线长的关系，再计算侧面积，根据圆锥的表面积公式列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：A、令，则摩尔/升，故A错误；
B、胃酸的，故B错误；
C、当摩尔/升时，由，可得当越大时，越小，酸性越大，故C正确；
D、当摩尔/升时，由，可得若溶液的碱性越大，则越大，越小，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据对数的运算求解即可判断AB；根据的单调性，即可判断CD.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程是，
当双曲线方程为时，，则离心率；
当双曲线方程为时，，则离心率；
综上所述：双曲线的离心率为或.
故答案为：C.
【分析】分双曲线焦点在轴和轴两种情况讨论，由渐近线方程，可得或的值，再根据离心率公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：D.
【分析】利用余弦的二倍角公式，结合同角三角函数基本关系化弦为切，求值即可.
7．【答案】D
【知识点】二项分布；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为，
质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：，
每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：，
其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的，
时
时
时
时
时
时
时
时
综上，组合数在和时取得最大值，
当时，代入得：，
当时，代入得：，
质点最可能移动到的位置坐标为或.
故答案为：D.
【分析】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为，每次移动向正、负方向的概率均为，“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，根据二项分布的概率公式，将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置即可.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：令，求导得在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，所以，
又因为在上恒成立，且，所以，
所以，所以即，
由于在上单调递增，则；
令，求导得，
因为，所以，所以且，
所以，所以在上单调递减，所以，
又因为在上恒成立，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即，由单调性可知，
综合以及，可得.
故答案为：A.
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，比较大小；再构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，即可得的大小关系.
9．【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布，
所以，所以，故A正确；
B、因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布，
所以，其分布关于均值34对称，由于而，40和30并不关于34对称，则，故B错误；
C、计算34分钟内不迟到的概率为，，
因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，故C正确；
D、计算38分钟内不迟到的概率为，
，
因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】坐公交车用时都服从正态分布，利用正态分布求解即可判断A；骑自行车用时都服从正态分布，根据正态分布的性质求解即可判断B；分别计算34分钟内不迟到的概率以及38分钟内不迟到的概率即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知、、、、、，
A、，，
则，即直线与所成的角为，故A错误；
B、由，则，
，则，
，，
设平面的法向量为，则，可取，则，
可得，由，可得，
因为平面，所以平面，故B正确；
C、，
则，
当且仅当时，取最小，且最小值为，故C正确；
D、由C知，当的长最小时，，此时，
，则，
设平面的法向量为，则，可取，则，
可得，又，
则点到平面的距离，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，利用空间向量法求解即可判断AB；借助向量与模长的关系计算即可判断C；由C知，当的长最小时，，，求平面的法向量，利用点到平面距离公式计算即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设小球半径为，由题意小球球心在对称轴轴上，
A、曲线，杯底为，则球心坐标为，
对任意在上，到球心距离的平方：，
要满足，即，
即，即，因为，得，
又，故A错误；
B、曲线，杯底，球心，
对任意在上，到球心距离的平方： ，
代入，得：，
要满足，即，整理得，在恒成立，
二次函数开口向上，对称轴，当时，对称轴，区间上最小值为，满足条件， ，符合要求，故B正确；
C、曲线，杯底，球心，
对任意在上，到球心距离的平方：，
代入，得要满足，即
整理得，因，等价于对所有成立， 最小值在处，得，即半径至多为1，故C正确；
D、曲线，杯底，球心，对任意在上，到球心距离的平方：，代入，得，
要满足，即整理得，因，等价于对所有成立，最小值在处，得，即半径至多为1，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】设小球半径为，由题意小球球心在对称轴轴上，根据曲线线段C的方程，逐项求杯底，和球心坐标，且需满足曲线上所有点到球心的距离不小于小球半径，逐项判断即可.
12．【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图所示：
因为，所以，
根据向量数量积的几何意义： .
故答案为：2.
【分析】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，结合向量的数量积的几何意义求解即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则，即，函数，
则，
故曲线在点处的切线方程是，化简得.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
不妨设，因为，所以，，
故，设，则，
在中，由正弦定理，
得，
整理可得，即，
设，其中，
因为，，
故在上为减函数，
而在上为减函数，故在上为减函数，
而，
故有唯一解，故.
故答案为：.
【分析】作出图形，不妨设，，在中，利用正弦定理可得，利用两角差的余弦公式化简整理可得，构建函数，其中，根据函数的单调性求的.
15．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
（2）解：以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 本题考查线面垂直的证明，核心是证明 同时垂直于平面 内的两条相交直线 和 ，利用长方体的棱面垂直关系推导；
(2) 本题考查空间向量法求二面角，通过建立坐标系，求出两个平面的法向量，再计算法向量夹角的余弦值，关键是利用(1)的结论直接得到平面 的法向量 ，简化计算。
（1）因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）解：有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生，
故该中学高三年级学生的性别与身高有关联，具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，
男生更倾向于身高不低于170 cm；
（2）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，
实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立；
（3）解：（1）与（2）的结论不一致，
A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，若总体中确实存在关联，则其结论可靠；
B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，
样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据等高堆积条形图判断两者是否关联；
（2）先进行零假设，再列联表计算卡方值，与临界值比较，判断即可；
（3）通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致.
（1）有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170 cm的比例明显高于男生，
而男生中身高不低于170 cm的比例明显高于女生，
故该中学高三年级学生的性别与身高有关联．具体表现为女生更倾向于身高低于170 cm，男生更倾向于身高不低于170 cm．
（2）由题意得，零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
由列联表可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，
实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立.
（3）（1）与（2）的结论不一致，
A同学调查了所有高三学生，能真实反映总体状况，
若总体中确实存在关联，则其结论可靠；
B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，
样本量较少，并且抽样具有随机性，而独立性检验受样本容量影响较大，
当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.
17．【答案】（1）证明：函数的定义域为，，
若为函数的极值点，则必有，
由得，
当时，，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号，
所以在上单调递增，不是的极值点，
当时，，故不是的极值点，
综上，不是函数的极值点；
（2）解：由（1）知，，，
当时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意，
当时，令，即，解得，
若，即时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意，
若，即时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，，
令，解得，符合题意，
综上，存在，使得函数的最小值为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用反证法，假设为函数的极值点，则，求得a的值，再将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，判断1是否为极值点即可；
（2）由（1）知，，求导，分和讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2.
（1）方法一：函数的定义域为，，
若为函数的极值点，则必有，
由得，
当时，，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号，
所以在上单调递增，不是的极值点，
当时，，故不是的极值点，
综上，不是函数的极值点，
方法二：函数的定义域为，.
当时，.
令，则.
当时，在上恒成立，
则在上单调递减，即在上单调递减.
当时，；当时，；
因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点.
当时，令，即，解得.
若，即，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.
若，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得最小值.
当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点.
当时，，在和上各有一个零点，设为，，
在上，，，单调递减；
在和在上，，，单调递增；
所以不是极值点.
综上，不是函数的极值点.
（2）由（1）知，，..
当时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意.
当时，令，即，解得.
若，即时，在上，，单调递减，
所以，不符合题意.
若，即时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以.
令，解得，符合题意.
综上，存在，使得函数的最小值为2.
18．【答案】（1）证明：设，，则，
又因为在椭圆，所以，
两式相减得，即，
所以，又因为直线的方程为，
所以，代入上式得，即，
所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为；
（2）证明：因为直线与椭圆相交于C、D两点，
直线与椭圆相交于A、B两点，
所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程，
化简整理得，
因为要使该方程表示圆，则，得，
代入方程得，
即，，
方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上，如图所示：
则A、B、C、D四点共圆.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，，利用中点坐标公式得，由点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法证明点在定直线上，并求直线方程即可；
（2）由（1）得直线的方程，直线的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方程即可.
（1）设，，则.
又因为在椭圆，所以，
两式相减得，即，
所以，又因为直线的方程为，
所以，代入上式得，即，
所以弦的中点恒在直线上，直线l的方程为.
（2）因为直线与椭圆相交于C、D两点，
直线与椭圆相交于A、B两点，
所以构造过A、B、C、D四点的曲线系方程，
化简整理得，
因为要使该方程表示圆，则，得，
代入方程得，
即，，
方程表示一个圆心，半径为的圆，且A、B、C、D四点在圆上.如图：
所以A、B、C、D四点共圆.
19．【答案】（1）解：设抽取的三个项为，，，三数成等比，
故，整理得： 由，
当取最小值时，，此时，故，
且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为；
（2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为，
故第项为，代入等差数列通项得： ，
由，得（因），且为整数，故，
对任意，两项下标差满足： ，
累加得： ，
因，故，得证；
（3）解：取首项，公差的等差数列，，
即等差数列为；抽取下标为的项，得到项，
这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比，利用等比中项，构造关于不等式，求出最小值即可；
（2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法证明即可；
（3）取首项，公差的等差数列，验证满足即可.
（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比，
故，整理得： 由，
当取最小值时，，此时，故，
且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为.
（2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为，
故第项为，代入等差数列通项得： ，
由，得（因），且为整数，故.
对任意，两项下标差满足： ，
累加得： ，
因，故，得证.
（3）取首项，公差的等差数列，，
即等差数列为；抽取下标为的项，得到项，
这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求.
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