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七下数学第14周《命题与证明拓展》
【课前热身】
1．“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　 ．
2．命题“同位角相等”的逆命题是 　 　 ．
3．写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的逆命题：　 　 ．
4．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　 　 ．
5．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　 　 ．
6．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果　 　 ，那么　 　 ．
7．把命题“同号两数的积是正数”改写成“如果…那么…”的形式是 　 　 ．
8．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 　 　 ．
9．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例：　 　 ，说明该命题是假命题．
10．为说明“对于任何实数a，a2＞a”是假命题，举一个反例，a的值可以是　 　 ．
11．要说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，写一个c的值，它可以是　 　 ．
12．下列命题：①如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点；②不相等的两个角一定不是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④同位角相等；⑤两点之间直线最短，其中是真命题的有 　 　 ．（填写序号）
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中正确的是　 　 ．（填写序号）
14．在括号内填写理由．
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：CD⊥AB
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB＝∠ACB＝90° （ 　 　 ）
∴DG∥AC（ 　 　 ）
∴∠2＝∠DCA（ 　 　 ）
∵∠1＝∠2∴∠1＝∠DCA （ 　 　 ）
∴EF∥CD（ 　 　 ）
∴∠AEF＝∠ADC（ 　 　 ）
∵EF⊥AB
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝90°即CD⊥AB．
15．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”是真命题．
证明：∵a＜b，（已知）
∴在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c．（不等式的基本性质）
∵c＜d，（已知）
∴在不等式两边都加上b，得b+c＜b+d．（不等式的基本性质）
∵a+c＜b+c，b+c＜b+d，（已证）
∴a+c＜b+d．（不等式的传递性）
（1）已知有理数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2（补全下列推理过程）；
证明：∵x＞y且x，y均为正数，（已知）
∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞　 　 ，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞　 　 ．（不等式的基本性质）
∴x2＞y2．（不等式的传递性）
（2）请你尝试证明：若a＜b，则．
【典型例题】
1.用两种方法证明“三角形的内角和等于180°”．
2．如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．
（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
3．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 　 　 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
4．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b．
请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题．
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例．
5．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　 ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
6．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 　 　 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
7．如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC．
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
已知：　 　
求证：　 　
证明：
8．命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
（1）请写出该命题的逆命题；
（2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明；如果是假命题，请举反例画图说明．
9．在三角形ABC中，∠C＝60°，将线段AB沿直线BC平移得到线段DE（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接AE，∠AED和∠ACD的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）．
（1）如图1，∠B＝40°，
①依题意补全图1；
②求∠EPC的度数；
（2）若∠B＝α，直接写出∠EPC的度数．（用含α的式子表示）
【巩固练习】
1．如图，三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，点F，G在AC上，连接DG，BG，EF．已知∠1＝∠2，∠3+∠ABC＝180°，求证：BG∥EF．
将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵　 　 （已知）
∴DG∥BC（ 　 　 ）
∴．∠CBG＝　 　 （ 　 　 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝　 　 （等量代换）
∴BG∥EF（ 　 　 ）
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′．若∠1+∠2＝146°，则∠3+∠4＝　 　 °．
3．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ．
4．如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E．若∠MBA＝α，∠AEB＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（　　）
A．2α+2γ﹣β＝180° B．2β+2γ﹣α＝180°
C．α﹣2γ+β＝180° D．β﹣2γ+α＝180°
5．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ．
6．【认识】（1）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个外角，求证：∠1+∠2＝∠A+∠C．
【操作】（2）如图②，已知∠α和∠AOB，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上．请利用无刻度直尺和圆规在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOB+∠MPN＝∠α．（保留作图痕迹，不写作法）
7．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于60°．
已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°．
证明：假设　 　
所以，　 　 ．
这与“　 　 ”矛盾．
所以，假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°．
【解答】解：当a＜b，c＝﹣2时，﹣2a＞﹣2b，即ac＞bc，
说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
12．下列命题：①如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点；②不相等的两个角一定不是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④同位角相等；⑤两点之间直线最短，其中是真命题的有 　②③　 ．（填写序号）
【解答】解：①如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点，或点C在线段AB的垂直平分线上，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②不相等的两个角一定不是对顶角，正确，是真命题，符合题意；
③直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，符合题意；
④两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑤两点之间线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
真命题有②③．
故答案为：②③．
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中正确的是　①②④　 ．（填写序号）
【解答】解：在同一个平面内，①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c；
　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，
故答案为：①②④．
14．在括号内填写理由．
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：CD⊥AB
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB＝∠ACB＝90° （ 　垂直的定义　 ）
∴DG∥AC（ 　同位角相等，两直线平行　 ）
∴∠2＝∠DCA（ 　两直线平行，内错角相等　 ）
∵∠1＝∠2∴∠1＝∠DCA （ 　等量代换　 ）
∴EF∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）
∴∠AEF＝∠ADC（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
∵EF⊥AB
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝90°即CD⊥AB．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 垂直的定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠DCA（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2
∴∠1＝∠DCA（ 等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（ 两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
15．用两种方法证明“三角形的内角和等于180°”．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
证法1：如图，过点A作AD∥BC．
∵AD∥BC，
∴∠1＝　∠C ，
　∠BAD +　∠B ＝180°，
∴∠BAC+∠1+∠B＝180°，
∴∠BAC+∠C+∠B＝180°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【解答】证法1：如图，过点A 作AD∥BC．
由条件可知∠1＝∠C，
∠BAD+∠B ＝180°，
∴∠BAC+∠1+∠B＝180°，
∴∠BAC+∠C+∠B＝180°．
故答案为：∠C，∠BAD，∠B；
证法2：如图，过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B，
∵∠EAC+∠BAC+∠DAB＝180°，
∴∠BAC+∠C+∠B＝180°．
16．如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．
（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；
（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．
【解答】解：（1）命题一：已知FD⊥AB，
若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2；真命题．
命题二：已知FD⊥AB，
若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB；真命题．
命题三：已知FD⊥AB，
若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC；真命题．
（2）选择命题一．
证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BDF＝∠BEG＝90°，
∴DF∥EG，
∴∠GEF＝∠DFE．
又∵EH∥BC，
∴∠HEF＝∠BFE，
∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE，
∴∠1＝∠2．
选择命题二：延长EG、BC交于点M，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
又∵EH∥BC，
∴∠2＝∠M，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠M，
∴FD∥EM，
∴∠MEB＝∠BDF，
∴EG⊥AB；
选择命题三：延长EG、BC交于点M，
∵FD⊥AB，EG⊥AB，
∴∠BDF＝∠BEG＝90°，
∴DF∥EG，
∴∠1＝∠M，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠M，
∴EH∥BC．
17．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中．
（1）真命题的个数为 　3　 ；
（2）选择一个真命题写出理由．
【解答】解：（1）条件：①②，结论：③，为真命题；
条件：①③，结论：②，为真命题；
条件：②③，结论：①，为真命题，
所以，真命题的个数为3．
故答案为：3．
（2）命题一：条件：①②，结论：③
证明：如图所示：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当②∠C＝∠D，
故∠4＝∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A＝∠F，
即．
命题二：条件：①③，结论：②，
证明：当①∠1＝∠2，
则∠3＝∠2，
故DB∥EC，
则∠D＝∠4，
当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
故可得：∠C＝∠D，
即．
命题三：条件：②③，结论：①，
证明：当③∠A＝∠F，
故DF∥AC，
则∠4＝∠C，
当②∠C＝∠D，
则∠4＝∠D，
故DB∥EC，
则∠2＝∠3，
可得：∠1＝∠2，
即．
18．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b．
请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题．
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例．
【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b；
理由：如图，
∵a⊥c、b⊥c，
∴∠1＝90°，∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
（2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b；
反例：见图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b．
19．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC+∠DEF＝180°　 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC＝∠DEF ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　 ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【解答】解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，
由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
20．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°，
∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
故答案为：∠B+∠E＝180°；
（2）∵AB⊥DE，BC⊥EF，
∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°，
∵∠BGN＝∠EGM，
∴∠B＝∠E；
（3）真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
21．如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC．
请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明．
【解答】解：（1）①图形如图所示：
②过点P作PJ∥AE，
∵AB＝DE，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥CB，∠AEC＝∠B＝40°，
∵PE，PC分别平分∠AED，∠ACB，
∴∠PCA∠ACB＝30°，
∠AEP∠AED＝20°，
∵PJ∥AE，AE∥BC，
∴PJ∥CB，
∴∠EPJ＝∠AEP＝20°，∠CPJ＝∠PCB＝30°，
∴∠EPC＝∠EPJ+∠CPJ＝50°．
（2）如图1中，若∠B＝α，由②可知，∠EPC＝∠AEP+∠BCP，
∵∠AEBα，∠BCP＝30°，
∴∠EPCα+30°．
如图2中，同法可得∠EPC＝120°α．
如图3中，同法可得∠EPC＝120°α．
如图4中，同法可得∠EPC＝60°α．
综上所述，∠EPCα+30°或120°α或60°α．
24．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”是真命题．
证明：∵a＜b，（已知）
∴在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c．（不等式的基本性质）
∵c＜d，（已知）
∴在不等式两边都加上b，得b+c＜b+d．（不等式的基本性质）
∵a+c＜b+c，b+c＜b+d，（已证）
∴a+c＜b+d．（不等式的传递性）
（1）已知有理数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2（补全下列推理过程）；
证明：∵x＞y且x，y均为正数，（已知）
∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞xy ，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞y2 ．（不等式的基本性质）
∴x2＞y2．（不等式的传递性）
（2）请你尝试证明：若a＜b，则．
（3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
【解答】证明：（1）∵x＞y且x，y均为正数（已知），
∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞xy（不等式的基本性质），
不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞y2（不等式的基本性质），
∴x2＞y2（不等式的传递性）；
故答案为：xy；y2；（2）a＜b（已知），
不等式两边都加上b，得a+b＜2b（不等式的基本性质），
不等式两边都乘以正数2，得（不等式的基本性质）；
（3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题，证明如下：
设三个连续自然数为a，a+1，a+2，其中a≥0，
则a+（a+1）+（a+2）＝a+a+1+a+2＝3a+3＝3（a+1），
∵a+1为自然数，
∴3（a+1）能被3整除，
∴命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题．
25．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于60°．
已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°．
证明：假设　三角形中所有角都大于60°　
所以，　∠A+∠B+∠C＞180°　 ．
这与“　三角形的三内角和为180°　 ”矛盾．
所以，假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°．
【解答】证明：假设三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，∠A、∠B、∠C中至少有一个角小于或等于60°．
故答案为：三角形中所有角都大于60°；∠A+∠B+∠C＞180°；三角形的三内角和为180°．
26．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′．若∠1+∠2＝146°，则∠3+∠4＝　68　 °．
【解答】解：由折叠的性质得∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，∠A'＝∠A，
根据对顶角相等，∠A'+∠1+∠2＝180°，
∵∠1+∠2＝146°，
∴∠A'＝180°﹣146°＝34°＝∠A，
∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣34°＝146°，
∵∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，
∴∠3+∠4＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED
＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）
＝360°﹣2×146°
＝68°．
故答案为：68．
27．如图，三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，点F，G在AC上，连接DG，BG，EF．已知∠1＝∠2，∠3+∠ABC＝180°，求证：BG∥EF．
将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．
证明：∵　∠3+∠ABC＝180°　 （已知）
∴DG∥BC（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）
∴．∠CBG＝　∠1　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝　∠CBG （等量代换）
∴BG∥EF（ 　同位角相等，两直线平行　 ）
【解答】证明：∵∠3+∠ABC＝180°（已知），
∴DG∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CBG＝∠1（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠CBG（等量代换），
∴BG∥EF（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠3+∠ABC＝180°；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠CBG；同位角相等，两直线平行．
28．如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E．若∠MBA＝α，∠AEB＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（　　）
A．2α+2γ﹣β＝180° B．2β+2γ﹣α＝180°
C．α﹣2γ+β＝180° D．β﹣2γ+α＝180°
【解答】解：∵∠DCN是△DBC的一个外角，
∴∠DCN＝∠D+∠DBC，
∵∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，
∴∠DCN，∠DBC，
∴，
即∠D，
∴2γ＝∠ACN﹣∠ABC，
∵∠ACN是△ABC的一个外角，
∴∠ACN＝∠BAC+∠ABC，
即∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC，
∴2γ＝∠BAC，
如图，
∵∠BAC的平分线交BD于点E，
∴∠BAC＝2∠1，
∴2γ＝∠1，
∴γ＝∠1，
在△ABE中，∠AEB+∠1+∠2＝180°，
∴β+γ+∠2＝180°，
即2β+2γ+2∠2＝360°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠2，
∵∠MBA+∠ABC＝180°，
∴α+2∠2＝180°，
即2∠2＝180°﹣α，
∴2β+2γ+180°﹣α＝360°，
∴2β+2γ﹣α＝180°，
故选：B．
29．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　96°　 ．
【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN，
∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°，
∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°，
∴∠A′＝228°﹣180°＝48°，
∴∠A＝∠A′＝48°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°，
∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°，
∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°．
故答案为：96°．
30．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　50°　 ．
【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE，
∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC，
∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°，
即∠D+∠E等于50°，
故答案为：50°．
31．【认识】（1）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个外角，求证：∠1+∠2＝∠A+∠C．
【操作】（2）如图②，已知∠α和∠AOB，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上．请利用无刻度直尺和圆规在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOB+∠MPN＝∠α．（保留作图痕迹，不写作法）
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