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九下数学第14周《关于垂直的联想》
复习视角：垂直是串联多个考点的“枢纽”
1.与三角形知识的联动（重中之重）
2.与四边形知识的联动
3.与圆知识的联动（高频考点）
中考复习策略：如何运用“垂直”解题
1.看到垂直，主动联想
2.垂直是作辅助线的常用手段
3.代数与几何的结合点
情境分类 核心图形/背景 垂直的常见作用与关键结论 典型应用举例
1. 基本图形定义 相交线、垂线、垂线段 定义：两直线相交成90°角。点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长度最短。 计算点线距离；证明两直线垂直。
2. 三角形中的垂直　 直角三角形 定义核心：有一个角为90°的三角形。勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方（a2＋b2＝c2）。斜边上的高：用于构造相似三角形，得到比例关系。 求边长；证明三角形为直角三角形。
等腰三角形 三线合一：底边上的高、中线、顶角平分线三线重合。 证明线段相等、角相等或直线垂直。
3. 四边形中的垂直　 矩形、正方形 定义属性：四个内角均为90°。对角线性质：矩形对角线相等且互相平分。 利用直角特性进行证明和计算。
菱形 对角线性质：对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角。 将菱形问题转化为直角三角形问题。
4. 圆中的垂直 切线 切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 　
1．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．若∠AOE＝162°，则∠BOD＝　 　 °．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是AC的中点，点E在AB上．若△ADE与△ABC相似，则DE＝　 　 cm．
3．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝　 　 ．
4．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　 cm．
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝　 　 ．
6．（1）如图①把边长为AB＝6、BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长；
（2）如图②把边长为AB＝2、BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．
7．如图，在平面直角坐标系的x轴的正半轴上取点B，以OB为边作等边△ABO，点A在第一象限内，把△ABO绕点O顺时针旋转45°得到△DEO，点B的对应点E恰好落在反比例函数y在第四象限的图象上，则点A的坐标是 　 　 ．
8．如图①，在四边形ABCD的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形EFGH是正方形，则称正方形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（1）如图②，四边形ABCD是正方形，AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）如图③，四边形ABCD是平行四边形．
（Ⅰ）求作 ABCD的内接正方形EFGH；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
（Ⅱ）若∠B＝45°，，BC＝10，则内接正方形EFGH的边长为　 　 ．
9．（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
10．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝7，AC＝5，AD平分∠BAC，P是射线AD上的动点，连接PB、PC，当∠PCA﹣∠PBA取最大值时，则AP的长度为 　 　 ．
11．折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　 　 cm．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM＋PM的最小值为　 　 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　）
A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
15．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径．
17．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；②CE＝CF；③线段EF的最小值为2；④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．其中正确的结论的序号为 　 　 ．
18．如图，在四边形ABCD中，连接AC，作△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连接BE，交AC于点F，AB＝AC＝10．
（1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，求⊙O的半径；
（3）若CE＝6，E为的中点，则BE的长为 　 　 ．
19．如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD．
（1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．
（Ⅰ）求证：CG⊥AB；
（Ⅱ）求证：EF＝DE．
（2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．
（1）若BC，CD＝1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF．求证：DF是⊙O的切线；
（3）过点D作DG⊥BC，垂足为G，OE与DG相交于点M．
①求证：DM＝GM；
②连接BM并延长，与OC相交于点N．试判断以N为圆心，经过点E的⊙N与⊙O的位置关系，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A，B两点的⊙O交AC于点D，BC＝BD．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若BD＝6，AD＝5，
①求AB的长；
②⊙O的半径为　 　 ．
22．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，C（0，2）．设A（a，b）．
①当，说明△AOC为⊙O的“点A关联三角形”；
②若△AOC为⊙O的“点A关联三角形”，则a的最小值为　 　 ．
（2）如图2，⊙O的半径为1，A（1，0），B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围．
（3）⊙O的半径为r，直线y＝x与⊙O在第一象限的交点为A．C（4，0）．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
23．如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD．
（1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE．
（2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，⊙O过点A，B，C，且与BD相交于点E．
（1）如图①，求证：AD是⊙O的切线．
（2）如图②，连接AE，若AB＝AD＝5，BE．
（Ⅰ）求AE的长．
（Ⅱ）直接写出CD的长．
25．如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB＝∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB＝30°，AB＝1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．
26．如图，AB过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．
条件①：CD平分AB；条件②：；条件③：AD2＝AO AB；
则所有可以添加的条件序号是　 　 ．
【解答】解：过点E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴BD＝2，AD＝2，AD⊥BC，
∵将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，
∴AD＝DE＝2，∠ADE＝60°，
∴∠EDH＝30°，
又∵EH⊥BC，
∴EHDE，
∴S△BDEBD EH，
故答案为：．
4．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　 cm．
【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF＋FB′＝4＋1＝5（cm），
由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，DF3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵sinB＝sinD，cosB＝cosD，
∴CH＝EHBE，BHBE，
∴BEBE＝5，
∴BEcm，
解法二：延长DA交CE的延长线于点M．
∵AD∥CB，
∴∠M＝∠MCB，
∵∠MCB＝∠MCF＝45°，
∴∠M＝∠MCF＝45°，
∴CF＝FM＝4cm，
∵AD＝BC＝B′C＝5cm，FD＝3cm，
∴AF＝2cm，
∴AM＝2cm，
∵，
∴EB（cm）．
故答案为：．
5．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝　　 ．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝1，
∵AD2＝DE2＋AE2，
∴AD2＝（3﹣AD）2＋12，
∴AD，
故答案为：．
6．（1）如图①把边长为AB＝6、BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长；
（2）如图②把边长为AB＝2、BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．
【解答】解：（1）如图1，
过点M作ME⊥BC，垂足为E，连接BD，
在Rt△ABD中，AB＝6，BC＝8．
∴BD＝10，
由折叠得，MN⊥BD，
∴∠ADB＋∠NMD＝90°，
∵∠NME＋∠NMD＝90°，
∴∠ADB＝∠NME，
∵∠MEN＝∠A＝90°
∴△MNE∽△DBA，
∴，
∴，
∴MN＝7.5
（2）如图2，过点B作BE⊥AD的延长线于E，过F作MF⊥BC，连接BD，
∴MF＝BE＝2，
∴DE＝6．
∴BD，
同（1）的方法，得出，△MNF∽△DBE，
∴
∴
∴MN．
7．如图，在平面直角坐标系的x轴的正半轴上取点B，以OB为边作等边△ABO，点A在第一象限内，把△ABO绕点O顺时针旋转45°得到△DEO，点B的对应点E恰好落在反比例函数y在第四象限的图象上，则点A的坐标是 　（2，2）　 ．
【解答】解：作AM⊥OB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OEOA，AEOA，
由题意可知∠AOD＝∠EOB＝45°，
∴设E点的坐标为（m，﹣m），
∵点E恰好落在反比例函数y在第四象限的图象上，
∴﹣m2＝﹣8，
∴m2＝8，
∴OE2＝m2＋m2＝2m2＝16，
∴OA＝OD＝OE＝4，
∴A（2，2），
故答案为：（2，2）．
8．如图①，在四边形ABCD的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形EFGH是正方形，则称正方形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（1）如图②，四边形ABCD是正方形，AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）如图③，四边形ABCD是平行四边形．
（Ⅰ）求作 ABCD的内接正方形EFGH；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
（Ⅱ）若∠B＝45°，，BC＝10，则内接正方形EFGH的边长为　　 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF，
∴△BEF≌△CFG（SAS），
∴EF＝FG．
同理，可得EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△BEF≌△CFG，
∴∠BEF＝∠CFG．
在Rt△BEF中，∠BEF＋∠BFE＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴菱形EFGH是正方形，
即四边形EFGH是四边形ABCD的内接正方形．
（2）解：（Ⅰ）如图，正方形EFGH即为所求．
文字说明：：1．构造与 ABCD共中心的正方形MNPQ，顶点分别在直线AD，BC上，MN，PQ分别与AB，CD交于点E，G；
2．在AD，BC上分别截取F，H，使NF＝ME，HQ＝ME；
3．连接EF，FG，GH，HE即为正方形EFGH．
（Ⅱ）如图，过E作MN⊥BC于点N，交DA延长线于点M，过G作PQ⊥AD于点Q，交BC延长线于点P，
由（1）和（2）可得ME＝NF＝PG＝HQ，
∵∠B＝45°，AB＝6，

则BC′＝AB﹣AC′＝7﹣5＝2，
∵AC′＝AC，∠C′AD＝∠CAD，AP＝AP，
∴△C′AP≌△CAP（SAS），
∴∠PCA＝∠PC′A，
∴∠PCA﹣∠PBA＝∠PC′A﹣∠PBA＝∠BPC′，
当∠PCA﹣∠PBA取最大值时，即∠BPC′取最大值，
∵BC′＝2，
∴点P在以BC′为弦的圆上运动，
当AP与圆相切时，∠BPC′最大，此时，（根据“切割线定理”即可求解．）
或如图，取圆心O，连接PO并延长交⊙O于点E，连接EC′，
∵AP是⊙O的切线，EP是⊙O的直径，
∴∠EPA＝90°，∠EC'P＝90°，
∴∠EPC'＋∠C'PA＝90°，∠EPC'＋∠E＝90°，
∴∠E＝∠C′PA，，
∴∠E＝∠B，
∴∠B＝∠C′PA，
∵∠A＝∠A，
∴△AC′P∽△APB，
∴，
∴AP2＝AC'×AB＝5×7＝35，
∴，
故答案为：．
11．折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　 cm．
【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，
∴PB＝PC，PB＝CB，
∴PB＝PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形．
（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；
再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2；
如图⑤所示；
（3）解：本题答案不唯一，举例如图6所示，
（4）解：如图7所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF＝90°，CE＝4，EF＝1，
∴∠AEF＋∠CED＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD，
∴∠DCE＋∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，
∴，
设AE＝x，则AD＝CD＝4x，
∴DE＝AD﹣AE＝3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝42，
解得：x，
∴AD＝4．
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
【解答】（1）证明：过A作直径AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E＋∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD＋∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD＋∠DAF＝∠AFO＝∠E＋∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α＋2α＋45°﹣α＝45°＋3α，
如图：过A作直径AM，交BC于点H，连接AE，
∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB＋BC＝BC＋CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°＋3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：当CG＝6，BE＝0；
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
说明：①当BE＝0时，即点E与B重合，
在△BOH和△AOD中，
，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG＋∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②当CG≥6时，如图：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH∽△ECD，
∴，
∴，
∴，
∴BECG2﹣6，
∴BE随CG的增大而增大．
③当3＜CG＜6时，如图，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC∽△EDC，
∴，
∴，
∴，
∴BECG2＋6，
∴BE随CG的增大而减小．
综上所述：
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM＋PM的最小值为　7﹣2　 ．
【解答】解：作MP′＝MP交x轴于点P′，则∠OP′P＝45°，OM＋PM的长为OP′的长，此时PP′与⊙C相切，
连接CP，则CP⊥PP′，
∴∠CPP′＝90°，
作CN⊥x轴于点N，交PP′于点E，则∠ENP′＝90°，
∴∠NEP′＝45°，
∴EN＝NP′，∠PEC＝45°，
∵PC＝2，
∴CE＝2，
∵C（4，3），
∴ON＝4，CN＝3，
∴EN＝3﹣2，
∴NP′＝3﹣2，
∴OP′＝ON＋NP′＝7﹣2，
∴OM＋PM的最小值为7﹣2．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　）
A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5＋4＝9，
∴D（9，2）．
故选：A．
15．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．晓晓受此启发设计了一个“连杆机构”，设计图如图1所示，AB为一根固定长度的连杆，通过一端A在直线l上滑动，使得点B带动⊙O绕圆心O转动，当连杆AB恰好经过圆心O时，如图2所示，此时记⊙O与AB的另一个交点为C，过点B作BD⊥AB交直线l于点D，发现DO恰好平分∠ADB．
（1）求证：直线l与⊙O相切；
（2）若BD＝5，AD＝13，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图2，过点O作OE⊥AD于点E，
∴∠OED＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OED＝∠OBD，
∵DO恰好平分∠ADB，
∴∠EDO＝∠BDO，
在△OED和△OBD中，
，
∴△OED≌△OBD（AAS），
∴OE＝OB，
∵OE⊥AD，
∴直线l与⊙O相切；
（2）解：∵BD⊥AB，
∴∠OBD＝90°，
∵BD＝5，AD＝13，
∴由勾股定理得，，
设⊙O的半径为r，
则OE＝OB＝r，
∴OA＝AB﹣OB＝12﹣r，
∵∠AEO＝∠ABD＝90°，∠OAE＝∠DAB，
∴△AEO∽△ABD，
∴，
∴，
解得r，
即⊙O的半径为．
16．如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝9，BC＝6．求PC的长．
【解答】解：（1）PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC＝90°，即∠E＋∠BCE＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．
∴∠E＝∠BCP，
∴∠BCP＋∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM＝CMBC＝3，
∴AC＝AB＝9，
在Rt△AMC中，AM，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝6r，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2，即32＋（6r）2＝r2，解得r，
∴CE＝2r，OM＝6，
∴BE＝2OM，
∵∠E＝∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴，
即，
∴PC．
17．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①∠F＝30°；
②CE＝CF；
③线段EF的最小值为2；
④当AD＝1时，EF与半圆相切；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是8．
其中正确的结论的序号为 　②③④　 ．
【解答】解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°，故①错误；
②又∵∠F＝∠CDF，
∴CD＝CF，
∴CE＝CD＝CF．故②正确；
③当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CDBC，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为2．故③正确；
④当AD＝1时，连接OC，如图3所示，
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝2，AD＝1，
∴DO＝1．
∴AD＝DO，
∴∠ACD＝∠OCD＝30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA，
∴∠ECA＝30°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故④正确；
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC＝2 AC BC＝4．故⑤错误．
故答案为②③④．
18．如图，在四边形ABCD中，连接AC，作△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连接BE，交AC于点F，AB＝AC＝10．
（1）若AD∥BC，求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝12，求⊙O的半径；
（3）若CE＝6，E为的中点，则BE的长为 　　 ．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于点M，
∵AB＝AC，
∴，
∴AM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AM⊥AD，
又∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝12，
∴BMBC＝6，
∵AB＝10，
∴AM8，
设OA＝OB＝m，则OM＝8﹣m，
在Rt△BOM中，BM2＋OM2＝OB2，
∴62＋（8﹣m）2＝m2，
∴m，
∴OA；
（3）解：∵∠AFB＝∠EFC，∠ABE＝∠FCE，
∴△ABF∽△ECF，
∴，
设AF＝5x，EF＝3x，
∵E为的中点，
∴，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠ACE，
∴∠ECF＝∠CBE，
∵∠CEF＝∠BEC，
∴△CEF∽△BEC，
∴，
∴，
∴BE，
∴BF＝BE﹣EF3x，
∴，
解得x1，x2＝2（舍去），
经检验x是原方程的根，
∴BE12．
故答案为：．
19．如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD．
（1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．
（Ⅰ）求证：CG⊥AB；
（Ⅱ）求证：EF＝DE．
（2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）（Ⅰ）证明：连接OA、OB，如图，
∵C为优弧AB的中点，
∴，
∴AC＝BC，
又OA＝OB，
∴O、C都在AB的垂直平分线上，即CG是AB垂直平分线，
∴CG⊥AB；
（Ⅱ）证明：连接CD，如图，
∵AD⊥BC，CG⊥AB，
∴∠CFE＋∠BCG＝90°，∠B＋∠BCG＝90°，
∴∠B＝∠CFE，
∵∠B＝∠D，
∴∠CFE＝∠D，
∴CF＝CD．
又 AD⊥BC，
∴EF＝DE；
（2）解：DE＋BD＝AE．理由：
在AE上截取EF＝DE，连接CF、CD，如图，
∵CE⊥DF，EF＝DE，
∴CE为线段DF的垂直平分线，
∴CF＝CD．
∴∠CFD＝∠CDF，
∵AC＝BC．
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠CAB＝∠CDA．
∵∠CFD＋∠CDF＋∠FCD＝∠CAB＋∠CBA＋∠ACB＝180°，
∴∠FCD＝∠ACB．
∴∠FCD﹣∠FCB＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ACF＝∠BCD．
在△CAF和△CBD中，
，
∴△CAF≌△CBD（SAS），
∴AF＝BD．
∴DE＋BD＝EF＋AF＝AE．
∴AE，DE，DB之间的数量关系为：DE＋BD＝AE．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．
（1）若BC，CD＝1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF．求证：DF是⊙O的切线；
（3）过点D作DG⊥BC，垂足为G，OE与DG相交于点M．
①求证：DM＝GM；
②连接BM并延长，与OC相交于点N．试判断以N为圆心，经过点E的⊙N与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
由勾股定理得BC2＋OB2＝OC2，
∴（）2＝r2＋（1＋r）2，
解得r＝1，
即⊙O的半径为1；
（2）连接OF，则OF为△ABE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠BOF＝∠A，∠COF＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠BOD＝∠A＋∠ADO＝2∠A，
∴∠BOF＝∠COF，
∵OD＝OB，OF＝OF．
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠ODF＝∠OBF＝90°，
即FD是⊙O的切线；
（3）①∵DG∥AB，
∴，
又∵AO＝BO，
∴DM＝GM；
②连接NE，
∵GD∥AB，
∴，，
∵DM＝GM，
∴，
∴NE∥AB，
∴，
∵OA＝OD，
∴EN＝ND，
∴圆心距ON等于圆N的半径与圆O的半径的和，
∴⊙N与⊙O的位置关系为相切．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A，B两点的⊙O交AC于点D，BC＝BD．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若BD＝6，AD＝5，
①求AB的长；
②⊙O的半径为　　 ．
【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE．
∵AB＝AC，BC＝BD，
∴∠C＝∠ABC，∠C＝∠BDC．
∴∠ABC＝∠BDC．
∵∠BDC＋∠ADB＝180°，
∠E＋∠ADB＝180°，
∴∠E＝∠BDC．
∴∠E＝∠ABC．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°．
∴∠ABE＋∠E＝90°．
∴∠ABC＋∠ABE＝90°．
∴OB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
（2）解：①∵如图，
在△ABC与△BCD中，
由（1）得∠ABC＝∠BDC，且∠ACB＝∠BCD，
∴△ABC∽△BDC．
∴．
∵BD＝6，AD＝5，
∴BC＝BD＝6，AC＝CD＋AD＝CD＋5，
∴．
解得CD＝4．
∴AB＝AC＝AD＋CD＝5＋4＝9．
②过B作BH⊥AC于点H，
设DH＝x，
在Rt△BDH中，BH2＝BD2﹣DH2＝36﹣x2，
在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝81﹣（5＋x）2，
∴36﹣x2＝81﹣（5＋x）2，
解得x＝2，
∴AH＝7，BH，
作直径BM，连接DM，则∠M＝∠A，∠BDM＝90°＝∠BHA，
∴△BHA∽△BDM，
∴，即，
解得BM，
∴半径为；
故答案为：．
22．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，C（0，2）．设A（a，b）．
①当，说明△AOC为⊙O的“点A关联三角形”；
②若△AOC为⊙O的“点A关联三角形”，则a的最小值为　　 ．
（2）如图2，⊙O的半径为1，A（1，0），B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围．
（3）⊙O的半径为r，直线y＝x与⊙O在第一象限的交点为A．C（4，0）．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【解答】解：（1）①如图，
∵，
∴，
∴，
又∵⊙O的半径为1，
∴点A在⊙O上，
∵OC交⊙O于点（0，1），
∴△AOC为⊙O的“点A关联三角形”；
②过点C作⊙O的切线CA，连接OA，
当点A在y轴右侧时，则OA＝1，OC＝2，
∴，
过点A作AH⊥y轴于H，
则，
∴，
∴，
当点A在y轴左侧时，由对称性得，
∴，
∴a的最小值为；
故答案为：；
（2）如图2，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除点A外不与⊙O有交点，
当AC与⊙O相切时，
∴AC⊥x轴，此时，点A的横坐标为1，
则点C的横坐标为1，即m＝1，
∴m≥1时，线段AC除点A外不与⊙O有交点；
当点B恰好在⊙O上，即点B在（0，﹣1）处，记作点B′，
∴OB'＝1，
∵A（1，0），
∴OA＝1，
∴OA＝OB′，
∴∠OB′A＝45°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AB′C′＝60°，B′C′＝AB′，
∵，
∴，
过点C′作C′G⊥y轴于G，
∴∠C′B′G＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∠B′GC′＝90°，
∴∠B′C′G＝15°，
在C′G上取一点M，连接B′M，使得B′M＝C′M，
∴∠B′MG＝30°，
在Rt△B′GM中，则B′M＝2B′G，，
∴，
在Rt△B′GC′中，根据勾股定理得B′G2＋C′G2＝B′C′2，
，
∴，
∴，
∴时，线段AB除点A外不与⊙O有交点；
综上所述，m的取值范围为；
（3）解：∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴分如下情况讨论：
①当AB与⊙O有交点，直到点B落在⊙O上时，
∵直线y＝x与⊙O在第一象限的交点为A，
∴，
过点C作CE⊥AD，交DA延长线于点E，过点A作x轴的平行线，交y轴于点D，
则∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵AB＝CA，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，即，
解得，此时不满足题意，
∴；
②当AC与⊙O相切时，如图，
由图可知，点B与点O重合，
∵C（4，0），
∴OC＝4，
∴，
当时，AC与⊙O有两个交点，不符合题意，
∴；
③当AC与⊙O相交时，且点C在⊙O内，即r＞4，
过点B作BD⊥AE，交EA延长线于点D，过点A作y轴的平行线，交x轴于点E，
同理可证△ABD≌△CAE，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即OB＞r，
∴点B在⊙O外，
∴BC与⊙O必有一个交点，符合题意，
∴r＞4；
∴综上所述，r的取值范围为或r＞4．
23．如图，△ABC内接于⊙O，C为的中点，D在上，连接AD．
（1）如图，若AD⊥BC，垂足为E，直线OC分别交AD，AB于点F，G．求证：EF＝DE．
（2）如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接DB，写出AE，DE，DB之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接OA、OB，CD，如图①，
∵C为优弧AB的中点，
∴，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，
∴O、C都在AB的垂直平分线上，即CG是AB垂直平分线，
∴CG⊥AB；
∵AD⊥BC，
∴∠CFE＋∠BCG＝90°，∠CBG＋∠BCG＝90°，
∴∠CBG＝∠CFE，
∵∠CBA＝∠D，
∴∠CFE＝∠D，
∴CF＝CD．
又 AD⊥BC，
∴EF＝DE；
（2）解：DE＋BD＝AE．理由如下：
在AE上截取EF＝DE，连接CF、CD，如图②，
∵CE⊥DF，EF＝DE，
∴CE为线段DF的垂直平分线，
∴CF＝CD．
∴∠CFD＝∠CDF，
∵AC＝BC．
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠CDA＝∠CBA，
∴∠CAB＝∠CDA．
∵∠CFD＋∠CDF＋∠FCD＝∠CAB＋∠CBA＋∠ACB＝180°，
∴∠FCD＝∠ACB．
∴∠FCD﹣∠FCB＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ACF＝∠BCD．
在△CAF和△CBD中，
，
∴△CAF≌△CBD（SAS），
∴AF＝BD．
∴DE＋BD＝EF＋AF＝AE．
∴AE，DE，DB之间的数量关系为：DE＋BD＝AE．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，⊙O过点A，B，C，且与BD相交于点E．
（1）如图①，求证：AD是⊙O的切线．
（2）如图②，连接AE，若AB＝AD＝5，BE．
（Ⅰ）求AE的长．
（Ⅱ）直接写出CD的长．
【解答】（1）证明：如图①，连接AO，并延长交⊙O于T，交BC于K，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AO⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：（I）如图②，连接AO，并延长交⊙O于T，连接TE，
∴∠ABD＝∠T，
∵AT为直径，
∴∠AET＝90°＝∠TAD，
∴∠T＝90°﹣∠TAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴，
∵，
∴，
解得：DE＝3（负根舍去），
∴AE＝DE＝3；
（II）连接AO，并延长交⊙O于T，连接TE，过A作AN⊥BD于N，过C作CM⊥AD于M，如图③，
由（1）得：AK⊥BC，AK⊥AD，
∴四边形AKCM为矩形，
∴AM＝CK，AK＝CM，
∵AB＝AD＝5，，
∴，，
在直角三角形ABN中，由勾股定理得：，
∵AE＝DE＝3，∠AKC＝∠ANE＝90°，AB＝AC＝AD＝5，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形ACK中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
25．如图，△ABC内接于⊙O，∠DAB＝∠ACB．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DAB＝30°，AB＝1，求弦AB所对的弧长；
（3）在（2）的条件下，点C在优弧AB上运动，是否存在点C，使点O到弦BC的距离为？若有，请直接写出AC的长；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AM是⊙O直径，
∴∠ABM＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠AMB＋∠MAB＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB，且∠ACB＝∠AMB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAB＋∠MAB＝90°，即AO⊥AD；
又∵直线AD经过半径OA的外端点A，
∴直线AD与⊙O相切．
（2）连接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∵AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝1
的长，或者的长；
（3）2或1．
作直径AC，则∠ABC＝90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OMAB，
则当AC是直径时满足条件，此时AC＝2；
过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，垂径定理可知OM2OCAB．则△AOC是等边三角形．
则AC＝OC＝1．
26．如图，AB过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC．
条件①：CD平分AB；
条件②：；
条件③：AD2＝AO AB；
则所有可以添加的条件序号是　①③　 ．
【解答】解：AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，如图，连接AC，OC，令AB，CD交于点E，
∴CE＝DE，∠AED＝∠BEC＝90°，
则AC＝AD，
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