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2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题
一、单选题
1．下列四个选项中，为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．了解某批次灯泡的使用寿命 B．了解某班级学生的数学作业完成情况
C．了解某考场考生准考证的核对情况 D．了解某班级学生的视力情况
4．一个角是，则可化为多少分（ ）
A． B． C． D．
5．如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
7．已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（ ）
A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60
8．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小宇从家到景区，小宇的路程为公里
B．小宇途中停车观光的时间为分钟
C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时
D．小宇全程一共用时分钟
11．现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．点关于原点对称的点为______．
14．若实数满足，则代数式的值为______．
15．袋中有个球，红白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽个球，抽到红球的概率是______．
16．已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为______米．
三、解答题
17．计算、化简：
(1)；
(2)先化简，再求值：，其中，．
18．社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题：
抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表
组别 时间 频率
A 0.16
B a
C 0.36
D 0.18
E 0.10
合计 1
(1)填空： ，此次调查中共抽取了 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；
(3)该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数．
19．某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备．
(1)已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？
(2)已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用．
20．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
21．如图，在中，，点是的中点，点是上一点，以O为圆心作圆，，，三点均在上，，是的两条切线，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
22．综合与实践．
素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题．
任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为．
(1)求此时长棍的端到地面的高度；
任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米．
(2)求此时点离地面的高度．
23．如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请写出抛物线的顶点坐标 ；
(3)如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式．
参考答案
1．C
【详解】解：A选项：既不是正数也不是负数，不是负数，故A选项不符合题意；
B选项：，是正数，故B选项不符合题意；
C选项：，是负数，故C选项符合题意；
D选项：，是正数，故D选项不符合题意．
2．D
【详解】解：选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3．A
【详解】解：∵了解某批次灯泡的使用寿命，调查过程会对灯泡造成破坏，无法对所有灯泡进行测试，
∴适合抽样调查，
∵选项B，C，D的调查范围均较小，可进行全面调查，结果准确性要求高，
∴适合普查．
4．C
【详解】解：∵角度单位中，
∴．
5．B
【详解】解：根据题意，扇形的弧长为．
6．A
【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，
∴，
∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴，
∴．
7．B
【详解】解：∵《浣溪沙》每阕6句，每句7字，
∴每阕字数为，
∵《采桑子》每阕8句，每句6字，
∴每阕字数为，
设《浣溪沙》收录阕，《采桑子》收录阕，根据题意列方程组：
，
解得：．
8．D
【详解】∵，
∴，
由折叠可得．
9．B
【详解】解：过点作，如图所示：
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即点到边的距离为．
10．D
【详解】对于A，由函数图象可知，从家到景区，小宇的路程为公里，故A正确，不符合题意；
对于B，小宇途中停车观光的时间为分钟，故B正确，不符合题意；
对于C，小宇到景区的整个过程中，共花了分钟，即个小时，平均速度是公里/小时，故C正确，不符合题意；
对于D，小宇全程一共用时分钟，故D错误，符合题意.
11．B
【详解】解：∵，
∴，
解得．
12．C
【详解】解：∵大正方形的面积为，
∴，
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴．
13．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点的横纵坐标分别取相反数，可得点关于原点对称的点的坐标为．
14．7
【详解】解：∵，
，
将代入得．
15．
【详解】解：由题意得，袋中共有个球，随机抽取1个球，所有等可能的结果共种，其中抽到红球的结果有种，因此抽到红球的概率为．
16．1.6
【分析】线段的最小值即点到的距离．作，利用相似三角形对应边成比例求出即可．
【详解】解：过点E作，垂足为，
∵中，，米，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∵，，
∴，
∴，即，
解得：．
∵，
∴当点与点重合时，线段最小，线段的最小值为米．
17．(1)2
(2)，
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式
，
将，代入，原式．
18．(1)0.2，50，见解析
(2)C
(3)768人
【详解】（1）解：，
抽取学生总人数：人，
∵B组频数：，
所以频数分布直方图如图：
（2）因为抽取学生总人数为50人，所以中位数为第25，26人一周参与社团活动时间的平均数，所以中位数落在C组；
（3）人
答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数约为768人．
19．(1)每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人
(2)最低费用为48000元
【详解】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为人，每辆大容量巴士载客量为人，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解且符合题意，
则每辆大容量巴士载客量为：
答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人
（2）解：设舒适型客车辆，则大容量巴士为，单日总租赁费用为元，则：
解得：
又有：
随的增大而减小，
当时， （元）
答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
在和中
；
（2）证明：由（1）得，
，
又
又（公共角），
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，
∴，
∴垂直平分（三线合一），
∴．
∵在中，点是的中点，
∴ ．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接交于点，
∵在中，，，
∴．
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴ ，
∴．
∴．
22．(1)米
(2)米
【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形，
米，
在中，，
米，，
，
（米）
∴C端到地面高度： （米）
答：长棍的C端到地面高度为0．4米．
（2）解：如图，过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形，
米，点离地高度为米，且竖直向上，
（米）
点离地高度（米）
，为锐角，
∴在 中，设为，为，
由勾股定理，得，
∴在 中，，
（米）
（米）
点离地高度（米）
答：此时R离地面的高度为米．
23．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 和 ，
∴抛物线的解析式为
．
∴．
（2）解：对抛物线配方： ，
因此顶点坐标为 ．
（3）解：抛物线与y轴交点，点P在第一象限，故，
抛物线顶点为弧最高点，分两种情况讨论最低点：
①当时：弧最低点为，
特征矩形的长为t，宽为，周长，
②当时：，弧最低点为P，
特征矩形的长为t，宽为，
周长．

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