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2026年九年级第二次质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D C B B A C D
10.D
解析:∵四边形ABCD 为矩形,BN∥DM,∴∠OBN=∠ODM,∵OB=OD,又∵MN⊥
BD,∴∠BON=∠DOM=90°,∴△MOD≌△NOB(ASA),∴OM=ON,∵OB=
OD,∴四边形BMDN 为平行四边形,∵MN⊥BD,∴四边形BMDN 为菱形,∴
∠MBO=∠NBO,∵BM 平分∠ABD,∴∠MBO=∠MBA,∴∠MBO=∠MBA=
AB 3 AB 3
∠NBO=30°,∴ =cos30°= ,又BM 2 ∵BN=BM
,∴ = ,如图,过点 作BN 2 E
EF⊥BN 于点 ,
EF 3
F ∴ ,设FN=2 EF= 3a
,则FN=2a,BF=3a,BN=5a,∴在
Rt△EFN 中,EN= FN2+EF2= 7a,∵MN⊥BD,点O 是BD 的中点,∴BD 垂
直平分MN,
3 3 53a ME 7a
∴ME=EN= 7a,∴AB=2BM=2×5a=
,
2 ∴AB= =53a
2
2 21 故选
15 . D.
A M D
E O
B F N C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
2
11.7 12.53 13.3
5-1
14.(1)25-2;(2分) (2) .(3分)2
解析:(1)∵点E 为AB 的中点,正方形ABCD 的边长为4,
1
∴AE= AB=2,由折叠知2
A1E=AE=2,如图1,∴点A1 在以点E 为圆心,以2为半径的圆弧上运动,连接
DE,∵∠DAB=90°,AD=4,AE=2,∴Rt△ADE 中,DE= AD2+AE2 =
42+22=25,∵DA1+A1E≥DE,∴DA1≥DE-A1E=25-2,∴DA1 的最
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小值为25-2;;
(2)如图2,当DA1 取最小值时,点A1 在线段DE 上,由折叠知∠NA1E=∠A=
90°,∴∠DA1N=90°,∴∠DA1N=∠A,∵∠A1DN=∠ADE,∴△A1DN∽
, DA1 DN,即25-2 DN△ADE ∴ = ,AD DE 4 = ∴DN=5- 5
,∴AN=AD-DN=
25
( AN 5-14- 5- 5)= 5-1,∴tan∠AEN=AE= 2 .
D C
D C
A1 A
N 1N
A E B A E B
!1 !2
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
解:原式 x+1 x-2 x(x-2) 3 x-2 315. = - ÷ · , ……( )x-2 x-2 (x-2)2= 分x-2 x =x 5
当x= 3时,原式
3
= = 3. ……(8分)
3
16.解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; ……(4分)
(2)如图所示,△A1B2C2 即为所求. ……(8分)
C2
A1
B1 B2 C1
A
B C
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
(
解:() 1+4
)×4
17. 11+2+3+4= 2 =10
; ……(2分)
(2)10+15=52; ……(4分)
( ) ( )
(3)第n 个点阵图对应的等式为
nn-1 nn+1 2,
2 + 2 =n
n2-n n2+n n2-n+n2+n
∵左边= + 2 右边,2 2 = 2 =n =
∴等式成立. ……(8分)
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18.解:延长BC 交MN 于点H,设MH=x 米,
由题知BH⊥MN,BE=AD=3.6米,
∵∠MEH=45°,∴EH=MH=x 米,
在 MH xRt△MHB 中,tan∠MBH= ,BH ∴
≈ ,
x+3.6 0.65
解得x≈6.69,
∴MN=1.5+6.69=8.19≈8.2(米),
∴太阳能路灯电池板离地面的高度MN 的长约为8.2米. ……(8分)
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.解:(1)设直线AB 的函数表达式为y=mx+n,
由题知点A(
k
-1,-k),B(-2,- ),2
-m+n=-k
k
m=-2
把A,B 两点代入y=mx+n 中得 k,解得 ,
-2m+n=-2
3k
n=-
2
直线 k 3k∴ AB 的函数表达式为y=- x- ,2 2
令 k 3ky=0,即-2x-2=0
,解得x=-3,
∴点C 的坐标为(-3,0),
1
∵△AOC 的面积为6,∴ ×3·(-k)=6,2
解得k=-4; ……(5分)
(2)如图,过点A 作AD⊥OB 交OB 的延长线于点D,
由(1)知A(-1,4),B(-2,2),
∴OA= 12+42= 17,OB= 22+22=22,
1 1 1
∵S△AOB= OB·2 AD=S△AOC-S△BOC
,即 ×22·2 AD=6-2×2×3
,
32
32 AD 2 3 34
∴AD= ,2 ∴sin∠AOB= = = .
……(
OA 10
分)
17 34
y
A
D
B
C O x
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20.解:(1)如图,连接OD,
∵CD 平分∠OCE,∴∠OCD=∠ECD,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,
∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥OD,OD⊥AB,
∴∠BOD=90°,
1
∴∠BAD= ∠BOD=45°; ……(5分)2
(2)如图,过点A 作AF⊥CD 于点F,
由(1)知OD⊥AB,
1
∴∠ACD=2∠AOD=45°
,
∵AC=2,∴AF=CF= 2,
∵∠AOD=90°,∴AD= OA2+OD2= 32+32=32,
∴DF= AD2-AF2=4,
∴CD=DF+CF=4+ 2. ……(10分)
C
F
A E O B
D
六、(本题满分12分)
21.证明:(1)3,4; ……(4分)
(2)学生评价较高的是B 款软件,
理由:∵学生对B 款软件打分的平均数和中位数都比A 款软件高,众数相同,
∴学生评价较高的是B 款软件; ……(8分)
(3)A 款软件的得分为3.25×40%+4.6×60%=4.06(分),
B 款软件的得分为3.5×40%+4.3×60%=3.98(分),
∵4.06>3.98,
∴学校会采用A 款软件进行教学. ……(12分)
七、(本题满分12分)
22.解:(1)如图1,过点F 作FG⊥AD 交AD 的延长线于点G,
由旋转知BE=FE,∠BEF=90°,
∴∠G=∠A=90°,∠EFG+∠FEG=90°,
∵∠FEG+∠BEA=180°-∠BEF=90°,
∴∠EFG=∠BEA,
∠EFG=∠BEA
在△GEF 与△ABE 中, ∠G=∠A ,
FE=BE
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∴△GEF≌△ABE(AAS),∴GF=AE,
∵∠CDF=45°,∴∠GDF=45°,
AE GF 2
∴ ; ……( 分)DF=DF=sin45°=2 5
(2)设AD=2a,则AE=DE=a,
如图2,过点F 作FP⊥CD 于点P,
由(1)知DF= 2a,
∵∠CDF=45°,∴FP=DP=a,则CP=a,
∵FP⊥CD,∠C=90°,∴∠C=∠MPF,∠BMC=∠FMP.
∴△BCM∽△FPM,
CM BC 2a ,即 2 2∴ ,PM=PF=a =2 CM=3CP=3a
2
CM 3a 1
∴tan∠CBM= = = . ……(8分)BC 2a 3
(3)点M 是CD 的中点,
设AE=m,则AD=CD=BC=3m,
如图3,过点F 作FQ⊥CD 于点Q,
由(1)知DF= 2m,
∵∠CDF=45°,∴FQ=DQ=m,则CQ=2m,
∵FQ⊥CD,∠C=90°,∴∠C=∠MQF,∠BMC=∠FMQ,
∴△BCM∽△FQM,
CM BC 3m
∴ = = =3,即
3 3
QM QF m CM=4CQ=2m
,
1
∴CM=2CD
,则点M 是CD 的中点. ……(12分)
A E D G A E D A E D
F QP FF M
M
B C B C B C
!1 !2 !3
八、(本题满分14分)
解:()由题知抛物线的对称轴为直线 1+k+1-k23. 1 x= =1,2
2b 9a+6b+3=0 a=-1
∴-2a=1
,即b=-a,由 ,解得 ,b=-a b=1
∴a,b的值分别为-1,1; ……(4分)
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(2)①由(1)知抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,
当y=3时,有-x2+2x+3=3,解得x1=0,x2=2,
∵点M 的横坐标为m,s=2,∴点N 的横坐标是m+2,
∵抛物线y=ax2+2bx+3的图象在点M,N 之间部分的最高点的纵坐标为3,
∴点M,N 在对称轴的同侧,
∴当点M,N 均在对称轴左侧时,点N 坐标为(0,3),即m+2=0,解得m=-2,
当点M,N 均在对称轴右侧时,点M 坐标即为(2,3),即m=2,
∴m=2或-2; ……(8分)
②记点M,N 纵坐标之和为w,
由题知M(m,-m2+2m+3),N(m+s,-m2-2ms+2m-s2+2s+3),
( 2 ) ( s-2
2
∴w= -m +2m+3 + -m2-2ms+2m-s2+2s+3)=-2 m+ 2 +
s2
8- ,2
, s-2
2
∵-2<0 ∴m=- 时, 有最大值
s ,
2 w 8-2
∵1≤s≤3,
1 1 15
∴s=1时,m= ,w 最大,2 w=8-
,
2=2
∴-m2
15
+2m+3= ,4
的坐标为 1,15∴M . ……(14分)2 4
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